Về một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên

Lời nói đầu Khi nghiên cứu các hiện tợng rất khác nhau của thực tế ta gặp phải các quá trình mà không thể nói trớc đợc sự tiến triển của chúng. Chẳng hạn độ cao của máy bay quanh giá trị mà máy bay phải giữ, chuyển động của phân tử khí riêng lẻ trong bình, sự sinh sản của vi khuẩn trong môi trờng nuôi cấy Có thể biểu diễn những quá trình nh thế bằng chuyển động ngẫu nhiên của một điểm trong không gian cụ thể đợc chọn riêng cho mỗi bài toán. Đó là hàm của thời gian với giá trị ngẫu nhiên trong không gian ấy. Từ đó cần xây dựng mô hình toán học của các quá trình ngẫu nhiên trong thế giới hiện thực là hàm của t, giá trị của nó là các biến ngẫu nhiên. Khoá luận này trình bày một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên quan trọng. Khoá luận gồm có các nội dung cơ bản sau: Đ1. Trình bày khái niệm hàm ngẫu nhiên và ví dụ. Đ2. Trình bày quá trình có gia số độc lập. Đ3. Trình bày Martingale Đ4. Trình bày quá trình dừng. Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS. TS Phan Đức Thành - ng- ời đã trực tiếp hớng dẫn khoá luận và các thầy cô giáo cùng các bạn khoa Toán đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này. Do thời gian hạn hẹp, nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong đợc sự góp ý của bạn đọc. 1 Vinh ngày 7 tháng 4năm 2004 Ngời thực hiện Lê Thị Lan Hiền một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên Đ1: Khái niệm hàm ngẫu nhiên và ví dụ 1.1. Khái niệm: Định nghĩa: Hàm ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên X t () phụ thuộc vào tham số t, t T (T là tập tuỳ ý). Ký hiệu: {X t , t T} Nhận thấy: X t () phụ thuộc vào hai biến t T và . tức là: X: T x R. trong đó: R gọi là không gian trạng thái hay không gian pha. - Nếu với mỗi t cố định thì X t () là hàm đo đợc theo . - Nếu với mỗi cố định thì X t đợc gọi là quỹ đạo hay hàm chọn của hàm ngẫu nhiên. Theo ngôn ngữ vật lý ngời ta gọi hàm ngẫu nhiên {X t , t T} là quá trình ngẫu nhiên. Vì khi T R, {X t , t T} mô tả quá trình chuyển động của hệ chất điểm nào đó - Nếu T = Z thì {X t , t T} đợc gọi là dãy ngẫu nhiên. Hai hàm ngẫu nhiên {X t , t T} và {Y t , t T} cùng xác định trên không gian xác suất (, F, P) và nhận giá trị trong không gian đo (R, B) đợc gọi là tơng đơng ngẫu nhiên nếu: P [X t Y t ] = 0 và quá trình {Y t , t T} đợc gọi là bản sao của {X t , t T}. - Xét t 1, t 2 , t n T là các giá trị của tham số t thì: (X t1 , X t2 , X tn ) là một véc tơ ngẫu nhiên n - chiều, nó nhận giá trị trong không gian đo (R n , B n ). Ký hiệu: Xt1 , Xt2 , Xtn (A) = P [(X t1 , X t2 , X tn ) A], A B n . 2 Khi đó: Xt1 , Xt2 , Xtn (A) đợc gọi là phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên. 1.2. Các ví dụ về quá trình ngẫu nhiên. 1.2.1. Quá trình Poisson. Định nghĩa: Quá trình ngẫu nhiên {X t , t T} đợc gọi là quá trình Poisson nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: i) Với bất kì 0 < t 0 < t 1 < < t n , các biến ngẫu nhiên: X t1 - X t0 , X t2 - X t1 , , X tn - X tn - 1 là độc lập với nhau. ii) Với 0 < s < t, X t - X s có phân phối Poisson với tham số (t - s) tức là: [ ] ( ) [ ] ( ) k! est kXXP st k st == , k = 0, 1, 2 Quỹ đạo của quá trình Poisson là liên tục phải. Đặt n = min (t > 0, X t = n) ta suy ra: 1 , 2 n là những biến ngẫu nhiên. Thật vậy: [ n < t] = [: X t () > n] mà [: X t () > n] F Tức là: n là biến ngẫu nhiên. Suy ra các khoảng thời gian: 1 , 2 - 1 , n - n-1 : là những biến ngẫu nhiên độc lập. Gọi N t là số bớc nhảy trong khoảng (0, t), ta có thể tính phân phối xác suất của đại lợng ngẫu nhiên: i + 1 - i , i = 1, 2 nh sau: Nhận thấy biến cố: [ i + 1 - i > x] = { N x = 0} Nên [ ] [ ] ( ) x x 0 xi1i e 0! ex 0NPxP + ====> Vậy hàm phân phối của [ i + 1 - i < x] = 1 - e - x I.2.2. Quá trình Wiener (chuyển động Bơrao): Định nghĩa: Quá trình ngẫu nhiên {W t , t (0, ) đợc gọi là quá trình Wiener nếu thoả mãn các điều kiện sau: i) Với bất kỳ 0 < t o < t 1 < < t n , các biến ngẫu nhiên: Wt 1 - Wt 0 , Wt 2 - Wt 1 , , Wt n - Wt n-1 là độc lập với nhau. 3 ii) Với 0 < s < t, Wt - Ws có phân phối chuẩn, kỳ vọng bằng 0, phơng sai bằng t - s. Tức là: E (W t - Ws) = 0 và D (W t - W s ) = E (Wt - Ws) 2 = t - s. Ngời ta chứng minh đợc rằng: Quỹ đạo của quá trình Wiener là liên tục và không khả vi tại bất cứ điểm nào. Ký hiệu: J - là xích ma đại số các tập Boren trên T. Định nghĩa: {X t , t T} đợc gọi là đo đợc nếu nó đo đợc đối với xích ma đại số tích J x F, tức là: B B thì: [(, t) : X t () B] J x F Định nghĩa: {X t , t T} là đo đợc tiến nếu với mỗi t T: [(, s < t : X s () B) J [0,t] x F t trong đó: J [0,t] là xích ma đại số các tập Boren trên [0,t]. còn {F t , t T} là họ tăng các xích ma đại số con của xích ma đại số F. Định nghĩa: {X t , t T} đợc gọi là phù hợp với F t , t T nếu nó đo đợc đối với F t Định nghĩa: { X t , t (0, )} với X 0 là F 0 đo đợc, đợc gọi là dự báo nếu nó đo đợc đối với xích ma đại số F t . Định nghĩa: {X t , t T} đợc gọi là liên tục ngẫu nhiên (hầu chắc chắn hay trung bình cấp r) nếu hơn 0 lim tt X t = X t0 theo xác suất (hầu chắc chắn hay trung bình cấp r). Ký hiệu: g t là xích ma đại số trên [0, ) x sinh bởi các tập tích dạng (s, t] x A, 0 < s < t, A F t . 4 Đ2. quá trình có gia số độc lập 2.1. Các khái niệm. Định nghĩa: Quá trình ngẫu nhiên {X t , t [a,b]} đợc gọi là quá trình có gia số độc lập nếu đối với bất kỳ t 0 < t 1 < . < t n , a < t 0 , t n < b, các đại lợng ngẫu nhiên X t0 , X t1 - X t0 , , X tn - X tn-1 là độc lập. 2.2. Ví dụ: + Quá trình Poisson là quá trình có gia cố độc lập. Thật vậy: Với {X t , t T} là quá trình ngẫu nhiên Poisson nếu: i) X 0 = 0 ii) X t - là quá trình có gia số độc lập. iii) X t - X s P ((t-s)) (s<t) ( ) ( ) [ ] ( ) k! est kXXP st k st == , k = 0,1 và ( ) ( ) ( ) ( ) = = stXXD stXXE st st , (s < t) + Quá trình ngẫu nhiên Wiener là quá trình có gia số độc lập. Thật vậy: Với {Wt, t T = [0, + ]} là quá trình ngẫu nhiên Wiener nếu: i) W 0 = 0 ii) Wt - có gia số độc lập. iii) Wt - Ws N (0, t-s), (s<t) và có ( ) ( ) ( ) == = stWWEWWD 0WWE 2 stst st + Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , ., X n là độc lập vì nếu ta đặt : k n 1k n XS = = 5 trong ®ã: {S n , n > 1} lµ qu¸ tr×nh cã gia sè ®éc lËp. 6 Đ3. Martingale 3.1. Thời điểm Maccốp và thời điểm dừng: + Giả sử (, F, P) là không gian xác suất cơ sở, T = [0, ) và (F t , t T) là họ không giảm các xích ma đại số con của xích ma đại số F. Giả sử xích ma đại số F là đầy đủ theo độ đo xác suất P, tức là bổ sung thêm tập các xác suất bằng 0. (Tập có xác suất bằng 0 nếu A F sao cho: P(A) = 0 và 0 A), trong trờng hợp này (, F, P) là không gian xác suất đầy đủ. Ta cũng giả sử xích ma đại số F t cũng đợc bổ sung thêm những tập của F có độ đo xác suất bằng 0. +) N = {0, 1, 2, }, N = N {} đặt T = N +) IR = IR { - } {} +) {F t , t N} là dãy các - trờng không giảm, ký hiệu: F = = 0t V F t là - trờng bé nhất chứa tất cả F t , t N. 3.1.1. Định nghĩa. Đại lợng ngẫu nhiên = () nhận giá trị trong T = [0,) đợc gọi là thời điểm Maccốp đối với họ F t , t T nếu đối với mỗi t T ta có: [ : () = t] F t , t T. Nhận thấy: thời điểm Maccốp là đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc vào tơng