Về tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLÊ TRUNG HIẾU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp... Được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu

Mã số chuyên ngành: 62 46 2001

Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc PhátPhản biện 2: GS.TSKH Đỗ Công KhanhPhản biện 3: TS Nguyễn Đình TuấnPhản biện độc lập 1: GS.TSKH Vũ Ngọc PhátPhản biện độc lập 2: TS Tạ Quang Sơn

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

2 PGS.TS NGUYỄN NGỌC HẢI

Tp Hồ Chí Minh, 2015

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, đượcthực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh,dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc và PGS.TS NguyễnNgọc Hải, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ ChíMinh Các kết quả trong Luận án viết chung với Thầy hướng dẫn đều đãđược sự nhất trí của Thầy khi đưa vào Luận án Các kết quả chính nêutrong Luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố trongbất kỳ công trình nào.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê Trung Hiếu

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm HữuAnh Ngọc Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc nhất đến người Thầy củamình Trong một thời gian dài, Thầy đã từng bước dẫn dắt tác giả tiếpcận và thực hiện nghiên cứu các vấn đề được trình bày trong Luận ánnày Thầy không những hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinhnghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn truyền cảm hứng và độngviên khích lệ tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên môn vàtrong cuộc sống Làm việc với Thầy, tác giả còn học được một tinh thầntrách nhiệm trong công việc, niềm say mê nghiên cứu và một phongcách làm việc khoa học, trung thực và nghiêm túc Tác giả cũng xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, người Thầyhướng dẫn thứ hai của tác giả, đã giúp đỡ và luôn luôn động viên tác giảtrong suốt quá trình học tập

Tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại họcQuốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán-Tin học, Bộ môn Tối ưu và Hệthống đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành Luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏlòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộmôn Tối ưu và Hệ thống), PGS.TSKH Nguyễn Định, những người Thầy

đã giảng dạy cho tác giả những kiến thức chuyên ngành bổ ích và tạođiều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án Tác giả cũng xin gửilời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Đỗ Công Khanh và PGS.TSKH VũHoàng Linh đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo Luận án khi bảo vệcấp đơn vị chuyên môn và đã có những ý kiến bổ ích giúp tác giả cậpnhật và cải thiện chất lượng Luận án Xin gửi lời cám ơn chân thànhđến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, TS Tạ Quang Sơn đã dành nhiều thờigian đọc phản biện độc lập cho Luận án này và cho nhiều lời khen ngợiđộng viên tác giả Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn,GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Nguyễn Đình

những lời khuyên, góp ý cho tác giả trong các lần báo cáo học thuậthoặc tại các hội nghị khoa học Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang(Phòng Đào tạo Sau đại học) đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tác giả về cácthủ tục học tập và bảo vệ trong suốt khóa học.

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học ĐồngTháp, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán-Tin đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi nhất cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thànhLuận án của mình Đặc biệt, tác giả xin cám ơn các thành viên của Bộmôn Giải tích-Toán ứng dụng đã luôn giúp đỡ động viên, đảm nhận thaynhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận

án của mình Qua đây, tác giả cũng xin gửi lời cám ơn đến TS Trần GiangNam (Viện Toán học, cựu giảng viên trẻ của Khoa Sư phạm Toán-Tin),

đã giới thiệu cho tác giả có cơ hội làm việc với các Thầy hướng dẫn hiệnnay của mình, để tác giả có cơ hội nghiên cứu khoa học và cháy bỏngđam mê trong lĩnh vực Toán học

Xin cám ơn các thành viên nhóm nghiên cứu Lý thuyết điều khiểncủa PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc, các anh chị nghiên cứu sinh của KhoaToán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt là NCS CaoThanh Tình (cũng là người anh đồng môn thân thiết nhất), TS TrầnHồng Mơ, TS Phan Tự Vượng, NCS Lê Thanh Quang đã trực tiếp giúp

đỡ và động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình của mình, đặc biệt là người Mẹ già kính yêu và người Vợhiền đã luôn luôn ở bên cạnh tôi, động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùngtôi trong thời gian qua Đó chính là nguồn động lực lớn nhất giúp tôi có

đủ ý chí để vượt qua mọi khó khăn, tập trung tối đa cho việc nghiên cứu

và hoàn thành tốt Luận án của mình

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê Trung Hiếu

TRANG PHỤ BÌA 1

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI CẢM ƠN 3

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU 7

MỞ ĐẦU 9

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 Một số kí hiệu và qui ước 16

1.2 Chuẩn của véctơ và chuẩn của ma trận 17

1.3 Định lý Perron-Frobenius 19

1.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ 22

CHƯƠNG 2 ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG 23 2.1 Ổn định của các hệ phi tuyến 23

2.2 Phỏng đoán loại Aizerman 36

2.3 Kết luận 38

CHƯƠNG 3 ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CÓ CHẬM 40 3.1 Điều kiện ổn định mũ tường minh cho các hệ phụ thuộc thời gian 42

3.2 Ổn định mũ của các hệ chịu nhiễu 52

3.3 Thảo luận về các kết quả thu được 60

3.4 Kết luận 64

CHƯƠNG 4 ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 65 4.1 Sơ lược về các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra 65

4.2 Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính 67

4.3 Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm hữu hạn 75

4.4 Ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm vô hạn 90

4.6 Kết luận 110

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 112

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP

ĐẾN LUẬN ÁN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117

Z+ Tập hợp các số nguyên không âm

Z[k 1 ,k 2 ] Tập hợp các số nguyên thuộc đoạn [k1, k2], k1, k2 ∈ Z

JF(x) Ma trận Jacobi của hàm F tại x

det(M ) Định thức của ma trận vuông M

M−1 Nghịch đảo của ma trận vuông M

trận vuông Mρ(M ) ρ(M ) = max{|λ| : λ ∈ σ(M )}, bán kính phổ của ma

MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định của các hệ động lực có lịch sử hơn 100 năm và đượcbắt đầu kể từ khi nhà Toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (1857-

1918) xuất bản những công trình tiên phong của mình: “On the stability

of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid” (năm 1884, tiếng Nga) và “General problem of the stability of motion” (năm 1892, tiếng

Nga) Đến nay lý thuyết ổn định của các hệ động lực đã có những bướcphát triển và đạt nhiều thành tựu vượt bậc

Do sự giao thoa giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng lớn,các mối quan hệ, sự kết hợp giữa các bài toán tối ưu và các bài toánđiều khiển ngày càng trở nên rõ ràng hơn, tinh tế hơn (xem [BLO01a],[BLO01b], [Lew03], [Lew07], [RG96], [Sha15], [XLW02]) Một số bàitoán ổn định, ổn định vững, điều khiển các hệ động lực thực chất là cácbài toán tối ưu toàn cục: chẳng hạn như các bài toán tính bán kính ổnđịnh hoặc bán kính điều khiển được của các hệ tuyến tính với hệ số hằngchịu nhiễu cộng tính (xem [HP96], [HS91], [NNS06], [WH94], [Ei84]).Một vài lớp các bài toán ổn định hóa, bài toán điều khiển của các hệđộng lực được quy về việc giải các bài toán tối ưu, các bài toán quyhoạch tuyến tính nào đó (xem [LWYZ08], [RG96], [RHT07], [RT06],

[RTB07], [VVMV08]) Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm của các hệ động lực là một phần tất yếu trong một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các “bài toán điều khiển tối ưu loại H2/H∞”1 của các hệ động lực (xem [CC93], [HB90], [HBM91], [MP05], [MZH12], [ZDG96]) Chính

vì vậy, việc giải các bài toán ổn định nghiệm của các hệ động lực là bước đầu tiên và bắt buộc trong một số bài toán điều khiển tối ưu.

Như một tác động ngược, một số kết quả, phương pháp từ lý thuyết

1 H /H control problem.

tối ưu ngày nay được dùng khá thường xuyên để giải nhiều lớp các bàitoán ổn định, các bài toán điều khiển các hệ động lực (xem [BHL06],[BLO02], [BLO03], [Lew07], [Pa06], [RG96]), [VVMV08]) Ranh giớigiữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng bị xóa nhòa.

Đồng hành với những thành tựu, sự phát triển của lý thuyết tối ưu

và lý thuyết điều khiển, lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung

và của các hệ phương trình sai phân nói riêng cũng đã phát triển khôngngừng Phương trình sai phân là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạchóa các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Lý thuyếtphương trình sai phân và lý thuyết phương trình vi phân do vậy có mốiliên quan rất chặt chẽ với nhau Các phương pháp số nhằm tính toángần đúng các nghiệm của phương trình vi phân hoặc nghiên cứu cáctính chất nghiệm của chúng dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của cácphương trình sai phân

Phương trình sai phân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học khácnhau như: Sinh học, Khoa học máy tính, Lý thuyết điều khiển, Vật lý,Kinh tế học, (xem [E05], [Go58], [HCH10], [HP05], [KP01], [Lu79],[WZFL13], [WSSC12], [YZF10]) Trong những thập niên gần đây, lýthuyết phương trình sai phân đã có những phát triển vượt bật và là đốitượng nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong nhiều lĩnh vực khácnhau Được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học

và kĩ thuật, các bài toán ổn định và ổn định vững của phương trình saiphân đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trênthế giới Lý thuyết tổng quan về ổn định của các phương trình sai phântuyến tính và một số lớp phương trình sai phân phi tuyến (đặc biệt là các

hệ dừng) đã được trình bày tương đối đầy đủ trong một số sách chuyênkhảo như là [E05], [Gi07], [Go58], [HCH10], [HP05], [KP01], [Lu79],[Sha11], Tuy nhiên, nhiều bài toán ổn định của các hệ phương trình

sai phân phụ thuộc thời gian, đặc biệt là lớp các hệ phi tuyến phụ thuộcthời gian vẫn còn là những bài toán mở cần được nghiên cứu sâu và hệthống hơn.

Cách tiếp cận truyền thống để nghiên cứu các bài toán ổn định củacác hệ phương trình sai phân là phương pháp hàm Lyapunov và các biếndạng của nó như hàm Lyapunov-Krasovskii, hàm Lyapunov-Razumikhin(xem [CKRV98], [E05], [KCT03], [Sha11], [WZFL13], [YZF10]) Suốthơn 100 năm qua, các hàm Lyapunov được sử dụng rộng rãi và đượcxem là công cụ chính trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của cácphương trình vi phân, phương trình sai phân nói riêng và các hệ độnglực nói chung Tuy nhiên, đối với các lớp hệ phụ thuộc thời gian, đặc biệt

là các hệ phi tuyến, rất khó để xây dựng được các hàm Lyapunov Hơnthế nữa, các kết quả thu được từ phương pháp hàm Lyapunov thườngđược cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận phức tạp và khó sử dụng(xem [BGFB94], [KLHLFL05], [WZFL13], [WSSC12], [YZF10])

Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, trong quá khứ đã xuất hiện nhiềucách tiếp cận khác đối với các bài toán ổn định của phương trình saiphân như: Đa thức đặc trưng, các nguyên lý ánh xạ co và các định lýđiểm bất động, các dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc, các định lýkiểu Bohl-Perron, phép biến đổi phức (Z-transform), phương pháp tôpô,

so sánh nghiệm, định lý Paley-Wiener dạng rời rạc, các định lý kiểuRazumikhin, (xem [Aga08], [BrKa12], [Che11], [E05], [Hien14],[KCT03], [LM07], [Liz11], [SB04], [UN09]) Tuy nhiên, mỗi phươngpháp tiếp cận nói trên đều có những hạn chế nhất định và thường chỉphù hợp với một số lớp phương trình cụ thể

Khác với các bài toán ổn định của các phương trình sai phân dừng,các bài toán ổn định của các phương trình sai phân phụ thuộc thờigian nói chung thường khó và phức tạp ngay cả đối với loại phương

trình tuyến tính phụ thuộc thời gian dạng đơn giản nhất: x(n + 1) =A(n)x(n), x(n) ∈ Rm, n ∈ Z+ Như đã nói ở trên, mỗi cách tiếp cận đã

đề cập đều có những hạn chế nhất định, các điều kiện ổn định thu đượccho các phương trình sai phân phụ thuộc thời gian thường được cho bởicác điều kiện phức tạp và khó sử dụng Các điều kiện ổn định tườngminh, dễ sử dụng không có nhiều và việc tìm ra những điều kiện ổnđịnh như thế đòi hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt

kĩ thuật Chính vì vậy, việc phát triển các kĩ thuật mới để tìm ra các điềukiện đủ, điều kiện cần và đủ đơn giản cho tính ổn định của các lớp hệphương trình sai phân phụ thuộc thời gian, đặc biệt là lớp các phươngtrình phi tuyến phụ thuộc thời gian tổng quát là nhu cầu cấp thiết và có

ý nghĩa khoa học cao Đây là một đề tài khó và thời sự, nó đòi hỏi ngườinghiên cứu phải làm việc nghiêm túc và nổ lực trong công việc suốt một

thời gian dài Đây cũng là lí do chính thúc đẩy tôi chọn đề tài “Về tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân” để nghiên cứu và viết luận

án Tiến sĩ cho mình

Mục tiêu chính của Luận án này là:

- Trình bày một tiếp cận mới đối với các bài toán ổn định của các hệphương trình sai phân phụ thuộc thời gian

- Nghiên cứu các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ mới cho tính ổnđịnh mũ của các lớp hệ sau: Hệ phương trình sai phân thường phituyến phụ thuộc thời gian, hệ phương trình sai phân có chậm, hệphương trình sai phân Volterra với chậm hữu hạn hoặc vô hạn

- Tìm các biên ổn định cho các loại hệ phương trình sai phân nói trênchịu nhiễu phụ thuộc thời gian (tuyến tính hoặc phi tuyến)

- Ứng dụng các kết quả đạt được vào mô hình các mạng nơ ronnhân tạo

Bố cục của Luận án được trình bày như sau: Mục lục, danh mục chữviết tắt và kí hiệu, mở đầu, nội dung chính của Luận án (gồm 4 chương),kết luận, tài liệu tham khảo, danh mục các công trình đã công bố củatác giả liên quan đến Luận án.

Nội dung chính của Luận án gồm 4 chương:

- Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

- Chương 2 Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường.

- Chương 3 Ổn định của các hệ phương trình sai phân có chậm.

- Chương 4 Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra.

Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở được sửdụng trong các chương sau Chương 2 nghiên cứu bài toán ổn định mũcủa các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian chịunhiễu Kết quả chính của chương này là Định lý 2.1.7, cho biên ổn địnhcủa các hệ ổn định chịu nhiễu phi tuyến Kết quả của Định lý 2.1.7 mởrộng một số kết quả cổ điển trong [HP05], [SCK97], [HS98] ra cho lớpnhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Xa hơn thế, nó cho câu trả lời chomột Phỏng đoán loại Aizerman đối với các hệ phương trình sai phân.Chương 3 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ tường minh chocác hệ phương trình sai phân có chậm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụthuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6) Các kết quảthu được trong chương này là mới ngay cả khi chúng được đặc biệt hóacho các hệ tuyến tính (Định lý 3.1.6) Ngoài ra các Định lý 3.2.1, Định

lý 3.2.4 cung cấp các kết quả mới về biên ổn định của các hệ chịu nhiễu.Các bình luận sâu hơn và chi tiết hơn về các kết quả của chương nàyđược trình bày trong các mục Nhận xét và trong phần thảo luận về cáckết quả thu được (Mục 3.3)

Chương 4 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ của các hệ phươngtrình sai phân Volterra (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gianvới chậm hữu hạn và cả chậm vô hạn Các kết quả của chương này lànguyên bản (original) và lần đầu tiên được công bố trong thời gian gầnđây (Định lý 4.3.2, Định lý 4.3.5, Định lý 4.3.8, Định lý 4.4.2, Định lý4.4.4) Đặc biệt, Định lý 4.4.2 trả lời cho một câu hỏi mở được đặt ragần đây bởi E Braverman và I.M Karabash (2012, [BrKa12]):

Tìm các điều kiện tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra với chậm không bị chặn hoặc chậm vô hạn2.Hơn thế nữa, các kết quả thu được có thể áp dụng vào việc nghiêncứu các bài toán ổn định của các điểm cân bằng của các mạng nơ ronnhân tạo (xem [NH15a], [NH15b])

Luận án được viết dựa trên 6 bài báo khoa học [Hieu14], [NH12],[NH13], [NH14], [NH15a], [NH15b], 5 trong số các bài báo này đã

được xuất bản trên các tạp chí Toán học Quốc tế có uy tín như: national Journal of Control, Mathematische Nachrichten, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Mathematics, Với những ý tưởng mới và

Inter-một tiếp cận mới (dựa trên Định lý Perron-Frobenius và nguyên lý sosánh nghiệm), Luận án trình bày một loạt các điều kiện đủ tường minhmới cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của các hệ phương trình saiphân thường, các hệ phương trình sai phân có chậm và các hệ phươngtrình sai phân Volterra Các kết quả của Luận án có ý nghĩa khoa học cao

và là một đóng góp có ý nghĩa đối với lý thuyết ổn định của các phươngtrình sai phân Hơn thế nữa, các kết quả thu được có thể áp dụng đượcvào một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các bài toán “điều

2 “Find explicit tests of exponential stability for Volterra difference systems with unbounded

or infinite delay”.

khiển tối ưu loại H2/H∞”3 của các hệ sai phân.

Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại các xê-mi-na của Nhóm

Lý thuyết điều khiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố

Hồ Chí Minh); Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 (Thành phố NhaTrang, tháng 8 năm 2013); Hội nghị Khoa học Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng 11 năm2014); Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất (Thànhphố Quy Nhơn, tháng 8 năm 2015);

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ

sở được sử dụng trong các chương sau

1.1 Một số kí hiệu và qui ước

Gọi Z, R, và C lần lượt là vành các số nguyên, trường các số thực vàtrường các số phức Kí hiệu Z+ và Z− lần lượt là tập hợp các số nguyênkhông âm và các số nguyên bé hơn hoặc bằng 0 Gọi K là trường sốthực hoặc phức Cho số nguyên dương n, ta định nghĩa các tập hợp sau:

n := {1, 2, , n} và n0 := {0, 1, , n} Cho các số nguyên dương l và q,tập hợp tất cả các ma trận cỡ l × q với các số hạng trong K, được kí hiệubởi Kl×q Đối với hai ma trận thực cỡ l × q là A = (aij) và B = (bij),bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q Đặc biệt,nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q, khi đó ta viết A  B thay cho A ≥ B

Ma trận A = (aij) ∈ Rl×q được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0

với mọi i ∈ l, j ∈ q Cách hiểu tương tự đối với véctơ không âm Tập

hợp tất cả các ma trận thực không âm cỡ l × q được kí hiệu bởi Rl×q+ Với số nguyên dương m, ta kí hiệu ma trận đơn vị cấp m bởi Im Với

x = (x1, x2, , xm)T ∈ Rm và P = (pij) ∈ Rl×q ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của véctơ và ma trận như sau |x| = (|xi|) và |P | = (|pij|).Cho trước hai ma trận C, D (với cỡ phù hợp), ta dễ dàng kiểm tra được

|C + D| ≤ |C| + |D| và |CD| ≤ |C||D|

Giả sử

M (t) = (mij(t)) ∈ Rl×q, t ∈ [a, b];

F (t) = (F1(t), F2(t), , Fm(t))T ∈ Rm, t ∈ [a, b],

trong đó mij(·), i ∈ l, j ∈ q,và Fk(·), k ∈ m là các hàm khả tích Riemann

trên [a, b], tích phân của hàm giá trị ma trận và hàm giá trị véctơ trên

đoạn [a, b] được định nghĩa như sau:

Z b a

M (t)dt := (

Z b a

F1(t)dt,

Z b a

F2(t)dt, ,

Z b a

Fm(t)dt)T ∈ Rm

1.2 Chuẩn của véctơ và chuẩn của ma trận

Định nghĩa 1.2.1 ([E05]) Cho X là không gian vectơ trên trường K.

Ánh xạ k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau:

i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = 0;

ii) kλxk = |λ|kxk, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X

Giá trị kxk được gọi là chuẩn của véctơ x Không gian vectơ X cùng

với chuẩn k · k được gọi là một không gian định chuẩn, ký hiệu (X, k · k) Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.

Chẳng hạn như, Km là một không gian Banach với một trong cácchuẩn sau đây:

Một chuẩn k · k trên Km được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì kxk ≤

kyk với x, y ∈ Km Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng, k · k là một chuẩn

đơn điệu nếu và chỉ nếu kxk = k|x|k, với mọi x ∈ Rm Chú ý rằng, k · kptrên Km, 1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu.

Giả sử k · k1 và k · k2 là các chuẩn xác định trên cùng một không gianvéctơ X Khi đó, k · k1 và k · k2 được gọi là các chuẩn tương đương nếu

tồn tại các số dương α, β sao cho αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1,với mọi x ∈ X.Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Km đều tương đương

Định nghĩa 1.2.2 (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q,chuẩn của toán tử tuyến tính M : Kq → Kl, x 7→ M x :

kM k := max

x6=0

kM xkkxk = maxkxk=1kM xk ,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.

Chẳng hạn như nếu Kmđược trang bị bởi chuẩn k · k1 thì chuẩn toán

tử của ma trận M = (mij) ∈ Km×mđược cho bởi kM k1 = max

P ∈ Kl×q, Q ∈ Rl×q+ , |P | ≤ Q ⇒ kP k ≤ k|P |k ≤ kQk, (1.1)

xem [HS98]

Trong suốt Luận án này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các

ma trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véctơ đơn điệunào đó

Với bất kỳ M ∈ Km×m,bán kính phổ của M được kí hiệu bởi ρ(M ) =

max{|z| : z ∈ σ(M )},trong đó σ(M ) := {z ∈ C : det(zIm− M ) = 0} là

phổ của ma trận M , tập hợp tất cả các giá trị riêng của M Bán kính phổ

của ma trận là hàm liên tục theo ma trận (xem [Burl88])

Nhận xét 1.2.4 Nếu ρ(M ) < 1 thì tồn tại các số dương K và β ∈ (0, 1)

sao cho

kMnk ≤ Kβn, n ∈ Z+

Định lý 1.2.5 ([E05]) Cho ma trận M ∈ Km×m Khi đó ρ(M ) ≤ kM k.

Tính chất sau đây được suy ra từ Nhận xét 1.2.4 và Định lý 1.2.5

Hệ quả 1.2.6 ([HJ90]) Cho ma trận M ∈ Km×m Khi đó ρ(M ) =

không âm được nghiên cứu từ những năm 1910 với những công trìnhtiên phong của Perron và Frobenius Những tính chất này là tiền đề choviệc xây dựng Lý thuyết hệ động lực dương (xem [Lu79]).

Định lý Perron-Frobenius được chứng minh bởi Perron (năm 1907)

và Fobenius (năm 1912) Nó có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết xác suất(tính ergodic của xích Markov), Lý thuyết hệ động lực, Lý thuyết kinh tế(Định lý Okishio’s, Mô hình đầu vào-đầu ra của Leontief), Thống kê điềutra dân số (Mô hình Leslie về phân bố tuổi dân số), Công cụ tìm kiếmtrên mạng (Thuật toán PageRank để xếp hạng các trang web mà Google

đã sử dụng) và thậm chí có ứng dụng trong xếp hạng bóng đá Nội dung

và chứng minh đầy đủ của Định lý Perron-Frobenius có thể tham khảotrong [Mey00] Định lý sau đây là một phiên bản rút gọn của Định lýPerron-Frobenius

(iii) (tIm− M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > ρ(M ).

(iv) Cho trước B ∈ Rm×m+ , C ∈ Rm×m.Khi đó

Dễ thấy p  0 Nhân hai vế của (1.3) cho (Im − M ) từ bên trái, ta có

Imp − M p = e hay M p + e = p Vì vậy M p  p với p ∈ Rm, p  0 Vậy

ta có (ii) suy ra (iii)

“(iii) ⇒ (i)”: Vì M ∈ Rm×m+ nên tồn tại véctơ x ∈ Rm, x ≥ 0, x 6= 0 saocho MTx = ρ(M )x, theo Định lý 1.3.1 (i) Từ (iii) ta có

1.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơĐịnh nghĩa 1.4.1 Cho F (·, ·, , ·) : Rl → Rm là hàm khả vi tại x =(x1, x2, , xl)T ∈ Rl.Ma trận Jacobi của hàm F (·, ·, , ·) tại x là ma trận

cỡ m × l trong Rm×l, kí hiệu JF(x), được xác định như sau

trong đó ∂Fi

∂xj :=

∂Fi(x1, x2, , xl)

∂xj với i ∈ m, j ∈ l

Sau đây là định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ

Định lý 1.4.2 ([Di88]) Cho U là một tập mở trong Rm, F (·, ·, , ·) :

U → Rm là hàm khả vi liên tục trên U và các véctơ x ∈ U, h ∈ Rm sao cho

x + th ∈ U, với mọi t ∈ [0, 1] Khi đó,

F x + h
− F x
=

 Z 1 0

JF x + th
dt

h,

trong đó JF(·)là ma trận Jacobi của hàm F

x(n + 1) = f n, x(n)
, n ≥ n0, (2.1)

trong đó, f (·; ·) : Z+× Rm → Rm là hàm cho trước Đặc biệt, chúng tôicho một vài kết quả mới về các biên ổn định của các hệ phương trìnhsai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Cuối cùng,chúng tôi áp dụng kết quả thu được vào một Phỏng đoán loại Aizermancho các hệ rời rạc Nội dung chính của chương này được trích từ bàibáo [NH12]

2.1 Ổn định của các hệ phi tuyến

Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (2.1) Giả sử f (·; ·) : Z+× Rm →

Rm là hàm cho trước sao cho f (n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z+ Cho trước

n0 ∈ Z+ và x0 ∈ Rm, xét cho hệ (2.1) một điều kiện đầu

Ta gọi nghiệm của hệ phương trình sai phân (2.1) với điều kiện đầu

(2.2), kí hiệu bởi x(·, n0, x0), là dãy véctơ {x(n, n0, x0)} trong Rm thỏamãn đồng thời (2.1) và (2.2) Hiển nhiên, {x(n, n0, x0)}tồn tại duy nhất

và được xác định bằng phép truy hồi (2.1)-(2.2) Véctơ x∗ ∈ Rm được

gọi là điểm cân bằng của hệ (2.1) nếu f (n, x∗) = x∗, với mọi n ∈ Z+.Trong suốt nội dung chương này, chúng tôi giả thiết rằng véctơ ξ = 0luôn là điểm cân bằng của hệ (2.1), giả thiết này không làm mất tínhtổng quát, bởi vì nếu x∗ 6= 0 là một điểm cân bằng của (2.1) thì 0 làđiểm cân bằng của hệ sau đây

z(n + 1) = ef n, z(n)
, n ∈ Z+,

trong đó ef (n, z(n)) = f n, z(n) + x∗
− x∗

Định nghĩa 2.1.1 ([E05]) Điểm cân bằng x∗ của (2.1) được gọi là

(i) ổn định (hay ổn định Liapunov, viết tắt là S) nếu với mọi ε > 0 và

n0 ∈ Z+ cho trước, tồn tại δ = δ(ε, n0) > 0sao cho

với mọi n, n0 ∈ Z+, n ≥ n0, x0 ∈ Rm.

Định nghĩa về ổn định tiệm cận đều có thể được phát biểu một cáchtương đương như sau: Điểm cân bằng x∗ của (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại µ > 0 sao cho với mọi ε > 0

và n0 ∈ Z+ cho trước, tồn tại N = N (ε) sao cho

kx0 − x∗k < µ ⇒ kx(n, n0, x0) − x∗k < ε, ∀n ∈ Z+, n ≥ N + n0

Trong Định nghĩa 2.1.1 (ii), (iii) nếu µ = +∞ thì ta nói x∗ lần lượt

là ổn định tiệm cận (đều) toàn cục, ổn định mũ toàn cục (viết tắt là GES).

Chúng ta dễ dàng thấy rằng: GES ⇒ ES ⇒ UAS ⇒ US ⇒ S và GES

⇒ ES ⇒ UAS ⇒ AS ⇒ S (xem [E05])

Sau đây là định nghĩa về ổn định mũ toàn cục của nghiệm không của(2.1) (khi x∗ ≡ 0) được dùng thường xuyên trong suốt Luận án

Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không của (2.1) được gọi là ổn định mũ toàn

cục (viết tắt là GES) nếu tồn tại M > 0 và β ∈ (0, 1) sao cho

x(n, n0, x0) ≤ M βn−n0kx0k, ∀n, n0 ∈ Z+, n ≥ n0, x0 ∈ Rm

Như là một qui ước, khi nghiệm không của (2.1) là GES ta cũng nói(2.1) là GES

Sau đây là điều kiện đủ đơn giản cho tính GES của (2.1)

Mệnh đề 2.1.3 Giả sử tồn tại ma trận A ∈ Rm×m+ sao cho

f (n, x) ≤ A|x|, ∀n ∈ Z+, ∀x ∈ Rm (2.3)

Nếu ρ(A) < 1 thì (2.1) là GES.

Nhận xét 2.1.4 Theo một kết quả cổ điển [HP05, Theorem 3.3.20], hệ

phương trình sai phân tuyến tính dừng y(n + 1) = Ay(n), n ∈ Z+, làGES nếu và chỉ nếu ρ(A) < 1 Bất đẳng thức (2.3) có nghĩa là hệ phituyến (2.1) bị chặn bởi hệ tuyến tính y(n + 1) = Ay(n), n ∈ Z+,và nhưthế Mệnh đề 2.1.3 nói rằng nếu hệ tuyến tính này là GES thì (2.1) cũng

Bởi (2.4)-(2.5), ta có kx(n, n0, x0)k ≤ M βn−n0kx0k, với mọi n ≥ n0.Do

đó (2.1) là GES Ta có điều phải chứng minh 

Nhận xét 2.1.5 Nếu với mỗi n ∈ Z , hàm f (n, ·) khả vi liên tục trên

Rm và tồn tại A ∈ Rm×m+ sao cho

Jf n, tx
dt

x

Do vậy, từ (2.6) ta có

f (n, x) ≤

... phương trình saiphân phi tuyến tổng quát (Mệnh đề 2.1.3, Nhận xét 2.1.5) Đồng thờichúng tơi trình bày vài biên ổn định cho hệ phương trìnhsai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định. .. hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộcthời gian Cách tiếp cận dựa Định lý Perron-Frobenius ngun lý so sánh nghiệm Từ đó, chúng tơi thu một? ?iều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương. .. tốn tìm bán kính ổn định thực rR l? ?một tốn tối ưu tồn cục thực khó Một cơng thức tính rR đượcmột nhóm nhà khoa học Quốc tế đưa [Qiu95] Tuy nhiên,

về thực chất toán