Luận Văn Thạc Sỹ Về Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số

Luận Văn Thạc Sỹ Về Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường.

Mục lục

1.1 Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số 7

1.2 Một số ví dụ phương trình vi phân đại số trong thực tế 13 1.2.1 Hệ cơ học có ràng buộc 13

1.2.2 Mạch điện 16

1.3 Phép chiếu - Ma trận chính quy 20

2 Các khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số 23 2.1 Chỉ số Kronecker 23

2.2 Chỉ số vi phân 27

2.3 Chỉ số mềm 33

2.4 Các khái niệm chỉ số khác 44

2.4.1 Chỉ số nhiễu 44

2.4.2 Chỉ số hình học 48

2.4.3 Chỉ số lạ 52

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Viện Toán học - ViệnHàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoahọc của PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin được gửi lời cảm ơnsâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình tập dượtnghiên cứu của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơncác thầy cô trong Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Côngnghệ Việt Nam đã nhiệt tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện cho tác giả

về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận vănnày Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, Tạp chí Toán học vàTuổi trẻ và các bạn trong lớp Cao học K19 Viện Toán học, đã độngviên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013

Người thực hiệnNguyễn Thị Trang

Mở đầu

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi

đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình viphân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trởlại đây Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vìvậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phươngtrình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến,

sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việcnghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình viphân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phânthường

Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng môphỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệmạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực họcchất lỏng và nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động của mộtđối tượng vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình viphân Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràngbuộc (về vị trí, năng lượng, ), thì các hạn chế đó được mô tả bởi cácphương trình (ràng buộc) đại số Những hệ như vậy bao gồm phươngtrình vi phân và một phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình

vi phân đại số (Differential - algebraic equation, DAE), hệ đại số viphân (Algebraic - Differential equation, ADE) hoặc tổng quát là hệphương trình vi phân ẩn

Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đốivới phương trình vi phân thường Chỉ số là một số nguyên không âm,cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trongviệc phân tích hệ phương trình vi phân đại số.

Luận văn có mục đích trình bày các khái niệm chỉ số của phươngtrình vi phân đại số và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứuphương trình vi phân đại số

Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Trình bày một số đặc thù, các ví dụ về phương trình

vi phân đại số trong thực tế và một số kiến thức liên quan sử dụngtrong Chương 2

Chương 2 Trình bày các khái niệm chỉ số khác nhau và quan hệgiữa chúng: chỉ số Kronecker (cho phương trình vi phân đại số tuyếntính với hệ số hằng), chỉ số vi phân (Brenan 1996), chỉ số nhiễu(Hairer 1996), chỉ số mềm (Griepentrog 1986), chỉ số hình học (Rabier2002) và chỉ số lạ (Kunkel 2006) Các khái niệm chỉ số này trùngnhau trong trường hợp phương trình vi phân tuyến tính với các hệ

số hằng nhưng trong các hệ phi tuyến hoặc hệ phương trình vi phântuyến tính với hệ số biến thiên thì khái niệm chỉ số có thể khác nhau.Đối với các hệ này, chỉ số trở thành một khái niệm địa phương vớicác giá trị khác nhau ở các miền khác nhau

Danh mục ký hiệu

Rn - Không gian Euclid n chiều

L(Rn,Rm)- Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm

L(Rn) - Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rn

kerf - Hạt nhân (hạch) của ánh xạ tuyến tính f : X → Y,

C(J × Ω ×Rm,Rm)- Tập các hàm liên tục theo ba biến,

Cp(J ) - Không gian các hàm khả vi đến cấp p trên J

detA(t) - Định thức của ma trận A(t)

rankA(t) - Hạng của ma trận A(t)

diag(M, N ) - Ma trận khối đường chéo

A(t)(D(t)x(t))0 + B(t)x(t) = q(t), (1.2)

trong đó A ∈ C(J, L(Rn,Rm), B ∈ C(J, L(Rm)), q là một vectơ hàmliên tục trên J, detA(t) = 0 với mọi t ∈ J

Khi D(t) ≡ I (ma trận đơn vị) thì phương trình (1.2) có dạng

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = q(t) (1.3)Phương trình (1.3) đã được nghiên cứu khá kĩ so với (1.2)

Người ta thường phân lớp các phương trình vi phân đại số nhờ kháiniệm chỉ số của phương trình vi phân (1.3) và (1.2)

1.1 Một số đặc thù của phương trình vi phân đại

số

Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng

Ex0(t) + F x(t) = f (t), t ∈ J, E, F ∈ L(Rn) (1.4)Khác với phương trình vi phân thường, sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm cũng như cấu trúc tập nghiệm của phương trình (1.1) cũng làvấn đề cần được nghiên cứu kĩ Các ví dụ dưới đây cho thấy điều đó

Ví dụ 1.1.1 [14] Cho phương trình vi phân đại số tuyến tính

Ta biết rằng không gian nghiệm của phương trình vi phân thườngtuyến tính x0 = A(t)x là không gian hữu hạn chiều Không gian nghiệmcủa hệ (1.5) là vô hạn chiều Thật vậy, chọn x2,k(t) = tk, k = 1, 2, ,

Ví dụ 1.1.2 [12] Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính





11

1 − t ⇔ dx1(t)

x1(t) =

dt

t − 1 ⇔ lnx1(t) = ln(t − 1) + C ⇔

x1(t) = (t − 1)C Nếu cho trước x(0) = 



, x0 ∈ R

Điều đó cho thấy rằng tất cả các nghiệm bị triệt tiêu (bằng 0) tại

t∗ = 1 Hơn nữa, hệ (1.8) chỉ có nghiệm ứng với điều kiện ban đầu

Điểm mà ở đó các ma trận hàm A(t)D(t) hoặc E(t) có hạng thayđổi trong khoảng đang xét cũng được định nghĩa là điểm tới hạn

Ví dụ 1.1.3 [12] Cho phương trình vi phân đại số

Như vậy, để (1.10) có nghiệm thì vế phải q2(t) phải khả vi liên tụctức là sự tồn tại nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm thamgia trong vế phải Đây cũng là điểm khác biệt của phương trình viphân đại số và phương trình vi phân thường.

Tại t∗ = 0 thì ma trận E(t) có hạng thay đổi từ 0 sang 1 Thật vậy,

Như trong Hình 1.1, tọa độ x2(t) của nghiệm được "dán" với nhau

Hình 1.1: Nghiệm x1, x2 trong trường hợp q1 = 0 và q2 = α

một cách liên tục nhưng không khả vi tại t = 0, trong khi tọa độ

x1(t) của nghiệm thì không liên tục tại t = 0 Nếu chúng ta chọnhàm q đủ trơn thì sẽ thu được nghiệm liên tục trên toàn khoảng I

Ví dụ cho q1(t) = 0, q2(t) = t2 (Hình 1.2) thì nghiệm riêng có dạng

thì ta thấy rằng tính khả vi liên tục chỉ cần thiết cho x2(t), điều này

có thể được đảm bảo bằng cách giả thiết q2(t) là khả vi liên tục trên

[−1, 1]

Ví dụ 1.1.4 [14] Xét phương trình vi phân đại số

Lấy đạo hàm phương trình đầu tiên x1(t) − tx2(t) = q1(t) ta được

x01(t) − tx02(t) − x2(t) = q10(t) Thay vào phương trình thứ hai ta được

x2(t) = q2(t) − q10(t) Lại thay vào phương trình thứ nhất ta được

x1(t) = q1(t) + tq2(t) − tq01(t) Vậy hệ phương trình (1.12) có nghiệmduy nhất nếu q1(t) ∈ C2(J )

Như vậy, để phương trình đã cho có nghiệm theo nghĩa cổ điển (x(t)

là hàm khả vi liên tục trên J) thì đòi hỏi q1(t) phải khả vi liên tụcđến đạo hàm cấp hai (để tồn tại x1(t) và x2(t) khả vi liên tục), còn

q2(t) phải khả vi liên tục Có nghĩa là để phương trình có nghiệm(tồn tại hàm x(t) khả vi liên tục) thì đòi hỏi hàm q1(t) ở vế phảiphải thuộc lớp C2(J )

Điều này là không cần thiết đối với phương trình vi phân thường, vì

ta đã biết định lý nói rằng phương trình vi phân thường x0(t) = f (t, x)

có nghiệm thì chỉ cần hàm ở vế phải f (t, x) là Lipschitz theo x đềutheo t trên J × Ω

Trong ví dụ trên, bài toán giá trị ban đầu chỉ giải được duy nhấtkhi giá trị ban đầu tương thích với vế phải, tức là điều kiện ban đầu

Phương trình thuần nhất tương ứng

Thật vậy, lấy đạo hàm phương trình thứ nhất của hệ (1.13) ta được

x01(t) − tx02(t) − x2(t) = 0 Thay vào phương trình thứ hai của hệ (1.13)thu được x2(t) = 0 Suy ra x1(t) = 0

1.2 Một số ví dụ phương trình vi phân đại số trong

thực tế

Nhiều hệ cơ học có ràng buộc, các hệ mô tả mạch điện, có thể

mô hình hóa bởi phương trình vi phân đại số Các ví dụ dưới đây chỉ

ra điều đó, đồng thời các ví dụ này cũng thể hiện các đặc tính quantrọng của phương trình vi phân đại số và cho thấy sự khác biệt giữachúng với phương trình vi phân thường trong các hệ cụ thể

1.2.1 Hệ cơ học có ràng buộc

Xét quả lắc toán học trong Hình 1.3 Con lắc có khối lượng m

được gắn vào đầu một sợi dây độ dài l Để miêu tả con lắc trong hệtọa độ Đề-các, ta viết thế năng

U (x, y) = mgh = mgl − mgy, (1.14)trong đó (x(t), y(t)) là vị trí của con lắc tại thời điểm t Gia tốctrọng trường của trái đất là g, tung độ của con lắc là h = y(t) Nếu

ta kí hiệu đạo hàm của x và y tương ứng là x0 và y0 thì động nănglà

T (x0, y0) = 1

2m(x

02

Số hạng x02 + y02 miêu tả vận tốc chuyển động của con lắc Do sợidây có độ dài l luôn căng nên ta có ràng buộc

0 = g(x, y) = x2 + y2 − l2 (1.16)Các phương trình (1.14) - (1.16) được sử dụng để lập hàm Lagrange

La-ddt

Ta thu được hệ phương trình







thì hệ đã cho có dạng phương trình vi phân đại số

Hình 1.4: Một mạch điện đơn giản

Theo cấu trúc mạng điện, các hàng của Aα là phụ thuộc tuyếntính Điều này cũng được thể hiện trên ma trận Aα Thật vậy, kíhiệu a1 = (−1, 1, 0), a2 = (0, −1, 1), a3 = (1, 0, −1) là các hàng của

ma trận Aα, chúng là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

Chọn c1 = c2 = c3 = 1 thì ta có a1 + a2 + a3 = 0 hay a3 = −a1 − a2.Sau khi xóa một hàng (hàng thứ 3), các hàng còn lại (hai hàng đầu)

mô tả tập các phương trình độc lập tuyến tính Nút tương ứng vớihàng bị xóa sẽ được ký hiệu là nút tiếp đất (the ground node) Matrận

được gọi là ma trận tới (the incidence matrix) Bây giờ ta có thể mô

tả các định luật vật lý cơ bản theo ma trận tới A Ký hiệu i và v

tương ứng là vectơ cường độ dòng điện nhánh và hiệu điện thế, vectơ

e là điện năng (potential) của nút Tại mỗi nút, điện năng của nútchính là hiệu điện thế của nó tương ứng với đất Ta có

• Định luật bảo toàn cường độ dòng điện Kirchhoff (KCL): Tại mỗinút, tổng của tất cả cường độ dòng điện bằng 0 ⇒ Ai = 0

• Định luật bảo toàn điện thế Kirchhoff (KVL): Trong mỗi chutrình tổng của tất cả điện thế bằng không ⇒ v = ATe

Đối với mạch trong Hình 1.4 KCL và KVL tương ứng được viết là

− iV + iG = 0, −iG+ iC = 0 (1.19)và

vV = −e1, vG = e1 − e2, vC = e2 (1.20)Nếu ta giả sử các dụng cụ điện tử làm việc lí tưởng, thì các phươngtrình mô tả điện trở và điện dung là

iG = GvG, iC = Cdvc

Cuối cùng ta có

cho các nguồn độc lập được coi là tín hiệu đầu vào điều khiển hệ

Hệ gồm ba phương trình (1.19), (1.20) và (1.21) được gọi là một bảng

thưa (spare tableau.)



(1.27)Phương trình (1.27) có dạng (1.3) và thể hiện các tính chất đặcthù của phương trình vi phân đại số (1.3):

1 Chỉ cần một vài tọa độ vectơ x = (e1, e2, iV)T = (x1, x2, x3)T làkhả vi Ở đây chỉ cần x2 = e2 là khả vi, còn x1 = e1 và x3 = iV

liên tục là đủ

2 Điều kiện ban đầu x(t0) = x0 phải tương thích, tức là phải tồn tạinghiệm đi qua x0 Vì ở đây ta có ràng buộc đại số x1 = e1 = −v

nên phương trình có nghiệm chỉ khi −x10 = v(t0), còn x20 = e2

e1(t) = −v(t), iV(t) = G(e1(t) − e2(t))

Một đặc trưng quan trọng nữa phân biệt phương trình vi phân đại sốvới phương trình vi phân thường là quá trình giải thường liên quanđến phép lấy đạo hàm hơn là phép lấy tích phân Điều này được giảithích trong ví dụ tiếp theo

Một ví dụ khác

Hình 1.5: Một mạch điện đơn giản khác

Nếu ta thay điện thế nguồn không phụ thuộc thời gian trong Hình1.4 bằng cường độ dòng điện nguồn iI = i(t) và tụ điện bằng mộtcuộn cảm với độ tự cảm L, ta thu được mạnh điện trong Hình 1.5.Bây giờ bảng thưa được viết

với giả thiết cường độ dòng điện i(t) khả vi Để tìm nghiệm cho e2

ta cần lấy đạo hàm cường độ dòng điện

Các ví dụ trên cho thấy, nhiều hệ thống trong thực tế được mô tảbởi phương trình (1.2) Vì vậy, ngoài việc nghiên cứu phương trình(1.3), ta cũng cần khảo sát các tính chất định tính cũng như giải sốphương trình (1.2)

1.3 Phép chiếu - Ma trận chính quy

Khái niệm chỉ số của cặp ma trận được sử dụng nhiều trong việcnghiên cứu và phân lớp các phương trình vi phân đại số, từ đó giúp

chúng ta có thể đi sâu nghiên cứu từng lớp các phương trình vi phânđại số này Để đưa ra khái niệm chỉ số của cặp ma trận, trước hết

ta nêu một số khái niệm sau

Định nghĩa 1.3.1 Phép chiếu là một ánh xạ tuyến tính P ∈ L(Rn)

có tính chất P2 = P

Nhận xét 1.3.1

i) Cho P là một phép chiếu Khi đó ta có kerP ⊕ imP = Rn

Thật vậy, với mỗi x ∈ Rn, viết x = x − P (x) + P (x) Ta có

P (x − P (x)) = P (x) − P2(x) = P (x) − P (x) = 0

Suy ra x − P (x) ∈ kerP Do đó x ∈ kerP + imP, suy ra

kerP + imP = Rn

Hơn nữa, nếu x ∈ kerP ∩ imP thì x ∈ imP, tức là tồn tại y ∈ Rn

sao cho x = P (y) và x ∈ kerP, hay P (x) = 0 Suy ra x = P (y) =

P2(y) = P (x) = 0 Vậy kerP ∩ imP = {0} Do đó

và {e01, e02, , e0n} là hệ vectơ cơ sở trong không gian Rn, P : Rn →Rn

là ánh xạ tuyến tính Khi ấy ta có



= Pk i=1ciP (ui) =

Pk

i=1ciui = P (u) Vậy P2 = P, do đó P là một phép chiếu

Rõ ràng imP = U và kerP = V Thật vậy,

imP = {y ∈Rn|y = P x} = {(x1, , xk, 0, , 0)} = U ;

kerP = {x ∈ Rn|P (x) = 0} = {(0, 0, , xk+1, , xn)} = V

Khi đó phép chiếu P được gọi là một phép chiếu lên U dọc theo V.Đặt Q := I − P thì Q cũng là một phép chiếu lên V dọc theo U.Thật vậy, ta có Q2 = (I − P )2 = I − 2P + P2 = I − P = Q Hơn nữa,

Q(uj) = 0 với mọi j = 1, 2, , k và Q(ui) = (ui) với mọi j = k+1, , n

Do đó imQ = V và kerQ = U

2.1 Chỉ số Kronecker

Trước tiên ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ sốhằng

Ex0(t) + F x(t) = q(t), t ∈ J, (2.1)với E, F ∈ L(Rm), x ∈ Rm, q ∈ Rm

Xét chùm ma trận λE + F Cặp ma trận (E, F ) được gọi là cặp

ma trận chính quy hay chùm ma trận chính quynếu tồn tại λ sao cho

det(λE + F ) 6= 0

Định lý 2.1.1 (Weierstrass 1868, Kronecker 1890, xem, thí dụ [4]).Giả sử (E, F ) chùm ma trận chính quy Khi đó tồn tại hai ma trận khôngsuy biến U và V sao cho

và C giả thiết có dạng khối Jordan.

Chứng minh [5] Do (E, F ) là chính quy nên tồn tại một số c sao cho

cE + F khả nghịch Nếu ta nhân λE + F = cE + F + (λ − c)E) vớinghịch đảo của cE + F và khi đó phép biến đổi (cE + F )−1E có dạngkhối Jordan chính tắc, từ Định lý I.12.2 trong [5] ta có

Do cấu trúc đặc biệt của ma trận lũy linh N, tồn tại µ ∈ N sao

cho Ni 6= 0, i = 1, , µ, nhưng Nµ = 0 (N là ma trận lũy linh bậc

µ − 1) Số µ không phụ thuộc vào cách chọn U và V

Định lý 2.1.2 [6] Cho E, A ∈ Cn,n Khi đó, tồn tại ma trận không suybiến P, Q ∈Cn,n sao cho

P (λE−A)Q = diag(Lε1, , Lεp, Mη1, , Mηq, Jρ1, , Jρv, Nσ1, , Nσw),

(2.4)trong đó Lεi là một khối đường chéo cấp εj × (εi + 1), εj ∈ N0,



,



u(t)v(t)

0

+ U F V



u(t)v(t)



=



a(t)b(t)

Lấy đạo hàm một lần nữa, ta nhận được

Như vậy, nhờ Định lí Kronecker, ta đã đưa phương trình vi phân đại

số (2.1) về hai phương trình gồm một phương trình vi phân thường

và một phương trình vi phân với ma trận lũy linh (giải được thànhmột ràng buộc đại số)

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (E, F ) là chùm ma trận chính quy Chỉ số(Kronecker) của phương trình (2.1) là 0 nếu E là ma trận không suybiến và là µ nếu detE = 0, trong đó µ là số nhỏ nhất để Nµ = 0

2.2 Chỉ số vi phân

Ở trên, ta đã đưa vào khái niệm chỉ số Kronecker cho phương trình

vi phân đại số với hệ số hằng Câu hỏi đặt ra là: Mở rộng khái niệmchỉ số cho trường hợp phương trình vi phân đại số với hệ số phụ

thuộc thời gian như thế nào?

Lấy đạo hàm của (2.10) ta có

nếu chỉ nếu nó có chỉ số Kronecker là µ

Ví dụ 2.2.2 [7] Xét hệ phương trình vi phân đại số nửa hiện

Xét phương trình thứ hai 0 = g(x, y)

Lấy đạo hàm theo t ta được

∂x(x, y) không suy biến thì hệ đã cho có chỉ số