Toán tử tuyến tính trên không gian định chuẩn
Trong luận văn này, ký hiệu C đại diện cho tập hợp các số phức, R cho tập hợp các số thực, và K là tập hợp các số thực hoặc số phức Định nghĩa 1.1.1 ([4]) nêu rõ rằng, cho X là một K - không gian véctơ, một chuẩn trên X được định nghĩa là một hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R, thỏa mãn các điều kiện nhất định với mọi x, y ∈ X và mọi λ ∈ K.
Định lý ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥ thể hiện tính chất của không gian vector Một dãy (x n ) ∞ n=1 trong không gian X được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ X nếu giới hạn khi n tiến đến vô cực của ∥x n −x∥ bằng 0 Ngoài ra, dãy (x n ) ∞ n=1 cũng được xem là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định trong không gian này.
Khi m và n tiến tới vô cùng, khoảng cách giữa các phần tử x n và x m trong không gian X sẽ tiến tới 0 Theo định nghĩa 1.1.4, nếu mọi dãy cơ bản trong X hội tụ đến một phần tử thuộc X, thì X được gọi là không gian Banach Đối với một phần tử x 0 trong X và một số dương r, chúng ta sẽ ký hiệu một cách thích hợp.
D r (x 0 ) := {x :∥x−x 0 ∥< r}, là quả cầu mở tâm x0 bán kính r Khi đó Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Tập con M của một không gian định chuẩn X được gọi là:
(i) tập mở nếu với mọi x ∈ M đều tồn tại r > 0 sao cho D r (x) ⊂M. (ii) tập đóng nếu với mọi dãy (x n ) ⊂ M hội tụ đếnx ∈ X thì ta cóx ∈ M.
(iii) trù mật nếu M = X, trong đó M là bao đóng của tập M (tức là, tập gồm tất cả các phần tử x ∈ X sao cho tồn tại dãy (x n ) ∈ M mà x n →x).
(iv) tập lồi nếu với mọi x, y ∈ M và mọi số thực λ ∈ [0,1] đều có λx+ (1−λ)y ∈ M.
(v) tập bị chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
(vi) tập compact nếu mọi dãy (x n ) ∈ M đều tồn tại x ∈ M và dãy con (x n k ) của (x n ) sao cho x n k → x.
Tập compact tương đối, hay còn gọi là tiền compact, có đặc điểm là mọi dãy (xn) thuộc M đều có một dãy con Cauchy (x n k ) Nếu không gian X là đầy đủ và M là tập compact tương đối, thì tập bù của M sẽ cũng là một tập compact.
Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K Toán tử
A :X →Y được gọi là tuyến tính nếu
A(αx₁ + βx₂) = αAx₁ + βAx₂, ∀x₁, x₂ ∈ X, ∀α, β ∈ K Định lý 1.1.6 ([4]) cho biết rằng nếu A là một toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, thì các mệnh đề sau đây là tương đương.
(iii) A liên tục tại điểm 0∈ X;
(iv) A bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho
Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y được ký hiệu là L(X, Y) Khi Y = X, chúng ta sử dụng ký hiệu gọn là L(X) L(X, Y) được xác định là không gian véctơ con của K, trong đó chứa tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y Đối với mỗi A thuộc L(X, Y), ta có thể phân tích các tính chất của toán tử này.
Chuẩn của toán tử A được định nghĩa là ∥A∥ = inf{M : ∥Ax∥ ≤ M∥x∥, ∀x ∈ X} Định nghĩa 1.1.7 nêu rõ rằng, với X là một không gian định chuẩn và Φ : X → X, thì Φ được gọi là ánh xạ co (chặt) nếu tồn tại một số thực dương k < 1.
Định lý điểm bất động Banach khẳng định rằng nếu Φ là một ánh xạ co trên không gian Banach X, thì tồn tại duy nhất một điểm bất động x ∈ X sao cho Φx = x Ngoài ra, một toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là compact nếu với mọi dãy bị chặn (x n ) ⊂ X, dãy (Ax n ) có một dãy con Cauchy.
Nhận xét 1.1.10 ([4]) Toán tử tuyến tính A : X → Y là compact khi và chỉ khi ảnh của quả cầu đơn vị trong X là một tập compact tương đối trong Y.
Nửa nhóm liên tục mạnh và họ tiến hóa
Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Cho không gian Banach X, một họ các toán tử (T(t)) t≥0 ⊂L(X) được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(ii) T(0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim t→0 + T(t)x = T(0)x,∀x ∈ X. Định nghĩa 1.2.2 ([5]) Toán tử A :D(A) ⊂ X → X xác định bởi
Toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) với t≥0 trên không gian Banach X tồn tại, được ký hiệu là h(T(h)x−x) Định lý 1.2.3 ([5]) khẳng định rằng đối với toán tử này, có những tính chất quan trọng cần được xem xét.
(i) A : D(A) ⊂X → X là toán tử tuyến tính;
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T(t)x ∈ D(A) và d dtT(t)x = T(t)Ax = AT(t)x,∀t ≥ 0;
(iii) Với mọi t≥ 0, x ∈ X ta có
T(s)xds∈ D(A); (iv) Với mọi t≥ 0 ta có
Một họ các toán tử tuyến tính bị chặn {U(t, s)} với t ≥ s ≥ 0 trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hóa liên tục mạnh và bị chặn mũ nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) U(t, t) = Id và U(t, r)U(r, s) = U(t, s) với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0; ii) ánh xạ (t, s) 7→ U(t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X; iii) tồn tại các hằng số R, δ ≥ 0.
∥U(t, s)x∥ ≤ Re δ(t−s) ∥x∥, ∀t ≥ s≥ 0, x ∈ X. Định nghĩa 1.2.5 ([5]) Cho (A,D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là ρ(A) = {λ ∈ C | (λI −A) là song ánh }.
Khi đó σ(A) := C\ρ(A) gọi là tập phổ của A. và
R(λ, A) := (λI −A) −1 , λ ∈ ρ(A) được gọi là giải thức của A. Định lý 1.2.6 (Bổ đề Gronwall) Cho u(t), v(t) là những hàm liên tục, không âm trên đoạn [a, b], C là một hằng số không âm và v(t) ⩽ C + t
R a u(s)ds với a ⩽ t ⩽ b. Đặc biệt, nếu C = 0 thì v(t) ≡0.
Chứng minh Trường hợp C > 0, ta đặt
Do đó, v(t) ⩽ V(t) Theo giả thiết suy ra V(t) ⩾ C > 0 trên [a, b].
V ⩽ u, và V(a) = C nên lấy tích phân hai vế biểu thức
. Điều chứng minh được suy ra từ v(t) ⩽ V(t).
Nếu C = 0, hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
Cuối cùng, để kết thúc chương này ta nhắc lại một số không gian hàm và các đánh giá cơ bản được sử dụng trong luận văn như sau:
• Không gian s := {f :R + →X sao cho ∥f(.)∥ ∈ S} với chuẩn ∥f∥ s := ∥∥f(.)∥∥ s
Dễ thấy S và s là các không gian Banach.
S˜ := {f ∈ S : f là 1-tuần hoàn} và ta có các đánh giá sau:
Mệnh đề 1.2.7 ([3]). a) S là T 1 + -bất biến với T 1 + được cho bởi
0, nếu 0≤ t≤ 1. b) Cho φ ∈ S là một hàm giá trị dương, ta xét các hàm Θ ′ τ φ(t) :Z t 0 e −τ(t−s) φ(s)ds và Θ ′′ τ φ(t) :Z ∞ t e −τ(s−t) φ(s)ds.
Khi đó, Θ ′ τ φ và Θ ′′ τ φ là các hàm bị chặn thuộc S Hơn nữa,
Nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình vi phân có miền xác định không trù mật 9
Toán tử Hille - Yosida và không gian ngoại suy
Định nghĩa 2.1.1 ([6, 7]) Ta nói toán tử tuyến tính (A,D(A)) thỏa mãn điều kiện Hille - Yosida nếu:
(H1): tồn tại các hằng số w ∈ R và M ≥1 sao cho (w,+∞) ⊂ρ(A) và
Lưu ý rằng, chúng ta có thể chọn chuẩn trên X phù hợp sao cho trong đánh giá (2.1) thì ta có M = 1.
Theo [6, 7], nếu A là thỏa mãn điều kiện Hille - Yosida thì toán tử A0 hạn chế của A trên X 0 := D(A) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T 0 (t)) t≥0 trên X 0 thỏa mãn
Hơn nữa, vớiλ ∈ ρ(A 0 ) thì giải thứcR(λ, A 0 ) chính là hạn chế củaR(λ, A) trên X 0
Với λ 0 ∈ ρ(A) cố định, trên X 0 ta có thể xây dựng chuẩn
Chúng ta gọi bổ sung đủ X −1 của X 0 theo chuẩn ∥ ã ∥ −1 là không gian ngoại suy của X 0 tương ứng với toán tử tuyến tính A Nửa nhóm ngoại suy (T −1 (t)) t≥0 bao gồm tất cả các phát triển liên tục (duy nhất) T −1 (t) của toán tử T0(t) lên không gian ngoại suy X −1 Nửa nhóm (T −1 (t)) t≥0 là liên tục mạnh và toán tử sinh A −1 của nó là phát triển liên tục duy nhất.
A 0 lên trên không gian L(X ) , X −1 ) Mặt khác, X nhúng liên tục trong
Khi λ thuộc tập số thực của A, hàm R(λ, A −1) là sự mở rộng liên tục của R(λ, A) trong không gian X −1 Ngoài ra, A 0 và A được xem là các hạn chế của toán tử A −1 trên không gian X0 và X tương ứng.
Bổ đề 2.1.2 ([7]) Với f ∈ L 1 loc (R + , X) và t ≥ s ≥0 ta có
(iii) tồn tại hằng số M˜ ≥ 1 sao cho
Công thức biến thiên hằng số
Trong mục này, ta xây dựng công thức biến thiên hằng số cho phương trình tiến hóa không thuần nhất có dạng
(ii) toán tử (A,D(A)) thỏa mãn điều kiện Hille - Yosida,
(iii) họ toán tử (B(t)) t≥0 ⊂ L(X 0 , X) thỏa mãn giả thiết
(H2): với mọi x ∈ X0 ánh xạ t 7→ B(t)x là đo được mạnh và tồn tại
ℓ ∈ L 1 loc (R + ) sao cho ∥B(.)∥ ≤ ℓ(.) Định nghĩa 2.2.1 ([6]) Giả sử f ∈ L 1 loc (R, X) và T ≥ s ≥ 0 Khi đó hàm u = u(ã, f) ∈ C([s, T], X 0 ) được gọi là nghiệm nhẹ của (2.2) trờn [s, T] nếu u(t) =T 0 (t−s)u(s) +
Theo Định lý 2.2, với các giả thiết về A và B(t) cho t≥0 cùng với f thuộc L 1 loc (R + , X), tồn tại duy nhất một nghiệm nhẹ u trong không gian C([0,∞), X 0 ) cho phương trình (2.2) Việc phân tích tính tuần hoàn của nghiệm (2.2) thông qua công thức (2.3) khá phức tạp, vì vậy chúng ta cần tìm một cách biểu diễn khác cho nghiệm nhẹ Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng
Nếu các giả thiết (H1) và (H2) được thỏa mãn, thì theo Định lý 2.3, tồn tại duy nhất một họ tiến hóa (UB(t, s)) với t≥s≥0 trên X0, thỏa mãn công thức biến thiên hằng số.
(2.5) Lưu ý rằng, t 7→ UB(t,0)x là nghiệm duy nhất của (2.4) Hơn nữa, sử dụng Bổ đề Gronwall và Bổ đề 2.1.2 ta có
R t s b(σ)dσ, t≥ s, (2.6) với M, M 1 ≥ 1 là các hằng số nào đó Trong trường hợp đặc biệt, nếu
∥B(ã)∥ bị chặn trờn bởi hàm ℓ ∈ L 1 loc ,u (R +), tức là
|ℓ(σ)|dσ < ∞, thì họ tiến hóa (UB(t, s)) t≥s≥0 là bị chặn mũ, tức là
∥U B (t, s)∥ ≤ N e β(t−s) với t ≥ s ≥0,và N ≥ 1, β ∈ R là các hằng số. Hơn nữa, nếu ta giả sử:
(H 3 ): Toỏn tử B(ã) là τ-tuần hoàn.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ "τ-tuần hoàn" thay vì cụm từ "tuần hoàn với chu kỳ τ" Nếu giả thiết (H3) được thỏa mãn, thì quá trình tiến hóa (U B(t, s)) với t≥s≥0 sẽ được coi là τ-tuần hoàn.
Định lý 2.2.2 cho biết rằng nếu f ∈ L 1 loc (R + , X) và x ∈ X 0, thì nghiệm nhẹ duy nhất u ∈ C(R + , X 0) của phương trình (2.2) có thể được biểu diễn bằng công thức u(t) = U B(t,0)x + lim λ→∞ Điều này cho thấy mối liên hệ giữa nghiệm nhẹ và họ tiến hóa (U B(t, s)) với điều kiện UB(t+τ, s+τ) = UB(t, s) cho mọi t ≥ s ≥ 0.
Hơn nữa, giới hạn lim λ→∞
U B (t, σ)λR(λ, A)f(σ)dσ ∈ X 0 tồn tại và đều trên các tập compact của R+.
Nghiệm tuần hoàn của phương trình không thuần nhất
Để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn của phương trình tuyến tính không thuần nhất (2.2) ta giả sử thêm rằng:
Không gian Banach X 0 = Y ′, trong đó Y là một không gian Banach tách được, và Y là không gian con của Y ′′, giữ nguyên tính bất biến dưới tác động của toán tử UB ′ (τ,0), là toán tử đối ngẫu của UB(τ,0).
Kết quả đạt được từ Định lý 2.3.1 cho thấy, dưới điều kiện các giả thiết (H1)-(H4) được thỏa mãn và hàm f thuộc s là τ-tuần hoàn, phương trình (2.2) sẽ có một nghiệm nhẹ bị chặn u(.) trên R+.
∥u∥ BC ≤ C∥f∥ s , (2.8) với C > 0 là một hằng số nào đó, thì nó có một nghiệm nhẹ u(.)˜ là τ-tuần hoàn thỏa mãn
∥˜u∥ BC ≤R(C + [τ] + 1)e δτ ∥f∥ s (2.9) Hơn nữa, nếu họ tiến hóa (U B (t, s)) t≥s≥0 thỏa mãn t→∞lim ∥U B (t,0)x∥ = 0 với x ∈ X0 mà U B (t,0)x bị chặn trên R + ,
(2.10) thì nghiệm nhẹ τ-tuần hoàn đó là duy nhất.
Chứng minh Do (UB(t, s)) t≥s≥0 và f là τ - tuần hoàn, nên sự tồn tại nghiệm τ-tuần hoàn của (2.2) tương đương với việc tìm điệu ban đầu y ∈ X 0 sao cho y = U B (τ,0)y + lim λ→∞
Trên BC(R + , X 0 ), ta xét hàm u(t) = U B (t,0)x+ lim λ→∞
U B (t, σ)λR(λ, A)f(σ)dσ, Khi đó, với mọi p∈ N ta có u((p+ 1)τ) = U B (τ,0)u(pτ) + lim λ→∞
Từ bất đẳng thức (2.8) ta có sup n∈ N
Do X 0 là đối ngẫu của một không gian Banach tách được Y nên áp dụng Định lý Banach-Alaoglu ta suy ra tồn tại một dãy con (y n k ) của dãy (y n ) sao cho y n k → ∗ y, với y ∈ B C∥f ∥ s (2.14)
Do (u(nτ)) n∈ N là một dãy bị chặn nên n→∞lim
Do đó, từ (2.14) và (2.15) ta được
Ký hiệu ⟨ã,ã⟩ là tớch đối ngẫu của X 0 = Y ′ và Y, do Y là bất biến dưới tác động của UB ′ (τ,0) nên với mọi g ∈ Y ta có
Như vậy, từ (2.16), (2.17) và tính duy nhất của giới hạn ∗ yếu ta suy ra y = U B (τ,0)y + lim λ→∞
Kết luận rằng nếu u(.) là nghiệm bị chặn của (2.2) với điều kiện ban đầu như đã nêu, thì nó sẽ có tính chất τ-tuần hoàn Để chứng minh bất đẳng thức (2.9), ta nhận thấy rằng y = U B (kτ,0)y + lim λ→∞.
Nếu điều kiện (2.10) được thỏa mãn, sẽ tồn tại duy nhất một nghiệm tuần hoàn bị chặn của (2.2) Giả sử z1 và z2 là hai nghiệm bị chặn τ-tuần hoàn, ta đặt w = z1 − z2 Khi đó, w cũng là τ-tuần hoàn và theo (2.7), ta có w(t) = U B (t,0) (z1(0) − z2(0)).
Do w(.) là bị chặn trên R + nên sử dụng (2.10) ta được t→∞lim w(t) = 0.
Lại do w là τ-tuần hoàn nên w(t) = 0 với mọi t ∈ R + Suy ra nghiệm tuần hoàn của (2.2) là duy nhất.
Nghiệm tuần hoàn của phương trình nửa tuyến tính có trễ hữu hạn
Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của một lớp các phương trình vi phân nửa tuyến tính dạng
Trong không gian Banach X, (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật, tuân thủ điều kiện Hille-Yosida theo Định nghĩa 2.1.1 Họ các toán tử (B(t)) với t ≥ 0 là các toán tử tuyến tính bị chặn.
L(X0, X); F : R +×C → X là một hàm liên tục, với hàm lịch sử ut xác định bởi u t (θ) = u(t+θ) cho mọi θ ∈ [−r,0] Định nghĩa 2.4.1 ([2]) cho biết rằng, nếu Φ ∈ C và thỏa mãn điều kiện Φ(0) ∈ X 0, thì hàm liên tục u : [−r,+∞) → X được gọi là một nghiệm nhẹ của (2.19) nếu nó đáp ứng các tiêu chí đã nêu.
C A := {Φ ∈ C : Φ(0) ∈ X 0 } và với x ∈ X,Φ˜ ∈ C và ω˜ ∈ BC([−r,∞), X), ta ký hiệu
B ϵ (˜ω) := {ω ∈ BC([−r,∞), X) : ∥ω˜ −ω∥ BC ≤ ϵ}. Định nghĩa 2.4.2 ([3]) Cho φ ∈ S là một hàm dương f : [0,+∞) ×
Bα(0) → X được gọi là thuộc lớp (h, φ, α) với h, α là các hằng số nào đó, nếu f thỏa mãn: i) ∥f(t, χ)∥ ≤ hφ(t) với mọi χ ∈ B α (0) và t∈ R + , ii) ∥f (t, χ 1 )−f (t, χ 2 )∥ ≤ φ(t)∥χ 1 −χ 2 ∥ C với mọi χ 1 , χ 2 ∈ B α (0) và t ∈ R +
Tiếp theo, ta giả sử
Hàm F thuộc lớp (h, φ, α) với h, α > 0 và 0 < φ ∈ S Định lý 2.4.3 cho phép chúng ta biểu diễn nghiệm nhẹ của phương trình (2.19) theo một công thức khác Dưới giả thiết (H 1) - (H 3) và (H 5), cùng với điều kiện Φ ∈ C A, khi φ đủ nhỏ, phương trình (2.19) sẽ có duy nhất một nghiệm nhẹ u ∈ B α (0).
(2.21) Mặt khác, giới hạn λ→∞lim
0 U B (t, σ)λR(λ, A)F (σ, u σ )dσ ∈ X 0 , là tồn tại, đều trên trên các tập compact của R+ và nghiệm nhẹ này phụ thuộc liên tục vào hàm ban đầu Φ.
Chứng minh Ta chọn t 1 > 0 và xét các tập con đóng
Khi đó, với w ∈ B t 1 ,α ta xét toán tử F cho bởi công thức
Dễ thấy (Fw) ∈ BC([−r, t 1 ], X) Hơn nữa
≤ Re δT 1 ∥w(0)∥+Rhe δT 1 [T 1 + 1]∥φ∥ S , trong đú [ã] là hàm phần nguyờn
Chọnt1 vàφ đủ nhỏ sao cho sup
∥(Fw)(t)∥ ≤ α thì (Fw) ∈ B t 1 ,α Mặt khác, với v, w ∈ B t 1 ,α ta có
Như vậy, nếu ta chọn t 1 và φ đủ nhỏ thì F sẽ là một ánh xạ co Kéo theo, tồn tại duy nhất v ∈ B t 1 ,α sao cho Fv = v Hơn nữa, ta có t ∈
Trong khoảng thời gian [0, t1], hàm v(t) thuộc không gian BC([0, t1], X0) và v(t1) thuộc X0 Bằng cách áp dụng phương pháp quy nạp cho các đoạn [tn, tn+1] và chọn w0 = vt n, chúng ta có thể suy ra rằng tồn tại một hàm duy nhất v ∈ Bα(0) sao cho Fv = v Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm trong Bα(0) thông qua việc định nghĩa zλ(t): Zt.
Vì v ∈ B α (0) nên theo giả thiết (H5) ta có
Lại do φ ∈ L 1 loc (R + ) nên σ 7→ F (σ, v σ ) ∈ L 1 loc (R + ) Ta đặt w(t) Z t 0
T−1(t−σ)F (σ, vσ)dσ, và sử dụng Bổ đề 2.1.2 ta có
Theo Bổ đề 2.1.2, hàm w(t) là liên tục trên X0 Do đó, với t ≥ 0, ta có giới hạn lim ν→∞ ∥(àR(à, A0)−vR(v, A0))w(t)∥ = 0, hội tụ đều trên các đoạn compact Từ (2.1), có thể thấy rằng với ε > 0 và I ⊆ R là một đoạn compact, tồn tại hằng số N phụ thuộc vào độ dài của I.
Z t 0 l(σ)∥z à (σ)−z ν (σ)∥dσ, với t ≥0 thuộc vào I và à, v > w đủ lớn Khi đú, ỏp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được
∥z à (t)−z v (t)∥ ≤ εe N R 0 t l(σ)dσ , với t≥ 0 thuộc vào I và à, v > w đủ lớn.
Giới hạn z(t) = lim λ→∞ zλ(t) hội tụ đều trên các đoạn compact với t ≥ 0 Do A là toán tử Hille-Yosida, từ định nghĩa của zλ, ta có sup zλ(t) với λ > w và t > 0 thuộc vào khoảng I < ∞.
(2.24) Sau đó, sử dụng (2.5) và (2.24) suy ra v(t) =U B (t,0)Φ(0) + lim λ→∞
Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhẹ v của phương trình (2.19), ta giả sử rằng u và v là hai nghiệm nhẹ trong B α (0) với điều kiện u0 = ϕ1 và v0 = ϕ2 Từ đó, ta có thể phân tích biểu thức T −1 (t−σ) (B(σ)v(σ) + F(σ, v σ))dσ với t ≥ 0.
Do với −r ≤t ≤ 0thì ∥u t −v t ∥ C = ∥ϕ 1 −ϕ 2 ∥ C nên từ (2.25) với0 ≤ t≤
Z T 0 max ∥T −1 (T −σ)B(σ)∥,M e˜ w(T−σ) φ(σ) ∥u σ −v σ ∥ C dσ, Lại sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta được
∥u t (, ϕ 1 )−v t (., ϕ 2 )∥ C ≤ max 1, M e wT e CT ˜ ∥ϕ 1 −ϕ 2 ∥ C , với 0≤ t ≤T và C >˜ 0.
Từ đó suy ra tính duy nhất của nghiệm v và tính liên tục đều của ánh xạ Φ 7→ ut(.,Φ) trên [0, T].
Tiếp theo để xét tính tuần hoàn của nghiệm nhẹ của (2.19) ta giả sử (H 6 ): Với mỗi ϕ ∈ C, hàm F(., ϕ) là τ - tuần hoàn.
Khi các giả thiết (H1) - (H6) được thỏa mãn, theo Định lý 2.4.4, với mọi hàm f ∈ s là hàm τ-tuần hoàn, luôn tồn tại nghiệm bị chặn cho phương trình (2.2).
∥u∥ BC ≤ C∥f∥ s , và họ tiến hóa (U B (t, s)) t≥s≥0 thỏa mãn t→∞lim ∥UB(t,0)x∥= 0 với x ∈ X 0 mà UB(t,0)x bị chặn trên R+.
Khi đó, nếu ∥φ∥ S đủ nhỏ thì phương trình (2.19) có duy nhất một nghiệm nhẹ τ - tuần hoàn trong B α (0).
Chứng minh Ta xét tập con đóng
B 1,α := w ∈ B α (0) : w là τ - tuần hoàn và trang bị trên đó chuẩn
Với w ∈ B 1,α và u(0) ∈ X 0 , ta xét u(.) cho bởi u(t) =UB(t,0)u(0) + lim λ→∞
Ta đặt f(t) := F (t, w t ) và sử dụng giả thiết (H 5 ) ta có
Do f là τ - tuần hoàn và w cũng là τ - tuần hoàn, từ giả thiết (H 6) và dựa vào kết quả của Định lý 2.3.1, ta có thể suy ra rằng tồn tại duy nhất nghiệm τ - tuần hoàn của phương trình (2.26) thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lúc này, với w ∈ B 1,α ta xét hàm ψ xác định bởi ψ(w)(t)
u(t) với t ≥ 0, ˆ u(t) với −r ≤ t≤ 0, trong đó ulà nghiệm τ-tuần hoàn duy nhất của (2.26) và u(.)ˆ là thác triển τ-tuần hoàn duy nhất của u(.) trên [−r,0] Ta sẽ chứng minh rằng nếu
∥φ∥ S đủ nhỏ, thì ψ từ B 1,α vào chính nó Thật vậy, do uˆ là thác triển τ-tuần hoàn của u trên [−r,0) nên ta có
∥u∥ BC ≤R(C + [τ] + 1)e δτ h∥φ∥ S Để áp dụng định lý ánh xạ co cho ψ, ta lấy w1, w2 ∈ B 1,α Khi đó, u = ψ(w 1 )−ψ(w 2 ) =u 1 −u 2 là nghiệm τ - tuần hoàn của bài toán
Dễ thấy u(.)ˆ là τ-tuần hoàn do nó là thác triển τ-tuần hoàn của u(.) trên [−r,0) Do đó
Nếu ∥φ∥ S đủ nhỏ, thì ψ trở thành một ánh xạ co Theo định lý điểm bất động Banach, tồn tại duy nhất hàm tuần hoàn bị chặn ˜u(.) thuộc B 1,α sao cho ψ(˜u) = ˜u Do đó, ˜u(.) là nghiệm của phương trình (2.19).
Nghiệm tuần hoàn của phương trình trung tính có trễ hữu hạn không thuần nhất
Tiếp theo, trên không gian Banach X ta xét D : C → X là một toán tử tuyến tính bị chặn cho bởi công thức
[dη(θ)]ϕ(θ), ∀ϕ ∈ C, và η : [−r,0] → L(X) có biến phân bị chặn và không atomic tại 0, tức là η thỏa mãn điều kiện:
(H 7 ): tồn tại một hàm liên tục, không giảm δ : [0, r] → [0,1] thỏa mãn δ(0) = 0 và
Lúc này, với f ∈ s ta xét phương trình trung tính không thuần nhất dạng
Khi đó, tương tự như trong Định lý 2.2.2 thì nghiệm nhẹ của (2.30) được cho bởi
(2.31) Để nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn của (2.30), ta xét không gian
E˜ := Dϕ với ϕ ∈ C thỏa mãn Dϕ ∈ X0 và giả sử
(H 8 ): Không gian E˜ = Y ′ với Y là không gian Banach tách được nào đó. Hơn nữa, Y là không gian con của Y ′′ bất biến dưới tác động của toán tử
UB′(τ,0) là toán tử đối ngẫu của UB(τ,0) Theo Định lý 2.5.1, nếu các giả thiết (H1)−(H3), (H7) và (H8) được thỏa mãn, và f ∈ s là một hàm τ-tuần hoàn, thì phương trình (2.30) sẽ có một nghiệm bị chặn u trên khoảng [−r,∞).
∥u∥ BC ≤C∥f∥ s (2.32) thì nó sẽ có nghiệm u˜ tuần hoàn với chu kỳ τ thỏa mãn
1−δ(r) ∥f∥ s , (2.33) trong đú [ã] là hàm phần nguyờn Hơn nữa, nếu họ tiến húa (U B (t, s)) t≥s≥0 thỏa mãn t→∞lim ∥UB(t,0)x∥ = 0 với x ∈ E˜ mà UB(t,0)x bị chặn trên R+,
(2.34) thì nghiệm đó là duy nhất.
Để chứng minh rằng U B (t, s) là τ - tuần hoàn, ta bắt đầu từ giả thiết đã cho Việc chỉ ra sự tồn tại của nghiệm nhẹ τ - tuần hoàn chỉ cần tìm một y ∈ E˜ sao cho y = U B (τ, 0)y + lim λ→∞.
D u bị chặn và D là toỏn tử tuyến tớnh bị chặn nờn Du ã ∈ BC (R + , X).
Sử dụng quy nạp, ta nhận thấy nếu f là τ - tuần hoàn thì với mọi p ∈ N ta có
U B (τ, σ)λR(λ, A)f(σ)dσ (2.36) Xây dựng tổng Cesaro như sau: y n := 1 n n
Sử dụng đánh giá (2.32) ta có sup p∈
Kết hợp với (2.37) và (2.38) ta được sup n∈ N
Do E˜ là đối ngẫu của không gian Banach tách được Y, theo định lý Banach-Alaoglu, tồn tại dãy con (y n k) của dãy (y n) sao cho y n k → ∗ y, với ∥y∥ ≤ C∥D∥∥f∥ s Từ (2.37) cũng có thể suy ra kết quả này.
Tiếp theo, ta ký hiệu ⟨., ⟩ là tích đối ngẫu giữa E˜ = Y ′ và Y DoY là bất biến dưới tác động của UB ′ (τ,0) nên với mọi g ∈ Y, từ giả thiết (H8) ta có
(2.42) Mặt khác, do tính duy nhất của giới hạn ∗ -yếu, nên từ (2.41) và (2.42) ta có y = U B (τ,0)y + lim λ→∞
Như vậy, nếu nghiệm bị chặn u˜ của (2.30) có điều kiện ban đầu ψ thỏa mãn Dψ = y thì u˜ là τ - tuần hoàn. Để chứng minh (2.33), bằng quy nạp ta chỉ ra được y = Dψ = U B (pτ,0)Dψ+ lim λ→∞
Sử dụng giả thiết (H 0 ), ta được
Hơn nữa do u τ˜ - tuần hoàn nên sup t≥−r
Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn bị chặn, giả sử v và w là hai nghiệm bị chặn tuần hoàn với chu kỳ τ, ta đặt z := v − w Khi đó, z cũng có chu kỳ τ và từ đó ta có thể rút ra kết luận cần thiết.
Dz t = U B (t,0)D(v0 −w0) (2.44) Lại do z bị chặn trên [−r,∞), theo (2.34) thì t→∞lim Dz t = 0 (2.45)
D là một toán tử tuyến tính bị chặn trên C, không phụ thuộc vào t Do z có tính tuần hoàn với chu kỳ τ, nên Dz t cũng sẽ tuần hoàn với chu kỳ τ Từ đó, ta có thể suy ra được mối quan hệ giữa chúng.
Mặt khác, D là khả nghịch nên z t = 0 với mọi t ≥0 Điều này có nghĩa là z(t) = 0, ∀t ≥ −r.
Như vậy, nghiệm nhẹ tuần hoàn của (2.30) là duy nhất.
Nghiệm tuần hoàn của phương trình trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn
tính có trễ hữu hạn
Trong phần này, ta xét tính tuần hoàn của nghiệm nhẹ của phương trình trung tính có dạng
(2.46) Định nghĩa 2.6.1 ([1]) Cho Φ ∈ CD Một hàm liên tục u : [−r,+∞) →
X gọi là một nghiệm nhẹ của (2.46) nếu nó thỏa mãn u 0 = Φ và
Theo định lý 2.6.2, nếu các điều kiện (H1) - (H3), (H5) và (H7) được thỏa mãn cùng với Φ ∈ CD, và khi ∥φ∥ S đủ nhỏ, thì phương trình (2.46) sẽ có duy nhất một nghiệm nhẹ u ∈ B α (0), được xác định bởi công thức T −1 (t−σ) [B(σ)Du σ +F(σ, u σ )]dσ, với t ≥ 0.
(2.48) Hơn nữa, giới hạn λ→∞lim t
UB(t, σ)λR(λ, A)F(σ, u σ )dσ ∈ X 0 là hội tụ đều theo t ≥ 0 và do đó nghiệm nhẹ là phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu Φ.
Chứng minh Xét không gian con đóng
Trên B T 1 ,α ta xét ánh xạ D Φ cho bởi công thức
Mặt khác,D = δ0− D 0 với δ0 là toán tử Dirac tập trung tại 0 và ∥D 0 ∥ < 1 nên ta có thể xác định toán tử ξ˜ : BC([−r, T 1 ], X) → BC([−r, T 1 ], X) như sau
Do ∥D 0 ∥< 1 nên ∥ξ˜≤ ∥D 0 ∥ < 1 Suy ra, toán tử I −ξ˜là khả nghịch Ta đặt
Sử dụng chuỗi Newmann, ta có
Với t ≥ −r, bằng quy nạp ta chứng minh được
≤ ∥ξ∥˜ n M e cT 1 ∥DΦ∥+M he cT 1 [T 1 + 1]∥φ∥ S trong đú [ã] là hàm phần nguyờn.
