Về một số tính chất của đối đồng điều địa phương hình thức

Lời nói đầu Vào kỉ 20, có kiện quan trọng tốn học nhà tốn học J.P.Serre áp dụng thành cơng đại số đồng điều vào lĩnh vực hình học đại số cơng trình năm 1955 Khoảng thời gian sau thời gian kỳ hồng kim đại số đồng điều, tràn ngập tồn toán học Lấy cảm hứng từ J.P.Serre, đối đồng điều địa phương đưa nhà tốn học Gothendieck giảng đại học Hardvard Đến tận năm 1967, lý thuyết biết đến rộng rãi qua tập giảng "đối đồng điều địa phương" xuất R.Hartshorne Nó nhanh chóng trở thành cơng cụ hiệu qu ả đại số giao hốn hình học đại số Cụ thể hình học, đối đồng điều địa phương giúp nghiên cứu tính liên thơng, số đa thức tối thiểu để định nghĩa tập đại số, Còn đại số, đối đồng điều địa phương cho ta biết thông tin môđun ban đầu Giai đoạn từ năm 1967 đến nay, lý thuyết thật thu hút quan tâm nhiều nhà toán học ngồi nước, có nhiều nhà tốn học lớn G.Falting, R.Hartshorne, Nguyễn Tự Cường, Vào năm 2006, loại đối đồng điều địa phương mới, đối đồng điều địa phương hình thức, giới thiệu P Schenzel Trước đó, khái niệm nghiên cứu Peskine Szpiro trường hợp vành quy liên quan đến tính triệu tiêu mơđun đối đồng điều địa phương Nhưng khơng nhiều người biết đến Phải đến báo P.Schenzel xuất bản, lý thuyết thức biết đến thu hút quan nhiều nhà tốn học Hiện cịn nhiều tính chất đối đồng điều địa phương hình thức chưa tìm hiểu Do tốn tính chất đối đồng điều địa phương hình thức trở thành đề tài thú vị nhà tốn học Mục đích luận văn nhằm trình bày cách hệ thống tính chất đối đồng điều địa phương hình thức từ làm tảng để đưa số kết Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Để định nghĩa khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức ta cần ba ngun liệu là: giới hạn ngược, đối đồng điều địa phương cuối phức Cech Các khái niệm tóm tắt sơ lược mục 1.1, 1.2, 1.5 Hơn để nghiên cứu lý thuyết này, ta phải cần đến số công cụ đại số giao hoán mục 1.3 1.4 Chương 2: Đối đồng điều địa phương hình thức Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức tính chất Đặc biệt định lý đối ngẫu tính chất triệt tiêu khơng triệt tiêu Chương 3: Đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Luận văn khép lại việc khảo sát tính chất mơdun đối đồng điều địa phương bậc cao Cụ thể, quan tâm đến môđun lim Hml (M/I n M ) với l = ←− dimM/IM Luận văn tốt nghiệp hoàn thành trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn tận tình PGS.TS Trần Tuấn Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả trân trọng cảm ơn q thầy giáo khoa Tốn-Tin phòng sau đại học tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn học viên khoá anh (chị) nghiên cứu sinh góp ý giúp đỡ tác giả trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, khố luận khơng tránh khỏi hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy (cơ) bạn để hồn thiện luận văn cách tốt Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Học viên cao học Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn ngược 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 11 1.4 Đối ngẫu Maltis 12 1.5 Phức Cech 14 1.6 Phức đối ngẫu 17 Một số tính chất đối đồng điều địa phương hình thức 19 2.1 Một số tính chất 19 2.2 Định lý đối ngẫu 27 2.3 Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ 30 2.4 Các định lý triệt tiêu không triệt tiêu 33 Đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao 39 3.1 Tính Artin hữu hạn sinh 40 3.2 Tính minimax 46 KẾT LUẬN 48 Tài liệu tham khảo 49 BẢNG CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG R : Vành Nơte giao hốn khơng tầm thường (R, m) : Vành địa phương với iđêan tối đại m Spec(R) : Tập iđêan nguyên tố vành R V (I) : Tập iđêan nguyên tố chứa I Supp(M ) : Giá môđun M Ass(M ) : Tập iđêan nguyên tố liên kết M Att(M ) : Tập iđêan nguyên tố gắn kết M dim(M ) : Chiều Krull môđun M depth(M ) : Độ sâu môđun M HIi (M ) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M ứng với iđêan I R−Mod : Phạm trù R−môđun R−đồng cấu C(R) : Phạm trù phức R−môđun ánh xạ dây chuyền D(R) : Phạm trù dẫn xuất Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn ngược Khái niệm giới hạn ngược tổng quát hoá đối tượng phạm trù như: tích trực tiếp, hạt nhân kéo lại Cho phạm trù C tập số thuận I ( tức tập hợp I trang bị quan hệ thứ tự phần cho với i, j ∈ I tồn k ∈ I cho i ≤ k, j ≤ k) Họ vật Mi xạ ϕji : Mj → Mi (ϕii = IdMi ) với i, j ∈ I i ≤ j gọi hệ ngược ϕki = ϕkj ϕji với i ≤ j ≤ k Giới hạn ngược định nghĩa dựa theo tính phổ dụng Định nghĩa 1.1.1 Với kí hiệu trên, giới hạn ngược hệ ngược {Mi , ϕji }i∈I vật lim Mi họ xạ fi : lim Mi → Mi thoã mãn ←− ←− i) ϕji fj = fi ii) Với vật X họ xạ gi : X → Mi thỗ mãn tính chất đầu tiên, tồn xạ φ : X → lim Mi cho fi φ = gi ←− Dựa theo định nghĩa, giới hạn ngược tồn Xét phạm trù R−Mod có hệ ngược môđun {Mi , ϕji }i∈I Gọi X tập hợp phần tử (mi )i∈I tích trực tiếp i∈I Mi thoã mãn ϕji (mj ) = mi Rõ ràng, X môđun i∈I Mi Dễ dàng kiểm tra X với họ đồng cấu tự nhiên fi : X → Mi , cho fi ((mi )) = mi với (mi ) ∈ X, giới hạn ngược hệ ngược {Mi , ϕji }i∈I Mệnh đề 1.1.2 Mọi hệ ngược phạm trù R−Mod có giới hạn ngược Mệnh đề mở rộng cho nhiều phạm trù phạm trù vành giao hoán, phạm trù nhóm phạm trù khơng gian tơpơ Từ phần trở đi, quan tâm đến giới hạn ngược phạm trù R−Mod Ví dụ 1.1.3 i) Giả sử quan hệ thứ tự I rời rạc, tức i ≤ j i = j Khi đó giới hạn ngược hệ ngược {Mi , ϕji }i∈I tích trực tiếp i∈I Mi ii) Cho I tập thứ tự phần {1; 2; 3} với ≤ ≤ Hệ ngược tương ứng I sơ đồ A B f /  g C giới hạn ngược hệ kéo lại hai đồng cấu Hơn nữa, g đồng cấu khơng giới hạn ngược Kerf iii) Cho (Mi )i∈N dãy giảm môđun M Với i ≤ j, đặt ϕji : Mj → Mi đồng cấu nhúng Khi {Mi , ϕji }i∈N hệ ngược dễ dàng kiểm tra giới hạn ngược tương ứng giao tất môđun Mi iv) Với I iđêan vành R Kí hiệu ϕji : R/I j → R/I i đồng cấu chiếu tự nhiên với i, j ∈ N i ≤ j Giới hạn ngược hệ {R/I i , ϕji } thường gọi đầy đủ I − adic vành R Cho hai hệ ngược {Mi , ϕji }i∈I {Ni , ψij }i∈I Với họ đồng cấu fi : Mi → Ni thoã mãn ψij fj = fi ϕji (họ biết đến với tên gọi đồng cấu hệ ngược), theo định nghĩa giới hạn ngược hệ thứ tồn đồng cấu φ : lim Mi → lim Ni ←− ←− Với cấu trúc giới hạn ngược R−môđun ra, đồng cấu φ có cơng thức φ((mi )) = (fi (mi )) ∈ lim Ni ←− với (mi ) ∈ lim Mi ta gọi φ giới hạn ngược họ đồng cấu (fi )i∈I , kí hiệu ←− φ = lim fi ←− Cho I tập số tự nhiên N ba hệ ngược R−môđun N: {Ni }, {Mi }, {Li } Một dãy khớp ngắn hệ ngược → {Ni } → {Mi } → {Ni } → sơ đồ giao hoán 0 /  Nn+1  / Nn  /  Mn+1 /  Mn  /  / / Ln+1 /  Ln  với dòng khớp Mệnh