SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán
PHN I M U I lý chn ti Trong cỏc k thi HSG toỏn 9, thi tuyn sinh vo lp 10, vo cỏc trng chuyờn, lp chn ta thng gp cỏc dng toỏn m hc sinh cú th dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai gii quyt mt cỏch nhanh chúng, trỏnh gp cỏc sai sút mt cỏch ỏng tic cú th xy Vỡ l ú, l mt giỏo viờn c giao nhim v bi dng v ging dy mụn Toỏn 9, lp m cỏc em sp bc vo nhiu kỡ thi quan trng tụi ó hc hi v tớch ly c nhiu iu v phõn dng xõy dng phng phỏp gii cho tng dng Vi nhng lý trờn õy, sỏng kin ny tụi a "S dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai gii mt s bi toỏn II Phm vi nghiờn cu Phm vi ca ti Mụn i s i tng Hc sinh lp chn 9D trng THCS Cm Nhng nm hc 2015 2016 Mc ớch: a) Kin thc: Tỡm cc tr ca mt biu thc Gii phng trỡnh nghim nguyờn Chng minh bt ng thc b) K nng: Hc sinh cú k nng dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc, gii phng trỡnh nghim nguyờn, chng minh bt ng thc PHN II NI DUNG CA TI A NI DUNG I C s lý lun ca ti: * Phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) ax + bx = c x2 + b c x= a a 2 b b b c x + 2.x + ữ = ữ 2a a a a 2 b b 4ac x+ ữ = 2a 4a Ngi ta ký hiu: = b 4ac - Nu > thỡ phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) cú nghim phõn bit: x1 = b + ; 2a b 2a x2 = - Nu = thỡ phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) cú nghim kộp: x1 = x2 = b 2a - Nu < thỡ phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) vụ nghim * Phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) , t b=2b 2 Thỡ: = b 4ac = ( 2b ') 4ac = 4b ' 4ac = ( b ' ac ) Ký hiu: ' = b '2 ac , ta cú: = ' - Nu ' > thỡ phng trỡnh cú nghim phõn bit x1 = b '+ ' ; a x2 = b ' ' a - Nu ' = thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x1 = x2 = b' a - Nu ' < thỡ phng trỡnh vụ nghim Vy: i vi phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) cú nghim v ch hoc ' II Ni dung v phng phỏp nghiờn cu Thụng qua vic ging dy hc sinh tụi xin a mt s bi sau: Dng 1: Tỡm cc tr ca mt biu thc I Biu thc cú dng l phõn thc : Bi toỏn 1: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: 4x + a, A = x +1 2x2 2x + b, B = x + 2x + Gii: a) A = 4x + x2 + Ta cú x2+1 vi x R , nờn A = 4x + x2 + A(x2+1)=4x+3 Ax2 + A = 4x+3 Ax2 - 4x +A = (2) - Nu A=0 thỡ phng trỡnh (2) - 4x = x= A=0 x= (*) - Nu A 0, thỡ phng trỡnh bc hai n x: Ax2 - 4x +A = (2) Cú nghim v ch khi: ' (-2)2-A(A-3) 4-A2+3A (4-A)(A+1) A A A + A A A < A > (VN ) A + < A < *Max A=4, Thay vo (2) ta cú: 4x2 4x + = x = *Min A=1, Thay vo (2) ta cú: x2 - 4x 4=0 x= - i chiu vi (*) ta cú: Max A=4 x = Min A= -1 x= - 2x2 2x + b, B = x + 2x + Ta cú: x2 +2x+5=(x+1)2+4 0, x R 2x2 2x + B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + Nờn B = x + 2x + (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = (3) Nu B=2 thỡ phng trỡnh (3) 6x+1=0 x= Nu B thỡ phng trỡnh bc hai n x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = cú nghim v ch khi: ' (B+1)2-(B-2)(5B-9) B2+2B+1-5B2+9B+10B-18 -4B2+21B-17 4B2-21B+17 (B-1)(4B-17) B B B 17 17 B 17 B B < B < 17 (VN ) B 17 > B > Vy: Max B= 17 x= Min B=1 x=2 Bi toỏn 2: Tỡm a,b biu thc M = ax + b ; (4) t giỏ tr nh nht bng , t giỏ 2 x +2 tr ln nht bng Gii: Ta cú: x + , vi x R ; Nờn (4) M(x2+2) = ax+b Mx2-ax+2M-b=0 (*) - a = b = Nu M=0 thỡ (*) ax+b=0 b a 0, x = a - Nu M thỡ phng trỡnh (*) n x cú nghim (-a)2- 4M(2M-b) a2-8M2+4bM 2 M t giỏ tr nh nht bng , t giỏ tr ln nht bng 1, thỡ , l nghim ca phng trỡnh bc hai: -8M2+4bM+a2=0 (n M) Vỡ phng trỡnh: -8M2+4bM+a2=0 (n M) cú h s a,c trỏi du nờn luụn cú nghim, theo h thc viet ta cú: a = 4b b + = + = b = 2 b = 2 a = a = 1 = a = a 8 b = Vy: biu thc M = ax + b ; (4) t giỏ tr nh nht bng , t giỏ tr ln nht x +2 a = a = hoc b = b = bng thỡ: Bi toỏn 3: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc: x + xy + y A= vi x ; x2 + y - Xột y=0 A=1(*) - x xy y x x + + ữ + +1 y2 y2 y2 y y = Xột y ta cú A = x2 y2 x + y ữ +1 y2 y2 x t2 + t +1 t y = t , ta cú: A = , ta cú: t2+1 t +1 t2 + t +1 At2+A=t2+t+1 Nờn : A = t +1 (A-1)t2-t+A-1=0 - Nu A=1 thỡ t=0 (**) - Nu A 1, thỡ phng trỡnh bc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (n t) cú nghim: 1-4(A-1)(A-1) 4A2-8A+3 (2A-1)(2A-3) A < (VN ) A < A > A > A A A A 2 A A (***) 2 T (*),(**) v (***) ta cú: Max A= MinA= x=y x=-y Bi t luyn Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc: x2 x + a) A = x + x +1 2x2 + x + b) B = x2 + c) C = x xy + y x + xy + y II Biu thc l mt a thc hai bin : Bi toỏn ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011) Tìm x để y lớn thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = (1) Gii (1) x2 + 2(y 4).x + 2y2 - 6y +13 = ' =( y 4)2 - 2y2 + 6y -13 ' =- y2 -2 y +3 Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim ' -y2 - 2y +3 y2 + 2y -3 ( y 1)(y + 3) y y y y + y y y (VN ) y + y Vy Max(y) = x = -3 Bi toỏn 2.( Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04 - 05) Tìm căp số ( x; y) cho y nhỏ thỏa mãn: x + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2) Gii (2) x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim ' 4y2 - 5y2 -2y +3 -y2 -2y +3 ( y 1)(y + 3) -3 y Vy: ( x; y) = ( 6; -3) Bi toỏn 3: (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10- H Tnh nm hc 2010-2011) Tỡm x y ln nht tha món: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3) Gii: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phng trỡnh bc hai n x), cú nghim: 2 ' (y-4) -(2y -6y+13) y2-8y+16-2y2+6y-13 -y2-2y+3 y y y y + y y2+2y-3 (y-1)(y+3) y > y (VN ) y + < y Nờn y cú giỏ tr ln nht l 1, thay y=1 vo phng trỡnh (5) ta cú: x2+2+2x-8x-6+13=0 x2-6x+9=0 (x-3)2=0 x-3=0 x=3 Vy x=3 thỡ y t giỏ tr ln nht bng Bi toỏn 4: (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10- HQG H Ni- Nm hc 2004-2005): Tỡm cp s (x;y) cho y nh nht tha món: x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4) Gii: Ta cú: x2+5y2+2y-4xy-3=0 