SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO BÁO CÁO SÁNG KIẾN SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP Tác giả: Phạm Quốc Thịnh Trình độ chuyê

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP

Tác giả: Phạm Quốc Thịnh

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Chức vụ: Giáo viên

Nơi công tác: Trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định

Nam Định, ngày 15 tháng 6 năm 2015

1 Tên sáng kiến: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên để giải một số bài toán tổ hợp

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Đại số và giải tích lớp 11 chương

trình THPT

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Kể từ ngày 5 tháng 9 năm 2014

4 Tác giả:

Họ và tên: Phạm Quốc Thịnh

Năm sinh: 1980

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định

Điện thoại: 0913898797

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định

Địa chỉ: 75/203 đường Trần Thái Tông - phường Lộc Vượng - thành phố Nam Định

Điện thoại: 03503847042

MỤC LỤC

I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH ĐỂ TẠO RA SÁNG KIẾN ……… 4

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP ……… 7

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến ……… 7

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến ……… 11

III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI ……… 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……….……

I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong các kỳ thi Olympic Toán, bài toán tổ hợp luôn gây ra nhiều khó khăn cho học sinh

Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 trình bày một chương về tổ hợp và xác suất

Sử dụng các khái niệm và quy tắc tính tương ứng ta giải được các bài toán đếm số tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước

Ta trích dẫn bài toán tổ hợp trong đề thi VMO - 2014 để minh họa:

Bài toán: (VMO 2014) Cho đa giác đều có 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác

và tô màu xanh các đỉnh còn lại Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh

xanh kề nhau Xác định số cách tô màu cả các đỉnh để B =14 Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Lời giải 1:

Số đỉnh được tô màu xanh là: 103 79 24− =

Nếu tất cả các đỉnh đỏ chụm thành một cụm thì A =78

Nếu tất cả các đỉnh đỏ bị cắt thành hai cụm thì A =77

Cứ như thế, nếu tất cả các đỉnh đỏ bị cắt thành k cụm thì A=79−k

Nhận thấy, nếu có k cụm đỏ thì cũng có k cụm xanh nên B=24−k

Như vậy, các giá trị mà k có thể nhận được là 1, 2 , , 24 Suy ra cặp ( , )A B có thể nhận được 24 giá trị

Để có B =14 thì k =10, tức là cần chia các đỉnh xanh thành 10 cụm, chia các đỉnh đỏ thành 10 cụm Ta cần đếm số cách chia như vậy

Ta đánh số các cụm xanh từ 1 đến 10, bắt đầu từ một cụm nào đó Gọi số phần tử của

cụm thứ i là x i, với i =1.10 Khi đó các số: y1=x y1; 2 =x1+x2; ; y9 = x1+ +x9

(riêng y =10 24 cố định, không tính) là các số dương khác nhau từ 1 đến 23 (không thể

là 24)

Có 9

23

C cách chọn 9 số từ 23 số Như vậy, có 9

23

C cách chia 24 đỉnh xanh thành 10 cụm (có xếp hàng)

Tương tự như vậy, có 9

78

C cách chia 79 đỉnh đỏ thành 10 cụm

Theo quy tắc nhân, có C C239 789 cách xếp hàng

Mỗi cách xếp hàng trên cho ta một cách tô màu: Đầu tiên, tô một cụm đỉnh xanh, rồi đến một cụm đỉnh đỏ, rồi đến 2 cụm đỉnh xanh,… (Vì có thể quay vòng tròn nên ta quan niệm điểm bắt đầu là một cụm đỉnh xanh)

Vì 79 là một số nguyên tố nên trong C C239 789 cách tô trên, không có cách nào là trùng nhau (theo định nghĩa về sự trùng nhau đã nói trong bài toán) Tuy nhiên, ta lại có 10 cách chọn điểm bắt đầu nên đáp số của bài toán là:

9 9

23 78

10

C C

Bình luận: Cách giải trên sử dụng quy tắc nhân, khái niệm tổ hợp và công thức tính số

tổ hợp đã được trình bày trong Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 Tuy nhiên, ta cũng có lời giải khác dựa vào nhận xét về số tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước với

số nghiệm nguyên không âm của một phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Lời giải 2: Gọi X là số các cụm đỉnh màu đỏ liền nhau thì B=24−X Do đó để 14

B = thì x =10

Trước hết, ta chia 24 điểm xanh thành 10 cụm Nhận thấy số cách chia 24 điểm xanh vào 10 cụm bằng số nghiệm nghuyên không âm của phương trình:

1 2 10 24

x +x + +x = Phương trình này có 9

23

C nghiệm nguyên không âm

Tiếp theo, ta xem xét việc sắp xếp các cặp cụm điểm xanh - đỏ như việc có sẵn 79 điểm trên đường tròn Ta bỏ 10 cụm điểm xanh vào các khoảng trống giữa hai điểm đỏ liên tiếp, mỗi khoảng trống có nhiều nhất một cụm Số cách chọn 10 khoảng trống trong số 79 khoảng trống là 10

79

C

Sự trùng lặp theo phép quay là ở chỗ ta chọn 10 khoảng trống trong 79 khoảng trống trong đường tròn Vì (10,79) 1= nên mỗi cách tô bị lặp đúng 79 lần

Vậy đáp số của bài toán là:

9 10

23 79

79

C C

Bình luận: So sánh hai lời giải trên, nhận thấy nếu có thể nhận xét về mối liên hệ giữa

số nghiệm nguyên không âm của một phương trình bậc nhất nhiều ẩn với số tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước thì ta có thể có lời giải ngắn gọn, dễ hiểu

Theo hướng nghiên cứu này, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm chuyên môn: "Sử

dụng phương trình nghiệm nguyên để giải một số bài toán tổ hợp".

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong mục, tôi xin tóm tắt lý thuyết về các quy tắc cơ bản của phép đếm; các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và công thức tính tương ứng đã được trình bày trong Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 hiện hành và nêu ra các ví dụ áp dụng

lý thuyết để giải bài tập tổ hợp tương ứng

1.1 Các quy tắc cơ bản của phép đếm

1.1.1 Quy tắc cộng

Nếu một công việc được hoàn thành bởi một trong n phương án, trong đó có a i cách

thực hiện phương án thứ i thì có tất cả

1

n i i

a

=

∑ cách để hoàn thành công việc

Ví dụ 1: Một học sinh có 3 quyển sách Toán và 4 quyển sách Ngữ văn Cần chọn 1 quyển để ôn tập Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Để chọn 1 quyển sách, bạn học sinh có thể thực hiện một trong hai phương án sau: Phương án 1: Chọn một quyển sách Toán, có: 3 cách chọn

Phương án 2: Chọn một quyển sách Ngữ văn, có: 4 cách chọn

Theo quy tắc cộng, có: 3 4 7+ = cách chọn

1.1.2.Quy tắc nhân

Nếu một công việc được hoàn thành bởi n bước liên tiếp, trong đó có a i cách thực

hiện bước thứ i thì có tất cả

1

n i i

a

=

∏ cách để hoàn thành công việc

Ví dụ 2: Một người cần đi từ địa điểm A đến địa điểm C nhưng bắt buộc phải đi qua điểm B Biết rằng, từ địa điểm A đến địa điểm B có 3 con đường; từ địa điểm B đến địa điểm C có 4 con đường Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn đường đi?

Lời giải:

Để chọn đường đi từ A đến C nhưng bắt buộc phải đi qua B, người đó cần thực hiện hai bước liên tiếp:

Bước 1: Chọn một đường để đi từ A đến B, có: 3 cách chọn

Bước 2: Chọn một đường để đi từ B đến C, có: 4 cách chọn

Vậy, theo quy tắc nhân, có: 3.4 12= cách chọn đường đi

1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1.2.1 Hoán vị

Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi cách sắp xếp tất cả n phần tử đó theo một thứ tự nhất định thì được gọi là một hoán vị của n phần tử

Áp dụng quy tắc nhân, có n n.( −1 ) (n−2 2.1) hoán vị như vậy Ta kí hiệu số hoán vị

trên là n! Như vậy: ( ) ( )

1

! 1 2 2.1 n

i

=

Ta quy ước: 0! 1 =

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh

a) Thành một hàng dọc?

b) Thành một vòng tròn?

Lời giải:

a) Mỗi cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử Như vậy có: 8! cách xếp

b) Theo phần a), có 8! cách xếp 8 học sinh theo một tứ tự nhất định Tuy nhiên, trên vòng tròn thì 8 vị trí có vai trò như nhau nên đáp số của bài toán là: 8!

7!

8 = cách xếp

1.2.2 Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi cách sắp sếp k phần tử trong số đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Áp dụng quy tắc nhân, có n n.( −1 ) (n k− +1) số chỉnh hợp như vậy Ta kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k

n

Như vậy, ( ) ( )

!

!

k

n

n

n k

Ví dụ 3: Một lớp học có 17 học sinh giỏi Văn, Toán; trong đó có 11 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn Cần chọn một học sinh giỏi đều hai môn để làm Lớp trưởng; 4 học sinh chỉ giỏi Toán để làm Tổ trưởng các tổ 1, 2, 3, 4 và 2 học sinh chỉ

giỏi Văn để làm Lớp phó và Bí thư Chi đoàn Có bao nhiêu cách chọn 7 học sinh như vậy?

Lời giải:

Trước hết, ta nêu quy mô của nhóm 12 học sinh giỏi môn các Toán, Văn:

Số học sinh giỏi đều hai môn là: 11 10 17 4+ − = học sinh

Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là: 11 4 7− = học sinh

Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là: 10 4 6− = học sinh

Bây giờ để chọn 7 học sinh và phân công làm các nhiệm vụ trên, cần thực hiện 3 bước Bước 1: Chọn một học sinh giỏi đều hai môn để làm Lớp trưởng, có: 4 cách

Bước 2: Chọn 4 học sinh trong số 7 học sinh chỉ giỏi Toán và sắp xếp vào các vị trí Tổ trưởng Tổ 1, 2, 3, 4 Mỗi cách chọn và sắp xếp như vậy là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử Do đó, có: 4

7

A cách

Bước 3: Chọn 2 học sinh trong số 6 học sinh chỉ giỏi Văn và sắp xếp vào các vị trí Lớp phó, Bí thư Chi đoàn Mỗi cách chọn và sắp xếp như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của

6 phần tử Do đó, có: A62 cách

Vậy, theo quy tắc nhân, có: 4 2

7 6

4 .A A cách chọn và sắp xếp nhân sự

1.2.3 Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Áp dụng quy tắc nhân và chú ý rằng không có sự phân biệt về thứ tự cả các phần tử

trong mỗi tập con, ta có: ( 1 ) ( 1)

!

k

tổ hợp như vậy Ta kí hiệu số tổ hợp chập

k của n phần tử là k

n

C

Như vậy,

!

k

n

n C

k n k

=

Ví dụ 4: Một nhóm Sinh viên tình nguyện gồm 4 nam và 8 nữ Cần chia thành 2 tổ, mỗi tổ có 2 nam và 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ như vậy?

Lời giải:

Để chia nhóm Sinh viên tình nguyênh thành 2 tổ theo yêu cầu của bài toán, cần thực hiện 4 bước:

Bước 1: Chọn 2 sinh viên nam trong số 4 sinh viên nam cho tổ thứ nhất, mỗi cách chọn như vậy là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử Do đó, có: 2

4

C cách

Bước 2: Chọn 4 sinh viên nữ trong số 8 sinh viên nữ cho tổ thứ nhất, mỗi cách chọn như vậy là một tổ hợp chập 4 của 8 phần tử Do đó, có: 4

8

C cách

Bước 3: Chọn 2 sinh viên nam trong số 2 sinh viên nam còn lại cho tổ thứ hai, mỗi cách chọn như vậy là một tổ hợp chập 2 của 2 phần tử Do đó, có: C22 cách

Bước 4: Chọn 4 sinh viên nữ trong số 4 sinh viên nữ còn lại cho tổ thứ hai, mỗi cách chọn như vậy là một tổ hợp chập 4 của 4 phần tử Do đó, có: C44 cách

Như vậy, theo quy tắc nhân, có: 2 4 2 4

4 .8 2 4

C C C C cách chia tổ

Bây giờ, ta xét thêm một ví dụ

Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách chia 17 chiếc kẹo cho 4 em bé sao cho mỗi em bé đều có ít nhất 3 chiếc kẹo và không có nhiều hơn 5 chiếc kẹo?

Bình luận: Đây là một bài toán mở rộng của Bài toán chia kẹo Euler: " Có bao nhiêu

cách chia hết n chiếc kẹo cho m em bé, biết n m≥ )

Rõ ràng, đây là bài toán đối với đa số học sinh lớp 11, kể cả đối với học sinh khá, giỏi Nếu chỉ sử dụng các quy tắc đếm và các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

đã được trình bày trên thì lời giải của bài toán sẽ rất phức tạp

Do vậy, tác giả xin trình bày cách tìm số nghiệm nguyên không âm của một phương trình bậc nhất nhiều ẩn đơn giản và mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình đó với số tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước Từ đó, ta có lời giải của bài toán trên một cách ngắn gọn

Tác giả cũng sưu tầm thêm các bài toán tổ hợp khác tương tự để minh họa cho tính độc đáo của phương pháp đã trình bày

2 Mô tả phương pháp sau khi có sáng kiến

2.1 Số nghiệm nguyên không âm của phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bài toán cơ bản: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

1 2 m

x +x + +x =n

Lời giải:

Trước hết, ta chứng minh được bổ đề:

Cho một mạng lưới ô vuông được đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái sang phải và từ

0 đến n theo chiều từ dưới lên trên Khi đó, có m

m n

C + đường đi từ nút (0;0 đến nút ) (m n; ) nếu chỉ đi trên một cạnh của mỗi ô vuông từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên

(m n; )

(0;0 )

Thật vậy, mỗi đường đi như vậy được xem là m n+ đoạn, mỗi đoạn là một cạnh của một ô vuông Tại mỗi đoạn ta chỉ được chọn một trong hai giá trị: đi lên (ta mã hóa là

số 1) hoặc đi sang phải (ta mã hóa là số 0) Số đoạn đi lên đúng bằng n và số đoạn đi sang phải đúng bằng m

Bài toán được đưa về việc tìm xem có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài (m+n) mà

trong đó có đúng n giá trị 1 Thật đơn giản, để lập dãy nhị phân như trên, trước hết ta xếp m phần tử 0 vào (m+n) vị trí trong dãy nhị phân, có m

m n

C + cách xếp như vậy Với

mỗi cách xếp m phần tử 0 như vậy, chỉ việc chèn các phần tử 1 vào các ô trong đã tạo

ra giữa m phần tử 0 là ta được dãy nhị phân nói trên Như vậy, có m

m n

C + dãy nhị phân thỏa mãn điều kiện nói trên

Quay trở lại bài toán, ta cho một vật chuyển động trên một đường đi từ nút (0;0 đến )

nút (m n; ) theo một đường đi thỏa mãn điều kiện của bài toán trên Gọi x i+1 là đoạn

mà vật đó chuyển động theo chiều từ dưới lên trên có chỉ số thứ i , với i=1,m Khi đó,

một cách trực quan, ta nhận thấy số đường đi thỏa mãn điều kiện trên bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình

1 1 m 1

x +x + +x + =n

Số nghiệm đó bằng m

m n

C + Như vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1+x1+ +x m =n, trong đó ,

m n ∈  là m 1 1

m n

C + −−

Tiếp theo bài toán cơ bản, ta đưa ra một số ví dụ quan trọng có liên quan đến các bài toán tổ hợp sau này

Ví dụ 6: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình

1 2 3 4 17

x +x +x +x = thỏa mãn điều kiện: x1≥1, x2 ≥2, x3 ≥3, x4 ≥4

Lời giải:

Đặt y1= x1−1; y2 =x2−2; y3 =x3−3; y4 =x4−4 Bài toán đã cho trở thành:

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

1 2 3 4 7

y +y + y +y = Theo kết quả của bài toán cơ bản, ta có đáp số: C =103 120 (nghiệm)

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình

1 2 3 4 17

x +x +x +x = thỏa mãn điều kiện: 3≤ x i ≤5, ∀ =i 1, 4

Lời giải:

Đặt y i =x i −3, ∀ =i 1, 4, ta có phương trình

1 2 3 4 5 (1)

trong đó 0≤ y i ≤2, ∀ =i 1, 4

Gọi X là tập hợp tất cả các nghiệm không âm của phương trình (1), theo bài toán cơ

bản, ta có: 3

8

X =C

Gọi A1, A2, A3, A4 là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện Ta có:

3

Theo nguyên lý bù trừ, ta có đáp số: 3 3

8 4 5 16

C − C = (nghiệm)

2.2 Mối liên hệ giữa số nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất nhiều ẩn với số

tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước

Trong mục này, ta sẽ sử dụng kết quả của Bài toán cơ bản và Ví dụ 6, Ví dụ 7 để giải một số bài toán tổ hợp

Trước hết, ta quay lại bài toán chia kẹo Euler

Ví dụ 8: Có bao nhiêu cách chia hết n chiếc kẹo giống nhau cho m em bé khác nhau?

(m n ∈ , *)

Lời giải:

Gọi x i là số kẹo đã chia cho em bé thứ i , (với i =1,m ) Nhận thấy, số cách chia n chiếc kẹo cho m em bé bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình

1 2 m

x +x + +x =n

Theo Bài toán cơ bản, ta có đáp số: 1

1

m

m n

C + −− (cách)

Ví dụ 9: Có bao nhiêu cách chia hết n chiếc kẹo giống nhau cho m em bé khác nhau

sao cho mỗi em bé đều có ít nhất một chiếc kẹo? Ở đó: m n ∈ , * và n m≥

Lời giải: