Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS.. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng..[r]
(1)SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức xét dấu nghiệm phương trình bậc hai kiến thức THCS Sau học lên bậc THPT, em cần sử dụng Ta nhớ lại điều cần thiết :
* Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , x 1,
x2 nghiệm phương trình
* Các điều kiện quan trọng : +) x1 < < x2 tương đương P <
+) = x1 < x2 tương đương P = S >
+) x1 < x2 = tương đương P = S <
+) x1 = x2 = tương đương P = S = Δ = S =
+) < x1 < x2 tương đương với Δ > , P > S >
+) x1 < x2 < tương đương Δ > , P > S <
Sử dụng kiến thức xét số nghiệm nhiều loại phương trình
1 Phương trình trùng phương
ax4 + bx2 + c = (1)
Đặt ẩn phụ t = x2 ≠ (1) trở thành
at2 + bt + c = (2)
Mỗi nghiệm t > (2) cho hai nghiệm (1)
Nghiệm t = (2) cho nghiệm x = (1) Tất nhiên t < khơng cho nghiệm (1)
Bài tốn : Biện luận số nghiệm phương trình : x4 - mx2 + 3m - = (3)
Lời giải : Đặt t = x2 Δ (3) trở thành : t2 - mt + 3m - = (4)
Số nghiệm (3) phụ thuộc vào dấu nghiệm (4), tức phụ thuộc vào dấu biểu thức :
Δ = m2 - 12m + 32 ; P = 3m - ; S = m
Ta lập bảng biện luận :
Bài toán : Tìm m để phương trình x4 - 2mx2 + m2 - = (5) có ba nghiệm phân biệt
Lời giải : Đặt t = x2 (5) trở thành : t2 - 2mt + m2 - = (6)
Phương trình (5) có ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t1, t2
thỏa mãn = t1 < t2 tương đương P = & S > hay :
2.Phương trình a(x - α)2 + b|x - α| + c = (7)
(2)Ta thấy mối quan hệ số nghiệm (1), (7) với nghiệm (2) giống Có thể tổng kết lại nhờ bảng sau :
Bài tốn : Tìm m để phương trình x2 - 2x - |x - 1| + m = (8) có hai nghiệm phân biệt
Lời giải : Ta có (8) (x - 1)2 - |x - 1| + m - =
Đặt t = |x - 1| ≥ (8) trở thành : t2 - t + m - = (9)
Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (9) có nghiệm t1, t2
thỏa mãn t1 < < t2 t1 = t2 >
3 Phương trình:
Để khơng tầm thường ta giả sử k ≠ Đặt ẩn phụ :
thì (10) trở thành (2) Với giá trị t ≥ cho ta nghiệm x = 1/k.(t2 - n) Do số
nghiệm phương trình (10) số nghiệm khơng âm phương trình (2)
Bài tốn : Tìm m cho phương trình:
có hai nghiệm phân biệt
Lời giải : Đặt phương trình (11) trở thành t2 - mt + 2m - = (12)
Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t2 > t1 ≥
Tương đương với Δ > , P ≥ S > hay : m2 - 8m + 12 > , 2m - ≥; m >
hay : m > m < , m ≥ 3/2 m > Tươn đương : m > 3/2 ≥ m <
Trước dừng viết, xin đề nghị em tự giải tập sau :
(3)Bài tập : Chứng minh phương trình : mx4 - 3(m - 2)x2 + m - = ln có nghiệm với
mọi m