Về tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số chuyên ngành: 62 46 2001 Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: GS.TSKH Đỗ Công Khanh Phản biện 3: TS Nguyễn Đình Tuấn Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện độc lập 2: TS Tạ Quang Sơn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS PHẠM HỮU ANH NGỌC PGS.TS NGUYỄN NGỌC HẢI Tp Hồ Chí Minh, 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các kết Luận án viết chung với Thầy hướng dẫn trí Thầy đưa vào Luận án Các kết nêu Luận án trung thực chưa khác công bố cơng trình Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Trung Hiếu LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến người Thầy Trong thời gian dài, Thầy bước dẫn dắt tác giả tiếp cận thực nghiên cứu vấn đề trình bày Luận án Thầy hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà truyền cảm hứng động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chuyên môn sống Làm việc với Thầy, tác giả học tinh thần trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong cách làm việc khoa học, trung thực nghiêm túc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, người Thầy hướng dẫn thứ hai tác giả, giúp đỡ luôn động viên tác giả suốt trình học tập Tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn-Tin học, Bộ mơn Tối ưu Hệ thống tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành Luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộ môn Tối ưu Hệ thống), PGS.TSKH Nguyễn Định, người Thầy giảng dạy cho tác giả kiến thức chuyên ngành bổ ích tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Đỗ Cơng Khanh PGS.TSKH Vũ Hồng Linh dành nhiều thời gian đọc thảo Luận án bảo vệ cấp đơn vị chun mơn có ý kiến bổ ích giúp tác giả cập nhật cải thiện chất lượng Luận án Xin gửi lời cám ơn chân thành đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, TS Tạ Quang Sơn dành nhiều thời gian đọc phản biện độc lập cho Luận án cho nhiều lời khen ngợi động viên tác giả Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Nguyễn Đình Phư, PGS.TS Nguyễn Đình Huy, PGS.TS Trần Thị Huệ Nương có lời khuyên, góp ý cho tác giả lần báo cáo học thuật hội nghị khoa học Xin cám ơn Cơ Trần Thị Phượng Giang (Phịng Đào tạo Sau đại học) ln nhiệt tình giúp đỡ tác giả thủ tục học tập bảo vệ suốt khóa học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Đồng Tháp, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Đặc biệt, tác giả xin cám ơn thành viên Bộ mơn Giải tích-Tốn ứng dụng giúp đỡ động viên, đảm nhận thay nhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu hồn thành Luận án Qua đây, tác giả xin gửi lời cám ơn đến TS Trần Giang Nam (Viện Toán học, cựu giảng viên trẻ Khoa Sư phạm Tốn-Tin), giới thiệu cho tác giả có hội làm việc với Thầy hướng dẫn mình, để tác giả có hội nghiên cứu khoa học cháy bỏng đam mê lĩnh vực Tốn học Xin cám ơn thành viên nhóm nghiên cứu Lý thuyết điều khiển PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc, anh chị nghiên cứu sinh Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt NCS Cao Thanh Tình (cũng người anh đồng môn thân thiết nhất), TS Trần Hồng Mơ, TS Phan Tự Vượng, NCS Lê Thanh Quang trực tiếp giúp đỡ động viên tác giả nhiều suốt q trình học tập Cuối tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, đặc biệt người Mẹ già kính u người Vợ hiền ln ln bên cạnh tơi, động viên, chia sẻ khó khăn tơi thời gian qua Đó nguồn động lực lớn giúp tơi có đủ ý chí để vượt qua khó khăn, tập trung tối đa cho việc nghiên cứu hoàn thành tốt Luận án Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Trung Hiếu MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kí hiệu qui ước 1.2 Chuẩn véctơ chuẩn ma trận 1.3 Định lý Perron-Frobenius 1.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ 16 16 17 19 22 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG 2.1 Ổn định hệ phi tuyến 2.2 Phỏng đoán loại Aizerman 2.3 Kết luận 23 23 36 38 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CÓ CHẬM 40 3.1 Điều kiện ổn định mũ tường minh cho hệ phụ thuộc thời gian 42 3.2 Ổn định mũ hệ chịu nhiễu 52 3.3 Thảo luận kết thu 60 3.4 Kết luận 64 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 65 4.1 Sơ lược tốn ổn định hệ phương trình sai phân Volterra 65 4.2 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính 67 4.3 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm hữu hạn 75 4.4 Ổn định mũ hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm vô hạn 90 4.5 Áp dụng kết thu vào mô hình mạng nơ ron nhân tạo 104 4.6 Kết luận 110 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 112 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu AS ES GES UAS Vành số nguyên Z Z Z + [k1;k2] n := f1; 2; :::; ng = Z[1;n], với n Z+ n n Trường số thực R R+ R m Rl q C Trường số phức K K = R K = C JF (x) det(M) M jxj jMj kxk kMk Im x y x y A B A B (M) (M) l (K m m m m l (K ) ) Kết luận kiến nghị hệ phương trình sai phân phi tuyến tổng quát (Mệnh đề 2.1.3) - Trình bày vài biên ổn định cho hệ phương trình sai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.7, Hệ 2.1.8, Hệ 2.1.9) - Cho câu trả lời Phỏng đoán loại Aizerman cho hệ rời rạc (Định lý 2.2.1) b2) Đối với lớp hệ phương trình sai phân có chậm: - Đưa điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm tổng quát, với chậm hàm phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4) - Trình bày biên ổn định cho hệ phương trình sai phân có chậm chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 3.2.1) b3) Đối với lớp hệ phương trình sai phân Volterra: - Đưa điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ nghiệm khơng hệ phương trình sai phân Volterra phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn vô hạn (Định lý 4.2.15, Định lý 4.2.17, Định lý 4.3.2, Định lý 4.3.5, Định lý 4.4.2, Định lý 4.4.4) Đặc biệt, Định lý 4.4.2, Định lý 4.4.4 cho lời giải toán mở đặt E Braverman I.M Karabash (2012, [BrKa12]) - Trình bày vài kết biên ổn định hệ phương trình sai phân Volterra chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 4.3.8, Định lý 4.4.6) - Áp dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân mạng nơ ron BAM rời rạc 113 Kết luận kiến nghị Hướng phát triển vấn đề nghiên cứu - Kế thừa, phát triển kĩ thuật cách tiếp cận dùng Luận án để nghiên cứu toán ổn định lớp hệ sau: Hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên, hệ phương trình sai phân có chậm dạng trung hịa (neutral type), hệ phương trình sai phân với biến liên tục, hệ phương trình vi phân phiếm hàm, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, hệ phương trình sai phân vi phân kết hợp (coupled difference and differential systems), - Áp dụng kết thu vào số toán điều khiển tối ưu 114 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Bài báo khoa học liên quan trực tiếp đến Luận án: P H A Ngoc and L T Hieu (2012), On stability of discrete-time systems under nonlinear time-varying perturbations, Advances in Difference Equations, 120, 1-10 (SCIE) P H A Ngoc and L T Hieu (2013), New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay, International Journal of Control, 86 (9), 1646-1651 3 (SCI) P H A Ngoc and L T Hieu (2014), On exponential stability of Volterra difference equations with infinite delay, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Mathematics, 62 (2), 125-137 L T Hieu (2014), New criteria for global exponential stability of linear time-varying Volterra difference equations, Mathematica Slovaca, accepted paper (SCIE) P H A Ngoc and L T Hieu (2015), On exponential stability of nonlinear Volterra difference equations in phase spaces, Mathematische Nachrichten, 288 (4), 443-451 (SCI) P H A Ngoc and L T Hieu (2015), Stability analysis of nonlinear Volterra difference equations, submitted paper (ISI) Cơng trình đạt giải thưởng Cơng trình tốn học năm 2013, theo Quyết định số 5953/QĐBGDĐT ngày 19 tháng 12 năm 2013 Bộ Giáo dục & Đào tạo 115 Báo cáo khoa học kết Luận án: Báo cáo Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ 8, Thành phố Nha Trang, ngày 12 tháng 08 năm 2013 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 9, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 11 năm 2014 Báo cáo Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất, Thành phố Quy Nhơn, ngày 12 tháng 08 năm 2015 Báo cáo Xê-mi-na học thuật Nhóm Lý thuyết điều khiển (Trường Đại học Quốc tế - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Aga00] Agarwal R.P (2000), Difference equations and inequalities, the-ory, methods, and applications, Second Edition, Marcel Dekker, Newyork [ACF12] Agarwal, R.P., Cuevas, C and Frasson, M.V.S (2012), Semilin-ear functional difference equations with infinite delay, Mathemati-cal and Computer Modelling, 55, 1083-1105 [Aga08] Agarwal, R.P., Kim, Y.H and Sen, S.K (2008), New dicrete Halanay inequalities: Stability of difference equations, Communications in Applied Analysis, 12, 83-90 [Ai49] Aizerman, M.A (1949), On one problem concerning the stability in “large” of dynamic systems, Usp Mat Nauk, 4, 186-188 [AGR06] Applelby, J.A.D., Gyori, I and Reynolds, D.W (2006), On exact convergence rates for solutions of linear systems of Volterra differ-ence equations, Journal of Difference Equations and Applications, 12, 1257-1275 [BaPh03] Bay, N.S and Phat, V.N (2003), Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, Comput Mat Appl., 43, 951-963 [BeBr11] Berezansky, L and Braverman, E (2011), New stability conditions for linear difference equations using Bohl-Perron type theo-rems, Journal of Difference Equations and Applications, 17 (5), 657-675 [BHP00] Bouhtouri, A.E , Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2000), Stability radii of discrete-time stochastic systems with respect to blockdiagonal perturbations, Automatica, 36 (7), 1033-1040 [BGFB94] Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM [BrKa12] Braverman, E and Karabash, I.M (2012), Bohl-Perron-type stability theorems for linear difference equations with infinite de-lay, Journal of Difference Equations and Applications, 18, 909-939 117 [BrKa13] Braverman, E and Karabash, I.M (2013), Structured stability radii and exponential stability tests for Volterra difference systems, Computer & Mathematics with Applications, 66 (11), 2259-2280 [BH85] Brunner, H and Houwen, P.J.V (1985), The Numerical Solution of Volterra Equations, SIAM, Philadelphia [BH86] Brunner, H and Houwen, P.J.V (1986), The Numerical Solution of Volterra Equations, CWI Monographs, North-Holland, Amsterdam [BLO01a] Burke, J.V and Lewis, A S., Overton, M L (2001), Optimal stability and eigenvalue multiplicity, Foundations of Computational Mathematics, (2), 205-225 [BHL06] Burke, J.V., Henrion, D., Lewis, A.S and Overton, M.L (2006), Stabilization via nonsmooth, nonconvex optimization, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (11), 1760-1769 [BLO01b] Burke, J., Lewis, A and Overton, M (2001), Optimizing ma-trix stability, Proceedings of the American Mathematical Society, 129 (6), 1635-1642 [BLO03] Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2003), Optimization and pseudospectra, with applications to robust stability, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (1), 80-104 [BLO02] Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2002), Two numerical methods for optimizing matrix stability, Linear Algebra and its Applications, 351, 117-145 [Burl88] Burlando, L (1988), Continuity of spectrum and spectral radius in algebras of operators, Annales de la facultộ des sciences de Toulouse, 9, 5-54 [Burt83] Burton, T.A (1983), Volterra Integral and Differential Equations, Academic Press, Orlando, FL [Bus08] Buslowicz, M (2008), Simple stability conditions for linear positive discrete-time systems with delays, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 56, 325-328 [CC93] Chang, W.J and Chung, H.Y (1993), A study of H1 norm and variance-constrained design using dynamic output feedback for linear discrete systems, International Journal of Control, 57 (2), 473- 483 118 [Che11] Chen, Y.Z (2011), Some contractive type mappings and their applications to difference equations, Journal of Difference Equations and Applications, 17 (5), 737-752 [Chu92] Chukwu, E.N (1992), Stability and time-optimal control of herediary systems, Academic press, Inc [CJRV91] Cricis, M.S., Jackiewics, Z., Russo, E and Vecchio, A (1991), Stability analysis of discrete recurent equations of Volterra type with degeberate kernels, J Mat Annal Appl., 162, 49-62 [CKRV98] Crisci, M.R., Kolmanovskii, V.B., Russo, E and Vecchio, A (1998), Stability of difference Volterra equations: direct Liapunov method and numerical procedure, Computers and Mathematics with Applications, 36, 77-97 [CKRV00] Crisci, M.R., Kolmanovskii, M.R., Russo, E and Vecchio, A (2000), On the exponential stability of discrete Volterra equations, Journal of Difference Equations and Applications, 6, 667-680 [CKRV] Crisci, M.R., Kolmanovskii, V.B., Russo, E and Vecchio, A (2004), Stability of continuous and discrete Volterra integrodifferential equations by Lyapunov approach, J Integral Equations Appl., (4), 393-411 [CDCS13] Cuevas, C., Dantas, F., Choquehuanca, M and Soto, H p (2013), l -boundedness properties for Volterra difference equations, Applied Mathematics and Computation, 219, 6986-6999 [DS10] Debeljkovic, D.L and Stojanovic, S (2010), The Stability of Linear Discrete Time Delay Systems in the Sense of Lyapunov: An Overview, Scientific Technical Review, 60, (3-4), 67-81 [Di88] Dieudonne’, J (1988), Foundations of Modern Analysis, Academic Press, San Diego [DLMT13] Du, N.H., Linh, V.H., Mehrmann, V and Thuan, D.D (2013), Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34 (4), 1631-1654 [Ei84] Eising, R (1984), Between controllable and uncontrollable, Syst Control Lett., 4, 263-264 [E93] Elaydi, S (1993), Stability of Volterra difference equations of convolution type, Dynamical Systems, 66-72 119 [E05] Elaydi, S (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag [E09] Elaydi, S (2009), Stability and asymptoticity of Volterra difference equations: A progress report, Journal of Computational and Applied Mathematics, 228, 504-513 [EK94] Elaydi, S and Kocic, V (1994), Global stability of a nonlinear Volterra difference equations, Diff Eqns Dyn Sys., 2, 337-345 [EM96] Elaydi, S and Murakami, S (1996), Asymptotic stability versus exponential stability in linear Volterra difference equations of convolution type, Journal of Difference Equations and Applications, 2, 401-410 [EMV07] Elaydi, S., Messina, E and Vecchio, A (2007), On the asymptotic stability of linear Volterra difference equations of convolu-tion type, Journal of Difference Equations and Applications, 13 (12), 1079-1084 [EIR03] Eloe, P.W., Islam, M.N and Raffoul, Y.N (2003), Uniform asymptotic stability in nonlinear Volterra discrete equations, Computers & Mathematics with Applications, 45, 1033-1039 [FR00] Farina, L and Rinaldi, S (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications, Wiley, New York [Fi66] Fitts, R.E (1966), Two counterexamples to Aizerman’s conjecture, IEEE Trans Autom Control, 11, 553-556 [Gi07] Gil’, M.I (2007), Difference equations in normed space: Stability and oscilation, North Holland, Elservier [Go58] Goldberg, S (1958), Introduction to difference equations: With illustrative examples from economics, psychology, and sociology, Courier Dover Publications [GLS90] Gripenberg, G., Londen, S.O and Staffans, O (1990), Volterra integral and functional equations, Vol 34, Cambridge University Press [GR10] Gyõri, I and Reynolds, D.W (2010), On admissibility of the resolvent of discrete Volterra equations, Journal of Difference Equa-tions and Applications, 16, 1393-1412 120 [HB90] Haddad, W.M and Bernstein, D.S., (1990), Generalized Ric-cati equations for the full- and reduced-order mixed-norm H2=H1 standard problem, System & Control Letters, 14, 185-197 [HBM91] Haddad, W.M., Bernstein, D.S and Mustafa, D (1991), Mixed norm H2=H1 regulation and estimation: The discrete-time case, Systems & Control Letters, 16, 235-247 [HCH10] Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press [HCA03] Haddad, W.M., Chelaboina, V.S and August, E (2003), Stability and dissipativity theory for discrete-time non-negative and compartmental dynamical systems, International Journal of Control, 76 (18), 1845-1861 [Hien14] Hien, L.V (2014), A new approach to exponential stability of nonlinear non-autonomous difference equation with variable delays, Applied Mathematics Letters, 38, 7-13 [Hieu14] Hieu, L.T (2014), New criteria for global exponential stability of linear time-varying Volterra difference equations, Mathematica Slovaca, accepted [HM91] Hino, Y and Murakami, S (1991), Total Stability and Uniform Asymptotic Stability for Linear Volterra Equations, J London Math Soc., 43 (2), 305-312 [HP05] Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer [HP91] Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (1991), On the robustness of stable discrete time linear systems, New Trends in Systems Theory, pp 393-400, Birkhọuser Boston [HP96] Hinrichsen, D and Pritchard, A J (1996), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback, SIAM journal on control and optimization, 34 (6), 19721998 [HS91] Hinrichsen, D and Son, N.K (1991), Stability radii of linear discrete time systems and symplectic pencils, International Journal of Robust and Nonlinear Control, (2), 79-97 121 [HS98] Hinrichsen, D and Son, N.K (1998), Stability radii of positive discrete-time equations under affine parameter perturbations, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 8, 1169-1188 [HNS03] Hinrichsen, D., Ngoc, P.H.A and Son, N.K., (2003), Stability radii of positive higher order difference systems, Systems & Control Letters, 49, 377-388 [HJ90] Horn, R.A and Johnson, C.R (1990), Matrix analysis, Cambridge University press [Ka02] Kaczorek, T (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer, Lon-don [KLHLFL05] Kau, S.W., Liu, Y.S., Hong, L., Lee, C.H., Fang, C.H and Lee, L (2005), A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems, Systems & Control Letters, 54, 1195-1203 [KP01] Kelly, W.G and Peterson, A.C (2001), Difference equations: An introduction with appplications, Second Edition, Academic Press [KR02] Khandaker, T.M and Raffoul, Y.N (2002), Stability Properties of Linear Volterra Discrete Systems with Nonlinear Perturbation, Journal of Difference Equations and Applications, (10), 857-874 [KCT03] Kolmanovskii, V.B., Castellanos-Velasco, E and TorresMunoz, J.A (2003), A survey: stability and boundedness of Volterra differ-ence equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 53, 861-928 [KHA04] Kwon, W H., Han, S and Ahn, C K (2004) Advances in nonlinear predictive control: A survey on stability and optimality, International journal of Control, Automation and Systems, 2, 15-22 [Lee06] Lee, J.W (2006), On uniform stabilization of discrete-time linear parameter-varying control systems, IEEE Transactions on Auto-matic Control, 51 (10), 1714-1721 [LN68] Levin, J.J and Nohel, J.A (1968), The integrodifferential equations of a class of nuclear reactors with delayed neutrons, Archive for Rational Mechanics and Analysis 31 (2), 151-172 [Lev60] Levinson, N (1960), A nonlinear Volterra equation arising in the theory of superfluidity, J Math Anal Appl., 1, 1-11 [Lew03] Lewis, A.S (2003), The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, 97 (1-2), 155-176 122 [Lew07] Lewis, A.S (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31, 167-177 [LPSW12] Li, W., Panga, L., Sua, H and Wang, K (2012) Global stability for discrete Cohen-Grossberg neural networks with finite and infinite delays, Applied Mathematics Letters, 25, 2246-225 [LM07] Liu, B and Marquez, H.J (2007), Razumikhin-type stability theorems for discrete delay systems, Automatica, 43, 1219-1225 [LWYZ08] Liu, X., Wang, L., Yu, W and Zhong, S (2008), Constrained control of positive discrete-time systems with delays, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 55 (2), 193-197 [LF02] Liz, E and Ferreiro, J.B (2002), A note on the global stability of generalized difference equations, Applied Mathematics Letters, 15, 655-659 [Liz11] Liz, E (2011), Stability of non-autonomous difference equations: simple ideas leading to useful results, Journal of Difference Equations and Applications, 17, 203-220 [Lu79] Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York [LS07] Luo, J and Shaikhet, L (2007), Stability in probability of nonlinear stochastic Volterra difference equations with continuous variable, Stochastic Analysis and Applications, 25 (6), 1151-1165 [Lya1907] Lyapunov, A.M (1907), Problème général de la stabilité du mouvement, Ann Fac Sci Toulouse, 9, 203-474 (Translation of the original paper published in 1893 in Comm Soc Math Kharkow and reprinted as Vol 17 in Ann Math Studies, Princeton Univerity Press, Princeton, NJ, 1949) [MZH12] Ma, H., Zhang, W and Hou, T (2012), Infinite horizon H 2=H1 control for discrete-time time-varying Markov jump sys-tems with multiplicative noise, Automatica, 48 (7), 1447-1454 [MW51] Mann, W.R and Wolf, F (1951), Heat transfer between solids and gases under nonlinear boundary conditions, Quart Appl Math., 9, 163-184 [MRRS00] Mayne, D.Q., Rawlings, J.B., Rao, C.V and Scokaert, P.O (2000), Constrained model predictive control: Stability and optimality, Automatica, 36 (6), 789-814 123 [Mey00] Meyer, C.D (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM [Mo07] Morshedy, H.A.E (2007), New explicit global asymptotic stability criteria for higher order difference equations, J Math Anal Appl., 336, 262-276 [MP05] Muradore, R and Picci, G (2005), Mixed H 2=H1 control: the discrete-time case, Systems & Control Letters, 54 (1), 1-13 [Mu91] Murakami, S (1991), Exponential asymptotic stability for scalar linear Volterra equations, Differential and Integral Equations, 4, 519-525 [Mu97] Murakami, S (1997), Representation of solutions of linear functional difference equations in phase space, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 30 (2), 1153-1164 [MI09] Muroya, Y and Ishiwata, E (2009), Stability for a class of difference equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 228, 561-570 [NNS07] Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2007), On stability of a class of positive linear functional difference equations, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 19 (4), 361-382 [NNSM09] Ngoc, P.H.A., Naito, T., Shin, J.S and Murakami, S (2009), Stability and robust stability of positive linear Volterra difference equations, International Journal of Robust and Nonlinear Control , 19, 552-568 [NNS06] Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2006), Global optimization problems in stability analysis of linear dynamical systems, Pro-ceeding of the second multidisciplinary international symposium on positive systems: Theory and applications (POSTA 06), Grenoble, France, Springer [NLS04] Ngoc, P.H.A., Lee, B.S and Son, N.K (2004), Perron Frobenius Theorem for Positive Polynomial Matrices, Vietnam Journal of Mathematics, 32 (4), 475-481 [Ng12] Ngoc, P.H.A (2012), On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Let-ters, 25, 1208-1213 124 [Ng13a] Ngoc, P.H.A (2013), Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control, 58, 603-609 [Ng13b] Ngoc, P.H.A (2013), Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proceedings of the American Math-ematical Society, 141, 3083-3091 [Ng14a] Ngoc, P.H.A (2014), New criteria for exponential stability of nonlinear time-varying differential systems, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 24 (2), 264-275 [Ng14b] Ngoc, P.H.A (2014b), Robust stability of positive linear systems under time-varying perturbations, Numerical Functional Anal-ysis and Optimization, 35 (6), 739-751 [Ng14c] Ngoc, P.H.A (2014), Positivity and stability of linear func-tional differential equations with infinite delay, Mathematische Nachrichten, 287 (7), 803-824 [NH12] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2012), On stability of discrete-time systems under nonlinear time-varying perturbations, Advances in Difference Equations, 120, 1-10 [NH13] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2013), New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay, International Journal of Control, 86 (9), 1646-1651 [NH14] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2014), On exponential stability of Volterra difference equations with infinite delay, Bulletin of the Pol-ish Academy of Sciences Mathematics, 62 (2), 125-137 [NH15a] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2015), On exponential stability of nonlinear Volterra difference equations in phase spaces, Mathema-tische Nachrichten, 288 (4), 443-451 [NH15b] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2015), Stability analysis of nonlinear Volterra difference equations, submitted [NS03] Ngoc, P.H.A and Son, N.K (2003), Stability radii of positive linear difference equations under affine parameter perturbations, Applied Mathematics and Computation 134, 577-594 [PaHi93] Pappas, G and Hinrichsen, D (1993), Robust stability of linear systems described by higher order dynamic equations, IEEE Trans on Automatic Control, 38, 1430-1435 125 [Pa06] Park, J.H (2006), Further result on asymptotic stability crite-rion of cellular neural networks with time-varying discrete and distributed delay, Applied Mathematics and Computation, 182, 16611666 [PR11] Phat, V.N and Ratchagit, K (2011), Stability and stabilization of switched linear discrete-time systems with interval time-varying delay, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, (4), 605-612 [Qiu95] Qiu, L., Bernhardsson, B., Rantzer, A., Davison, E.J., Young, P.M and Doyle, J.C (1995), A formula for computation of the real stability radius, Automatica 31, 879-890 [RD03] Raffoul, Y.N and Dib, Y.M (2003), Boundedness and stability in nonlinear discrete dystems with nonlinear perturbation, Journal of Difference Equations and Applications, 9, 853-862 [RG96] Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control, IEEE Trans-actions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671 [RHT07] Rami, M.A., Helmke, U and Tadeo, F (2007), Positive observation problem for linear time-delay positive systems, Mediterranean Conference on Control & Automation, MED07, IEEE [RTB07] Rami, M.A., Tadeo, F and Benzaouia, A (2007), Control of constrained positive discrete systems, American Control Conference, ACC’07, IEEE, 5851-5856 [RT06] Rami, M.A and Tadeo, F (2006), Positive observation problem for linear discrete positive systems, Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision & Control, IEEE, 4729-4733 [SCK97] Shafai, B., Chen, J and Kothandaraman, M (1997), Explicit formulas for stability radii of nonnegative and Metzlerian matrices, IEEE Trans Autom Control, 42, 265-270 [Sha11] Shaikhet, L (2011), Lyapunov functionals and stability of stochastic difference equations, London, Springer [Sha15] Shaikhet, L (2015), Optimal Control of Stochastic Difference Volterra Equations, Springer [SB03] Song, Y and Baker, C.T.H., (2003), Perturbation Theory for Discrete Volterra Equations, Journal of Difference Equations and Appli-cations, (10), 969-987 126 [SB04] Song, Y and Baker, C.T.H., (2004), Perturbation of Volterra difference equations, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 379-397 [SON14] Stankovic, N., Olaru, S and Niculescu, S.I (2014), Further remarks on asymptotic stability and set invariance for linear delaydifference equations, Automatica , 50, 2191-2195 [UN09] Udpin, S and Niamsup, P (2009), New discrete type inequalities and global stability of nonlinear difference equations, Applied Mathematics Letters, 22, 856-859 [VVMV08] Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493 [WZFL13] Wang, T., Zhang, C., Fei, S and Li, T (2013), Further stability criteria on discrete-time delayed neural networks with distributed delay, Neurocomputing, 111, 195-203 [Wi95] Wirth, F (1995), Robust stability of discrete-time systems under time-varying perturbations, PhD thesis, Bremen University, Bremen [WH94] Wirth, F and Hinrichsen, D (1994), On stability radii of infinite dimensional time varying discrete time systems, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 11 (3), 253-276 [WSSC12] Wu, Z.G., Shi, P., Su, H and Chu, J (2012), Stability analysis for discrete-time Markovian jump neural networks with mixed time-delays, Expert Systems with Applications, 39, 6174-6181 [XLW02] Xia, Y., Leung, H and Wang, J (2002), A projection neural network and its application to constrained optimization problems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 49 (4), 447-458 [YZF10] Yu, J., Zhang, K and Fei, S., (2010), Exponential stability criteria for discrete-time recurrent neural networks with time-varying delay, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 11, 207-216 [ZDG96] Zhou, K., Doyle, J.C and Glover, K (1996), Robust and optimal control, Vol 40, New Jersey: Prentice hall [ZLLL09] Zhou, T., Liu, Y., Li, X and Liu, Y (2009) A new criterion to global exponential periodicity for discrete-time BAM neural network with infinite delays, Chaos, Solitons & Fractals, 39, 332-341 127 ... 22 Chương Ổn định hệ phương trình sai phân thường CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG Trong chương chúng tơi trình bày vài kết tính ổn định hệ phương trình sai phân phi tuyến... CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 65 4.1 Sơ lược tốn ổn định hệ phương trình sai phân Volterra 65 4.2 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính. .. vững phương trình sai phân thu hút nhiều quan tâm nhà nghiên cứu giới Lý thuyết tổng quan ổn định phương trình sai phân tuyến tính số lớp phương trình sai phân phi tuyến (đặc biệt hệ dừng) trình