Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông

101 915 2
Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

B ộ• GIÁO DỤC • VÀ ĐÀO TẠO • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI • • • • NGUYỄN THI THÚY ỨNG DUNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐẺ GIẢI MỘT SỔ BÀI TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn truyền thụ kinh nghiệm đồng thời người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Đông Anh- Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, 15 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thúy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, 15 tháng năm 2015 T"1 / _ •1 Tác giả Nguyễn Thị Thúy MỤC LỤC Trang M đ ầu Chương I: Sai phân, phương trình sai phân hệ phương trình sai phân 1.1 Dãy s ố .7 1.1.1 Dãy số hội tụ, dãy số phân kì 1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa sai phân 1.2.2 Một số tính chất sai p h ân 1.3 Phương trình hệ phương trình sai phân 11 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính 11 1.3.2 Tuyến tính hóa 29 1.3.3 Phương trình sai phân với hệ số biến thiên 32 1.3.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 35 Chương II: ứng dụng sai phân giải số toán phổ thông 39 2.1 Bài toán tính tổng 39 2.2 Bài toán tìm số hạng tổng quát giới hạn dãy số 53 2.3 Bài toán sai phân trong phương trình hàm 71 2.4 Bài toán sai phân tích phân truy hồi 80 Chưong III: ứng dụng phưoug trình sai phân giải số toán phổ thông 3.1 ứ ng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 85 3.2 ứ ng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 91 K ết lu ân 100 T ài liêu tham k h ảo 101 Mở đầu Lí chon đề tài • Trong năm gần phát triển mạnh mẽ giải tích số nên việc ứng dụng khoa học thực tiễn ngày sâu rộng Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Các kết nghiên cứu phương trình sai phân áp dụng số lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ động lực ròi rạc, đặc biệt lĩnh vực toán phổ thông Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nghiên cứu số ứng dụng sai phân phương trình sai phân việc giải số toán phổ thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tốt Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề nên chọn nghiên cứu đề tải: ủng dụng sai phân phương trình sai phân giải số toán trường phổ thông * Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên có vấn đề mong muốn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sai phân, phương trình sai phân Sưu tầm giải số toán dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông giải sai phân phương trình sai phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số phương trình sai phân hệ phương trình sai phân Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp sai phân, phương trình sai phân ứ ng dụng sai phân, phương trình sai phân giải số toán phổ thông Phạm vi nghiên cứu toán cho học sinh giỏi phổ thông Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích, đại số tuyến tính Vận dụng sai phân phương trình sai phân để giải toán cụ thể toán phổ thông Cấu trúc luân văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục tài liệu tham khảo luận văn bao gồm chương CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân CHƯƠNG II: ứ ng dụng sai phân giải số toán phổ thông Chương III ứ ng dụng phương trình sai phân giải số toán phổ thông Đóng góp luận văn Luận văn trình bày số ứng dụng sai phân phương trình sai phân vào việc giải số toán cho học sinh giỏi trường phổ thông Hy vọng luận văn phần giúp tác giả công việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Đông Anh C H Ư Ơ N G I: Sai phân, phư ơng trình sai phân, hệ phư ơng trình sai phân 1.1 Dãy số 1.1.1 Dãy số hội tụ, dãy số phân kì a) Dãy số Một hàm số X xác định tập số tự nhiên N gọi dãy số Đối với dãy số người ta thường viết X thay cho kiểu viết thông thường hàm số x(n), n £ N b) Một số dãy Dãy số tự nhiên ký hiệu N có dạng {N} = {o, 1, , n, } Dãy số tự nhiên khác không ký hiệu N* có dạng Ịn* j = {l, Dãy số nguyên dương z + có dạng Ị z +| = {l, , n, } , n, } Dãy số {xn} gọi là: Bị chặn tồn số M cho хп < м Vn = 1, 2, Bị chặn tồn số m cho xn >m V n = 1, 2, Bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn c) Dãy số hội tụ, dãy phân kì Ta nói dãy số {xn} có giới hạn a ( dãy sổ hôi tu ) nghĩa là: Với số dương £ nhỏ tùy ý cho trước, tồn số tự nhiên N cho với n> N \xn - a\ < s Ta viết lim xn = a ( a hữu hạn ) Dãy số giới hạn hay không hội tụ gọi dãy sổ phân kì 1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa sai phân Định nghĩa Giả sử f : i? —» i? hàm sổ cho trước h số khác Ta gọi hiệu: л°/(x) = / (jt) sai phân cấp hàm sổ y = f (x) Д1/ (x) = f ( x + h) —f (x) sai phân cấp hàm sổ y = f (x) AV ( x ) = A(Alf ( x ) ) = A f(x + h )~ Л /(x) = f ( x + 2h) - / + h) + f ( x ) sai phân cấp hàm số y - f (x) A”f (jc) = A(A" lf (x)) = ỵ f (x + hk).{-1)*+1 sai phân cấp n к= hàm số y - f (x) Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu Ах = X J X sai phân hữu hạn cấp hàm số Jf(n) = X với n e N* we N n e Z Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp hàm X sai phân sai phân cấp X , nói chung sa i ph ân cấp к hàm X s a i p h â n c ủ a s a i p h â n c ấ p к - ì hàm sổ Như vậy, Sai phân cấp hàm X là: A2X = Л(Лх ) = Ax +1 - Ax = Xn + — Xл + 1, — (x —JCn /) V и + = Xn+2 — 2xл + l , + X lì Sai phân cấp hàm X là: A3X - A(A2X ) = A2X +1- A2X =xn +^,3 - 2xn +^ 2, + X71 +^ - V(jc/ í - x„+1 n+ J - + 2x n ^+1 + X 71J) + 3x„ - nxn + in n+ Nói chung, sai phân cấp к hàm X là: д*х, = Д(Д*-Х.) = д ‘"х„, - д*-‘х, = t ( - l ) ' c ; ( a ) ỉ=0 1.2.2 Một số tính chất sai phân Tính chất Sai phân cấp có biểu diễn qua giá trị hàm số Chứng minh Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức ( a ) Thât vây với Ả: = 1,7 ta có Лхп = Jt71+1 - Xп = c,°x ф, - с!i nX • •J п+ i Vậy công thức (a) với к = \ Giả sử (a) với к , có nghĩa л кхп= ± ( - ) \ с к.хп+к_п 1=0 Ta chứng minh (a) với к + 1, tức Д* * = A , - A = Ẻ ( - ) ' C X t ( - l ) ' C X ;=0 ;=0 +k - г Trong tổng thứ hai ta đổi số ỉ i - ì , sau thay ỉ ỉ , ta Ё ( - ) Ч „ - , = Ё ( - ) " с ; - Ч +1., i=0 = - Е н у с г ч +, i=1 ỉ'=l Bởi yậy к к+ A* *■*„=£ H ) ' c k « -

Ngày đăng: 13/08/2016, 21:13

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan