Tiểu luận môn phương trình sai phân

TIỂU LUẬN Môn: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN GVHD: TS. Lê Hải Trung Ngày 20 tháng 6 năm 2012 Nhóm thực hiện: 1. Đinh Thị Thủy 2. Vũ Hứa Hạnh Nguyên 3. Nguyễn Thị Kim Thoa 4. Lê Quang Huy 5. Phạm Đức Khanh Chương I: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = x n với n ∈ Z : {n} = {0, ±1, ±2, , ±n} (hoặc n ∈ Z + , hoặc n ∈ N ) là hiệu: ∆x n = x n+1 − x n Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm x n là sai phân của sai phân cấp 1 của x n , và nói chung sai phân cấp k của hàm x n là sai phân cấp k −1 của hàm số đó. Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số 1 Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính. Tính chất 3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là 1. Đa thức bậc m − k, nếu k < m 2. Hằng số, nếu k = m 3. Bằng 0 khi k > m Tính chất 4 N  n=a ∆ k x n = ∆ k−1 x N+1 − ∆ k−1 x a với k ∈ Z + 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 3 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: F (x n , ∆x n , ∆ 2 x n , ∆ k x n ) = 0 trong đó, x n hiểu là sai phân cấp 0 của hàm x n ; cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k), là cấp của phương trình sai phân. Định nghĩa 4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm x n là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x n tại các điểm khác nhau: L h x n = a 0 x n+k + a 1 x n+k−1 + + a k x n = f n (2) trong đó L h là ký hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm x n , xác định trên lưới có bước lưới h; a 0 , a 1 , , a k với a 0 = 0, a k = 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là vế phải; x n là giá trị cần tìm, được gọi là ẩn. Phương trình (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k (còn gọi là bậc k), vì để tính được tất cả các giá trị x n , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của x n , rồi tính các giá trị còn lại của x n theo công thức truy hồi (2) Định nghĩa 5 Nếu f n ≡ 0 thì (2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. Nếu f n = 0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Nếu f n ≡ 0 và a 0 , a 1 , a k là các hằng số, a 0 = 0, a k = 0 thì phương trình (2) trở thành: L h x n = a 0 x n+k + a 1 x n+k−1 + + a k x n = 0 (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng số. 2 Định nghĩa 6 Hàm số x n biến n, thỏa mãn (2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2). Hàm số x T N n phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (3), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (3), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x 0 , x 1 , ··· , x k−1 , ta đều xác định được duy nhất các tham số C 1 , C 2 , ··· , C k để nghiệm x T N n trở thành nghiệm riêng của (3), tức là vừa thỏa mãn (3) vừa thỏa mãn x T N 0 = x 0 , x T N 1 = x 1 , ··· , x T N k−1 = x k−1 . Định lý 1 Nghiệm tổng quát x T Q n của (2) bằng tổng x T N n và x R n , với x R n là một nghiệm riêng bất kì của (2). Định lý 2 Nếu x n1 , x n2 , ··· , x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (3), tức là từ hệ thức C 1 x n1 + C 2 x n2 + ··· + C k x nk = 0 suy ra C 1 = C2 = ··· = C k = 0, thì nghiệm tổng quát x T N n của (3) có dạng x T N n = C 1 x n1 + C 2 x n2 + ··· + C k x nk , trong đó, C 1 , C 2 , ··· , C k là các hằng số tùy ý. Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm x T N n của (3) và x R n của (2) Xét phương trình L h λ = a 0 λ n+k + a 1 λ n+k−1 + + a k λ n = 0 (4) Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3) (người ta cũng xem là phương trình đặc trưng của (2)). Nghiệm x T N n của (3) và x R n của (2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (4). a. Nghiệm tổng quát x T N n của phương trình thuần nhất Định lý 3 Nếu (4) có k nghiệm thực khác nhau là λ 1 , λ 2 , ··· , λ k thì nghiệm tổng quát x T N n của (3) có dạng x tn n = C 1 λ n 1 + C 2 λ n 2 + ··· + C k λ n k = k  i=1 C i λ n i trong đó C i , i = 1, ··· , k là hằng số tùy ý. 3 Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực λ j bội s, thì ngoài nghiệm λ n j , ta lấy thêm các vecto bổ sung nλ n j , n 2 λ n j , ··· , n s−1 λ n j , cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (3) và do đó x T N n = s−1  i=0 C i j n i λ n j + k  j=i=1 C i λ n i trong đó C i j và C i là các hằng số tùy ý. Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm phức λ j = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) , trong đó r = |λ j | = √ a 2 + b 2 , ϕ = arg λ j , có nghĩa là tan ϕ = a b , thì (4) cũng có nghiệm liên hợp phức λ j = r(cos ϕ − i sin ϕ). Khi đó, ta có λ n j = r n (cos nϕ + i sin nϕ), λ n j = r n (cos nϕ − i sin nϕ) là các nghiệm của (3). Ta lấy x 1 nj = 1 2 (λ n j + λ n j ) = r n cos nϕ x 2 nj = 1 2i (λ n j + λ n j ) = r n sin nϕ làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (3). Khi đó x T N n = k  i=1 C i λ n i + r n (C 1 j cos nϕ + C 2 n sin nϕ) trong đó, C i , C 1 j , C 2 j là các hằng số tùy ý. Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức λ j bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp λ j bội s; trong trường hợp này, ngoài nghiệm λ j1 = r n cos nϕ, λ j1 = r n sin ϕ ta cần lấy thêm 2n − 2 vectơ nghiệm bổ sung: λ j2 = r n cos nϕ, λ j3 = r n n 2 cos nϕ, ··· , λ js = r n n s−1 cos nϕ λ j2 = r n sin nϕ, λ j3 = r n n 2 sin nϕ, ··· , λ js = r n n s−1 sin nϕ Như vậy, ta có: x T N n = k  j=i=1 C i λ n i +r n [(A 1 +A 2 n+ +A s n s−1 ) cos nϕ+(B 1 +B 2 n+ +B s n s−1 sin nϕ)] trong đó C i , A 1 , A 2 , , A s , B 1 , B 2 , , B s là các hằng số tùy ý. 4 b. Nghiệm riêng x R n Trường hợp 1: f n là đa thức bậc m của n, m ∈ N:f n = P m (n) 1. Nếu các nghiệm λ 1 , λ 2 , , λ k là các nghiệm thực khác 1 của phương trình đặc trưng (4) thì x R n = Q m (n), m ∈ N Q m (n) là đa thức cùng bậc m với f n 2. Nếu có nghiệm λ = 1 bội s thì x R n = n s Q m (n), m ∈ N Q m (n) là đa thức cùng bậc m với f n Trường hợp 2: f n = P m (n)β n , trong đó P m (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N 1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (4) đều là các nghiệm thực khác β, thì x R n có dạng x R n = Q m (n)β n , m ∈ N Q m (n) là đa thức cùng bậc m với f n 2. Nếu (4) có nghiệm λ = β bội s thì tìm x R n dưới dạng: x R n = n s Q m (n)β n , m ∈ N Q m (n) là đa thức cùng bậc m với f n Trường hợp 3: f n = α cos nx + β sin nx với α, β là hằng số Trong trường hợp này nghiệm riêng x R n được tìm dưới dạng x R n = a cos nx + b sin nx Trường hợp 4: f n = f n1 + f n2 + + f ns Trong trường hợp này, ta tìm nghiệm riêng x R ni ứng với hàm f ni , i = 1, 2, , s. Nghiệm riêng x R n ứng với hàm f n sẽ là x R n = x R n1 + x R n2 + + x R ns do tính tuyến tính của phương trình sai phân. 5 Chương II: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Các bài toán thực tiễn thường dẫn về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, hoặc dẫn về dạng chính tắc, mà thực chất cũng là phương trình sai phân tuyến tính cấp một với ẩn là một vectơ. Bởi vậy, các bài toán phương trình sai phân tuyến tính cấp một là vô cùng cơ bản và quan trọng. 1. ĐỊNH NGHĨA Phương trình có dạng ax n+1 + bx n = f n ; a = 0, b = 0 được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Nếu a, b là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số; nếu a, b phụ thuộc n, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên. f n là một hàm của n, gọi là vế phải; x n là ẩn. Nếu f n ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; nếu f n = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. 2. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng x T Q n = x T N n + x R n , trong đó x T N n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất ax n+1 + bx n = 0 (a, b ∈ R) (*) Ta có: (∗) ⇔ x n+1 = − b a x n hay x n+1 = λ.x n , với λ = − b a . 6 Cho x 0 = C Suy ra                x 1 = λx 0 = λC x 2 = λx 1 x 3 = λx 2 . . . x n = λx n−1 Nhân vế theo vế các đẳng thức trên, ta được x 1 x 2 . . . x n = λ n .Cx 1 x 2 . . . x n−1 hay x n = λ n .C. Như vậy, nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hay nghiệm thực nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất có dạng x T N n = Cλ n với λ = − b a . Và x R n là một nghiệm riêng bất kì của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Do vế phải của phương trình sai phân tuyến tính cấp một là f n có nhiều dạng khác nhau nên nghiệm riêng của phương trình cũng có nhiều dạng tương ứng với mỗi trường hợp của f n . Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm riêng x R n của phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong một số trường hợp đặc biệt. 3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG x R n CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT KHÔNG THUẦN NHẤT Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất ax n+1 + bx n = f n ; a = 0, b = 0, f n = 0 (1) Phương trình đặc trưng 7 a 1 λ k + a 2 λ k−1 + ··· + a k+1 = 0 3.1. Phương pháp chọn (hay phương pháp hệ số bất định) 3.1.1. Nếu f n là đa thức bậc k của n: f n = P k (n) 1. Nếu phương trình đặc trưng của (1)có nghiệm λ = 1. Khi đó, x R n tìm dưới dạng đa thức cùng bậc k với f n , hay x R n = Q k (n), với Q k (n) là đa thức bậc k của n. 2. Nếu phương trình đặc trưng của (1) có nghiệm λ = 1, thì tìm x R n = n.Q k (n); trong đó Q k (n) là đa thức bậc k của n. Chứng minh Xét phương trình ax n+1 + bx n = P k (n) (2) 1. Với λ = − b a = 1 ⇒ b = −a. Nhận xét thấy vế phải của (2) là một đa thức bậc k theo n, nên vế trái cũng phải là một đa thức bậc k theo n, do đó x n là một đa thức bậc k theo n, và hiển nhiên nghiệm riêng x R n là một đa thức bậc k theo n, hay x R n = Q k (n), với Q k (n) là đa thức bậc k của n. 2. Với λ = − b a = 1 ⇒ b = −a. Khi đó (2) ⇐⇒ ax n+1 − ax n = P k (n) ⇐⇒ a(x n+1 − x n ) = P k (n) ⇐⇒ ∆x n = 1 n P k (n) ⇒ x n phải là đa thức bậc k + 1. Vì tìm nghiệm riêng, nên ta tìm x R n = nQ k (n + 1) là đủ. Ví dụ 1. Giải phương trình sai phân: x n+1 = 3x n − 2n + 1, x 0 = 0. Giải x n+1 = 3x n − 2n + 1 ⇔ x n+1 − 3x n = −2n + 1. Phương trình đặc trưng: λ − 3 = 0 =⇒ λ = 3. Suy ra: x T N n = C.3 n . Ta tìm: x R n = A.n + B. Thay vào phương trình xuất phát, ta được: 8 A.(n + 1) + B = 3(An + B) − 2n + 1 ⇔ −2An + A − 2B = −2n + 1 So sánh hệ số của n ở 2 vế, ta được  −2A = −2 A − 2B = 1 ⇐⇒  A = 1 B = 0 Suy ra: x R n = n Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x T Q n = x T N n + x R n = C.3 n + n. x 0 = 0 =⇒ C = 0 Vậy: x T Q n = n. Ví dụ 2. Giải phương trình sai phân: x n+1 = x n + 2.n 2 , x 0 = 0 Giải x n+1 = x n + 2.n 2 ⇔ x n+1 − x n = 2.n 2 Phương trình đặc trưng: λ − 1 = 0 =⇒ λ = 1. Suy ra: x T N n = C. Ta tìm: x R n = n.(A.n 2 + B.n + C) = A.n 3 + B.n 2 + C.n. Thay vào phương trình xuất phát, ta được: A.(n + 1) 3 + B.(n + 1) 2 + C.(n + 1) − A.n 3 − B.n 2 − C.n = 2.n 2 ⇔ A.(n 3 +3.n 2 +3.n+1)+B.(n 2 +2.n+1)+C.(n+1)−A.n 3 −B.n 2 −C.n = = 2.n 2 ⇔ 3A.n 2 + (3A + 2B).n + A + B + C = 2.n 2 So sánh hệ số của n ở 2 vế, ta được    3.A = 2 3.A + 2.B = 0 A + B + C = 0 ⇐⇒          A = 2 3 B = −1 C = 1 3 Suy ra: x R n = 2 3 .n 3 − n 2 + 1 3 n Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 9 x T Q n = x T N n + x R n = C + 2 3 .n 3 − n 2 + 1 3 n. x 0 = 0 =⇒ C = 0 Vậy: x T Q n = 2 3 .n 3 − n 2 + 1 3 n. 3.1.2. Nếu f n = αβ n (αβ = 0), ta tìm x R n dưới dạng: 1. x R n = Cβ n , nếu λ = β, 2. x R n = Cnβ n , nếu λ = β. * Mở rộng: Nếu f n = P m (n)β n (β = 0), thì tìm x R n sẽ được tìm dưới dạng: 1. x R n = Q m (n)β n , nếu λ = β 2. x R n = nQ m (n)β n , nếu λ = β, trong đó λ là nghiệm phương trình đặc trưng: λ = − b a hoặc λ = q; Q m (n) là đa thức bậc m của n. Chứng minh Với f n = αβ n (β = 0), Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ax n+1 + bx n = αβ n ⇐⇒ a x n+1 β n + b x n β n = α ⇐⇒ aβ x n+1 β n+1 + b x n β n = α. Đặt: y n = x n β n , ta được phương trình: aβy n+1 +by n = α (3) Phương trình đặc trưng: aβt + b = 0 =⇒ t= - b aβ = λ β . Nhận xét thấy vế phải của (3) là α: là một đa thức bậc 0. Theo 3.1.1, ta có: + Nếu t = 1 ⇔ λ β = 1 ⇔ λ = β, thì: y R n = C ⇒ x R n = Cβ n . + Nếu t = 1 ⇔ λ β = 1 ⇔ λ = β, thì: y R n = Cn ⇒ x R n = Cnβ n . 10 [...]... sin n ⇐⇒ A=0 B=1 nπ 4 3.2 Phương pháp biến thiên hằng số cho nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một Xét phương trình: axn+1 + bxn = fn b Phương trình này có nghiệm xT N = λ.C n , với λ = − n a Để tìm nghiệm riêng của phương trình, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là một hàm của n, và ta tiến hành đi tìm 18 xR = Cn λn n Thay vào phương trình sai phân, ta được aCn+1 λn+1... 2|ab| − 2|ab| = 0 =⇒ D > 0 Do đó từ hệ phương trình trên, ta xác định được A, B duy nhất Nên (4) được xác định đúng đắn! Ví dụ 5 Giải phương trình sai phân: 1 nπ 1 xn+1 = √ xn − √ sin , 4 2 2 x0 = 1 Giải 1 1 nπ xn+1 = √ xn − √ sin 4 2 2 Phương trình đặc trưng: 1 Suy ra: xT N = C( √ )n n 2 ⇐⇒ 1 1 nπ xn+1 − √ xn = − √ sin 4 2 2 1 λ − √ = 0 2 1 nπ nπ nπ Vì phương trình có fn = − √ sin , nên ta tìm xR... ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 7 nπ 1 + cos xT Q = xT N + xR = C2n + n2 − n + n n n 6 4 12 2 16 x0 = 1 8 =⇒ Vậy: xT Q = xT N n n 7 1 35 +1= ⇔ C=− 12 8 24 35 n 1 2 1 7 nπ + xR = − 2 + n − n + + cos n 24 6 4 12 2 C+ Ví dụ 8 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân: xn+1 = xn + 2n3n Giải Phương trình đã cho tương đương với: xn+1 − xn = 2n3n Phương trình đặc trưng: λ − 1 = 0... xn = C Ta tìm: xR = A.2n Thay vào phương trình xuất phát, ta được: n A.2n+1 = A.2n + 2n =⇒ A = 1 Suy ra: xR = 2n n Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xT Q = x T N + xR = C + 2 n n n n x0 = 4 =⇒ 4=C +1 =⇒ C = 3 Vậy xn = 2n + 3 Ví dụ 4 Giải phương trình sai phân: xn+1 = 2xn + 6.2n , x0 = 99 Giải xn+1 = 2xn + 6.2n ⇐⇒ 11 xn+1 − 2xn = 6.2n Phương trình đặc trưng: λ − 2 = 0 =⇒ λ =... ⇐⇒ Cn = n! =⇒ xR = n! n Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xT Q = xT N + xR = C + n! n n n x0 = 0 =⇒ C = 0 Vậy: xT Q = n.n! n Ví dụ 11 Giải phương trình sai phân: xn+1 = xn + cosnx, x0 = 0 Giải xn+1 = xn + cosnx ⇐⇒ xn+1 − xn = cosnx Phương trình đặc trưng: λ − 1 = 0 ⇐⇒ Suy ra: xT N = C n và xR = Cn n Thay xR vào phương trình xuất phát, ta được: n λ = 1 Cn+1 = Cn + cosnx ⇐⇒ Cn+1... nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xT Q = xT N n n x0 = 0 =⇒ C− 1 sin(n − )x 2 + xR = C + n x 2sin 2 1 1 ⇔ C= 2 2 Vậy: xT Q n 1 1 1 sin(n − 2 )x = + x 2 2 sin 2 Ví dụ 12 Giải phương trình sai phân: xn+1 = 3xn + 2.3n+1 , x0 = 1 Giải xn+1 = 3xn + 2.3n+1 ⇐⇒ xn+1 − 3xn = 2.3n+1 Phương trình đặc trưng: λ − 3 = 0 ⇐⇒ TN n Suy ra: xn = C.3 và xR = Cn 3n n Thay xR vào phương trình xuất phát, ta... 2n.3n n Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xT Q = xT N + xR = C.3n + 2n.3n n n n x0 = 1 =⇒ C=1 Vậy: xT Q = 3n + 2n.3n = (2n + 1)3n n Ví dụ 13 Giải phương trình sai phân: xn+1 = 3xn − 2n + 1, x0 = 1 Giải xn+1 = 3xn − 2n + 1 ⇐⇒ xn+1 − 3xn = −2n + 1 Phương trình đặc trưng: λ − 3 = 0 ⇐⇒ n TN Suy ra: xn = C.3 và xR = Cn 3n n Thay xR vào phương trình xuất phát, ta được: n λ = 3 Cn+1... đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xT Q = xT N + xR = C.3n + n n n n 22 x0 = 1 =⇒ C=1 Vậy: xT Q = 3n + n n Ví dụ 14 Giải phương trình sai phân: 1 xn+1 = 5xn + (n2 − 3n + 1)n!, 5 x0 = 0 Giải 1 xn+1 = 5xn + (n2 − 3n + 1)n! 5 ⇐⇒ 1 xn+1 − 5xn = (n2 − 3n + 1)n! 5 Phương trình đặc trưng: λ − 5 = 0 ⇐⇒ TN n Suy ra: xn = C.5 và xR = Cn 5n n Thay xR vào phương trình xuất phát, ta được: n λ... Cn = C0 + a i=0 λi+1 Cn − C0 = ⇐⇒ Vậy: xR = [C0 + n 1 a n−1 i=0 fi n ]λ λi+1 Ví dụ 10 Dùng phương pháp biến thiên hằng số, giải phương trình sai phân: xn+1 = xn + n.n!, x0 = 0 Giải 19 xn+1 = xn + n.n! ⇐⇒ xn+1 − xn = n.n! Phương trình đặc trưng: λ − 1 = 0 ⇐⇒ Suy ra: xT N = C n và xR = Cn n Thay xR vào phương trình xuất phát, ta được: n λ = 1 Cn+1 = Cn + n.n! ⇐⇒ Cn+1 − Cn = n.n! ⇐⇒ ∆Cn = n.n! Mà ta có... biến: yn = n , ta được: β aβyn+1 + byn = Pm (n) Phương trình đặc trưng: aβt + b = 0 Theo 3.1.1 thì : b b + Nếu t = − = 1 ⇔ − = λ = β, thì: aβ a R yn = Qm (n) + Nếu t = − b =1 aβ ⇔ xR = Qm (n)β n n =⇒ b − = λ = β, thì: a R yn = nQm (n) xR = nQm (n)β n n =⇒ Ví dụ 3 Giải phương trình sai phân: xn+1 = xn + 2n , x0 = 4 Giải xn+1 = xn + 2n ⇐⇒ xn+1 − xn = 2n Phương trình đặc trưng: λ − 1 = 0 =⇒ λ = 1 = β = 2 . nghĩa 2 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm x n là sai phân của sai phân cấp 1 của x n , và nói chung sai phân cấp k của hàm x n là sai phân cấp k −1 của hàm số đó. Tính chất 1 Sai phân các cấp. x R ns do tính tuyến tính của phương trình sai phân. 5 Chương II: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Các bài toán thực tiễn thường dẫn về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, hoặc. là phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Nếu a, b là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số; nếu a, b phụ thuộc n, thì ta có phương trình sai phân tuyến