Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng thị hơng huyền Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan luận văn thạc sĩ toán học Vinh-2008 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng thị hơng huyền Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan luận văn thạc sĩ toán học Chuyên nghành: xác suất - thống kê Mó s: 60.46.15 Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyễn Trung Hoà Vinh-2008 2 I. lêi nãi ®Çu. Xác suất thống kê là lĩnh vực toán ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội. Tuy nhiên trong thực tế đặc biệt là trong các lĩnh vực kinh tế, thị trường chứng khoán, cơ học thống kê, khí tượng thuỷ văn,…ta thường gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của nó có ảnh hưởng rất mạnh đến sự tiến triển trong tương lai. Khi làm dự báo cho các quá trình như thế, ta cần phải tính đến không chỉ hiện tại mà cả quá khứ nữa. Mô hình xác suất để nghiên cứu các quá trình này là quá trình dừng. Để phục vụ nghiên cứu quá trình dừng công cụ toán học cần thiết bao gồm khái niệm quá trình cấp hai, hàm tự tương quan, phép tính tích phân, vi phân cho quá trình cấp hai và tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên gia số trực giao. Quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên liên tục quan trọng được gặp nhiều trong thực tiễn. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến chuyển động của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhận các cú "hích" từ các phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xem như là chịu một lực ngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏ và rất gần nhau, được xem như là liên tục và, bởi vì hạt đó bị giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt, tại mỗi điểm của thời gian nó là một vector song song với bề mặt. Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu một số tính chất của quá trình Wiener và các quá trình liên quan. Luận văn gồm hai chương Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên và quá trình cấp 2 Chưong 2. Nghiên cứu một số tính chất của quá trình Wiener và các quá trình liên quan. Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu 3 sắc tới Thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS Nguyễn Văn Quảng, PGS. TS Trần Xuân Sinh, PGS. TS Phan Đức Thành, cùng các thầy cô giáo ở bộ môn xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trường Đại Học Vinh. Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả 4 Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên và quá trình cấp 2 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa và kí hiệu Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t T∈ nào đó. Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t T∈ , X t là biến ngẫu nhiên thì ta kí hiệu { } , t X X t T= ∈ , và gọi X là hàm ngẫu nhiên (Với tham biến t T∈ ). +) Nếu T là tập đếm được thì ta gọi { } , t X X t T= ∈ là quá trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc. +) Nếu T = ¥ thì ta gọi { } , n X X n= ∈ ¥ là dãy các biến ngẫu nhiên (một phía). +) Nếu T = ¢ thì ta gọi { } , n X X n= ∈¢ là dãy các biến ngẫu nhiên hai phía. +) Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực, tức là, T thuộc một trong các tập sau: ( , ), ), ( ,[a, ], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b),b−∞ ∞ ∞ −∞ thì ta gọi { } , t X X t T= ∈ là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. trong trường hợp như thế, tham số t đóng vai trò thời gian. +) Nếu T là tập con của d ¡ , thì ta gọi { } , t X X t T= ∈ là trường ngẫu nhiên. Nói chung, dưới đây ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có dạng { } , n X X n= ∈ ¥ ; { } , t X X t= ∈ ∞[0, ) , { } , . t X X t= ∈[0, 1] 1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều 5 Giả sử { } , t X X t T= ∈ là quá trình ngẫu nhiên, và I = (t 1 ,…,t n ) là tập con hữu hạn của T. Hàm phân phối đồng thời của 1 , ., : n t t X X 1 1 1 1 ( , ., ) ( , ., ; , ., ) n n n F x x F x x t t= = P { } 1 1 , ., n t t n X x X x≤ ≤ được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I, và tập {F 1 } được gọi là họ các phân phối hữu hạn chiều của X. Đấy là một trong những khái niệm then chốt của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Nhiều tính chất quan trọng của quá trình được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó. Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thoả mãn các điều kiện sau: (i) Điều kiện đối xứng, tức là, 1 1 ( , ., ; , ., ) n n F x x t t không thay đổi khi hoán vị các cặp ( , ) k k x t . (ii) Điều kiện nhất quán theo nghĩa 1 1 1 1 1 1 lim ( , ., ; , ., ) ( , ., ; , ., ). n n n n n x F x x t t F x x t t − − →∞ = Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu, nếu chúng có cùng họ các phân phối hữu hạn chiều. Hai quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ và { } , t Y Y t T= ∈ trên cùng không gian xác suất ( Ω , , P) được gọi là: +) Tương đương ngẫu nhiên hay Y là bản sao của X, nếu với mỗi t T∈ ta có { } | ( ) ( ) 1. t t P X Y ω ω ω ∈Ω = = +) Bằng nhau, nếu { } | ( ) ( ), 1. t t P X Y t T ω ω ω ∈Ω = ∀ ∈ = Hiển nhiên hai quá trình bằng nhau thì tương đương ngẫu nhiên; hai quá trình tương đương ngẫu nhiên thì tương đương ngẫu nhiên yếu. 1.1.3 Quỹ đạo và không gian quỹ đạo Cho quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ trên không gian xác suất 6 ( Ω , , P). Khi cố định , ω ∈Ω thì X( ω ) = X.( ω ) : T →¡ là hàm số của t T∈ . Ta gọi X.( ω ) là quỹ đạo (thể hiện hay hàm chọn) của quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ ứng với ω . Các tính chất của quỹ đạo cho phép ta phân loại quá trình ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi T là khoảng nào đó, ta nói: +) { } , t X X t T= ∈ là quá trình liên tục, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục, tức là: P{ | ω ω ∈Ω X.( ) là hàm liên tục của t T∈ } = 1. +) { } , t X X t T= ∈ là quá trình bước nhảy, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm bậc thang. +) { } , t X X t T= ∈ là quá trình không có gián đoạn loại hai, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm không có gián đoạn loại hai. Ta kí hiệu T ¡ là không gian của tất cả các hàm thực xác định trên T. Mỗi phần tử của T ¡ được kí hiệu là x • . Ta gọi T ¡ là không gian quỹ đạo. Như vậy, ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ trên không gian xác suất ( Ω , , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo: X : , T Ω → ¡ X( ω ) = X g ( ω ). Nói chung, miền giá trị của ánh xạ này là một không gian con E của T ¡ . Chẳng hạn, Nếu X là quá trình liên tục, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian E = C(T) gồm các hàm liên tục trên T; nếu X là quá trình không có gián đoạn loại hai, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian E = D(T) gồm các hàm không có gián đoạn loại hai trên T. Trong trường hợp như thế, ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ trên không gian xác suất ( Ω , , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian E: X : ,EΩ → X( ω ) = X g ( ω ). +) Ví dụ ở cuối mục 1.1.2 chứng tỏ rằng tồn tại hai quá trình X, Y tương đương ngẫu nhiên, nhưng X có tất cả các quỹ đạo liên tục, còn tất cả các quỹ đạo của Y gián đoạn. 1.1.4 Phân phối của quá trình ngẫu nhiên trên không gian quỹ đạo 7 Cho quá trình ngẫu nhiên { } , t X X t T= ∈ trên không gian xác suất ( Ω , , P). Như đã trình bày ở trên, ta có thể xem X = X g là ánh xạ từ không gian mẫu Ω vào không gian quỹ đạo: X( ω ) = X g ( ω ). Hơn nữa, với mỗi tập trụ ( ) I C B ta có: { | ω ∈Ω X( ω ) ∈ ( ) I C B } = { } 1 | ( , ., ) n t t X X B ω ∈Ω ∈ ∈  Từ đó suy ra X là ánh xạ đo được từ ( Ω , ) vào ( , ( )) T C σ ¡ , tức là X -1 (C) ∈ , ( ).C C σ ∀ ∈ Do đó, hàm tập P X (C) = P(X -1 (C)), ( )C C σ ∀ ∈ là độ đo xác suất trên ( )C σ . Ta gọi P X là phân phối xác suất trên không gian quỹ đạo của quá trình { } , t X X t T= ∈ . 1.1.5 Định lý tồn tại Kolmogorov Bây giờ ta quan tâm đến bài toán ngược lại: Cho trước họ các phân phối hữu hạn chiều (P I ) (trên I ¡ ) thoả mãn điều kiện đối xứng và nhất quán. Tìm không gian xác suất ( Ω , , P) và quá trình X { } , t X t T= ∈ xác định trên ( Ω , , P) sao cho họ các phân phối hữu hạn chiều của nó chính là (P I ), tức là, P { } 1 | ( , ., ) n t t X X B ω ∈Ω ∈ = P I (B), B∀ ∈  I Định lý. Tồn tại không gian xác suất ( Ω ,  , P) và quá trình { } , t X X t T= ∈ xác định trên ( Ω ,  , P) nhận P I làm họ các phân phối hữu hạn chiều của nó. Ta không cho chứng minh chi tiết định lý này, nhưng chỉ ra các ý chính cách xây dựng tường minh. +) Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: , T x ω • Ω = =¡ . +) Lấy σ - trường trụ làm σ - trường cơ sở:  = ( )C σ . 8 +) Độ đo xác suất cơ sở P được xác định như sau: với mỗi tập trụ ( ) I C B P(C I (B)) = P I (B). Theo điều kiện đối xứng và nhất quán, ta chứng minh được các định nghĩa như thế không phụ thuộc vào biểu diễn các tập trụ, tức là, nếu tập C có hai cách biểu diễn: ' ( ) ( ') I I C C B C B= = thì P(C I (B)) = P(C I' (B')). Sau đó chứng minh P có tính chất cộng tính đếm được trên trường các tập trụ C. nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận được độ đo xác suất P trên ( )C σ . +) Lấy các hàm toạ độ làm quá trình ngẫu nhiên, tức là, : , ( ) . T t t t X X x x • → =¡ ¡ Quá trình vừa xây dựng ở trên được gọi là quá trình chính tắc. Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại quá trình chính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó. Chú ý. Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự nhiên: đối xứng và nhất quán, không đòi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác. Tuy nhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây: Thứ nhất là, không gian quỹ đạo T ¡ quá lớn. Thứ hai là, σ - trường trụ ( )C σ không chứa nhiều tập hợp quan trọng như: tập C(T) gồm các hàm liên tục trên T; tập các hàm bị chặn. Điều này là do: các tập trong ( )C σ chỉ ràng buộc một số đếm được các toạ độ, trong khi đó tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất cả các toạ độ (trong lân cận nào đó có lực lượng không đếm được). Thật vậy, ta trở lại ví dụ đã xét ở cuối 1.1.2: [ ] 0,1Ω = ,  là σ - trường Borel của [0, 1], P là độ đo Lebesgue thông thường, [ ] 0,1T = , và [ ] [ ] ( ) 0, 0,1 , 0,1 , t X t ω ω = ∀ ∈ ∀ ∈ 9 0 ( ) 1 . íi íi t v t Y t v t ω ω ω ≠  =  =  Hai quá trình này tương đương ngẫu nhiên, nên có cùng phân phối trên không gian quỹ đạo: P X = P Y . Nếu C(T) ( )C σ ∈ thì 1 = P(X ( ))C T∈ = P X ( ( )C T ) = P Y ( ( )C T ) = P(Y ( ))C T∈ = 0. Vô lý! Một trong những vấn đề quan trọng của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là: tìm những điều kiện đặt lên họ các phân phối hữu hạn chiều để bảo đảm quá trình đã cho có bản sao liên tục, hoặc không có gián đoạn loại hai, và v. v… 1.1.6 Bản sao liên tục Định lý. Cho [ ] { } , 0,1 t X X t= ∈ là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác suất đủ ( Ω ,  , P). Giả sử với tất cả [ ] , 0,1t t h+ ∈ { } ( ) ( ), t h t P X X g h q h + − ≥ ≤ trong đó g và q là các hàm chẵn của h, không tăng khi 0h ↓ sao cho 1 1 (2 ) , 2 (2 ) . n n n n n g q ∞ ∞ − − = = < ∞ < ∞ ∑ ∑ khi đó X có bản sao liên tục. Chú ý. Có thể chứng minh rằng: Mỗi quá trình chỉ có duy nhất một bản sao liên tục. Chính xác hơn, nếu hai quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên cùng một không gian xác suất và tương đương ngẫu nhiên thì bằng nhau. Hệ quả 1. Cho [ ] { } , 0,1 t X X t= ∈ là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác suất đủ ( Ω ,  , P). Giả sử với tất cả [ ] , 0,1t t h+ ∈ 1 , ln + X p t h t r K h E X h + − ≤ trong đó p < r và K là các hằng số dương. Khi đó X có bản sao liên tục. Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov: 10