sử dụng phương pháp lượng giác để giải một số các bài toán đại số tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lượng giác có nhiều ứng dụng đời sống khoa học Trong Toán học, lượng giác cơng cụ mạnh, ứng dụng giải dạng tốn khác, điển hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bất đẳng thức Cùng với định nghĩa giá trị lượng giác, công thức lượng giác kết việc khảo sát biến thiên hàm số lượng giác sử dụng để giải nhiều toán toán học nhiều toán nghành khoa học khác Do việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp lượng giác để giải lớp toán đại số điều cần thiết, giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắn thêm kiến thức lượng giác; đồng thời trang bị thêm cho em phương pháp giải nhiều tốn địi hỏi nhiều đến kỹ tư duy, tổng hợp kiến thức rút từ nội dung khác Việc sử dụng phương pháp lượng giác để giải lớp toán đại số tạo hứng thú học tập, tăng khả tìm tịi sáng tạo, đồng thời tạo nên phong phú thể loại phương pháp giải toán cho học sinh PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN Thực trạng vấn đề Lượng giác mảng kiến thức nói khó học sinh phổ thơng Hơn thực tế có nhiều học sinh chưa thấy hết ứng dụng lượng giác tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh Đối tượng Học sinh lớp 10, học sinh giỏi học sinh dự thi vào trường đại học, cao đẳng Cách thức thực Để thực đề tài này, phân thành năm dạng tập tương ứng với dấu hiệu để đổi biến lượng giác Nội dung A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương pháp lượng giác để giải toán đại số cần đến số kiến thức lượng giác dựa hai sở chủ yếu sau: Dựa vào công thức lượng giác: Từ công thức sin2t+ cos2t=1, suy a b hai số thỏa mãn điều kiện tồn số t với ≤ t ≤ 2π cho cost=a sint=b Đôi để t xác định ta cần chọn hai giá trị π Dựa vào phương trình lượng giác bản: Từ cách giải phương trình lượng giác bản,suy ra: - Nếu số a thỏa mãn điều kiện a ≤ tồn số t, u tương ứng với ≤ t < 2π ; − π π ≤u< cho cost=a sinu=a 2 - Với số thực a, tồn t với − π π 0), đặt: x=asint x=acost, t ∈ [ 0;2π )  x = a cos t Dạng 2: Nếu tốn chứa biểu thức dạng x +y =a , đặt:   y = a sin t 2  x = a sin t  , t ∈ [ 0;2π )  y = a cos t Dạng 3: Nếu toán chứa x mà ta tìm x ≥ a ( Với a>0 ) đặt: x= a a  π π , t ∈  − ;  x = , t ∈ [ 0, π ] sin t cos t  2 Dạng 4: Nếu tốn chứa biểu thức dạng x2+a2 đặt: x = a tan t ,  π π t ∈  − ,   2 x = a cot t , t ∈ ( 0, π ) Dạng5: Nếu toán chứa x mà ta tìm a ≤ x ≤ b đặt: π   x=a+(b-a)sin2t, x=b+(a-b)sin2t, với t ∈ 0;   2 ( Vì hàm số y=sin2t hàm số chẵn có chu kỳ π nên ta cần xét đoạn  π 0;  )   Chú ý: Tùy toán cụ thể, chọn t thích hợp để tránh sai lầm lập luận *Các ví dụ: Dạng 1: Nếu tốn chứa x mà ta tìm x ≤ a ( Với a>0), đặt: x=asint x=acost Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số y = x + − x (Trích đề thi Đại học khối B năm 2003) Bài giải: ĐK: − ≤ x ≤ Đặt x=2cost ,với t ∈ [ 0; π ] , Hàm số trở thành:  π y = cos t + sin t = 2 sin  t +  4  Do t ∈ [ 0; π ] ⇒ t + y = −2 t + ] π 5π = ⇔ t = π ⇒ x = −2 , 4 y = 2 t + Do đó: [ π  π 5π   π   ∈  ;  ⇒ sin  t +  ∈ − ;1 ⇒ y ∈ − 2;2 4  4    π π π = ⇔t = ⇒x= 4 y = −2 x = −2, max y = 2 x = Chú ý: Vì − ≤ x ≤ nên ta đặt x=2cost với t ∈ [ 0; π ] , sin t ≥ ⇒ − x = sin t ta đưa hàm số dạng đơn giản ta đặt x=2sint Ví dụ 2: Giải phương trình: x − 3x = − x (1) Bài giải: ĐK: − ≤ x ≤ Đặt x=cost ,với t ∈ [ 0; π ] , phương trình (1) trở thành: 4cos3t 3cost=sint π  π t = + k π ⇔ cos 3t = sin t ⇔ cos 3t = cos( − t ) ⇔  t = − π + kπ   π Vì t ∈ [ 0; π ] nên ta tìm được: t = , t = Vậy x = cos phương trình 5π 3π ,t= π 2+ 5π 2− = , x = cos =− , 8 cho x = cos Chú ý: − ≤ x ≤ nên ta đặt x=cost có nghiệm là: 3π =− với t ∈ [ 0; π ] , sin t ≥ ⇒ − x = sin t ta đưa pt dạng đơn giản đặt x=sint Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 1+ x − 1− x ≤ x Bài giải: Điều kiện : − ≤ x ≤ Đặt x=cos2t với 2t ∈ [ 0; π ] Khi bất phương trình cho trở thành : + cos 2t − + cos 2t ≤ cos 2t ⇔ cos t − sin t ≤ cos 2t ( ) ⇔ ( cos t − sin t ) ≤ cos t − sin t ⇔ ( cos t − sin t ) cos t + sin t − ≥   π   π    π   π ⇔ cos t +   cos t −  −  ≥ ⇔ cos t +  cos t −  − 1 ≥  4   4      π  π 3π   π  π ⇔ cos t +  ≤ (1) Vì 2t ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ 0;  ⇒ t + ∈  ;  (2) Từ (1) 4   2 4  (2) t+ π  π 3π  π π  π  ∈  ;  ⇒ t ∈  ;  ⇒ 2t ∈  ; π  Suy ra: − ≤ cos 2t ≤ 2  4 2 2  ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy: Bất phương trình có nghiệm − ≤ x ≤ Ví dụ 4: Cho số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a>c, b > c, c > Chứng minh rằng: c( c − a ) + c( c − a ) ≤ ab (1) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm 1980) Bài giải: Cách 1: Vì a > c>0, b >c>0 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c( a − c ) c( b − c ) + ≤1⇔ ab ab a−c c c b−c + ≤1 a b a b (2)  c   a−c     =1 Nhận thấy:   a  + a      Nên ta đặt c = cos t , a Tương tự ta đặt: a−c  π = sin t , t ∈ 0;  a  2 c b−c  π = cos u, = sin u , u ∈ 0;  b b  2 Khi (2) trở thành: sin t cos u + cos t sin u ≤ ⇔ sin ( t + u ) ≤ (3) (3) ln ln có nghĩa (1) Cách 2: Ta có A = c( a − c ) + c( b − c ) = Đặt c − a2  a b2  b − c −  + − c −   2  2 a a b b = cos t , c − = cos u, t , u ∈ ( 0; π ) 2 2 a b Ta được: A = sin t + cos t , a b b a − = cos u − cos t 2 2 Suy ra: 2 b b a b ab a b a  a  A +  −  =  sin t + sin u  +  cos t − cos u  = + − cos( t + u ) 2 4  2 2  2  Do đó: A = ab (1 − cos( t + u ) ) = ab sin t + u ≤ ab ⇒ A ≤ ab 2 Ví dụ 5: Chứng minh x < với số tự nhiên n lớn ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) ( Trích đề 122 – Câu III2 -Bộ đề tuyển sinh) Bài giải: Vì x < nên đặt x = cos2t với t ∈ ( 0; π ) Khi bất đẳng thức (1) trở thành: ( ) (1 + cos2t)n + (1 – cos2t)n < 2n ⇔ n cos n t + sin n t < n Vì < t < π ⇒ < sin t , cos t < , ta có: ( cos n t = cos t ) n ( < cos t , ∀n > sin n t = sin t n ( cos n t + sin n t ) < n ( cos t + sin t ) = n ) n < sin t , ∀n > Vậy bất đẳng thức chứng minh  x = a cos t Dạng 2: Nếu tốn chứa biểu thức dạng x +y =a , đặt:   y = a sin t 2  x = a sin t  với t ∈ [ 0;2π )  y = a cos t Ví dụ 1: Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x 2+y2=1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = ( ) x + xy + xy + y ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2008 ) Bài giải: Do x2+y2=1 nên tồn góc t cho x=cost, y=sint, t ∈ [ 0;2π ) Khi ( ) cos t + cos t sin t ⇔ ( + sin 2t − cos 2t ) P = + cos 2t + sin 2t + cos t sin t + sin t ⇔ (1 + P ) cos 2t + ( − P ) sin 2t = P − (1) P= Phương trình (1) có nghiệm khi: Phương trình có nghiệm ⇔ (1 + P ) + ( − P ) ≥ ( P − 1) ⇔ P + P − 36 ≤ ⇔ − ≤ P ≤ - Với cos 2t + sin 2t = ⇔ ⇔t= P=3, từ (1) suy cos 2t + sin 2t = ⇔ cos( 2t − u ) = 5 u π  + kπ  cos u = , sin u = ,0 < u <  5 2   u u   k  x = cos + kπ  = ( − 1) cos x =     ⇔ Do đó:   y = sin  u + kπ  = ( − 1) k sin u y =     2     x = − 10  hoăo  y = −  10  10 10 - Với P=-6, từ (1) suy : − cos 2t + 12 sin 2t = −13 ⇔ 12 cos 2t − sin 2t = ⇔ cos( 2t + u ) = 13 13 u −5 12 π  ⇔ t = − + kπ  cos u = , sin u = ,0 < u <  13 13 2   u 3  u    k x= x=−  x = cos − + kπ  = ( − 1) cos   13 13      ⇔ hoăo  Do đó:   y = sin  − u + kπ  = ( − 1) k sin u y = − y =      13 13      Vậy: Max P = , Min P = −6  x + y = (1)  2 Ví dụ 2: Cho hệ:  z + t = 16 (2)  xz + yt ≥ 12 (3)  Trong nghiệm (x,y,z,t ) hệ nghiệm làm cho P= x+z , F=xz đạt giá trị lớn ( Trích Đề thi tuyển sinh khối A năm 1987) Bài giải:  z = cos b  x = cos a   y = sin a , a ∈ [ 0;2π ) t = sin b , b ∈ [ 0;2π ) Đặt:  thay vào (3) ta được: x.z + y.t = 12(cos a cos b + sin a sin b) ≥ 12 ⇔ cos( a − b) ≥ , cos(a-b) ≤ 1, nên suy ra: cos(a-b)=1 a=b Do đó: - P=x+z= cos a + cos a = cos a ≤ Vậy Max P = ⇔ a = b = k 2π ⇒ a = b = a=b= 2π , suy tương ứng với nghiệm hệ là: x=3,y=0,z=4,t=0 - F=x.z= cos a.4 cos a = 12 cos a ≤ 12 Vậy Max F = 12 ⇔ cos a = ±1 ⇔ a = kπ ⇒ a = b = , a=b= π , suy tương ứng với nghiệm hệ là: x=3,y=0,z=4,t=0 x=-3,y=0,z=-4,t=0 Ví dụ 3: Cho số thực x,y thay đổi thỏa: x 2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức : P=2(x3+y3)-3xy (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D năm 2008 ) Bài giải:   x = cos t Từ giả thiết ta đặt:   y = sin t  , t ∈ [ 0;2π ) Suy ra: P = (cos t + sin t )(1 − sin t cos t ) − sin t cos t Đặt u=sint+cost = sin(t + π ), − ≤u≤ 2, ta có: P = −2 u − 3u + 2u + = f (u )  u = f ' (u ) = −6 u − 6u + , f (u ) = ⇔  (thỏa mãn) u = −  ' f ( − ) = −7,   13 f ( ) = 1, f  =  2 Vậy: Max P = 13 Min P = -7  x  Ví dụ 4: Giải phương trình: x +   = (1)  x −1 (Bài 4.72,d trang114, sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao) Bài giải: ĐK: x ≠  x = sin t ≠ (1)  π 3π  t ∈ [ 0;2π ) \  ;  , thay (1) vào (2) ta được: Đặt:  x 2   x − = cos t (2)  cos t = sin t ⇔ sin t + cos t − sin t cos t = (3) sin t − u2 −1 Đặt u=sint+cost, đk: | u |≤ , u ≠ ±1 ,phương trình (3) trở thành: u − =0 u = + ⇔ u − 2u − = ⇔   u = 1−  có nghiệm u = − thỏa mãn Vậy: sin t + cos t = − ⇒x+ x = − ⇔ x − (1 − ) x + − = ⇔ x = 1 − ± 2 − 1    x −1 2 Do phương trình có nghiệm là: x = 1 − ± 2 − 1   2  log ( y − x) − log y = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:   x + y = 25   (1) (2) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2004) Bài giải: y > x ĐK:  y > Với điều 1  ( y − x) y =   x + y = 25  kiện hệ(1),(2) ⇔  log ( y − x) + log y =  4  x + y = 25  ⇔ (3)  x = cos t Đặt:  (sint>0 sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được:  y = sin t , ( sin t − cos t ) 1 16 = ⇔ − cot t = ⇔ cot t = ⇔ sin t = ⇒ sin t = , cos t = 5 sin t 4 25 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  y=4  Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y dương thỏa mãn: x+y=2 CMR: x y ( x + y ) ≤ Bài giải:  x, y > Từ giả thiết:  , nên ta đặt: x + y =  x = cos t    π  y = sin t , t ∈  0,     3 3 6 Ta có: x y ( x + y ) = 512( sin t cos t ) ( cos t + sin t ) = sin 2t 1 − sin t  = K     Đặt u=sin22t, ĐK: < u ≤ ,do đó: K=8u3-6u4 =f(u), f’(u)=24u2-24u3, f’(u)=0 ⇒ u = Bảng biến thiên: u f’(u) −∞ +∞ + f(u) Nhìn vào BBT ta thấy 0< f(u) ≤ 2, nên suy ra: x y ( x + y ) ≤ (đpcm) 10 Dạng 3: Nếu tốn chứa x mà ta tìm x ≥ a ( Với a>0) đặt: x= a a  π π , t ∈  − ;  x = , t ∈ [ 0, π ] sin t cos t  2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x+ x x −1 =2 Bài giải: x − > ⇔ x >1 Điều kiện :  x > Đặt x =  π ,vì x>1 ⇒ < cos t ≤ nên ta chọn t ∈ 0;  cos t  2 Khi phương trình có dạng : + cos t cos t = 2 ⇔ + = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 sin t cos t cos t sin t −1 cos t u2 −1 Đặt sint + cost = u, ≤ u ≤ ta có sin t cos t = Khi phương trình cho có dạng : u = ( u − 1) ⇔ 2u − u − = ⇔u= ( Do ≤ u ≤ ) π π π π  π u = sin  t +  = ⇔ t + = + k 2π ⇔ t = + k 2π ⇒ t = ⇒ x = 4 4  Vậy nghiệm phương trình x = Chú ý: Nhờ lượng giác hóa ta đưa phương trình vơ tỉ phương trình hữu tỉ, từ tìm nghiệm phương trình cho cách nhẹ nhàng Ví dụ 2: Với a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a2 −1 + b2 −1 ≤1 ab Bài giải: 11 Vì cos x ≤ ⇒ 1  π π ≥ , nên ta đặt a = ,b= , với t , u ∈  − ;  cos x cos t cos u  2 Khi vế trái bất đẳng thức cho trở thành: sin(t + u ) tan t + tan u tan t + tan u = = cos t cos u = sin(t + u ) ≤ 1 1 cos t cos u cos t cos u cos t cos u 1  1  a= ,b =  ,b = a =  cos t cos u cos u ⇔  Dấu “=” xảy  cos t  sin(t + u ) = t + u = π + kπ (k ∈ Ζ)    Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a2 −1 + ≤ a Bài giải: Điều kiện: a − ≥ ⇔ a ≥ Đặt a =  π , a ≥ ⇒ < cos t ≤ nên ta chọn t ∈ 0;   2 cos t Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: 2 π  π −1 + ≤ ⇔ tan t + ≤ ⇔ tan t + tan ≤ ⇔ sin  t +  ≤ ,lu cos t cos t cos t 3 cos t  ôn Vậy bất đẳng thức chứng minh Dạng 4: Nếu tốn chứa biểu thức dạng x2+a2 đặt: x = a tan t ,  π π t ∈− ,   2 x = a cot t , t ∈ ( 0; π ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 2 x = y + yx   2 y = x + xy   2x 1 + x = y  Bài giải: Hệ cho tương đương với: ( I ) :   2y = 1 + y  12  x = tan t  π π , t , u ∈  − ;  Khi hệ (I) trở thành :  2  y = tan u Đặt   tan t 1 + tan t = tan u sin 2t = tan u  ⇔  sin 2u = tan t  tan u = tan t 1 + tan u  (1) Ta xét hai trường hợp : ( 2) Nếu sint=0 sinu=0 ngược lại nên ta có x = y = nghiệm hệ Nếu sin t ≠ sin u ≠ : Nhân (1) (2) theo vế, ta có : sin 2t sin 2u = tan t tan u ⇔ cos t cos u = 1 ⇔ cos t cos u = cos t cos u (3) Lại có: (1) ⇔ sin t cos t cos u = sin u (4) Từ (3),(4) ta có sint=sinu ⇔ t=u (5) Thay (5) vào (3) ta được: cos t = 1 π π π ⇔ (1 + cos 2t ) = ⇔ cos 2t = ⇔ 2t = + kπ ⇔ t = + k , k ∈ Ζ 2 2 π π  2 π   Vì t ∈  − ;  ⇒ t = , t = − π Khi nghiệm hệ là:x=y=1 x=y=-1 Vậy hệ cho có nghiệm là: x=y=0 x=y=1 x=y=-1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x x + ≥ x − (8) Bài giải:  π π Đặt x=3tant, t ∈  − ,  phương trình trở thành:  2 tan t 9(1 + tan t ) ≥ tan t − sin t sin t ⇔ ≥ − ⇔ sin t ≥ sin t − cos t ⇔ sin t − sin t − ≤ ⇔ − ≤ sin t ≤ 2 cos t cos t ⇔ tan t ≥ −1 ⇔ tan t ≥ − Vậy nghiệm bất phương trình là: x ≥ − 13 Ví dụ 3: Giải bất phương trình : ( 2a ) x + x+ + (1 − a) x2 + x+ ( ≤ 1+ a ) 2 x + x + với 0