lai. Nếu thêm vào đó P [ () < ] = 1 thì đợc gọi là thời điểm dừng. Với mỗi thời điểm Maccốp = ) có liên hệ với xích ma đại số F t . Ký hiệu F là họ các biến cố A có các tính chất A F t nếu: A F = ( Tt F t ) và đối với t bất kỳ thuộc T, A [ < t] F t Họ F là một xích ma đại số. Thật vậy với F vì: [ < t] = [ < t] F t . . Nếu A F thì A = \A F vì: (\A) [ < t] = [ < t]\A [ < t] F t . Nếu A 1 , A 2 , , A n , F thì = i 1i A F 7 Thật vậy: (A n ) = 1n [ < t] = (A i = 1i [ < t]) F t Cho quá trình ngẫu nhiên {X t , t T} xác định trên không gian xác suất (, F, P). Chú ý: là thời điểm Maccốp khi và chỉ khi: [: () < t] F t , t T. Thật vậy: chứng minh suy ra từ đẳng thức: [: () < t] = t 0k = [ : () = k] F t [: () = t] = [: () < t] \ [: () < t - 1] F t Ký hiệu: F là lớp gồm tất cả các tập con A của sao cho: A F và A ( < t) F t 3.1.2. Ví dụ về thời điểm dừng: Ví dụ 1: Nếu () t ( ) thì hiển nhiên là thời điểm Maccốp Ví dụ 2: Giả sử {X t , t T} là dãy các biến ngẫu nhiên và B n là tập Borel của R. Đặt: 1 = B1 với n = 1, 2 min { t > t 1 : X t B 2 }, Tt {X t B 2 } { 1 < } trong trờng hợp ngợc lại Với n đợc định nghĩa tơng tự. Khi đó { t , t T) là dãy các thời điểm Maccốp đối với { < t , t T}. Chứng minh đối với 2 suy ra từ: { 2 < t} = { 1 < t} t k 1 > {X k B 2 } Ví dụ 3: Giả sử {X t , t T} là dãy các biến ngẫu nhiên và B là tập Borel của R. min {t : X t B} nếu t {X t B} nếu X t B t T 8 2 = Đặt B = Khi đó: B là thời điểm Maccốp đối với { < t , t T} Chứng minh suy ra từ: { B < t} = t 0k = {X k B} < t , t T 3.2. Các tính chất của thời điểm dừng: +) Tính chất 1: Giả sử là thời điểm Maccốp đối với {F t , t T} khi đó: { < t} F t Chứng minh: Thật vậy ta thấy: { <t} = t 1k = { < t - k} F t-1 F t Điều ngợc lại nói chung không đúng. +) Tính chất 2: Nếu 1 , 2 là các thời điểm Maccốp đối với {F t , t T} thì 1 ^ 2 = min ( 1 , 2 ), 1 V 2 = max ( 1 , 2 ) và 1 + 2 là các thời điểm Maccốp đối với {F t , t T}. Chứng minh: (Dựa theo tính chất 1) Thật vậy: { 1 ^ 2 < t} = { 1 < t} { 2 < t} { 1 V 2 < t} = { 1 < t} { 2 < t} { 1 + 2 = t} = t 0k = { 1 = k} { 2 = t - k} +) Tính chất 3: Nếu 1 , 2 , là dãy các thời điểm Maccốp đối với {F t ,tT} thì t t = t sup t , t t t t inf = cũng là thời điểm Maccốp đối với {F t ,tT}. Chứng minh: Thật vậy: { t sup t < t} = t { t < t} F t { t t inf < t} = t { t < t} F t +) Tính chất 4: Nếu là thời điểm Maccốp đối với {F t , t T} thì F , nếu và là các thời điểm Maccốp đối với {F t , t T} sao cho: P ( < ) = 1 thì F F Chứng minh: Thật vậy: Giả sử A = { < s}. Để chứng minh F ta phải chỉ ra A F hoặc tơng đơng A { < t} F t Ta có: { < s} { < t} = { = t s} F t s F t 9 X : R, X () = Giả sử: A { : < } và A F Khi đó: do P ( < ) = 1 và - trờng F t đầy đủ và 2 tập: A { < t} và A { < t} { < t} chỉ sai khác nhau một tập có độ đo không. Tập thứ 2: A { < t}{ < t} F t nên: A { < t} F t tức là: A F . +) Tính chất 5: Nếu 1 , 2 , là dãy các thời điểm Maccốp đối với {F t ,tT} và = inf k k thì : F = k F k Chứng minh: Theo tính chất 4 ta có: F t k F k Mặt khác nếu: A k F k thì: A { < t} = A ( k { k < t}) = k (A { k < t}) F t A F t . Vậy: F = k F k +) Tính chất 6: Nếu , là các thời điểm Maccốp đối với {F t , t T} thì các biến cố: { < },{ = }, { < } thuộc vào F F . Chứng minh: Thật vậy: t T , ta có: { < { = t} = { > t} { = t} F t . { = } { = t} = { = t} { = t}F t . Nên { < } = { < } { = } F t Do tính đối xứng ta có: { = } F biến cố { < } là { < } F nên { < } F . biến cố: { < }là { < } F nên suy ra: { < } F . +) Tính chất 7: Giả sử {X t , F t , t T} là dãy tơng thích và là thời điểm Maccốp với {F t , t T} thì: X ( ) () nếu { () < } 10