Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông

Các kết quả nghiên cứu của phương trình sai phân được áp dụng trong một số lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ động lực ròi rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vự

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

NGUYỄN THI THÚY

ỨNG DUNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐẺ GIẢI MỘT SỔ BÀI TOÁN

ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên khích lệ tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày

tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Đông Anh- Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập

và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, 15 tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, 15 tháng 6 năm 2015

T"1 / _ • 1

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

MỤC LỤC

Trang

M ở đ ầ u 5

Chương I: Sai phân, phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân 7 1.1 Dãy s ố 7

1.1.1 Dãy số hội tụ, dãy số phân kì 7

1.2 Sai phân 7

1.2.1 Định nghĩa sai phân 7

1.2.2 Một số tính chất của sai p h â n 8

1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân 11

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính 11

1.3.2 Tuyến tính hóa 29

1.3.3 Phương trình sai phân với hệ số biến thiên 32

1.3.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 35

Chương II: ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông 39 2.1 Bài toán tính tổng 39

2.2 Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số 53

2.3 Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm 71

2.4 Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi 80

Chưong III: ứ ng dụng của phưoug trình sai phân giải một số bài toán ở phổ thông. 3.1 ứ n g dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 85

3.2 ứ n g dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3 91

K ết lu â n 100

T ài liêu tham k h ả o 101

Mở đầu

1 Lí do chon đề tài•

Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên việc ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn ngày càng sâu rộng Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Các kết quả nghiên cứu của phương trình sai phân được áp dụng trong một số lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ động lực ròi rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông

Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi của tôi được tốt hơn

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tải:

ủng dụng sai phân và phương trình sai phân giải một số bài toán ở trường phổ thông *

Do điều kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề không thể được như mong muốn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sai phân, phương trình sai phân

Sưu tầm và giải một số bài toán dùng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở phổ thông được giải bằng sai phân và phương trình sai phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số phương trình sai phân và hệ phương trình saiphân

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp sai phân, phương trình sai phân.

ứ n g dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông.Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức của giải tích, đại số tuyến tính

Vận dụng sai phân và phương trình sai phân để giải các bài toán cụ thể trong toán phổ thông

6 Cấu trúc luân văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn còn bao gồm 3 chương

CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân.CHƯƠNG II: ứ n g dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.Chương III ứ n g dụng của phương trình sai phân giải một số bài toán ở phổ thông

7 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông

Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh

C H Ư Ơ N G I: Sai phân, p h ư ơ n g trìn h sai p h ân , hệ p h ư ơ n g trình sai p hân.

1.1 Dãy số

1.1.1 Dãy số hội tụ, dãy số phân kì

a) Dãy số

Một hàm số X xác định trên tập các số tự nhiên N được gọi là dãy số Đối với

dãy số người ta thường viết X thay cho kiểu viết thông thường của hàm số

x(n), n £ N

b) Một số dãy cơ bản

Dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng {N} = {o, 1, 2 , n, }

Dãy số tự nhiên khác không ký hiệu là N* có dạng Ịn* j = {l, 2 , n, }

Dãy số nguyên dương z + có dạng Ị z +| = {l, 2 , n, }

Dãy số {xn} được gọi là:

Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho хп < м Vn = 1, 2,

Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn >m V n = 1, 2,

Bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

c) Dãy số hội tụ, dãy phân kì

Ta nói rằng dãy số {xn} có giới hạn là a ( dãy sổ hôi tu ) nghĩa là: Với mọi số dương £ nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n> N thì \xn - a\ < s Ta viết lim xn = a ( a hữu hạn )

Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy sổ phân kì.

Ta gọi hiệu: л°/(x) = / (jt) là sai phân cấp 0 của hàm sổ y = f (x)

Д1/ (x) = f ( x + h) — f (x) là sai phân cấp 1 của hàm sổ y = f (x)

AV ( x ) = A(Alf ( x ) ) = A f(x + h )~ Л /(x) = f ( x + 2h) - 2 / 0 + h) + f ( x ) là sai phân cấp 2 của hàm số y - f (x)

A”f (jc) = A(A" lf (x)) = ỵ ơ f (x + hk).{-1)*+1 là sai phân cấp n

к= 0

của hàm số y - f (x)

Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu Ах = X J X là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm

số Jf(n) = X với n e N* hoặc we N hoặc n e Z

Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm X là sai phân của sai phân cấp 1

1.2.2 Một số tính chất của sai phân

Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của hàm số

Chứng minh Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức ( a )

+ k - г

Thât vây với Ả: = 1, ta có Лх = Jt - X = c,°x ф, - с! X • • J 7 п 71+1 п 1 п+ i i n

Vậy công thức (a) đúng với к = \

Giả sử (a) đúng với к , có nghĩa là

i=0 Vậy (a) đúng với k + ì

Theo luật quy nạp, ta có công thức (a) đúng với mọi giá trị n nguyên dương.

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính

Chứng minh: Ta phải chứng minh

A k(axn+ byn ) = aAkxn + b ầ ky n {k = 1,2, )

Thật vậy, theo (a) ta có д*(шси+ byn) = Ề ( - 1 y ơ k(axn+k_.+ byn+k_.)

i=1

Giả sử d eg P ịx ) = n ta có p ị x ) = a xn + a ^x"“1 + + axx + aữ (a ^ 0)

Vì c\a h ^ O nên degầP[x) = n - ì

Tổng quát Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:

1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân

1.3.1 Phưong trình sai phân tuyến tính

+ f là một hàm sổ của n được gọi là vế phải.

+ x là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.

Phương trình (1.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k , vì để

tính được tất cả các giá tri X , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của X theocông thức truy hồi

b) Định nghĩa 2

• Nếu / = 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tỉnh thuần

nhất.

• Nếu f * 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.

• Nếu f =0 và aữ,aỉ, ,ak (aữ * 0,ak * 0 ) là các hằng sổ thì (1.1) trở thành

L.x = anx + a,x , ì + + a,x = 0 h n 0 n +k 1 n + Ẵ -1 k n (1-2) \ / Khi đó (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với

Hàm số Xn phụ thuộc vào tham số k , thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm tổng

quát của (1.2) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x ữ, X1, x k ] ta đều xác định được

duy nhất các tham số C0, C j , C t l nghiệm X trở thành nghiệm riêng của (1.2)

tức là thỏa mãn (1.2) và thỏa mãn Xo = x 0 , Xi = Jtj, , Xk - 1 = Jcjfc_1

Định lí 1: Nghiệm tổng quát X của (1.1) bằng tổng Xn và X* với X* là một

nghiệm riêng bất kì của (1.1).

Giả sử xữ, xk , là các giá tậ ban đầu tùy ý Ta chứng minh rằng có thể xác

^ 0 Điều này có được tò tính độc lập tuyến

tính của các véctơ nghiệm X J, X 2, ckx k

Bây giờ ta tìm nghiệm X n của (1.2) và nghiệm X của (1.1)

Vì phương trình thuần nhất (1.2) luôn có nghiêm X = 0 nên để tìm nghiệm tổngquát ta tìm X dưới dạng X = cẲn, c ^ 0, Ẳ ^ 0.

Thay X =cẲn vào (1.2) ước lượng cho CẲH ta được

LhẲ — ữ0Ẳk + ữ1Ẳk 1 + + ữ t = 0

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2) Nghiệm X n của(1.2) và nghiệm X* của (1.1) phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của (1.3)

T H I: Nếu (1.3) có k nghiệm thực khác nhau là Ậ , Ầ2, Ẳ k thì nghiệm tổng

quát x n của (1.2) có dạng Xn = qýự + C2Ằ£ + + ck/ự = ỵ^c.Ầ" trong đó

i= 0 Ỉ9t7=1

trong đó a., ai là các hằng số tùy ý.

TH3: Nếu (1.3) có nghiệm phức Ắ = a + bỉ = r(cosọ+isin(p) trong đó

r = |/L| = Võ^ + b2 ,<p = acgumenĂ, (tan ọ = —), thì (1.3) cũng có nghiệm liên hợp

a phức Ẳj = a - b i - r(cos<p- ỉsinọ) Khi đó ta có

Ẳn - rn (cosnẹ? + i sin nọ), Ẫ"i - r" (cosnẹ? - ỉ sin nọ) là các nghiệm của (1.2).

Ta lấy

X1 = — ( Ấ n + ẫ " ) = r" c o sn ỹ > j

X 2 = — { Ẳ n - ẳ ] ) = r " s i i m ẹ ?

Làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) Khi đó theo định lí 2 ta được

x„ - 2^ Ấ.Ẳn + r"(B.cosn<p + c.sinnẹ?) trong đó A ,B ,C là các hăng sô tùy ý

ị * j = \

TH4: Nếu (1.3) có nghiệm bội phức Ẵ bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp phức Ăj bội s Trong trường hợp này ngoài nghiệm

Ằ.x- r"cosnẹ?, Ầji - sin nọ ta cần lấy thêm 2 n - 2 véctơ bổ sung

Ta có thể xét các trường hợp đặc biệt có thể tìm nghiệm riêng X

T H I: / là đa thức bậc m của n ; / = P (n ),m & N

+ Nếu các nghiệm Ậ, Ẫ2, Ẳ k là các nghiệm khác 1 của phương trình đặc

trưng, thì

* ;= Ổ„ (»)>»* eN

Q (n)là đa thức cùng bậc m với / + Nếu các nghiệm Ẳ bội s thì

X* = nsQ {rì), m e N TH2: f = p («)./?", mG N , trong đó p (n) là đa thức bậc m của n

+ Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực khác p

thì X* có dạng

K = Qm cn).Ị3” ( Qm (n) cùng bậc với /„ ) + Nếu phương tìn h đặc trưng có nghiệm Ằ - p bội s thì

X =nsp \ Q {rì) (Q (n) là đa thức của n cùng bậc với / )

TH 3: / = a cos nx + yổsin nx, ( a ,p ) là các hằng số Trong trường hợp này

nghiệm riêng có dạng

X* - Acosnx +Bsmnx n

TH4: f n = / nl + f n2 + + f ns, trong trường hợp này nghiệm riêng x \ ứng với từng hàm / , / = 1,2 ,5 Nghiệm riêng X* ứng với hàm / là

X* = x \ + x \ + n n \ n l + X* ns

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân)

I.3.I.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

a) Định nghĩa

Phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp một có dạng

ax J + bx = f , a ^ 0, b ^ 0 hoặc X 1 = qx + f , q ^ 0 (1.4)+ Nếu a, b, q là các hằng sổ, thì ta cỏ phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp

một với hệ sổ hằng số.

+ Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta cỏ phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp một

với hệ sổ biến thiên.

+ f là một hàm của n , gọi là vế phải.

+ X là ẩn.

+ Nếu f = 0, ta có phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp 1 thuần nhất;

+ Nếu f * 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân

tuyến tính cấp một không thuần nhất.

Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)

+ Nếu / là đa thức bâc m của n: f = p (rì), m e N : ơ n • J n m v s 7

1) Ẳ * 1 thì x*n tìm được dưới dạng đa thức cùng bậc a , b ,q

x *n = Qm(n )5 Qm(n) là đa thức bậc m của n 2) Á = 1 thì

x*n - nQ M ’ ôm(n) là đa thức bậc m của n

+ Nếu / = aỊ3n {a ^ 0,yổ ^ 0) tíiì tìm x*n dưới dạng

1) x*n - cfin, nếu Ả * Ị3

2) x*n - cnỊ3n, nếu Ẳ - p

Mở rộng

Nếu / = p (rì)fin {J3 ^ 0) thì tìm x*n dưới dạng

1) x *„ - Qm{rì)Pn ■ > nếu Ẳ ^ j3 ,(Q m(n) là đa thức bậc m của n

2) x*n - Q m{ n ) n pn, nếu Ẳ - Ị 3 , { Q m( n ) là đa thức bậc m của n .

Nếu / =ao,osnx +J3únnx, ( a 2 + Ị32 * 0 ,x * k 7 T ,k G Z ) Tìm x*n dưới dạng X* =Acosnx + Bsinnx n

Nếu /„ =/„, + /„2 + + f ns, trong trường họp này nghiệm riêng xnk ứng với từng hàm f k,k = 1,2 ,5 Nghiệm riêng x k ứng với hàm / là

X = x \ + x \ + + x n n ì n2 ns

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân)

Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình ax l + bx = f

b

Phương trình thuân nhât ax 1 + bx = 0 có nghiệm X = CÂn,(Â = — )

a

Để tìm nghiệm riêng, ta xem c biến thiên theo n , có nghĩa là c là một hàm của

n và tìm X* = CnẢn Thay vào phương trình sai phân, ta được

Lấy tổng hai vế theo Ả; từ 0 đến n - 1, ta được

Vậy

1.3.1.4 Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai

a) Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp hai có dạng

+ f là một hàm của n , gọi là vế phải.

ax , + bx n+2 , + cx = 0 n +1 n (1.6)

hay * +2 = pxn+1 +

b) Nghiệm của phưong trìn h sai phân tuyến tính cấp hai.

Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp n , nghiệm tổng quát của (1.5) có dạng xn = x„ + x*n, trong đó X n là nghiệm của phương trình sai phân

tuyến tính thuần nhất (2.6) và x*n là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1.5).

Bước 1: Tìm nghiệm tồng quát Xn của phương trình thuần nhất (1.6)

Đặt xn = Ẳn Thay vào (2) ta có :

Từ đó ta có các trường hợp sau:

T H I: Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có 2 ngiệm thực khác nhau Ậ ^ Ẳ2 thì

x„ = AĂỊ1 + BẰ% trong đó Ả, B là hai hằng số tuỳ ý.

TH2: Ậ =Ắ2 =Ắ là số thực, nên un - Ẳn là một nghiệm của (1.6) Ta tìm

nghiệm thứ hai của (1.6) là V dưới dạng: vn = y nẴn Thay vn vào (1.6), ta

được

a.yn+2r +2+ byn+ỉr +' + cynr = 0

Theo công thức Moivre ta được Ă" - r"(cosn<£>+sin n ọ ).

Nếu Ẳn là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng là nghiệm, nên ta được 2 nghiệm u =cos(p,v =sinẹ?.

V

Hai nghiệm này độc lập tuyên tính, vì — = tgnọ ^ cosnt.

v„ = nẦ„ n n

U n

Do vậy nghiệm U n - A cos n<p + B sin nọ

Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân

Lòi giải: Ta có phương trình đặc trưng Ả1 + 8/1 - 9 = 0 có nghiệm

4 = 1 , ^ = -9

Do đó

Từ giả thiết ta có

x„= A + B (-9)'

Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân

Với giả thiết ban đầu đễ dàng tìm được Ẩ - l , 5 = 3

Vậy phương trình có nghiệm x„ = (1 + 3n).4"

Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân

*n+2 = *B+1 -1 - ỉ

Bước 2: Tìm nghiệm riêng x*n tùy ý của phương trình (1.5)

Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định).

Xét các trường hợp sau:

T H I: / là đa thức bậc k của n : / =Pk(n).

+ Nếu (1.7) không có nghiệm Ẳ - l , Ũ í ì tìm

x*n = Qk (n) ( Trong đó Qk («) là đa thức bậc k của n ) + Nếu (1.7) có nghiệm đơn Ẳ - 1, thì x*n = nQk(n)

Thay vào phương tìn h sai phân, ta được

(« + 2 )[a (« + 2 )+ Zj] + 4(w + l)[a (n + l) + Zj]-5w(aw+Zj) = 2«+ 8

Vậy nghiệm riêng của phương trình là X* - n2

Ví dụ 2 Giải phương trình sai phân

Í2xn + 2 - 5xn +1 + 2xn = - n - 2n + 3

1*, =1, Xl =3

Lời giải:

Phương tìn h đặc trưng 2Ẳ1 - 5Ã + 2 = 0 có các nghiệm Ẳ - 2 và Ẵ - —

Do vậy Xn = A2n+ B — , x*=an + bn + c •J 2"

thay x*n vào phương trình sai phân, ta được

TH2: / = Pk{n)pn, trong đó p k(n) là đa thức bậc k của n.

+ Nếu phương trình đặc trưng (1.7) không có nghiệm Ẳ - p thì tìm

trong đó Qk{rì) là đa ứiức bậc k của n

Ví dụ 1 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

2n + 2 + 5 x +1 + 2 x = ( 3 5 n + 5 l ) 3 "

Lòi giải:

Phương trình đặc trưng 2Ẫ2 + 5Ấ+ 2 - 0 có nghiệm Ậ = - 2 , Ẵ 2 = - — đều khác p = 3, nên x*n = ịan + b)3".

Thay X* vào phương tìn h đặc trưng và nhóm các số hạng đồng dạng, ta được

35 an + 5 \a + 35b - 35« + 51=>a = l,ố = 0

TH3: f = p (rì)cosỊ3 + Q (n)sinj3

trong đó p (n) và Q (n) là các đa thức bậc Nếu a = cosfi ± isinj3, không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.7) thì

tìm X* dưới dạng

x*n = Tk { r ì ) c o s f i n + R k ( n ) s in / 3 n ( trong đó Tk (n) và RK (n) là các đa thức bậc k của n )

Nếu a - cosJ3 ± isỉnJ3 là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm x*n dưới

dạng

X* = nTk{rì)cos 0 n + nRk{n)sinfin

( trong đó Tk{n) và Rk{n) là các đa thức bậc k của n)

Ví dụ 1 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

c) Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình sai phân X+2 = p x n+1 + q x n + f n , (l 8)

Có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là

Theo công thức sai phân của tích

với w_ =“S+1 V„+1 ^ 0 vì ỉ/ , V độc lập tuyến tính.

Từ đó X n — A u + B v n n n n

Đặc biệt, nếu phưong trình đặc trưng có hệ số hằng thì phương trình đặc

trưng Ẳ2 - pẲ - q = 0 có nghiệm Ậ , Ắ2 vàẦlẦĩ = - q Do vậy

+ Nếu Ậ * Ầ2 là các nghiệm thực của phương trình đặc trưng thì hai

nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhất là

+ Nếu Ậ - Ã2 - Ã là nghiệm thực kép của phương trình đặc trưng thì hai

nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhất là

Nếu Ấ = r(cosọ+sinọ) là nghiệm phức kép của phương trình đặc trưng thì

hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhất là

Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân sau bằng phương phápbiến thiên hằng số.

Vậy nghiệm riêng của phương trình là

x = A u + B y =/l n n 71 71 2"+1 cos (w + 1)ír •COS — + sin (w + 1)ír sin —^ Tỉ' 7T n

= 2"

Xét phương trình phi tuyến F (Jtn, xn + ỉ xn+k) = 0 (1-10)

Từ phương trình (1.8) ta đưa phương trình về dạng

Với điều kiện ban đầu xl = a v x2 = a 2, X ị = a k

Giả sử (1.11) tuyến tính hóa được, khi đó tồn tại các hệ số a v a 2 , a k để ta có

Với a1, a2, a k tìm được ta suy ra xn - axxn_x + a2xn_2 + + ãk xn_k (1.12).

Đây chỉ là điều kiện cần để phương trình (1.10) tuyến tính hóa được

Ta cần kiểm tra điều kiện đủ bằng phương pháp chứng minh qui nạp

Ví dụ 1: Tuyến tính hóa phương trình sau

Giả sử (2) đúng với n - k tức là xk = Axk_ị - xk_2 (k > 4, k € N)

Ta chứng minh (2) đúng vói n = k + 1, tức là ta phải chứng minh

**-1

= \5xk_ỉ - 4 x k_2 (**)

Vì xk = 4x^1 - ^ _ 2 nên = Axk_x - xk

Tiếp tục thay vào (**) ta có xk+l = 1 5 ^ ! - 4(4x/t_1 - xk) - 4 x k - Xk_x

Theo nguyên lí qui nạp ta có xn = 4xn_ỉ - xn_2 \/n = 3,4,

Ví dụ 2: Tuyến tính hóa phương trình sau

Giả sử (2’) đúng với n - k tức là xk = 10jcfe_j - x k_2 (k > 4, k e N)

Ta chứng minh (2’) đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh

Theo nguyên lí qui nạp ta có xn = 10jcn_, - xn_2 V« = 3,4,

1.3.3 Phưong trình sai phân với hệ số biến thiên

I.3.3.I Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 vói hệ số biến thiên

Gọi x*n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.13), khi đó x‘+1 = q X + f

Lấy (1.13) trừ phương trình trên ta được X +1 - x*+l - q (x - X*)

Đặt xn-x*n = xn ta được Xn+\ = qnXn có nghĩa là x„ là nghiệm tổng quát của phương tìn h sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.13) ta có đpcm

Để tìm X n ta viết hê thức • X = n + 1 q Ẩ n X n lần lươt từ n = 1, 2 , như sau• 7 7

Nhân vế với vế và rút gọn ta được xn - ( n - l)lXj ^ X n - C ị n - 1)!

Coi c là hàm của n ta tìm nghiệm riêng x*n = Cn{ n - 1)!

Khi đó thay vào phương trình ban đầu ta được

Kêt hơp với điêu kiên ban đâu X = — ta đươc C=1

1 89

1 ( 1Y

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là xn = ị n - 1)!+ — n - — [n - 1)!

1.3.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 vói hệ số biến thiên

Nghiệm tổng quát của (1.14) có dạng xn = x„ + x*n, trong đó x„ là nghiệm của

phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và x*n là một nghiệm riêng tuỳ ý của

(1.14)

Chứng minh

Gọi x*n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.14), khi đó x*+2 - p .JC*+1 + q X* + f

Lấy (1.14) trừ phương trình trên ta được *n+2 - / +2 = pn(xn+1 - x'n+1 ) + qn(xn- x n)4

Đặt xn-x*n = xn ta được Xn +2 = p nXn+1 + qnXn có nghĩa là X» là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.13) ta có đpcm

Ví dụ 1: Giải phương tìn h sai phân

Như vây Xn -X„+X*n- U „ - A n - — + - — ( trong đó A,B là hai hằng số

tùy ý )

1.3.4 Hệ phưong trình sai phân tuyến tính

13.4.1 Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1

Hệ đã cho tương đương vói xn+2 = 5хи+1 - 6xn, x0 = l,x ỉ = 2

Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

Я2 -5 Я + 6 = 0=> ^ = 2 , ^ = 3 nên xn - A T + B3" D o x0 — I — A + B, XÌ = 2 = 2A + 3B => J = 1, в - 0 => xn - 2"

Từ phương trình đầu ta có

2y„ = 4x„ - x„+1 = 4.2" - 2n+1 = 2" (4 - 2) = 2.2" =>yH= 2*4 Vậy hệ có nghiệm xn - 2",y n - 2”

13.4.2 Giải phương trình phân thức

( Bằng cách đưa về giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính).

Xét phương trình X px„+q

rxn +5 Trong đó p, q, r, s là các hằng số, a cho trước.

Giả sử y n và zn là nghiệm của hệ phương tìn h sai phân

CHƯƠNG II: ứ n g dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông 2.1 Bài toán tính tỗng

Lưu ý: Với n G z ta luôn có: