SKKN hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số

‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG PHƯƠNGPHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ’ Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng Mã sáng kiến: 31.52.04 Vĩnh Phúc,

‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG PHƯƠNG

PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ’

Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng

Mã sáng kiến: 31.52.04

Vĩnh Phúc, năm 2018

MỤC LỤC

Mục lục……… ………… ……….3

Danh mục các chữ viết tắt……… ………. 5

1 Lời giới thiệu 6

2 Tên sáng kiến: 8

3 Tác giả sáng kiến: 8

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 9

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 9

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 9

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 9

I Nội dung, biện pháp thực hiện:……… .…….…… 9

CHƯƠNG I: Cơ sở khoa học của sáng kiến……… …….… 9

§1 Cơ sở Toán học……… …… 9

§2 Cơ sở thực tiễn……… ……….12

CHƯƠNG II: Dùng các phương pháp Hình học để chứng minh một số bất đẳng thức Đại số……… …14

I Phương pháp tọa độ……… ……… 14

II Phương pháp véctơ 21

III Phương pháp diện tích. 26

IV Phương pháp đồ thị. 29

V Phương pháp sử dụng định lí cosin trong tam giác. 31

CHƯƠNG III Thực nghiệm sư phạm………34

II Kết luận 35

III Tài liệu tham khảo 36

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):. 37

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến. 37

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: 37

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: …37

11 Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 38

Điều phải chứng minhĐại học

Giá trị lớn nhấtGiá trị nhỏ nhấtSách giáo khoaTrung học phổ thông

Trung học phổ thông quốc gia

Vế phải

Vế trái

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Lời giới thiệu

Hình học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình Toán THPT, nóđóng vai trò rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện tư duy và khả năng quan sát chohọc sinh Tuy nhiên đa phần học sinh thường chỉ giải các bài toán Hình học thuầntúy hoặc chỉ quan tâm đến vấn đề sử dụng các phương pháp trong phạm vi Hìnhhọc mà ít nghĩ đến việc vận dụng các phương pháp Hình học để giải các bài toánĐại số

Việc nhìn nhận một vấn đề Toán học dưới nhiều khía cạnh, phương diện khácnhau là điều rất cần thiết cho người học Toán Học sinh ở trường THPT thường cóthói quen tách bạch kiểu “Đại số” và “Hình học” chứ chưa nhìn thấy mối quan hệgiữa chúng Rất nhiều học sinh đã bị ảnh hưởng của phương pháp cũ khá sâu nênkhó bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra hướng suy nghĩ mới.Thói quen tâm lí là một trở ngại thường gặp trong việc học tập của học sinh.Nguyên nhân hình thành do nhiều mặt, trong đó nguyên nhân chủ yếu là tư duy củahọc sinh có tính phương hướng Một loạt kiến thức hoặc phương hướng nào đódùng nhiều lần, ấn tượng lâu rồi sẽ thành thói quen tâm lí Do vậy dùng phươngpháp Hình học để giải một số bài toán đại số sẽ góp phần giúp học sinh xóa bỏđược thói quen đó

Trong Toán học, bất đẳng thức là một nội dung rất khó Các vấn đề liên quanđến bất đẳng thức là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích Nhiều bài toáncủa Hình học, Lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn

đề về ước lượng, cực trị, tối ưu…Giáo viên và học sinh ở trường THPT cũng

thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến bất đẳng thức và cực trị.

Trong hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinhgiỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực và quốc tế, các bài toán bất đẳng thức cũnghay được đề cập và thường là những bài thuộc loại khó hoặc rất khó Lí thuyết bấtđẳng thức và đặc biệt các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và rất đa dạng.Hàng trăm tài liệu, chuyên khảo về bất đẳng thức được khai thác dưới nhiều chủ đề

và các quan điểm phân loại khác nhau

Tuy nhiên thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT còn gặp rất nhiềukhó khăn, kết quả chưa được tốt Việc dạy chuyên đề này cho học sinh ở THPTchưa được đầu tư đúng mức

Học sinh chưa nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các bất đẳngthức quen thuộc (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳngthức Cauchy – Schwarz) Cho nên việc áp dụng vào các bài tập là rất khó khăn.Học sinh chưa biết vận dụng lí thuyết vào giải các bài tập toán

Giáo viên cũng chưa khái quát được cho học sinh mỗi dạng toán cần phải làmnhư thế nào mà vẫn chỉ quan tâm việc đưa ra nhiều bài tập có thể và trình bày lờigiải hoặc chỉ hướng dẫn một cách qua loa vì đây là một chuyên đề tương đối khó

và thời lượng theo phân phối chương trình rất hạn chế dù được học thêm trong chủ

đề tự chọn

Trong việc dạy học chứng minh bất đẳng thức, thường thì giáo viên chỉ cungcấp một số tính chất cơ bản, bất đẳng thức giữa giữa trung bình cộng và trung bìnhnhân, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz…mà không dạy được thấu đáo cho học sinhcách vận dụng những nội dung lí thuyết đó vào các bài toán

Qua tìm hiểu một số giáo viên ở nhiều trường THPT trong tỉnh, chúng tôi đượcbiết về tình hình giảng dạy chuyên đề bất đẳng thức gặp rất nhiều khó khăn, chẳnghạn như:

+) Bản thân nhiều giáo viên cũng chưa có kiến thức vững vàng và thành thạo

về bất đẳng thức nên có tâm lí e ngại khi dạy nội dung này vì trong các kì thi, câubất đẳng thức thường là rất khó

+) Thời lượng chương trình dành cho nội dung này rất ít (chỉ 2 tiết gồm cảluyện tập) nên không có điều kiện để đi sâu thêm về chủ đề này

+) Các tài liệu tham khảo rất lớn nhưng khả năng chắt lọc được số lượng tốithiểu các bài toán mà lại bao quát được nhiều hiện tượng thường gặp trong các kìthi là điều rất khó

Chứng minh bất đẳng thức đại số là một phần khó học, khó làm với hầu hết họcsinh phổ thông bởi nó có đặc thù là nó đòi hỏi sự suy luận, khả năng phân tích,đánh giá, tổng hợp cao.Vì thế, học sinh rất ngại học phần này Nhưng nếu biết sửdụng những kiến thức Hình học đơn giản hơn mà các em đã được học để nhằm giảiquyết một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Đại số thì sẽ tạo hứng thú vàniềm đam mê của các em học sinh

Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng

phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số”

Việc chọn đề tài này nhằm mục đích:

- Góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, học tập ở trường THPT

- Giúp học sinh mở mang được kiến thức và khắc phục được thói quen, phương thức tư duy một vấn đề

- Tạo cho học sinh khả năng nhìn nhận, chuyển đổi bài toán Đại số sang Hìnhhọc Từ đó phát triển được tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo Toán học cho họcsinh

2 Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số”

3 Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 10

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/03/2018.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

I NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Chương I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA SÁNG KIẾN

Khi các kí hiệu Đại số được đưa vào sử dụng rộng rãi thì không chỉ bộ môn Đại

số phát triển nhanh chóng mà những ngành Toán học liên quan cũng phát triểnkhông kém Chúng được Đại số hóa ở mức độ cao, đặc biệt là bộ môn Hình học Sựkiện Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ đã tạo ra bước đột phá mới choToán học: Hình học giải tích được hình thành và phát triển rực rỡ Từ đây, có thểnói Hình học và Đại số đã có một bước tiến mới trong việc phát triển tương hỗ lẫnnhau Người ta có thể nghiên cứu Hình học bằng công cụ Đại số và những bài toán

có bản chất Hình học được ngụy trang dưới lớp vỏ Đại số cũng được khéo léo đưa

về giải quyết bằng phương pháp Hình học Ở mức độ Toán học phổ thông chúng ta

có thể thấy được điều đó mà nội dung trong đề tài này là một ví dụ

§1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

Nhà toán học nổi tiếng người Mỹ Peter Hilton đã từng nói: “Toán học là một suynghĩ có hệ thống, nương nhờ một ngôn ngữ và kí hiệu một cách đẹp đẽ Nó đượcđặc trưng bởi sự phát triển và sáng tạo những mô hình và sự thiết lập những mốiquan hệ tinh tế giữa các bộ phận bề ngoài rất khác nhau của nó Nó không phải làtập hợp những bộ môn khác nhau mà là một thể thống nhất có chứa chấp một khotàng khái niệm và kĩ thuật khác nhau nhưng liên quan với nhau…” Trong chương

trình Toán THPT chúng ta cũng có thể nhìn nhận được mối quan hệ giữa Hình học

và Đại số tuy bề ngoài chúng rất khác nhau

Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, ta có thể thiết lập ánh xạ f gán mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ đó với một bộ số (x; y) hoặc ánh xạ g gán mỗi vectơ u với một bộ số (x’; y’) Khi đã có sự thiết lập trên thì độ dài đoạn thẳng AB

có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức Đại số như sau: Với hai điểm

Nhận xét: Bất đẳng thức đã cho tương đương với

AM  BM  AB (luôn đúng) điều phải chứng minh.

Thí dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, x, y ta luôn có:

§2 CƠ SỞ THỰC TIỄN

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao đã đưa ra định nghĩa bất đẳng thức, những tính chất cơ bản và các hệ quả của chúng Cụ thể:

Định nghĩa: Giả sử a , b là hai số thực Các mệnh đề "a  b ","a  b ","a  b

","a  b" được gọi là những bất đẳng thức.

12

1) Dùng định nghĩa và biến đổi tương đương.

2) Sử dụng các bất đẳng thức kinh điển

3) Dùng đạo hàm

4) Phương pháp tam thức bậc hai

5) Phương pháp lượng giác hóa

6) Phương pháp hàm lồi

Tuy nhiên, các phương pháp trên sẽ giúp ích rất ít cho các bạn học sinh khi gặpnhững bài toán bất đẳng thức Đại số mang “hồn Hình học” trong nó Chúng đòi hỏiphải có một cách nhìn sáng tạo hơn nhằm làm rõ được bản chất và ẩn ý của bàitoán Việc dùng các phương pháp Hình học để giải quyết các bất đẳng thức như thế

là một biện pháp hữu hiệu Và nhiệm vụ rất quan trọng cần giải quyết là phảichuyển dịch được bài toán đã cho về một bài toán mang nội dung Hình học

Chương 2

DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT

SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

I Phương pháp tọa độ.

Người ta xem việc phát minh ra phương pháp tọa là một cuộc cách mạng trongToán học vì nó giúp cho Toán học thoát ra khỏi cách tư duy của không gian vật lýthông thường, nhằm đạt tới những đỉnh cao khác của sự khái quát và trừu tượngtrong Toán học Phương pháp tọa độ đã mang lại cho Toán học có thêm sức mạnhmới và đặt nền móng cho một phương pháp tư duy sáng tạo mới dùng để nghiêncứu Toán học và vận dụng Toán học vào cuộc sống

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ:

- Trước hết cần xét tính chất của bài toán đã cho và chọn hệ tọa độ thích hợp, đây

là bước rất quan trọng vì nó giúp cho việc thực hiện giải bài toán đó được nhanhchóng, tránh được sai sót do tính toán

- Bằng phương pháp tọa độ và bằng các phép tính đại số, chúng ta cần thực hiệncác yêu cầu do nội dung của các bài toán đặt ra Chuyển các kết quả tính toán đượcbằng công cụ Đại số sang các tính chất Hình học cần chứng minh hay tính toán

Bài toán 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a ta đều có bất đẳng thức:

MB  (a 1)2  2 2  a 2  2a  5

AB  (11)2 (22) 2  2 5

Ta luôn có: MA + MB  AB Do đó: a2  2a  5  a2  2a  5  2 5

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M AB Mà đường thẳng AB có phương trình:

Dễ thấy A, B nằm về hai phía của ∆.

Theo bất đẳng thức 3 điểm ta có: MA + MB  AB hay:

(a 1)2  (b  6)2  (a  3)2  (b  3)2  (1  3) 2  (6  3) 2  5

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi M là giao

(x 1)2  22  (x  6)2 102  89

Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy Ta chọn:

A= (1; 2), B = (6; 10), M = (x; 0)  Ox

Ta luôn có MAMB  AB nên (x 1)2  22  (x  6)2 102  5 2 82  89

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M AB Mà đường thẳng AB có phương trình: 8x - 5y + 2 = 0 Do đó, 8x + 2 = 0 x  1

Theo bất đẳng thức 3 điểm ta có: AB + BC  AC hay (1) hiển nhiên đúng

Dấu “=” xảy ra  A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C

ta có: 2 a 2  b2  ab  3a 2 a 2 4ab  4b2  0  a  2b  0  b  a

2  2c.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Xét hệ tọa độ đề các vuông góc (Từ nay

về sau nếu không có gì đặc biệt thì luôn

xét như vậy) Từ giả thiết ta dễ thấy các

điểm M(a, b), N(c, d), P(1, 2) nằm trên

đường tròn O(0, 0), bán kính 5

Ta có:

y P

M

Q

R N

S = a.b.c 1 bc sin A a = 2RsinA =

ta sẽ có điều phải chứng minh

Chứng minh rằng: 10  3b  4a  40 (4)

Lời giải:

Từ giả thiết ta viết lại: ( a – 4) 2 + (b – 3) 2 = 9 Do vậy với a, b thỏa mãn nó thì điểm M(a, b) nằm trên đường tròn tâm O 1(4, 3) và bán kính 3

Kết hợp với giả thiết thì (4) tương đương với

10

 a 2 b2 16 

40  2  a 2  b2  82

Tương đương với bất đẳng thức hình học : 2  OM  8 (4’)

Bài toán trở thành : chứng minh rằng với M bất kỳ thuộc đường tròn (O1) thì (4’)

luôn đúng Nối OO 1 cắt vòng tròn tại M 1 , M 2 , vì M 1 , M 2 tương ứng là các điểm

trên đường tròn gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có : OM 1  OM  OM 2

Nhìn vào vế trái của bất đẳng

Từ đồ thị ta có thể khẳng định: min MN = AB, trong đó A là tiếp điểm của parabol

y = x 2 với đường thẳng d song song với đường y = x – 1 Hoành độ của A là nghiệm kép của phương trình:

Chứng minh các bất đẳng thức, giải các phương trình, tính giá trị cực đại, cực

tiểu của một hàm số, người ta thường gán tọa độ cho các vectơ u, v một cách thích

hợp rồi dùng các tính chất sau đây để xét và chứng minh:

1, u  v  u  v Tương tự: u v w u v w

2, (uv)2 0

3, u.v  u v Hoặc (u.v)2  u2 v2

Điều cần chú ý rất quan trọng khi dùng phương pháp vectơ để giải toán là: cầnphải phân tích kỹ bài toán sau đó chọn các vec tơ sao cho phù hợp với yêu cầu bàitoán

Bài toán 9: Cho các số thực a,b,c, x, y, z thỏa mãn: a  b  c  2;ax  by  cz  6

Chứng minh rằng: 16a 2  a 2 x 2  16b 2  b 2 y 2  16c 2  c 2 z2 10(6)

Lời giải:

Nhìn vào biểu thức trong căn ở vế phải của (6) dễ thấy chúng có dạng a 2  b2 Vậy ta có thể xem chúng biểu thị cho độ dài của vectơ u(a, b) lúc đó:

Xét ba vec tơ: u (4a, ax),v (4b, by),w(4c, cz) , bất đẳng thức (6) trở thành:

u  v  w 10 (6’)

Vế phải của (6’) làm ta liên tưởng đến kết quả:

u  v  w  u  v  w vậy phải chăng u  v  w 10? Ta

có: uvw (4(abc),ax +bycz)(8,6)

 u  v  w  82  62 10

Vậy (6) đúng đpcm

Dấu ”=” xảy ra  thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1> Hai trong ba vec tơ u , v, w là vec tơ không

2> Một trong ba vec tơ u , v, w là vec tơ không và hai vec tơ còn lại

cùng hướng

3> Cả ba vec tơ u, v, w đều khác vec tơ không và cùng hướng với nhau

Bài toán 10: Cho x, y , z là ba số thực tùy ý.

Dấu ”=” xảy ra  một trong hai vec tơ u ,v là vec tơ không hoặc là chúngngược hướng với nhau.

Bài toán này hay ở chỗ là vai trò của x, y, z như nhau nên dễ khiến ta biến đổi

bất đẳng thức (7) về dạng khác đi so với phép biến đổi trên, dẫn đến việc chọn vec

Mà ta luôn có: u v w u v w nên ta có điều phải chứng minh.

Vì u, v, w 0 nên dấu bằng xẩy ra khi cùng hướng abc

Lại có: ab + bc + ca = abc suy ra a = b = c = 3.

Bài toán 12: Cho ba số thực dương a, b, c với a > c, b > c.

Chứng minh rằng: c(a  c )  c(b  c )  ab (8)

Lời giải:

Dễ thấy mỗi biểu thức trong căn bậc hai ở bất đẳng thức (8) đều có dạng AX +

BY, nên ta hy vọng rằng có thể xem chúng là tích của hai vec tơ u( A, B);v(X Y)

Xét các vec tơ sau:

u  ( a  c ; c); v  ( c; b  c )

Ta có: u.v  c(a  c )  c(b  c )

u v  a b  ab

Dựa vào bất đẳng thức vec tơ đúng: u.v  u.v nên:

 )   điều phải chứng minh