Luận văn một số tính chất của phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

B G I O D C V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH HUYN TRANG M T S T N H CH T C A P H N G T R èN H V I P H N I S VI H S B I N T H Iấ N C h u y ờn n g n h : T oỏn G ii T ớch M ó s : 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N H C N gi h ng d n k h o a hc: T S N g u y n V n H ự n g H N i, 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Nguyn Vn Hựng, thy ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn, ging gii tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó trang b kin thc, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 06 nm 20 Tỏc gi N g u y n T h H u y n T ran g Li cam oan Tụi xin cam oan di s hng dn ca TS Nguyn Vn Hựng lun vn: M t s tớ n h ch t ca p h n g t r ỡ n h vi p h õ n di s vi h s bin t h iờ n l cụng trỡnh nghiờn cu ca tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu vit lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n, cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng 06 nm 20 Tỏc gi N g u y n T h H u y n T ran g M c lc M u C h ng K in th c ch u n b 1.1 Ma trn v phộp chiu Mt s khụng gian hm C h ng P h n g tr ỡn h vi p h õ n i s vi h s h n g 2.1 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 2 c trng ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 11 11 18 C h ng P h n g tr ỡn h vi p h õ n i s vi h s b in th iờ n 50 3.1 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn 50 3.2 c trng phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy bi dóy phộp chiu chp nhn c 53 3.3 Tỏch cỏc phng trỡnh ch s 66 K t lu n 70 T i liu th a m k h o 70 M u Lớ chn ti Lý thuyt phng trỡnh vi phõn i s (DAEs) cú lch s nghiờn cu t lõu nhng phi ti nhng nm 1960, cỏc nh toỏn hc v k s mi bt u nghiờn cu cỏc khớa cnh khỏc ca DAEs, chng hn nh cỏc v lý thuyt v cỏc ng dng ca nú Cho ti lý thuyt DAEs ó phỏt trin v cú nhiu mi liờn h cht ch vi cỏc lnh vc toỏn hc khỏc nh i s, gii tớch hm, gii tớch s, v t cú nhiu ng dng rng rói thc tin Phng trỡnh vi phõn i s bt u thu hỳt c cỏc nghiờn cu thỳ v v tinh t cỏc ng dng v gii tớch s t nhng nm u thp niờn 80 ca th k trc Trong mt thi gian tng i ngn, phng trỡnh vi phõn i s ó tr thnh mt cụng c c tha nhn rng rói cỏc mụ hỡnh cú i tng rng buc mụ hỡnh húa v iu khin cỏc quỏ trỡnh ú theo cỏc lnh vc ng dng khỏc Vi mong mun tỡm hiu lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s núi chung v nhm b sung v nõng cao kin thc ó hc chng trỡnh i hc v cao hc, tụi chn ti M t s tớ n h ch t ca p h n g tr ỡ n h vi p h õ n i s vi h s bin t h iờ n lm lun cao hc ca mỡnh M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu v phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn N h im v nghiờn cu Nghiờn cu lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Nghiờn cu cỏc c trng ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn Phm vi nghiờn cu: Cỏc cun sỏch, cỏc bi bỏo v cỏc ti liu liờn quan n lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s, ch yu l cun sỏch [ Phng phỏp nghiờn cu S dng cụng c ca i s tuyn tớnh, gii tớch s v gii tớch hm tip cn v gii quyt Thu thp, nghiờn cu v tng hp cỏc ti liu liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo v cỏc sỏch mi v m lun cp ti ún g gúp ca lun Xõy dng lun thnh mt ti liu tng quan v tham kho tt cho sinh viờn v hc viờn cao hc v phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn Chng K in thc chun b 1.1 M a trn v phộp chiu n h n g h a 1.1 Mt ỏnh x tuyn tớnh Q e L(Rm) c gi l mt phộp chiu (toỏn t chiu) nu Q2 = Q\ Phộp chiu Q e L(Rm) c gi l phộp chiu ờn s c Rm nu Im Q = S] Phộp chiu Q G L(Rm) c gi l phộp chiu dc theo s c Rm nu Ker Q = S] Phộp chiu Q e L{Rm) c gi l phộp chiu trc giao nu Q = Q* ú Q* l liờn hp ca Q V d Ma trn Q khụng gian m chiu 0\ * 0 ^ * ( Q vi cỏc phn t v trớ * l tựy ý, ú ma trn Q l mt phộp chiu lờn khụng gian mt chiu span bi vector ct u tiờn ca Q dc theo khụng gian (ra 1) chiu { v : v = [V v V m ] T , Vi = } B 1.1 Cho p v p l hai phộp chiu v Q := I p, Q = I p l phộp chiu bự Khi ú, cỏc tớnh cht sau l ỳng: (1) z e im Q z = Qz\ (2) Nu Q v Q chiu ờn cựng mt khụng gian s thỡ Q = QQ s thỡ p = p p v Q = QQ\ (3) Nu p v p chiu ờn cựng mt khụng gian v p = P P ; (4) Q chiu lờn s v ch p = I Q chiu dc theo s ; (5) Vi z l ma trn bt kỡ thỡ mi ma trn cú dng I + P Z Q l khụng suy bin v ma trn nghch o l I PZQ\ (6) Mi phộp chiu p l chộo húa c Cỏc giỏ tr riờng l v Bi ca giỏ tr riờng l r = rankP B 1.2 (Lemma A.9, [5]) Cho A , B e L{Rm), v rankA = r < m , N = Ker^i, v s = {z e Rm : B z e Imyl} Khi ú, cỏc iu sau l tng ng: (1) Nhõn vi mt ma trn khụng suy bin E e L{Rm) cho ! , EB = ! , rankAi = r thỡ thu c mt ma trn khụng suy bin A\ (2) Nn s = {0}; (3) A + BQ l suy bin vi mi phộp chiu Q lờn N ; (4) N đ s = Rm; (5) Cp {A, B} l chớnh quy vi ch s Kronecker 1; (6) Cp { A , B + A W } l chớnh quy vi ch s Kronecker vi mi w Ê L(Rm) B 1.3 (Lemma A.10, [5J) Cho A , B e L(Rm), v suy bin, N = Ker^l, v s = {z G Rm : B z e Im A} v N â phộp chiu Q lờn N dc theo s s = Rm Khi ú, tha Q = Q(A + B Q ) - 1B B 1.4 (Lemma A ll, [5 |) Cho trc ma trn e ),k = incL4, r = rankj4fc v cho S i, , sr G Rm v sr+1 , , sm G Rm tng ng l cỏc c s ca m A k v K e i A k Khi ú, vi s = [si sm] tớch S ^ A S cú cu trỳc c bit S~1A S = M 0 N ú M e L ( w ) l khụng suy bin v N e L{Rm r) l y inh, N k = 5N k - ^ Q Vi hai hm ma trn kh vi liờn tc F : >L ( w nỡ Rfc) v G : X ỡ L{R,R m), I c M Tớch FG : -> L(R,R fc) c xỏc nh bi (FG )(ớ) := F (ớ)G (ớ), ớe l Ta cú quy tc tớnh o hm (FG)'(t) := F'{t)G{t) + F(t)G'(t), t e Cho p G C 1(XèL(Rm)) l phộp chiu giỏ tr hm s v Q = I p l phộp chiu bự Khi ú, ta cú ( ) p + Q = I v ú Q' = -P'; (2) QP = PQ = 0, v p = - Q P 1, P'Q = - p ; (3) P P 'P = PQ'P = PQP' = v QQ'Q = B 1.5 (Lemma A.14, [5J) (1) Nu hm ma trn p G (1, L(Rm)) l phộp chiu giỏ tr hm, tc l p 2(t) = p(t), t G thỡ p cú hng r v tn ti r hm c lp tuyn tớnh Ti, , Tr G 1^ , ) cho Im p ( t ) = span{i(t) , , r(t)} t Ê (2) Nu mt khụng gian L(t) ỗ Rm,t G X, vi s chiu r span bi cỏc hm T)i, ,T)r G (1, Rm), tc l L(t) = span{i(t) , , r(t)} thỡ khụng gian ny tr thnh khụng gian ca khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc; (3) Cho hm ma trn Ê C k(I, L{Rm)) cú hng , ú, tn ti mt hm ma trn M G c k(l, L(Rm)) khụng suy bin cho A{t)M{t) = [(t) 0], rank(t) = r Vớ G X t G = A D , = B , N = Ker G0 Vi i > : Gi = Gj_i + 5j iQj 1, B t = BM PW - Gj.D~1(.DIIi.