Về tính ổn định của một số lớp phương trình vi phân phiếm hàm (tóm tắt)

Do sự giao thoa giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng lớn, các mối quan hệ, sự kết hợp giữa các bài toán tối ưu và các bài toán điều khiển ngày càng trở nên rõràng hơn, tinh tế h

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THANH TÌNH

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trang 2

Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn tối ưu và hệ thống, Khoa Toán–Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn

Phản biện 2: GS TSKH Đỗ Công Khanh

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Đình Phư

Phản biện độc lập 1: TS Nguyễn Anh Tú

Phản biện độc lập 2: TS Đỗ Đức Thuận

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tại Trường Đại học Khoa học Tựnhiên Thành phố Hồ Chí Minh, vào lúc giờ, ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Trang 3

Mở đầu

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Tối ưu và lý thuyết Điều khiển có mối quan hệ mật thiết và chúng bổ sungcho nhau Nhiều phương pháp, lý thuyết trong Tối ưu được dùng trong lý thuyết Điềukhiển, đặc biệt là trong việc giải các bài toán điều khiển xuất phát từ thực tế Ngượclại, các bài toán điều khiển thường khởi nguồn cho một lý thuyết mới, một kĩ thuật mới,một phương pháp mới trong Tối ưu

Do sự giao thoa giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng lớn, các mối quan

hệ, sự kết hợp giữa các bài toán tối ưu và các bài toán điều khiển ngày càng trở nên rõràng hơn, tinh tế hơn, xem1 2 3 4 5 6 7 8 Một số bài toán ổn định, ổn định vững, điềukhiển các hệ động lực thực chất là các bài toán tối ưu toàn cục: chẳng hạn như các bàitoán tính bán kính ổn định hoặc bán kính điều khiển được của các hệ tuyến tính dừngchịu nhiễu cộng tính, xem 9 10 11 Một vài lớp các bài toán ổn định hóa, bài toán điềukhiển của các hệ động lực được quy về việc giải các bài toán tối ưu, các bài toán quyhoạch tuyến tính, xem12 13 14 15 Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm của các hệ động lực

là một phần tất yếu trong một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các “bài toán

1 Burke, J.V and Lewis, A S., Overton, M L (2001), Optimal stability and eigenvalue multiplicity, Foundations of Computational Mathematics, 1 (2), 205-225.

2 Burke, J., Lewis, A and Overton, M (2001), Optimizing matrix stability, Proceedings of the ican Mathematical Society, 129 (6), 1635-1642.

Amer-3 Lewis, A.S (2003), The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, 97 (1-2), 155-176.

4 Lewis, A.S (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31, 167-177.

5 Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising

in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671.

6 Shaikhet, L (2015), Optimal Control of Stochastic Difference Volterra Equations, Springer.

7 Sinha, A , (2007), Linear systems: optimal and robust control, CRC Press, 2007.

8 Xia, Y., Leung, H and Wang, J (2002), A projection neural network and its application to strained optimization problems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 49 (4), 447-458.

con-9 Hinrichsen, D and Pritchard, A J (1996), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback, SIAM journal on control and optimization, 34 (6), 1972-1998.

10 Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2006), Global optimization problems in stability analysis

of linear dynamical systems, Proceeding of the second multidisciplinary international symposium on positive systems: Theory and applications (POSTA 06), Grenoble, France, Springer.

11 Eising, R (1984), Between controllable and uncontrollable, Syst Control Lett., 4, 263-264.

12 Liu, X., Wang, L., Yu, W and Zhong, S (2008), Constrained control of positive discrete-time systems with delays, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 55 (2), 193-197.

14 Rami, M.A., Helmke, U and Tadeo, F (2007), Positive observation problem for linear time-delay positive systems, Mediterranean Conference on Control & Automation, MED07, IEEE.

15 Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493.

Trang 4

Mở đầu

điều khiển tối ưu loại H2/H∞16” của các hệ động lực (xem 17 18 19 20 21) Chính vì vậy,việc giải các bài toán ổn định nghiệm của các hệ động lực là bước đầu tiên và bắt buộctrong một số bài toán điều khiển tối ưu

Như một tác động ngược, một số kết quả và phương pháp từ lý thuyết tối ưu ngàynay được dùng khá thường xuyên để giải nhiều lớp các bài toán ổn định, các bài toánđiều khiển các hệ động lực, xem 22 23 24 25 26 27 Ranh giới giữa các ngành Tối ưu vàĐiều khiển ngày càng bị xóa nhòa

Lý thuyết ổn định của các hệ động lực có lịch sử hơn 100 năm và được bắt đầu kể

từ khi nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (1857-1918) xuất bản những côngtrình tiên phong của mình, xem28 29 Đến nay lý thuyết ổn định của các hệ động lực đã

có những bước phát triển và đạt nhiều thành tựu vượt bậc

Đồng hành với những thành tựu, sự phát triển của lý thuyết Tối ưu và lý thuyết Điềukhiển, lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung và của các hệ phương trình viphân phiếm hàm nói riêng cũng đã phát triển không ngừng Các phương trình vi phânphiếm hàm xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như: Sinh học, Khoa họcmáy tính, Lý thuyết điều khiển, Vật lý, Kinh tế học (xem 30 31 32 33 34) Trong những

27 Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493.

28 Lyapunov, A.M (1884), On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in Russian), Bulletin Astronomique.

29 Lyapunov, A.M (1892), General problem of the stability of motion (in Russian).

30 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag.

31 Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press.

32 Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer.

33 Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York.

34 Smith, H (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the

Trang 5

Mở đầu

thập niên gần đây, lý thuyết phương trình vi phân phiếm hàm đã có những phát triểnvượt bậc và là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong nhiều lĩnh vực khácnhau

Nói riêng, được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật, các bài toán

ổn định và ổn định vững của phương trình vi phân phiếm hàm đã thu hút được nhiều sựquan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới Lý thuyết tổng quan về ổn định của cácphương trình vi phân phiếm hàm (với chậm hữu hạn hoặc vô hạn) đã được trình bàytương đối đầy đủ trong một số sách chuyên khảo như35 36 37 38 39 40 Tuy nhiên, nhiềubài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian, đặcbiệt là lớp các hệ phi tuyến phụ thuộc thời gian vẫn còn là những bài toán mở cần đượcnghiên cứu sâu và hệ thống hơn Thực tế, những bài toán loại này là khó, gai góc, đầythách thức và luôn mang tính thời sự

Cách tiếp cận truyền thống đối với các bài toán ổn định của các hệ phương trình

vi phân phiếm hàm là phương pháp hàm Lyapunov và các biến dạng của nó như hàmLyapunov-Krasovskii, hàm Lyapunov-Razumikhin, xem 41 42 43 44 45 46 47 48 Suốt hơn

100 năm qua, các hàm Lyapunov được sử dụng rộng rãi và được xem là công cụ chínhtrong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân Tuy nhiên,đối với các lớp hệ phụ thuộc thời gian, đặc biệt là đối với các hệ phi tuyến, rất khó đểxây dựng được các hàm Lyapunov Hơn thế nữa, các kết quả thu được từ phương pháphàm Lyapunov thường được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận hoặc các bất đẳng

Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London.

35 Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press.

36 Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer.

37 Hino, Y., Murakami, S., Naito, T (1991), Functional-differential equations with infinite delay, ture Notes in Mathematics, 1473 Springer-Verlag, Berlin.

Lec-38 Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York

39 Shaikhet, L (2011), Lyapunov functionals and stability of stochastic difference equations, London, Springer.

40 Smith, H (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London.

41 Dashkovskiy, S and Naujok, L (2010) Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Math- ematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184.

42 Fridman, E (2001), New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems, Systems & Control Letters 43, 309-319.

43 Fridman, E (2006), Stability of systems with uncertain delays: A new complete Krasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control 51, 885-890.

Lyapunov-44 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag.

45 Kolmanovskii, V.B and Nosov, V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, demic Press.

Aca-46 Wang, F (2007), Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 8, 312-322.

47 Yang, M (2011), Exponential convergence for a class of Nicholsons blowflies model with multiple time-varying delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 12, 2245-2251.

48 Zhang, B., Lam, J., Xu, S and Shu, Z (2010), Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 1963-1976.

Trang 6

Mở đầu

thức vi phân phức tạp và khó sử dụng, xem49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, trong quá khứ đã xuất hiện một vài cách tiếp cậnkhác đối với các bài toán ổn định của phương trình vi phân phiếm hàm như: sử dụngcác bất đẳng thức loại Halanay, nguyên lý so sánh nghiệm, các định lý kiểu Razumikhin, (xem59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 và các tài liệu tham khảo trong đó) Mỗi phương pháptiếp cận nói trên đều có những ưu điểm và hạn chế nhất định và thường chỉ phù hợp vớimột vài lớp phương trình cụ thể

Như đã nói ở trên, các bài toán ổn định của các phương trình vi phân phiếm hàmphụ thuộc thời gian nói chung thường khó và phức tạp Các điều kiện ổn định tườngminh, dễ sử dụng không có nhiều và việc tìm ra những điều kiện ổn định như thế đòihỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt kĩ thuật Chính vì vậy, việc phát

49 Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM.

54 Jiang, M., Shen, Y., Liao, X (2005), On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713.

59 Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM.

64 Jiang, M., Shen, Y., Liao, X (2005), On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713.

Trang 7

Mở đầu

triển các kĩ thuật mới để tìm ra các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ tường minh chotính ổn định, ổn định vững của các lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộcthời gian, đặc biệt là lớp các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộcthời gian là nhu cầu cấp thiết và có ý nghĩa khoa học cao Thực tế, đây là một đề tàikhó và thời sự, nó đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc và nỗ lực trongcông việc suốt một thời gian dài Đây cũng là lí do chính thúc đẩy tôi chọn đề tài “Vềtính ổn định của một số lớp phương trình vi phân phiếm hàm” để nghiên cứu và viếtLuận án Tiến sĩ cho mình

Mục tiêu chính của Luận án này là:

- Trình bày một tiếp cận mới đối với các bài toán ổn định của các hệ phương trình

vi phân phiếm hàm (với thời gian chậm hữu hạn hoặc vô hạn)

- Nghiên cứu các điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của các lớp hệ sau:

+ Hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạnhoặc vô hạn

+ Hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (với chậmhữu hạn hoặc vô hạn)

- Tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính chịunhiễu có cấu trúc hoặc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian

- Ứng dụng các kết quả đạt được vào mô hình các mạng nơ ron nhân tạo

Cách tiếp cận của chúng tôi trong Luận án này được dựa trên Định lý Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm Ý tưởng chính của cách tiếp cận này là tìmcách “chặn trên” hệ được xét bởi một hệ dương Sử dụng Định lý Perron-Frobenius,chúng tôi suy ra các điều kiện ổn định tường minh cho các hệ dương và dùng nguyên lý

Perron-so sánh nghiệm chúng tôi chứng minh rằng các điều kiện ổn định của hệ dương cũng làcác điều kiện ổn định của hệ được xét Ưu điểm của cách tiếp cận này là các điều kiện

ổn định thu được đơn giản, tường minh, được biểu diễn trực tiếp thông qua các ma trận

hệ thống hoặc các “biên trên” của chúng Hơn thế nữa, cách tiếp cận này là hữu hiệuđối với nhiều loại hệ khác nhau mà các lớp hệ khác nhau được xét trong Luận án là mộtminh chứng

Bố cục của Luận án được trình bày như sau: Mục lục, danh mục chữ viết tắt và kíhiệu, mở đầu, nội dung chính của Luận án (gồm 3 chương), kết luận, tài liệu tham khảo,danh mục các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến Luận án

Nội dung chính của Luận án gồm 3 chương:

- Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2 Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

- Chương 3 Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn

Trang 8

Mở đầu

Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở được sử dụng trong cácchương sau Chương 2 nghiên cứu các bài toán ổn định mũ của các hệ phương trình viphân phiếm hàm với chậm hữu hạn Cụ thể, chúng tôi trình bày một loạt các điều kiện

đủ mới, tường minh cho tính ổn định mũ của các lớp hệ sau đây:

- Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát (Định lý 2.1.6, Định

69 70 71

Chương 3 trình bày một số điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phânphiếm hàm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn Nói mộtcách khái quát, kết quả chính của chương này (Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1) khẳng địnhrằng nếu một hệ phương trình vi phân (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gianvới chậm vô hạn bị “chặn trên” bởi một hệ tuyến tính dừng, dương, ổn định mũ, thì hệđược xét cũng ổn định mũ

Xa hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một kết quả mới về biên ổn định của các hệtuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thờigian (Định lý 3.1.5) Các kết quả của Định lý 3.1.5 là sự mở rộng các kết quả về biên

ổn định của các hệ phương trình vi phân thường tuyến tính dừng chịu nhiễu có cấu trúchằng (xem 72) cho các hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu cócấu trúc phụ thuộc thời gian Cuối cùng, Định lý 3.2.1 cung cấp các tiêu chuẩn mới vềtính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phi tuyến tổng quát với chậm vô hạn.Các kết quả thu được có thể áp dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểmcân bằng của nhiều loại mạng nơ ron nhân tạo khác nhau

Luận án được viết dựa trên 5 bài báo khoa học, 4 trong số các bài báo này đã đượcxuất bản trên các tạp chí Toán học Quốc tế có uy tín như: Mathematics of Control,Signals, and Systems; Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences;Taiwaneses Journal of Mathematics; Vietnam Journal of Mathematics

Nói tóm lại, với những ý tưởng mới và một tiếp cận mới, Luận án trình bày một loạtcác điều kiện đủ tường minh mới cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân

69 Cao, J and Wang, L (2002), Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM works with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13, 457-463.

net-70 Driessche, P and Zou, X.(1998) , Global attractivity in delayed Hopfield neural network models, Siam Journal on Applied Mathematics 58, 1878-1890.

71 Zhang, J (2003), Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 50, 288-290.

72 Son, N.K and Hinrichsen, D (1996), Robust stability of positive continuous-time systems, Numer Funct Anal Optim, 17, 649-659.

Trang 9

Mở đầu

phiếm hàm với chậm hữu hạn và cả chậm vô hạn Các kết quả của Luận án có ý nghĩakhoa học và là một đóng góp đầy ý nghĩa đối với lý thuyết ổn định của các hệ phươngtrình vi phân Hơn thế nữa, các kết quả thu được có thể áp dụng được vào một số bàitoán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các bài toán “điều khiển tối ưu loại H2/H∞” củacác hệ vi phân Chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu này trong thời giantới

Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại các xê-mi-na của nhóm Lý thuyết điềukhiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh); Đại hội Toán họctoàn quốc lần thứ 8 (Thành phố Nha Trang, tháng 8 năm 2013); Hội nghị Khoa họcTrường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng

11 năm 2014); Hội nghị Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, tháng

4 năm 2015); Hội nghị ứng dụng Toán học - Vật lý trong khoa học công nghệ trường Đạihọc Công Nghệ Thực Phẩm Tp Hồ Chí Minh (tháng 06 năm 2015); Hội nghị Toán họcMiền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất (Thành phố Quy Nhơn, tháng 8 năm 2015); Hộinghị khoa học và công nghệ lần thứ XIV, Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh (tháng

10 năm 2015)

Trang 10

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ sở được sửdụng trong các chương sau

Trang 11

trong đó, với mỗi t ≥ 0, xt ∈ C xác định bởi xt(θ) = x(t + θ), θ ∈ [−h, 0], A ∈ Rn×n và

L : C → Rn là một toán tử tuyến tính bị chặn được xác định bởi

Trang 12

Chương 2 Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

(i) Nếu (2.3) là ổn định mũ thì (2.4) là ổn định mũ

(ii) Nếu (2.4) không ổn định mũ thì (2.3) không ổn định mũ

Định lý 2.1.7 (Điều kiện ổn định so sánh đối với hệ phương trình vi phân phiếm hàmtuyến tính)

Cho trước A0 ∈ Rn×n và η0(·) ∈ NBV0([−h, 0], Rn×n) Giả sử L : C → Rn, Lϕ :=

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán ổn định vững của các hệ phương trình vi phântuyến tính dương có chậm

Bài toán được đặt ra ở đây là tìm số thực dương γ > 0, sao cho các hệ chịu nhiễu(2.10) vẫn còn ổn định mũ (Định nghĩa 2.1.2) một khi “tổng độ lớn” của các hàm nhiễu

+ với k ∈ m0 sao cho |Dk(t)| ≤ Dk, |Ek(t)| ≤ Ek

và |∆k(t)| ≤ ∆k với mỗi t ∈ R+ và mỗi k ∈ m0 Khi đó, hệ chịu nhiễu (2.10) vẫn còn

Trang 13

Chương 2 Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

2.2 Ổn định mũ của các hệ phụ thuộc thời gian

thời gian

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn mới tường minh về tính ổnđịnh mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn.Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn đượccho bởi

|Ak(t)| ≤ Ak, ∀t ∈ R, k ∈ m; |B(t, s)| ≤ C(s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0] (2.26)

Nếu ma trậnPm

k=0Ak+R0

−hC(s)ds, ổn định Hurwitz thì (2.18) là ổn định mũ

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	432,58 KB