Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÔ QUÝ ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 12 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 12 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 12 1.1.2 Tính ổn định nhị phân mũ 14 Không gian hàm Banach chấp nhận không gian giảm nhớ 16 1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 16 1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) 19 1.2.3 Bất đẳng thức nón 21 1.3 Nhị phân mũ họ tiến hoá 22 1.4 Đa tạp ổn định địa phương phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25 Chương SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 28 NỬA TUYẾN TÍNH 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 28 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 35 2.3 Sự tồn nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 38 2.4 Ổn định có điều kiện 43 i Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN 51 TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 51 3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ 3.3 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 58 55 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 CÓ TRỄ 4.1 Sự tồn nghiệm tuần hồn phương trình có trễ hữu hạn 69 4.2 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 73 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vơ hạn: Sự tồn nghiệm tuần hoàn 4.4 85 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương phương trình có trễ vơ hạn 92 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 113 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình Hà Nội, ngày 06 tháng năm 2017 Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Ngô Quý Đăng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vơ mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy bảo suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị ln tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô bạn xemina Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy chủ trì Đây mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội, đặc biệt thầy, cô giáo Bộ mơn Tốn bản, Viện Tốn ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo đồng nghiệp Khoa GD Tiểu học, Phịng Khảo thí Đảm bảo chất lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương C : tập số phức Lp (R) := u:R→R u p |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( R L∞ (R) := u : R → R u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ x∈R L1,loc (R) := u : R → R u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R , ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R X, Y : không gian Banach L(X), L(C, X) : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn   t+1   M := ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sup |ϕ(τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn ϕ M |ϕ(τ )|dτ := sup t≥0 t P := ϕ ∈ M ϕ tuần hồn với chu kì E : không gian hàm Banach chấp nhận R+ M := f : R+ → X f (·) ∈ M với chuẩn f M := f (·) M C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] C R− := C(R− , X) không gian hàm liên tục R− , nhận giá trị X với chuẩn u Cν Cb (R+ , X) CR− = sup u(t) t∈R− φ(s) = 0, ν > , s→−∞ e−νs φ(s) với chuẩn u ν = sup −νs s∈R− e := φ ∈ CR− lim := v : R+ → X | v liên tục sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R, X) Cb (R+ ,X) := sup v(t) t∈R+ := v : R → X | v liên tục sup v(t) < ∞ t∈R với chuẩn v Cb (R,X) := sup v(t) t∈R Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục sup t∈[−r,∞) với chuẩn v Cb := sup t∈[−r,∞) v(t) v(t) < ∞, r > MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tìm điều kiện tồn nghiệm tuần hồn (trong trường hợp phần phi tuyến hàm tuần hoàn theo thời gian) Bên cạnh số phương pháp chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn mà thích hợp cho phương trình cụ thể phương pháp điểm cố định Tikhonov (xem [21]) phương pháp hàm Lyapunov (xem [57]), cịn có phương pháp phổ biến chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn xét tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] tài liệu tham khảo đó) Mặc dù vậy, số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn phương trình vi phân đạo hàm riêng miền khơng bị chặn phương trình vi phân có nghiệm khơng bị chặn, việc sử dụng phép nhúng compact phương pháp tìm nghiệm bị chặn khó khăn khơng Để khắc phục khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy (xem [42]) sử dụng phương pháp Ergodic Zubelevich mở rộng (xem [51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường Massera (xem [16]) nghiên cứu vào năm 1950 nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic tính tồn nghiệm du = A(t)u + f (t), t ∈ R+ tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính dt với tốn tử tuyến tính A(t) (có thể khơng bị chặn) sinh họ tiến hóa trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Một vấn đề quan trọng khác nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nghiên cứu tồn đa tạp tích phân Nghiên cứu mang lại cho tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Mặt khác cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Những kết nghiên cứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường Hadamard (xem [13]), Perron (xem [49, 50]) đưa Sau đó, Daleckii Krein (xem [27]) mở rộng kết cho phương trình vi phân khơng gian Banach Năm 2009, N.T Huy số cộng sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn, xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện số Lipschitz đủ nhỏ toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]) Cụ thể tác giả xét điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến (xem [35]), hệ số Lipschitz phần phi tuyến hàm phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận mang đến số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]) Tuy nhiên, nghiên cứu xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng trễ có trễ hữu hạn Từ phân tích trên, luận án này, sử dụng phương pháp Ergodic để nghiên cứu chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, ổn định có điều kiện ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân. .. quanh nghiệm tuần hồn phương trình vi phân * Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng Tính chất nghiệm tuần hoàn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Phương. .. trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Cấu trúc kết luận án Ngoài phần