Êr1)'.DIIi_1 jVj = KerGi, iVi = (iv0 + + iVj_i) n Ni, C nh phn bự X cho N + + iVj_i = Ni đX.Ll chn mt phộp chiu Qi cho Im Qi = Ni v X c KerQi, t P = I - Qu IIi = IV iP i, v tha món: (a) Gi cú hng hng s V trờn 1, i = 0, , k\ (b) Giao Ni cú s chiu hng s Ui = dimiVj trờn x.\ (c) Tớch cỏc hm IIj liờn tc trờn v D lD - l kh vi lin tc i = 0, , k Cỏc hm phộp chiu Q, , Qk m t dóy hm ma trn chp nhn c c gi l cỏc hm phộp chiu chp nhn c Mt dy hm ma trn chp nhn c Gỡ ,Gk cgi l chp nhn c chớnh quy nu Ni = Khi ú, cỏc hm phộp chiu {0}, Vi = 1, Q, ,Qk ,k cng c gi l cỏc hm phộp chiu chp nhn c chớnh quy Trong vớ d (3.2), dóy hm ma trn l chp nhn c chớnh quy Cỏc hm ma trn Go, , G dóy chp nhn c l liờn tc trờn khong cho trc ca bin t Nu Go, ,Gk l chp nhn c, 56 cỏc khụng gian khụng N , , N k v cỏc khụng gian giao N 1, , N k cng nh cỏc khụng gian tng N + + N,i = 1, , /c, v cỏc phn bự X , , x k cú s chiu hu hn C th l, N q + + N I = X Ni, N q + + Ni = X đ Ni, = , , k, ú dimiVo = m r 0, dim(iVo + -b iVj_i) = dimX + Ui, dim(iVo + + Ni) = dimXj + m T, i = , , k Do ú, d im ( N q + - - Ni) = dim(iVo + h iVj_i) - Ui + m - V, dimXi i1 = j =0 dimJVi - rj - uj+ ) + m - r i = ^ ( m - Vj) U j + j =0 j =0 Nu cỏc giao Ni tm thng, thỡ X = iVo + + iVj-i, v Ui = c bit, giao Ni = {0}, khụng gian Nq + + Ni cú schiu l dim (N q + -h iVj_i) + dimN Tip theo ta cú kt qu sau M n h 3.1 Cho phng trỡnh (13.11) vi s hng ng u thc s, v Ê N cho trc Nu Qo, , Qk cỏc hm chiu chp nhn c, thỡ vi i = , , ta cú: (1) Ker IIj = N q + + N\ (2) Cỏc tớch Ilj = Pq P v lớ-iQi = p ' " P-iQi cng nh DlD- v DTli-iQiD cỏc phộp chiu giỏ tr hm; 57 (3) N + + iVj_i ỗ K er Ilj Qj (4) B = B lớ () Ni ầ N N i+1 v ú Ni ầ iVj+i; ( 6) G i+1Q j = B j Q j , < j < i; ("7) D ( N q + + A^) = Im -DPo Pi-iQi Im D l - Q i - i + đ đ m D P Q 1] (8 ) Cc tớch Q i IIj_i) v P i IIj_i) tng ng l cỏc hm chiu lờn Ni v Xi] Hn na, cỏc hm ma trn G i , , Gk v Gk + liờn tc Nu Q, , Qk l chp nhn c chớnh quy thỡ vi i = , , ta cú Ker n l i Ker Qij QiQj 0, J , ., n h lý 3.1 Cho phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn (|3.l) Khi ú, vi k e N cho trc, nu cỏc hm phộp chiu chp nhn c ti mc tn ti, thỡ cỏc khụng gian Im Gj, N + + N j, Sj = Ker W k B , j = , , + 1, v cỏc s rj = rankGj, j = 0, , k, v cỏc hm r k+1 : ! - > N u {0}, Uj = dimiVj, j = 0, , k, +1 : ! - > N u {0} khụng ph thuc vo cỏch chn c bit ca dóy cỏc hm phộp chiu chp nhn c Q oỡ ỡQ k' 58 n h n g h a 3.4 Nu phng trỡnh vi phõn i s (3.1) cú dy cỏc hm ma trn chp nhn c ti mc k , thỡ cỏc s nguyờn Tj = rankGj, j = 0, , k, Uj = dimNj, j = 0, , k, c gi l cỏc giỏ tr c trng ca phng trỡnh vi phõn i s (3.1) Khụng gian liờn kt S = KerWo-B, ti thi im t G i s (t) = Ker W (t)B(t) = {z Ê Rm : B(t)z Ê l m G (t) = lm A (t)} cha t t c cỏc giỏ tr nghim x(t) ca cỏc nghim ca phng trỡnh thun nht A(Dx + B x = Ta s ch di õy, vi phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy ch s , khụng gian So(t) bao gm t t c cỏc giỏ nghim nh th, cú ngha l, vi mi phn t ca S(t) tn ti mt nghim i qua im ú Vi cỏc phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy ch s cao, cỏc hp ca cỏc giỏ tr nghim tng ng to thnh mt khụng gian thc s ca So(t) Trong trng hp tng quỏt, cỏc khụng gian liờn kt tha iu kin Si+1 = S N = S Nq + + N = Sq + Nq + + Ni, i = , , k C th, vỡ Im Gi c Im i+1 , nờn ta cú w i+1 = W i+iW , ú, s i+ = KerWi+iÊ = Kei W i+1W i B D Ker W B = su v ta cú s i+1 = Ker W i+ ớB i+1 D Ker B + D 59 Nq + + N Nh yy, ba dóy cỏc khụng gian liờn kt vi mi dóy hm ma trn chp nhn c l: Im Go c Im G c c Im Gi c c Im [AD B ] C R k, (3.9) No c N + iVi c c No + + Ni c c R m, (3.10) v 50 C S C C S C C R (3.11) Tt c cỏc khụng gian l khụng ph thuc vo cỏch chn c bit ca cỏc hm phộp chiu chp nhn c Trong tt c ba trng hp ú, s chiu khụng gim nu ch s tng Ta i tỡm tiờu chun ch vi mt G, ó bit cú hng cc i cú th Chng hn, nu ta gp mt n ỏnh ma trn nh vớ d |3.2| thỡ dóy tr thnh dóy dng vi Qj, = 0, Gn+1 = G, Do ú, ch s nh nht cho ma trn G, l n ỏnh l, ch ti cựng thi im m Im Gn l cc i, nhng Im G,-1 l mt khụng gian thc s, nu i > Trong trng hp tng quỏt, cú th xy trng hp n ỏnh G khụng tn ti Cui cựng, ta thu c Im G, = Im A D Ê]; (3.12) nhiờn, iu kin ny khụng cn thit cỏc trng hp nh ta s chng t qua vớ d di õy V d 3.3 (Dóy ma trn chp nhn c ca phng trỡnh vi phõn i s khụng chớnh quy) Vi m = k = 3,n = 2, xột phng trỡnh vi phõn i s / 1 l+ / 0 0 ( 0 > X \ 60 X = q (3.13) Phng trỡnh (3.13) khụng chớnh quy vỡ chựm ma trn l suy bin, õy, ta cú Im [AD B ] = M3 v G1 = 0 0 Q0 0 , 0 10 G0 0 0 0 0 Wo 0 1 0 0 0 Qi 0 Wi = 0 B 0 0 1 0 1 -1 1 1 0 Go , n = 0 1 1 0 0 Ta suy Nq = -[ớc G Z\ = z% = }, N\ = {ớc G Z2 = 0, Z \ -\- z$ = 0}, v N2 = G : Z2 = , zi z$ = 0} Phn giao A^oớliVi = {0} v iu kin Q Q = c tha món, nờn ta cú N q + N1 = {ớc G M3 : Z[...]... >X vi ll/llc(|0,nx) = g Il/Wllx < 00 n h lý 1.4 Khụng gian C([0,T]] X ) l mt khụng gian Banach 10 Chng 2 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 2.1 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng Xột phng trỡnh vi phõn i s dng Ex'{t) + Fx{t) = q(t), t e X, (2.1) õy { E , F } l cp ma trn vuụng c m X m giỏ tr thc Vi cỏc hm q : X > Rm l liờn tc trờn on I c M, ta tỡm cỏc nghim liờn tc X : X >Rm cú thnh phn E x kh vi. .. C[a, 6] n h lý 1.2 Khụng gian C[a,b] vi chun (1.1) l mt khụng gian Banach Kớ hiu c 1 [, 0] l tp hp cỏc hm s giỏ tr thc xỏc nh v kh vi liờn tc ti cp 1 trờn on [, 0] Vi X e c 1[aỡ b] t ||ớc|| = max |rr(ớ)I + max |rr/(ớ)I a 0 vi mi X e X \ 2) ||ớc|| = 0 khi v ch khi 3) IIArrII = X = 6 (6 l kớ hiu phn t khụng ca X ); || ||ớc|| vi mi sAe p v mi X e X \ ) ||ớc + y\\ < ||ớc|| + II2/ II vi mi x , y e X Mt khụng gian vect X cựng vi mt chun xỏc nh trong khụng gian y c gi l mt khụng gian nh chun (thc hoc phc, tu theo p l thc hay... tớnh cht JV 1 (2 11) = 0 v GZ = 0 ỳng vi vector z Rm, hay P-\Z = 0 v PZ = 0, tc l z = G+\Z GZ thỡ ta cú BQZ BZ B \P\ z 0 T (2.11), ta thy rng vi N _1 n N ^ khụng cho ta mt n ỏnh ma tr n Gi, i > i* V ớ d 2.3 (Dóy ma trn chp nhn c ca phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy) Xột phng trỡnh vi phõn i s x[ + Xi 4 + x2+ = + = Q2, X! q 1, + z 3 = 43- Cỏc ma trn th nht