đề 1.1.4 Giả sử → {Ni } → {Mi } → {Ni } → dãy khớp ngắn hệ ngược định nghĩa Khi ta có dãy khớp R−môđun → lim Ni → lim Mi → lim Li ←− ←− ←− Các mệnh đề ảnh hưởng hàm tử Hom lên giới hạn ngược R−môđun Mệnh đề 1.1.5 Cho {Mi , ϕji }i∈I {Ni , ψji }i∈I hệ ngược hệ thuận môđun Khi có đẳng cấu Hom(A, lim Mi ) ∼ Hom(A, Mi ) = lim ←− ←− Hom(lim Ni , A) ∼ Hom(Ni , A) = lim −→ ←− với môđun A 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương Trong mục này, ta tóm tắt lại kết đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.2.1 Cho M R−môđun I iđêan R, ΓI (M ) định nghĩa tập phần tử M bị linh hố luỹ thừa iđêan I tức ΓI (M ) = {x ∈ M | ∃n ∈ N : I n x = 0} Dễ dàng kiểm tra phép toán cộng phép tốn nhân vơ hướng ổn định M ΓI (M ) mơđun M Với đồng cấu R−môđun f : M → N , ta có f (ΓI (M )) ⊆ f (ΓI (N )) Đặt ΓI (f ) : f (ΓI (M )) → f (ΓI (N )) đồng cấu cho ΓI (f )(x) = f (x) với x ∈ ΓI (M ) Khi với đồng cấu f, g : M → N , h : N → T r ∈ R ΓI (hf ) = ΓI (h)ΓI (f ), ΓI (f + g) = Γ(f ) + Γ(g), ΓI (rf ) = rΓI (f ) ΓI (IdM ) = IdΓI (M ) Khi ΓI ( ) trở thành hàm tử hiệp biến từ phạm trù R-Mod vào Hàm tử ΓI hàm tử khớp trái Mệnh đề 1.2.2 Dãy khớp ngắn môđun đồng cấu → N → M → L → cảm sinh dãy khớp −→ ΓI (N ) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (L) với iđêan I Hàm tử I-xoắn theo iđêan I Mệnh đề 1.2.3 Cho J iđêan vành R, ΓI = ΓJ √ I= √ J Định nghĩa 1.2.4 Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử ΓI gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i môđun M ứng với iđêan I kí hiệu HIi Cụ thể, giả sử d0 d1 d2 −→ −→ I −→I −→I −→ phép giải nội xạ mơđun M Khi HIi (M ) = KerΓ(di )/ImΓI (di−i ) với i ∈ Z Dễ thấy HIi (M ) = với i < Sau ta trình bày số tính chất hàm tử đối đồng điều địa phương Nhận xét 1.2.5 Áp dụng kết đại số đồng điều ta có i) Hàm tử ΓI hiệp biến R−tuyến tính hàm tử HIi hàm tử hiệp biến R−tuyến tính ii) Do hàm tử ΓI khớp trái nên hai hàm tử HI0 ΓI tương đương tự nhiên r r iii) Cho r ∈ R đồng cấu f : M → M HIi (f ) : HIi (M ) → HIi (M ) iv) Cho M R−mơđun, phần tử HIi (M ) bị triệt tiêu luỹ thừa iđêan I v) Cho J iđêan cho √ J= √ I, HIi = HJi với i ∈ Z v) Cho dãy khớp ngắn R−môđun → N → M → L → ta có dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương −→ HIi (N ) −→ HIi (M ) −→ HIi (L) −→ Khi nghiên cứu đối đồng điều địa phương thường quan tâm đến hai lớp môđun sau Định nghĩa 1.2.6 R−môđun M gọi I−xoắn ΓI (M ) = M I−xoắn tự ΓI (M ) = Dễ thấy ΓI (M ) môđun I−xoắn M/ΓI (M ) môđun I−xoắn tự Mệnh đề 1.2.7 Cho M R−môđun I iđêan vành R i) Nếu I chứa phần tử t ∈ / ZdvR (M ) ΓI (M ) M mơđun I−xoắn tự ii) Nếu M R−mơđun hữu hạn sinh M I−xoắn tự I chứa phần tử t ∈ / ZdvR (M ) iii) Nếu M R−mơđun I− xoắn HIi (M ) = với i ∈ Z Đặc biệt HIi (ΓI (M )) = với i ∈ Z iv) Với R−mơđun M , tồn cấu tắc π : M → M/ΓI (M ) cảm sinh đẳng cấu HIi (π) : HIi (M ) → HIi (M/ΓI (M )) Dựa theo ii iii mệnh đề ta đưa nhiều toán toán đối đồng địa phương trường hợp M môđun I−xoắn tự Khi iđêan I chứa phần tử M −chính quy hay depthI (M ) > Một kết qủa quan trọng đối đồng điều địa phương định lý triệt tiêu khơng triệt tiêu Grothendieck 37 Chứng minh Vì cd(M ) = max{cd(I, R/p) | p ∈ MinM } nên tồn p ∈ Ass M cho cd(I, M ) = cd(I, R/p) Hơn nữa, p ∈ Ass K i (M ) với i = dimR/p suy cd(I, R/p) ≤ cd(I, K i (M )) Bây áp dụng định lý trên, ta có fgrade(I, M ) ≤ i − cd(I, K i (M )) ≤ dimM − cd(I, M ) Một áp dụng lý thuyết đối đồng điều địa phương chứng minh liên thơng dựa vào dãy Mayer-Vietoris Tương tự đối đồng điều địa phương hình thức có dãy tương ứng Định lí 2.4.8 Cho I, J iđêan vành địa phương (R, m) Với M R−môđun hữu hạn sinh, ta có dãy khớp dài −→ FiI∩J (M ) −→ FiI (M ) ⊕ FiJ (M ) −→ Fi(I,J) (M ) −→ với i ∈ Z Chứng minh Dãy khớp ngắn −→ M/(I n M ∩ J n M ) −→ M/I n M ⊕ M/J n M −→ M/(I n , J n )M −→ cảm sinh dãy khớp dài −→ lim Hmi (M/(I n M ∩ J n M )) −→ lim Hmi (M/I n M ) ⊕ lim Hmi (M/J n M ) ←− ←− ←− −→ lim Hmi (M/(I n , J n )M ) −→ ←− Lưu ý giới hạn ngược khớp hệ ngược môđun Artin Mặc khác, (I n , J n )M (I, J)-lọc ổn định M suy lim Hmi (M/(I n , J n )M ) ∼ = Fi(I,J) (M ) theo 2.1.6 Bây ←− I n M ∩ J n M IJ−lọc ổn định M theo bổ đề Artin-Rees (I ∩ J)-lọc ổn định Một lần theo 2.1.6, lim Hmi (M/(I n M ∩ J n M )) ∼ = FiI∩J (M ) ←− Để kết thức chương 2, trình bày ví dụ cụ thể bậc hình thức dựa vào dãy Mayer-Vietoris 38 Ví dụ 2.4.9 Cho k trường R = k[[x1 , x2 , x3 , x4 ]] chuỗi luỹ thừa hình thức biến k Đặt I = (x1 , x2 )R J = (x3 , x4 )R Khi dãy Mayer-Vietoris sequence cho ta hai đẳng cấu R∼ = F1I∩J (R) Do fgrade(I ∩ J, R) = ; F2I∩J (R) ∼ = F2I (R) ⊕ F2J (R) 39 Chương Đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Trong mục cuối chương 2, ta chứng minh dimM/IM = sup{i ∈ Z | FiI (M ) = 0} Phần trình bày cách chi tiết hệ thống môđun FlI (M ) với l = dimM/IM Ý tưởng phương pháp khảo sát lấy cảm hứng từ lý thuyết nhóm Nhắc lại, dãy nhóm cón (Gi ) nhóm G gọi chuỗi chuẩn tắc G = G0 ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇ ⊇ Gn = Gi+1 chuẩn tắc Gi với i Các nhóm thương Gi /Gi+1 khơng thể xác định G Nhưng số thơng tin thu thơng chuỗi chuẩn tắc, ví dụ như, G nhóm hữu hạn |G| = |Gi /Gi+1 | i Tương tự môđun đối đồng điều địa phương hình thức, ta khảo sát dãy mơđun giảm FiI (M ) ⊇ K1i ⊇ K2i ⊇ ⊇ Kti ⊇ giới thiệu cuối mục 2.1 để chứng minh FiI (M ) đầy đủ I−adic Để thuận lợi cho người đọc, nhắc lại lần Với i ∈ Z t ∈ N kí hiệu Kti hạt nhân đồng cấu tự nhiên pit : lim Hmi (M/I n M ) → Hmi (M/I t M ) Dễ thấy {Kti } ←− n dãy giảm ∩t Kti = (tức tôpô cảm sinh tương ứng Hausdoff) 40 3.1 Tính Artin hữu hạn sinh Cho M R−môđun hữu sinh với d = dimM Khi mơđun đối đồng điều địa phương Hmd (M ) = Att(Hmd (M )) = {p ∈ Ass M | dimR/p = d} Đặc biệt, d > m ∈ / Att(Hmd (M )) suy Hmd (M ) không hữu hạn sinh Theo 2.1.3, đối đồng địa phương hình thức dạng mở rộng đối đồng điều địa phương ứng với iđêan tối đại Do ta dự đốn môđun FlI (M ), với l = dimM/IM , khơng hữu hạn sinh Định lí 3.1.1 Cho M R−môđun hữu hạn sinh với l = dimM/IM Khi plt tồn cấu t ∈ N Hơn nữa, cảm sinh đẳng cấu FIl (M )/Ktl ∼ = Hml (M/I t M ) với t ∈ N Chứng minh Cho n ∈ N Dãy khớp ngắn −→ I n M/I n+1 M −→ M/I n+1 M −→ M/I n M −→ cảm sinh dãy khớp dài · · · → Hmi (M/I n M ) −→ Hmi (M/I n+1 M ) −→ Hmi+1 (I n M/I n+1 M ) → · · · Rõ ràng l = dimM/I n M = dimM/I n+1 M Khi dim(I n M/I n+1 M ) ≤ l Hml+1 (I t M/I t+1 M ) = Suy đồng cấu Hml (M/I n+1 M ) → Hml (M/I n M ) toàn cấu Cho xt ∈ Hml (M/I t M ), từ dãy đồng cấu −→ Hml (M/I n+1 M ) −→ Hml (M/I n M ) −→ Hml (M/I n−1 M ) −→ ta xây dựng x = (xt )t∈N ∈ lim Hml (M/I n M ) = FlI (M ) cho plt (x) = xt Thật vậy, ←− n < n < t, chọn xn ảnh xn+1 qua đồng cấu Hml (M/I n+1 M ) → Hml (M/I n M ) Nếu n > t, chọn xn ảnh ngược xn−1 qua đồng cấu Hml (M/I n M ) → Hml (M/I n−1 M ) Chứng minh kết thúc 41 Hệ 3.1.2 Cho M R−môđun hữu hạn sinh cho l = dimM/IM > Khi FlI (M ) khơng hữu hạn sinh Chứng minh Theo 3.1.1, FlI (M ) có mơđun thương HIi (M/IM ) Do dimM/IM > nên HIi (M/IM ) không hữu hạn sinh kéo theo FlI (M ) Nói chung, FlI (M ) khơng Artin Tiếp theo, tìm tiêu chuẩn tính Artin mơđun FIl (M ) Đặt M = M/HI0 (M ), l = dimM/IM Trước tiên, ta có số nhận xét dimM /IM Nhận xét 3.1.3 Cho M R−môđun hữu hạn sinh I iđêan R Với n ∈ N, (I n+1 M :R I n M ) = I + (0 :R I n M ) = I + ((0 :M I n ) :R M ) Vì M môđun Nơte, tồn số nguyên dương c cho (0 :M I n ) = HI0 (M ) với n ≥ c suy (I n+1 M :R I n M ) = I + (HI0 (M ) :R M ) = (IM :R M ) với n ≥ c Do dim(I n M/I n+1 M ) = dimM /IM với n ≥ c Bây giờ, ta thấy dim(I t M/I t+1 M ) nhận giá trị không đổi với giá trị đủ lớn t Hơn nữa, với → N → M → L → dãy khớp môđun hữu hạn sinh, dễ dàng kiểm tra dimM /IM = max{dimN /IN , dimL/IL} Định lí 3.1.4 Cho M R−mơđun hữu hạn sinh Khi FiI (M ) Artin i dãy giảm {Kti }t∈N dừng hay môđun thương Kti /Kt+1 = với giá trị t đủ lớn Chứng minh Giả sử dãy giảm môđun {Kti }t∈N dừng Khi tồn số nguyên dương n đủ lớn cho Kti = 0, ∩t∈N Kti = Suy ra, đồng cấu pit : FiI (M ) → Hmi (M/I t M ) đơn cấu FiI (M ) đẳng cấu với môđun Hmi (M/I n M ) Lưu ý môđun đối đồng điều địa phương môđun hữu hạn ứng với iđêan tối đại Artin Vậy FiI (M ) môđun Artin 42 Định lý giúp ta tập trung vào dãy giảm môđun {Kti }t∈N quan tâm đến tính Artin mơđun đối đồng địa phương hình thức Cụ thể, trường hợp l = dimM/IM = 0, ta chứng minh FiI (M ) = với i > F0I (M ) ∼ = ΛI (M ) Khi Kni = với i > Bây giờ, p0n đồng cấu tự nhiên ΛI (M ) → M/I n M Kn0 = Kerp0n = I n ΛI (M ) = I n FI0 (M ), M/I n M ∼ = ΛI (M )/I n ΛI (M ) Áp dụng 3.1.4, F0I (M ) Artin I n M = I n+1 M với n đủ lớn (đồng nghĩa dimM /IM = −1) Trường hợp đơn giản gợi ý cho ta chứng minh trường hợp phức tạp Định lí 3.1.5 Cho M R−mơđun hữu hạn sinh cho M = IM l = dimM/IM Khi FlI (M ) Artin l > dimM /IM Để chứng minh định lý 3.1.5, ta cần số bổ để Dễ dàng kiểm tra đồng cấu tự nhiên pin : FIi (M ) = lim Hmi (M/I n M ) −→ Hmi (M/I t M ) giới hạn ngược hệ đồng cấu ←− n hin,t : Hmi (M/I n M ) → Hmi (M/I t M )(n ≥ t) Áp dụng tiêu chuẩn ML, hàm tử giới ngược khớp hệ ngược mơđun Artin Do đó, Impit = i n>t (Imhn,t ) với i ∈ Z t ∈ N Mặc khác, Hmi (M/I t M ) môđun Artin , nên dãy giảm {Imhin,t }t dừng Do ta chọn số nguyên dương s > t cho Impit = Imhis,t Bổ đề 3.1.6 Vọi t ∈ N Tồn số nguyên s > t + đẳng cấu i ∼ Kti /Kt+1 = Imhis,t+1 ∩ Kerhit+1,t Đặc biệt, l ∼ Ktl /Kt+1 = Kerhlt+1,t Chứng minh Lấy t ∈ N Tồn số nguyên s > t + sơ đồ giao hoán 0 / i Kt+1 /  Kti / / FiI (M )  pit+1 / Imhis,t+1 ∼ = FiI (M ) pit /  / hit+1,t Imhis,t / i ∼ Sử dụng bổ đề rắn, ta có Kti /Kt+1 = Imhis,t+1 ∩ Kerhit+1,t Phần lại chứng minh hiển nhiên hls,t+1 toàn cấu 43 Bổ đề 3.1.7 Cho M R−môđun hữu hạn sinh Khi FiI (M ) Artin với i > dimM /IM Chứng minh Theo 3.1.3, ta chọn số nguyên dương c cho dim(I t M/I t+1 M ) = dimM /IM với t ≥ c Lấy i > dimM /IM t ≥ c Dãy khớp ngắn −→ I t M/I t+1 M −→ M/I t+1 M −→ M/I t M −→ cảm sinh dãy khớp dài hit+1,t · · · → Hmi (I t M/I t+1 M ) −→ Hmi (M/I t+1 M ) −→ Hmi (M/I t M ) → · · · Khi đó, ta có dãy khớp sau Hmi (I t M/I t+1 M ) −→ Kerhit+1,t −→ Mặc khác, Hmi (I t M/I t+1 M ) = 0, i > dim(I t M/I t+1 M ) Do Kerhit+1,t = Bây giờ, i bổ đề 3.1.6 Kti /Kt+1 = kéo theo FiI (M ) môđun Artin theo 3.1.4 Cấu trúc mơđun đối đồng điều địa phương hình thức phức tạp Nhưng qua bổ i Điều bước quan đề 3.1.6, ta mô tả thương Kti /Kt+1 trọng chứng minh định lý 3.1.5 Với i = l = dimM/IM , l ∼ Ktl /Kt+1 = Kerhlt+1,t Ở bổ đề tiếp theo, tìm hiểu môđun thứ hai Bổ đề 3.1.8 Giả sử (R, m) ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein M R−mơđun hữu hạn sinh Khi Att(Kerhlt+1,t ) = Att(Hml (I t M/I t+1 M )) với t ∈ N Chứng minh Cho t ∈ N Dãy khớp ngắn −→ I t M/I t+1 M −→ M/I t+1 M −→ M/I t M −→ 44 cảm sinh dãy khớp dài ∆ −→ Hmi (I t M/I t+1 M ) −→ Hmi (M/I t+1 M ) −→ Hmi (M/I t M ) −→ Chẻ dãy khớp trên, −→ Im∆ −→ Hml (I t M/I t+1 M ) −→ Kerhlt+1,t −→ với ∆ : H l−1 (M/I t M ) → Hml (I t M/I t+1 M ) đồng cấu nối Suy Att(Kerhlt+1,t ) ⊆ Att(Hml (I t M/I t+1 M )) ⊆ Att(Kerhlt+1,t ) ∪ Att(Im∆) Bây giờ, cần chứng minh Att(Hml (I t M/I t+1 M )) ⊆ Att(Kerhlt+1,t ) Trong trường hợp Hml (I t M/I t+1 M ) = 0, bao hàm hiển nhiên Giả sử Hml (I t M/I t+1 M ) = Do đó, dim(I t M/I t+1 M ) = l Att(Hml (I t M/I t+1 M )) = {p ∈ Ass(I t M/I t+1 M ) | dimR/p = l} theo [6, 7.3.2] Cho p ∈ Att(Hml (I t M/I t+1 M )) Giả sử p ∈ Att(Im∆) ⊆ Att(Hml−1 (M/I t M )) Theo [6, 11.3.3], dimR/p ≤ l − Điều mâu thuẫn Do p ∈ Att(Kerhlt+1,t ) chứng minh kết thúc Bây có chuẩn bị cần thiết để chứng minh3.1.5 Chứng minh định lý 3.1.5 Hiển nhiên l ≥ dimM /IM Theo 3.1.7, ta cần kiểm tra FIl (M ) không môđun Artin trường hợp l = dimM /IM Theo 2.1.5, FlI (M ) cấu trúc R−môđun tự nhiên FlI (M ) ∼ H l (M /I t M ) = lim ←− m t Hơn nữa, dimR (M /I M ) = sup{i ∈ Z | Hmi (M /I M ) = 0} = sup{i ∈ Z | Hmi (M/IM ) ⊗ R = 0} = sup{i ∈ Z | Hmi (M/IM ) = 0} = dimR (M/IM ) 45 Với lập luận tương tự, ta có dimR (M /I M ) = dimR (M /IM ) Do giả sử (R, m) vành thương vành địa phương Gorenstein Bây giờ, theo nhận xét 3.1.3, chọn c cho dim(I t M/I t+1 M ) = dimM /IM với t ≥ c Theo [6, 7.3.2], Hml (I t M/I t+1 M ) = với n ≥ c Cuối cùng, kết hợp 3.1.6 3.1.8 suy dãy giảm môđun {Ktl } FlI (M ) khơng dừng Do FIl (M ) không Artin Áp dụng định lý 3.1.5, ta xác định sup{i ∈ Z | FiI (M ) không Artin} Hệ 3.1.9 Cho M R−môđun hữu hạn sinh Giả sử M = IM , dimM /IM = sup{i ∈ Z | FiI (M ) không Artin} Chứng minh Đặt d = dimM /IM Theo 3.1.7, cần FdI (M ) không Artin Dãy khớp ngắn −→ HI0 (M ) −→ M −→ M −→ cảm sinh dãy khớp dài −→ Hmi (HI0 (M )) −→ FiI (M ) −→ FiI (M ) −→ by 2.1.8 Suy FdI (M ) Artin FdI (M ) Artin Nhưng môđun thứ hai khơng Artin theo 3.1.5 ta có điều phải chứng minh Lưu ý M = IM , FiI (M ) Artin với i ∈ Z theo 3.1.7 Do sup{i ∈ Z | FiI (M ) không Artin} = ∞ Hệ 3.1.10 Cho M R−môđun hữu hạn sinh I iđêan vành R cho depthI (M ) > Khi FlI (M ) khơng Artin Chứng minh Vì depthI (M ) > 0, ta có HI0 (M ) = Khi M = M/HI0 (M ) = M Theo 3.1.5, FlI (M ) không Artin Hệ giúp ta dễ dàng trường hợp FlI (M ) không Artin 46 Nhận xét 3.1.11 Cho M R−mơđun hữu hạn sinh Khi FdimM (M ) Artin Thật I vậy, trường hợp M = IM tầm thường nên ta giả sử M = IM Dễ dàng kiểm tra Supp(M /IM ) ⊆ Supp(M ) Bây giờ, lấy p ∈ Supp(M ) cho dimR/p = dimM Khi Rp -mơđun Mp có chiều dài hữu hạn, suy (M/HI0 (M ))p = Mp /HIR (Mp ) = p Do p khơng thể chứa Supp(M/HI0 (M )) Điều dimM > dimM /IM Vậy FIdimM (M ) mơđun Artin Ví dụ 3.1.12 Cho k trường R = k[[x, y, z]] Đặt I = (x) iđêan R M = R/(xy, xz) R−mơđun Ta có M/IM ∼ = R/(x), suy dimM/IM = Hơn nữa, dimM /IM = Ann(I t M/I t+1 M ) = (x, y, z) với t ∈ N Do F0I (M ) khơng Artin F1I (M ), F2I (M ) Artin theo 3.1.9 3.2 Tính minimax Trong mục cuối luận văn, tìm hiểu tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Nhắc lại, R-mơđun M gọi minimax tồn môđun hữu hạn sinh N M cho môđun thương M/N Artin Lớp mơđun minimax đóng với phép mở rộng, phép lấy mơđun mơđun thương Định lí 3.2.1 Cho M R−môđun hữu hạn sinh cho l = dimM/IM > Khi FlI (M ) minimax FlI (M ) Artin Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Kerhlt+1,t hữu hạn sinh, Kerhlt+1,t = Thật vậy, giả sử Kerhlt+1,t = Dãy khớp ngắn −→ I t M/I t+1 M −→ M/I t+1 M −→ M/I t M −→ cảm sinh dãy khớp dài hlt+1,t · · · → Hml (I t M/I t+1 M ) −→ Hml (M/I t+1 M ) −→ Hml (M/I t M ) → · · · Khi ta có dãy khớp Hml (I t M/I t+1 M ) −→ Kerhlt+1,t −→ 47 Theo giả thiết, Hml (I t M/I t+1 M ) = Do đó, dimI t M/I t+1 M = l Dãy khớp cuối ∅ = Att(Kerhlt+1,t ) ⊆ Att(Hml (I t M/I t+1 M )) = {p ∈ Ass(I t M/I t+1 M ) | dimR/p = l > 0} Suy Kerhlt+1,t không hữu hạn sinh theo [6, 7.2.12] Bây giờ, giả sử FIl (M ) minimax l Theo [2, 1.1] tồn số nguyên dương c cho Ktl /Kt+1 hữu hạn sinh với t ≥ c Khi dãy giảm {Ktl }t∈N dừng c theo 3.1.6 Cuối cùng, FlI (M ) Artin theo bổ đề 3.1.4 Khi dimM/IM = 0, định lý khơng cịn Chúng ta xét trường hợp sau Ví dụ 3.2.2 Cho k trường R = k[[x]] Xét iđêan I = (x) R−môđun M = R Lưu ý R đầy đủ tôpô (x)−adic (nghĩa Λ(x) (R) ∼ = R) Ta có dimR/(x) = suy F0(x) (R) = Λ(x) (R) ∼ = R Do F0(x) (R) hữu hạn sinh minimax Tuy nhiên, F0(x) (R) không Artin Hệ 3.2.3 Cho M R−môđun hữu hạn sinh Giả sử dimM /IM > 0, dimM /IM = sup{i ∈ Z | FiI (M ) không minimax} Chứng minh Đặt d = dimM /IM Theo 3.1.7, cần FdI (M ) không minimax dãy khớp ngắn −→ HI0 (M ) −→ M −→ M −→ cảm sinh dãy khớp dài −→ Hmi (HI0 (M )) −→ FiI (M ) −→ FiI (M ) −→ by 2.1.8 Mặc khác, theo 3.1.5, FdI (M ) khơng Artin, suy khơng minimax theo 3.2.1 Cuối cùng, dãy khớp dài FdI (M ) không minimax 48 KẾT LUẬN Luận văn dài 51 trang gồm chương Trong Tổng hợp kết đối đồng điều địa phương hình thức từ làm tảng để đưa kết Nghiên cứu tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Cụ thể, luận văn số nguyên lớn để môđun đối đồng điều địa phương hình thức khơng Artin Cho M R−mơđun hữu hạn sinh Giả sử M = IM , dimM /IM = sup{i ∈ Z | FiI (M ) không Artin} Một phần nội dung chương báo cáo ở: • Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ 2016, Bn Ma Thuột, Đắk Lắk • Hội nghị Khoa học Trường ĐH KHTN lần 10 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh M Aghapournahr and L Melkersson (2000), "Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules," Arch Math 94, 519-528 M Asgharzadeh, K Divaani-Aazar (2011), "Finiteness properties of formal local cohomology modules and Cohen-Macaulayness," Comm Algebra 39 (3) 1082-1103 Atiyah, Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing company, Bourbaki (1964) Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing company M Brodmann, R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press M Brodmann (1979), "Asymptotic stability of Ass(M/I n M )," proceedings of the American of mathematical society Volume 74, Number I, April K Divaani-Aazar, R Naghipour, M Tousi (2002), Cohomological dimension of certain algebraic varieties, Proc Amer H.-B Foxby (1979), Bounded complexes of flat modules, J Pure Appl Algebra 15 149–172 49 50 10 H.-B Foxby (1997), Hyperhomological algebra and commutative algebra, preliminary version of the first part, Univ of Copenhagen 11 A Grothendieck (1966), Local Cohomology, Notes by R Hartshorne, Lecture Notes in Math., vol 20, Springer 12 Y.Gu (2014), "The Artinianness of Formal Local Cohomology Modules," Bull Malays Math Sci Soc., 2, no 2, 449456 13 R Hartshorne (1977), Algebraic geometry ,Springer-Verlag 14 R Hartshorne (1967), Residues and Duality, Lecture Notes in Math., vol 41, Springer 15 T Kawasaki (2002), On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc 354 123–149 16 I.G Macdonald 1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring," Sympos Math 11 (23-43) 17 Matsumura H (1989), Commutative ring theory, Cambridge university press 18 H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press 19 N T Cuong, T T Nam (2001), "The I−adic completion and local homology for Artinian modules", Math Proc Camb Phil Soc., 131 20 C Peskine, L Szpiro (1972), Dimension projective finie et cohomologie locale Applications la demonstration de conjectures de M Auslander, H Bass et A Grothendieck, Publ Math Inst Hautes Études Sci 42 47–119 21 J J Rotman (1979), "An introduction to homological algebra," Academic Press 22 P Schenzel (1993), Explicit computations around the Lichtenbaum–Hartshorne vanishing theorem, Manuscripta Math 78, 57–68 23 P Schenzel (2007), "On formal local cohomology and connectedness," J Algebra 315, 894-923 51 24 P Schenzel (1998), On the use of local cohomology in algebra and geometry, in: J Elias, J.M Giral, R.M Miró-Roig, S Zarzuela (Eds.), Six Lectures in Commutative Algebra, Proceed Summer School on Commutative Algebra at Centre de Recerca Matemtica, in: Progr Math., vol 166, Birkhăauser, pp 241–292 25 P Schenzel (2003), Proregular sequences, local cohomology, and completion, Math Scand 92 161–180 26 J.Strooker (1990), Homological questions in local algebra, Cambridge University Press 27 H Zăoschinger (1983), "Linear-Kompakte Moduln uber noetherschen Ringen," Arch Math 41, 121-130 28 H Zăoschinger (1986), "Minimax Moduln," J Algebra 102, 1-32 ... kết đối đồng điều địa phương hình thức từ làm tảng để đưa kết Nghiên cứu tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao Cụ thể, luận văn số nguyên lớn để mơđun đối đồng điều địa phương. .. đại số giao hốn hình học đại số Cụ thể hình học, đối đồng điều địa phương giúp nghiên cứu tính liên thơng, số đa thức tối thiểu để định nghĩa tập đại số, Còn đại số, đối đồng điều địa phương. .. 1.3 1.4 Chương 2: Đối đồng điều địa phương hình thức Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức tính chất Đặc biệt định lý đối ngẫu tính chất triệt tiêu khơng