x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phng trỡnh bc hai n x) cú nghim: 2 ' (-2y) -(5y +2y-3) 4y2-5y2-2y+3 -y2-2y+3 y y y y + y y2+2y-3 (y-1)(y+3) y > y (VN ) y + < y Nờn y cú giỏ tr nh nht bng -3, thay y=-3 vo phng trỡnh (4) ta cú: x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0 x2+12x+36=0 (x+6)2=0 x=-6 Vy: (x;y)=(-6;-3) Bi toỏn 5: Tỡm m phng trỡnh n x sau x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) cú nghim l ln nht, nh nht: Gi s x0 l nghim ca phng trỡnh ó cho, phng trỡnh n m sau cú nghim: m2+2(x0+1)m+ x 04 +2 x02 +1=0 ' (x0+1)2 - ( x 04 +2 x02 +1) (x0+1)2 - ( x02 +1)2 ( x0+1+ x02 +1) ( x0+1- x02 -1) ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) Vỡ x02 +x0+2= (x0+ )2+ >0 Nờn ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) khi: ( x0- x02 ) x0(1- x0) x0 x0 x0 x0 < x0 < Du = xy x0=0; x0=1 thay vo (5) ta cú: Khi x0=0 thỡ m2+2m+1=0 m= -1 Khi x0=1 thỡ : m2+4m+4 = m= - Vy: phng trỡnh n x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 cú nghim l ln nht x0=1 thỡ m= - 2, cú nghim nh nht x0=0 thỡ m= -1 Bi toỏn 6: Tỡm cp s (x;y) tha món: x y + x = y ; (6) cho x t giỏ tr ln nht Gii: - Nu x=1 thỡ y=0 - Nu x>1, Xem phng trỡnh (6) l phng trỡnh bc n y Phng trỡnh (6) x 1y y + x = cú nghim: ( 1) x x 1- 4(x-1) (vỡ x>1) 1-4x+4 x Suy x cú giỏ tr ln nht l Thay x = vo (6) ta cú: 5 1y + = y 4 1 y2 + y = 2 y y +1 = ( y 1) = y =1 Vy: Cp s (x;y) tha món: x y + x = y ; Sao cho x t giỏ tr ln nht l (x;y)= ;1ữ Bi toỏn 7: Cho cỏc s thc thừa món: 9x2+y2=1 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: M= x y Gii t: A=x-y, Suy ra: y=x-A 9x2+y2=1 9x2+(x-A)2-1=0 10x2-2Ax+A2-1=0 ( phng trỡnh bc n x) cú nghim: ' A2-10(A2-1) -9A2+10 A2 10 A 10 10 Hay: M= x y Hay giỏ tr ln nht ca M l 10 10 Bi toỏn 8: (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10- Nm hc 2008-2009- H Tnh) Cho cỏc s x,y tha món: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8) Tỡm Min, Max ca S=x+y Gii: T: S=x+y, Suy : y=S-x, thay vo (8) ta cú: x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0 x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0 x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0 x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phng trỡnh bc hai n x), cú nghim 2 ' (-S) -(2S +8S+7) S2-2S2-8S-7 S2+8S+7 (S+1)(S+7) S + S S S + S S + S (VN ) S + S Hay: x + y x = Vy: Max S=-1 y = x = Min S=-7 y = Bài tập tự luyện: 1) Tìm Max P = -x2 y2 + xy + 2x + 2y + 2) Tìm P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ thỏa mãn: x + 5y2 4xy + 2y = 4) Cho số thực (x;y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + = Tìm min, Max S = x + y +2010 5) Cho x + y + z =3 Tìm Max D = xy + 2yz + 3xz 6) Cho số thực (x;y; z) thỏa mãn: x + y +2z = 11 Tìm P = 2x2 + 2y2 z2 7) Cho x, y, z số không âm thỏa mãn: x+y+z = Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z) Dng 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn: Bi toỏn 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = (1) Gii (1) 5x2 + 2( 4y 1)x + 5y2 + 2y + = ( pt bậc ẩn x) ' =16y2 8y +1- 25y2 -10y -10 = - 9y2 -18y - = - 9( y + 1)2 (1) cú nghim ' = y =- T ú suy x = Thử lại ta có (x;y) = ( 1;-1) Bi toỏn ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07- 08) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2-xy+y2=2x-3y-2 Gii: x2-xy+y2=2x-3y-2 x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phng trỡnh bc hai n x, y l tham s) cú nghim: ( ) ( y + 2) y + y + y2+4y+4-4y2-12y-8 -3y2-8y-4 3y2+8y+4 y < y + < y > 3 y + > (y+2)(3y+2) y y + y y + y Vỡ y Z nờn: y : - Vi y=-2, thay y=-2 vo phng trỡnh x2-xy+y2=2x-3y-2 ta c: x2+2x+4=2x+6-2 x2=0 x=0 ta cú: (x;y)=(0;-2) - Vi y=-1, thay y=-1 vo phng trỡnh x2-xy+y2=2x-3y-2 ta c: x2+x+1=2x+3-2 12 x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 hoc x=1 ta cú: (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Vy: Phng trỡnh cú nghim nguyờn l: (x;y)=(0;-2) (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Bi toỏn 3: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y = (3) Gii (3) 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - = Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim ' 3(4y2 + 4y 5) -y2 - y + ( y 1)(y + 2) -2 y Vỡ y Z, nờn y = ( -2; -1; 0; 1) Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1) Bi :Tỡm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn: 1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + = 3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - = 4) 2x2 + y2 - 2xy + y = Dng 3: Chng minh bt ng thc: Bi toỏn 1: Cho x,y tha iu kin: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chng minh: 3 x 3 Gii: x2+y2=xy+x-2y y2+(2-x)y+x2-x=0 (*) Xột phng trỡnh (*) l phng trỡnh bc hai n y, ta cú: Phng trỡnh (*) cú nghim 13 (2-x)2-4(x2-x) 4-4x+x2-4x2+4x -3x2+4 x2 x 4 x2 3 x (PCM) 3 Bi toỏn 2: Cho x,y,z tha món: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2) Chng minh rng: x y Gii: Ta cú: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5 z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*) Xem phng trỡnh (*) l phng trỡnh bc hai n z, cú nghim: ' 1-(x-2y)2+5x-10y-5 (x-2y)2-5(x-2y)+4 (x-2y-1)(x-2y-4) x y x y x 2y x y < x y > Vy: x y Bi toỏn Cho ng thc: x2 - x + y2 - y = xy ( 3) Chng minh rng: (y - 1)2 , (x - 1)2 Gii ( 3) x2 ( y 1)x + (y2 - y) = (4) = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + 14 phng trỡnh (4) n x cú nghim, ta phi cú ' , tc l 3y2 - 6y - 3y2 - 6y + 3(y - 1)2 (y - 1)2 Vai trũ x v y (3) bỡnh ng Do ú ta cng cú (x - 1)2 Bi toỏn 4: Cho a,b l hai s thc tha món: a2+4b2=1; (4) Chng minh rng: a b Gii: t a-b=x; a=b+x, thay vo (4) ta cú: (b+x)2+4b2=1 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phng trỡnh bc hai n b) cú nghim ' x2-5(x2-1) -4x2+5 x2 x Hay: a b Bi toỏn 5: Cho a,b,c tha món: a + b + c = ab + bc + ca = Chng minh rng: a , b, c a + b + c = b + c = a b + c = a ab + bc + ca = bc = a ( b + c ) bc = a ( a ) Gii: Ta cú Khi ú b,c l hai nghim ca phng trỡnh bc hai n x sau: x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, cú nghim (a-4)2-4(5-4a+a2) a2-8a+16-20+16a-4a2 -3a2+8a-4 3a2-8a+4 15 (a-2)(3a-2) a > 3a < a2 a 3a a2 Tng t ta cú: Vy: 2 b 2; c 3 a , b, c Bi toỏn 6: ( Thi HSG Toỏn huyn Cm Xuyờn nm hc 2013- 2014) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 2x + x x + (5) Gii K: x (5) P - 2x = x x + P2 4Px + 4x2 = -x2 -4x+ 4Px + 5x2 4(P 1)x + P2 1= Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim ' -P 8P + 25 (P + 4)2 -9 P Vy Max(P) = x = B NG DNG VO CễNG TC GING DY I Quỏ trỡnh ỏp dng ca bn thõn: Bn thõn tụi nghiờn cu xong sỏng kin ny, tụi ó ging dy sỏng kin ny cho hai i tng hc sinh Khỏ, Gii, tựy tng i tng m tụi chn bi cho phự hp thỡ thy a s cỏc em tip thu ni dung sỏng kin mt cỏch khỏ d dng, cỏc em rt hng thỳ t mỡnh cú th lp cỏc bi toỏn mi tng t II Hiu qu ỏp dng ti 16 Khi ging dy ti ny cho hc sinh lp chn 9D nm hc 2015 2016 tụi ó cho cỏc em lm bi kim tra v kt qu thu c nh sau: LP 9D S S 32 GII SL % KH SL % 12 13 % % TB SL % % III Nhng bi hc kinh nghim rỳt ra: Qua sỏng kin ny tụi nhn thy rng mun dy cho hc sinh hiu v dng mt no ú trc ht ngi thy phi hiu mt cỏch sõu sc, vỡ vy ngi thy phi luụn hc hi, tỡm tũi, o sõu suy ngh tng bi toỏn, khụng ngng nõng cao trỡnh cho bn thõn IV Nhng kin ngh xut Khi ging dy sỏng kin ny cho hc sinh, thy cụ cn nghiờn cu k dng phự hp vi i tng hc sinh ca mỡnh PHN III KT LUN ti S dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai gii mt s bi toỏn l mt khú nhng quỏ trỡnh tỡm hiu tụi thy õy l mt ti rt hu ớch khụng nhng cho bi dng hc sinh gii m cũn bi dng kin thc cho giỏo viờn, c bit l nhng em hc sinh mun thi tuyn vo cỏc lp chn, lp chuyờn ca trung hc ph thụng, hy vng qua ti ny gúp mt phn nh vo kho tng kin thc ca quý thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh Trờn õy l mt s bi toỏn v suy ngh ca tụi vic nõng cao cht lng dy hc b mụn Toỏn Rt mong cỏc bn ng nghip gúp ý xõy dng thc t ging dy ca mỡnh i vi mụn toỏn núi chung v mụn i s núi riờng ngy cng cú cht lng hn Mc dự ó rt c gng nhng vi kin thc cũn hn ch chc chn tụi cha th a mt cỏch trn c, mong cỏc thy cụ giỏo úng gúp ý kin xõy dng sỏng kin ny c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! Thỏng 09 nm 2016 Ngi thc hin 17 18 ... Min S=-7 y = Bài tập tự luyện: 1) Tìm Max P = -x2 y2 + xy + 2x + 2y + 2) Tìm P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ thỏa mãn: x + 5y2 4xy + 2y = 4) Cho số thực (x;y)... 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04 - 05) Tìm căp số ( x; y) cho y nhỏ thỏa mãn: x + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2) Gii (2) x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim ' 4y2 - 5y2 -2y +3 ... = x2 + c) C = x xy + y x + xy + y II Biu thc l mt a thc hai bin : Bi toỏn ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011) Tìm x để y lớn thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = (1) Gii