Một số kinh nghiệm giúp học sinh phân loại và giải một số dạng bài toán xác suất cho học sinh THPT

I. ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết xác suất là một nghành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế … Chính vì lẽ đó, đây là lần đầu tiên xác suất được đưa vào dạy ở cấp Trung học phổ thông ở nước ta( không kể đến chương trình thí điểm chuyên ban 1995). Ở nhiều nước trên thế giới, xác suất đã được dạy từ cấp Trung học cơ sở. Việc giảng dạy xác suất có thuận lợi là dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết thực với đời sống. Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh ngại phải làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh các lớp thuộc ban cơ bản vì khi làm xong một bài nào đó, các em hay có những đáp số khác nhau. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất, học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí, có nhiều em đã làm xong không cũng không dám chắc rằng mình đã làm đúng. Việc dạy và học xác suất cũng cần có một tư duy mới, cần có thời gian để tổng kết, để hệ thống cả lý thuyết và bài tập. Trước thực tế như vậy, với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các phương pháp cơ bản về xác suất, đồng thời biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết các bài toán khác nhau tôi chọn đề tài: “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh phân loại và giải một số dạng bài toán xác suất cho học sinh THPT”. GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 1 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lí luận của vấn đề. Khi viết sáng kiến này, tôi dựa trên cơ sở lý thuyết sau: - Định nghĩa biến cố và xác suất của biến cố. - Các kiến thức cơ bản của xác suất: Định nghĩa, tính chất, công thức. Cụ thể: 1.1. Các công thức tính số các hoán vị; số các chỉnh hợp; số các tổ hợp: 1) nnnP n ).1 (2.1! −== 2) )!( ! kn n A k n − = )1( nk ≤≤ 3) )!(! ! knk n C k n − = )0( nk ≤≤ Đặc biệt: n nn AP = 1.2. Hệ thống lại các kiến thức phần xác suất. + Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu - Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà: . Kết quả của nó không đoán trước được; . Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. - Không gian mẫu của phép thử: Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. + Biến cố; Biến cố chắc chắn; Biến cố không thể - Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T. - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 2 - Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. - Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện. + Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và A Ω là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A) và || || )( Ω Ω = A AP Chú ý: ;1)(;1)(0 =Ω≤≤ PAP P( O ) = 0 + Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A ∪ B, được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến cố A 1, A 2 , …,A k . Biến cố “ Có ít nhất một trong các biến cố A 1, A 2 , …,A k . xảy ra”, kí hiệu là A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A k được gọi là hợp của k biến cố đó. + Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. + Quy tắc cộng xác suất Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Chú ý: Cho k biến cố A 1, A 2 , …,A k . đôi một xung khắc. Khi đó P(A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A k ) = P (A 1 ) + P( A 2 ) + … + P(A k ) + Biến cố đối Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “ Không xảy ra A”, kí hiệu là A được gọi là biến cố đối của A. Chú ý: GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 3 Cho biến cố A . Xác suất của biến cố đối A là: P( A ) = 1- P(A) + Biến cố giao Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến cố A 1, A 2 , …,A k Biến cố “ Tất cả k biến cố A 1, A 2 , …,A k . đều xảy ra”, kí hiệu là A 1 A 2 …A k được gọi là giao của k biến cố đó. + Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độ lập với nhau. Tổng quát: Cho k biến cố A 1, A 2 , …,A k , k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. + Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(A B) = P(A).P(B) Chú ý: Nếu k biến cố A 1, A 2 , …,A k đôi một độc lập với nhau thì P(A 1 A 2 … A k ) = P (A 1 ) P( A 2 ) … P(A k ) 2. Thực trạng của vấn đề. 2.1. Về phía giáo viên: -Mỗi giáo viên cho học sinh tiếp cận vấn đề theo một trình tự khác nhau, phần lớn được hình thành trong khái niệm của giáo viên chứ chưa có sự đầu tư, nghiên cứu tường tận. GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 4 - Chưa thật nắm vững yêu cầu về kiến thức, kĩ năng của từng bài, việc giáo dục còn mang tính chất dàn trải - Chưa chú ý đúng mức tới đối tượng học sinh. - Tốc độ giảng dạy kiến thức mới, luyện tập còn nhanh khiến học sinh không theo kịp. 2.2. Về phía học sinh. Thông thường, học sinh ở lớp học theo chương trình chuẩn thì học lực của học sinh chỉ đạt ở mức cao nhất là trung bình khá vì thế đứng trước một bài toán tính xác suất của biến cố các em thường gặp những khó khăn: - Không mô tả đúng không gian mẫu, không xác định đúng các phần tử của không gian mẫu. - Không xác định đúng số các kết quả thuận lợi cho biến cố. - Không thể áp dụng được các quy tắc tính xác suất vì chưa phân biệt rõ các biến cố trong bài có mối quan hệ với nhau như thế nào. Đứng trước thực trạng trên, tôi đã nghiên cứu và cố gắng tìm ra những phương pháp truyền đạt thích hợp nhất và sắp xếp nội dung ôn tập theo một trình tự hợp lý nhằm hướng tới đối tượng học sinh thuộc các lớp cơ bản và xem đó là một trong những điểm mấu chốt của công tác khắc phục tình trạng học môn toán của học sinh hiện nay. 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện. 3.1. Giải pháp thực hiện. - Hệ thống lại kiến thức phần xác suất và kiến thức phần tổ hợp có liên quan; - Phân dạng bài tập và có phương pháp giải cho từng dạng; - Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải cho từng dạng; - Ra bài tập tương tự cho từng dạng. 3.2. Tổ chức thực hiện. Thực hiện trong các tiết dạy tự chọn về chủ đề: xác suất của biến cố và các tính chất cơ bản của xác suất. 3.3. Các biện pháp đã và đang thực hiện. GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 5 * Hệ thống kiến thức phần tổ hợp + Các công thức tính số các hoán vị; số các chỉnh hợp; số các tổ hợp: 1) nnnP n ).1 (2.1! −== 2) )!( ! kn n A k n − = )1( nk ≤≤ 3) )!(! ! knk n C k n − = )0( nk ≤≤ Đặc biệt n nn AP = * Hệ thống kiến thức phần xác suất Nội dung đã trình bày trong mục cơ sở lý thuyết ở trên. * Phân dạng bài tập và phương pháp giải cho từng dạng Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển Theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì nếu phép thử T có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng thì xác suất của một biến cố A liên quan đến T là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể của T. Thành thử việc giải một bài toán tính xác suất của một biến cố A theo định nghĩa cổ điển sẽ được quy về một bài toán tổ hợp: Đếm số kết quả có thể của T và đếm số kết quả thuận lợi cho A. Cụ thể có ba bước sau: Bước 1: Xác định không gian mẫu Ω rồi tính số phần tử của Ω , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T. KH: )(Ωn Bước 2: Xác định tập con A Ω mô tả biến cố A rồi tính số phần tử của A Ω tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A. KH: )( A n Ω Bước 3: Tính )( )( Ω Ω n n A Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20 a. Mô tả không gian mẫu b. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố” . Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 6 c. Tính xác suất của A d. Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4 Phân tích:Đây là ví dụ đơn giản chủ yếu để học sinh mô tả không gian mẫu, chỉ ra các kết quả thuận lợi cho biến cố bằng cách liệt kê các phần tử và áp dụng công thức theo các bước trên. Lời giải: a. Xét phép thử T “Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20” Không gian mẫu gồm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 20 Bằng cách liệt kê, ta có không gian mẫu là tập hợp: }20,19,18,17 , 34,2,1{=Ω → Số phần tử của không gian mẫu: 20)( =Ωn (phần tử) b. Gọi biến cố A: “ số được chọn là số nguyên tố” Xác định số phần tử của A Ta có các số nguyên tố từ 1đến 20 là : 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 → n(A) = 9 c. Xác suất của A: ( ) ( ) ( ) 20 9 = Ω = n An AP d. Gọi B “ số được chọn nhỏ hơn 4” Các kết quả thuận lợi cho B gồm: 1; 2; 3 ⇒ n(B) = 3 Vây xác suất của B là 20 3 )( )( )( = Ω = n Bn BP Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “ Số chấm ở hai lần gieo bằng nhau” B: “ Tổng số chấm bằng 6” Phân tích: GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 7 Thực tế, đây cũng là một ví dụ đơn giản.Tuy nhiên ví dụ này được đưa ra nhằm mục đích để học sinh xác định rõ phép thử và trình bày không gian mẫu dưới hình thức chỉ ra tính chất đặc trưng của một tập hợp. Việc xác định các kết quả thuận lợi cho các biến cố A và B, giáo viên có thể kẻ bảng sau đây để học sinh dễ hình dung Lời giải: Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc hai lần” Không gian mẫu: Ω = {(i; j) | ≤1 i; j ≤ 6} 36)( =Ω⇒ n Nhìn vào bảng ta thấy: n(A) = 6; n(B) = 5 Vậy P(A) = 6 1 ; P(B) = 36 5 Ví dụ 3: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. Phân tích: Ví dụ này đưa ra cũng nhằm mục đích để học sinh xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét. Nhưng trong trường hợp này, các kết quả đó lớn nên việc trình bày không giống như ví dụ 1 GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 j i 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 8 và ví dụ 2 nữa mà ở đây để đưa ra được các kết quả đó ta sử dụng bài toán đếm trong tổ hợp. Lời giải: Xét phép thử T: “ Chọn 4 quả cầu trong một túi có 10 quả cầu” n( Ω ) = 4 10 C = 210 Gọi biến cố A: “4 quả cầu được chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh” TH1: Chọn được 1 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh. Có 80. 3 6 1 4 =CC cách TH2: Chọn được 2 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh. Có 90. 2 6 2 4 =CC cách TH3: Chọn được 3 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh. Có 24. 1 6 3 4 =CC cách Từ đó suy ra: n( 194249080) =++=Ω A cách Vậy P(A) = 105 97 Chú ý: Ta có thể trình bày lời giải ví dụ này bằng cách gọn hơn như sau: Số cách chọn toàn quả màu đỏ là 1 cách Số cách chọn toàn quả màu xanh là 15 4 6 =C cách Từ đó suy ra: Số cách chọn 4 quả cầu có cả quả màu đỏ và màu xanh là: 210 - (1 + 15) = 194 Vậy P(A) = 105 97 Bài tập tương tự dạng 1 Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. tính xác suất để: 1. Số được chọn là số nguyên tố. 2. Số được chọn chia hết cho 3. Bài 2: Danh sách lớp 11C7 được đánh số từ 1 đến 43. Bạn Hoa có số thứ tự là 19. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. 1. Tính xác suất để Hoa được chọn. 2. Tính xác suất để Hoa không được chọn. 3. Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hoa được chọn GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 9 Bài 3: Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2. Bài 4: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bầi trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp bài. Tính xác suất để trong xấp bài này chứa hai bộ đôi (Tức là có 2 con cùng thuộc một bộ; 2 con thuộc bộ thứ hai; con thứ 5 thuộc bộ khác). Dạng 2: Sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất Phương pháp: 1. Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: )()()( BPAPBAP +=∪ 2. Nếu A 1, A 2 , …,A k . là các biến cố đôi một xung khắc thì: )( )()() ( 2121 kk APAPAPAAAP +++=∪∪∪ 3. Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì: )().()( BPAPBAP =∩ 4. Nếu A 1, A 2 , …,A k là các biến cố đôi một độc lập thì: )() ().() ( 2121 kk APAPAPAAAP =∩∩∩ Ví dụ 1: Một hộp đựng 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu. Phân tích: Đối với ví dụ này các em hoàn toàn có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố bằng cách chia thành các trường hợp xảy ra rồi sử dụng qui tắc cộng trong tổ hợp. Tuy nhiên để áp dụng quy tắc cộng trong xác suất thì lời giải tường minh như sau: Lời giải: Xét phép thử T “ Chọn 2 quả cầu trong 1hộp đựng 9 quả cầu” 36)( 2 9 ==Ω Cn Gọi A: “ 2 quả cầu được chọn cùng màu” A 1 : “ 2 quả cầu được chọn màu xanh” Có 2 3 C cách A 2: “ 2 quả cầu được chọn màu đỏ” Có 2 4 C cách A 3 : “ 2 quả cầu được chọn màu vàng” có 2 2 C cách GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 10 [...]... nữ Cần lấy 4 học sinh đi lao động a Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có 1 học sinh nữ b Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có không quá 3 học sinh nữ Bài 2: Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt Điều động một cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác Tính xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất 1 xe tốt Bài 3: Ba xạ thủ độc lập bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên đạn Xác suất trúng đích... xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia Bài 4: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh Túi bên trái có 4 bi đỏ, 5bi xanh Lấy 1 bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên Tính xác suất sao cho: a 2 bi lấy ra cùng màu b 2 bi lấy ra khác màu Qua các năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm, tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh học tốt phần xác suất thì trong các tiết dạy tự chọn này, giáo viên cần phải giúp học. .. phần bù và nghĩ đến biến cố đối Vậy yêu cầu đối với học sinh là các em cần biết cách xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù trong 1 tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối Nếu chưa quen, học sinh có thể làm bằng cách: viết ra nháp mệnh đề là biến cố cần tính xác suất sau đó xác định mệnh đề phủ định của mệnh đề đó tức là xác định được biến cố đối của biến cố đang xét Có những bài toán. .. giúp học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết, các bài tập cần phải được phân dạng rõ ràng và sau mỗi dạng phải có bài tập tương tự để học sinh được thực hành nhiều hơn Đặc biệt đối với học sinh ở các lớp cơ bản thì trong các tiết học này, giáo viên nên cho các em thảo luận nhóm để các em biết được cách làm việc tập thể, biết hỗ trợ cho nhau, tạo sự đoàn kết, gắn bó thân mật, biết tranh luận và tự tin... Các bài toán tính xác suất của biến cố mà sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân là các bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông Để áp dụng quy tắc cộng thì học sinh có thể nhận dạng như sau: Trong những bài toán mà kết quả thuận lợi của biến cố A được chia thành nhiều nhóm GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 11 ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A1; A2; …;Ak đôi một. .. Tính xác suất để trong 3 bóng lấy được có ít nhất 1 bóng tốt Phân tích: Đối với ví dụ này, học sinh hoàn toàn có thể tính được xác suất của biến cố bằng cách sử dụng các quy tắc tính xác suất Tuy nhiên việc chuyển qua biến cố đối ở ví dụ này rất thuận lợi Giáo viên trình bày rõ ràng cả 2 cách để qua đó, GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 12 học sinh thấy được ưu điểm của việc tính xác suất. .. Lời giải 2: Xét biến cố A : “ 3 bóng lấy được đều là bóng xấu” 3 ⇒ n(Ω A ) = C 5 = 10 ⇒ P ( A ) = 10 1 = 120 22 Vì biến cố đối của biến cố A là biến cố A nên: P( A) = 1 − 1 21 = 22 22 Để tính xác suất của biến cố bằng cách chuyển qua biến cố đối thì tôi lưu ý cho học sinh 1 vài nhận dạng cơ bản sau: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”; “có tất cả” hoặc liên qua đến số chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm, ... hiểu, học sinh có thể nhận dạng được Để áp dụng quy tắc nhân xác suất thì học sinh có thể nhận dạng như sau: Trong những bài toán mà kết quả thuận lợi của biến cố A phải thoả mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các bến cố A1, A2, …,Ak ,đôi một độc lập Khái niệm biến cố độc lập khó hiểu hơn khái niệm biến cố xung khắc Vì vậy, việc áp dụng quy tắc nhân xác suất. .. xét Có những bài toán lại cho trực tiếp xác suất Với những bài toán như vậy, chắc chắn ta phải sử dụng các quy tắc tính xác suất để tính GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 13 Ví dụ 2: Xác suất trúng hồng tâm của 1 người bắn cung là 0,2 Tính xác suất để trong 3 lần bắn độc lập a Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần; b Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần Lời giải: a Gọi biến cố A: “ Trong... với ví dụ này học sinh cũng có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố bằng cách chia thành các hoạt động liên tiếp nhau Tức là chọn 1 viên màu trắng từ hộp thứ 1 rồi sau đó tiếp tục chọn 1viên màu trắng từ hộp thứ 2 rồi sử dụng qui tắc nhân trong tổ hợp Tuy nhiên bài toán này còn giải quyết được gọn gàng hơn bằng cách áp dụng qui tắc nhân xác suất Để áp dụng qui tắc nhân xác suất thì lời giải tường minh . để giải quyết các bài toán khác nhau tôi chọn đề tài: “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh phân loại và giải một số dạng bài toán xác suất cho học sinh THPT . GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT. phần xác suất và kiến thức phần tổ hợp có liên quan; - Phân dạng bài tập và có phương pháp giải cho từng dạng; - Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải cho từng dạng; - Ra bài tập tương tự cho. có 6 nam và 5 nữ. Cần lấy 4 học sinh đi lao động. a. Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có 1 học sinh nữ. b. Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có không quá 3 học sinh nữ. Bài 2: Một đơn vị