Ta chọn T 1 và ∥φ∥ S đủ nhỏ, thì G là ánh xạ từ B T 1 ,α vào chính nó.
Hơn nữa, với u, v thuộc B T 1 ,α ta có
Ta chọn ∥φ∥ S và T 1 đủ bé thì G là một ánh xạ co Theo nguyên lý điểm bất động Banach, tồn tại duy nhất một nghiệm u của phương trình (2.48) thuộc vào B T 1 ,α
Tiếp tục trên các khoảng [Tn, Tn+1] với n ∈ N*, ta chọn Φ = uTn, từ đó suy ra tồn tại duy nhất u ∈ Bα(0) thỏa mãn Gu = u, tức là u là nghiệm nhẹ duy nhất của phương trình (2.48) trong Bα(0) Để chứng minh rằng nghiệm u của phương trình tích phân (2.48) là nghiệm nhẹ duy nhất của (2.46) trong Bα(0), ta đặt zλ(t) với u ∈ Bα(0).
Lúc này, tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.4.3 ta thấy z(t) λ→∞lim z λ (t) thỏa mãn z(t) t
U là nghiệm nhẹ của phương trình (2.46) Để chứng minh tính duy nhất, giả sử u và v là hai nghiệm nhẹ trong B α (0), với u 0 = ϕ 1 và v 0 = ϕ 2 Với 0 ≤ t ≤ T, chúng ta có thể phân tích thêm.
Do với −r ≤ t ≤ 0 thì ∥u t −v t ∥ C = ∥ϕ 1 −ϕ 2 ∥ C nên từ (2.50) với mọi
Từ đó, với mọi 0≤ t ≤T ta có
0 max ∥T −1 (T −σ)B(σ)D∥,M e˜ w(T −σ) φ(σ) ∥u σ −v σ ∥ C dσi. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall:
1−δ(r) e CT ¯ ∥ϕ 1 −ϕ 2 ∥ C , với 0≤ t ≤T, trong đó C >˜ 0 là một hằng số Từ đó, ta suy ra được tính duy nhất của nghiệm nhẹ và ánh xạ Φ 7→u t (.,Φ) liên tục đều trên [0, T].
Kết quả về sự tuần hoàn của nghiệm nhẹ của phương trình (2.30) được trình bày trong Định lý 2.6.3 Theo đó, nếu các giả thiết (H1) - (H3) và (H5) - (H8) được thỏa mãn, thì với mọi hàm f ∈ s là τ - tuần hoàn, luôn tồn tại một nghiệm nhẹ bị chặn của (2.30).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức ∥u∥ BC ≤C∥f∥ s (2.51) và sự tiến hóa của hàm U B (t, s) với điều kiện t≥s≥0, trong đó giới hạn khi t tiến tới vô cực của ∥U B (t,0)à∥ bằng 0 với à thuộc E˜ và U B (t,0)à bị chặn trên R + Hơn nữa, nếu ∥φ∥ S đủ nhỏ, phương trình (2.46) sẽ có duy nhất một nghiệm nhẹ τ - tuần hoàn trong B α (0).
Chứng minh Ta xét tập con đóng B α ⊂ BC([−r,∞), X) như sau:
∥w(t)∥ ≤ α và w là τ - tuần hoàn với chuẩn
Khi đó, với w ∈ B α , ta xét hàm u là τ - tuần hoàn thỏa mãn u(t) =D 0 u t +U B (t,0)Du 0 + lim λ→∞
(2.52) và ánh xạ ψ : B α → B α cho bởi công thức ψ(w)(t)
u(t), với t ≥ 0 ˆ u(t), với −r ≤t ≤ 0. Để chứng minh ψ hoàn toàn xác định, ta đặt f(σ) := F (σ, wσ) Theo giả thiết (H 5 ) ta có
Theo giả thiết (H6), nếu f là τ - tuần hoàn, thì w cũng sẽ là τ - tuần hoàn Áp dụng Định lý 2.5.1, chúng ta có thể khẳng định rằng tồn tại duy nhất nghiệm u là τ - tuần hoàn của phương trình tích phân (2.52) thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Như vậy, u hoàn toàn được xác định.
Ta xem xét uˆ là thác triển τ - tuần hoàn của u trên khoảng [−r,0) Khi đó, phương trình (2.53) cũng áp dụng cho uˆ Chúng ta chọn ∥φ∥ S đủ nhỏ để ψ trở thành một ánh xạ từ B α vào chính nó.
1−δ(r) h∥φ∥ S Khi đó, với v, w ∈ B α ta có ψ(v)−ψ(w)
u(t), với t ≥ 0 ˆ u(t), với −r ≤t ≤ 0. là nghiệm τ - tuần hoàn duy nhất của
Dễ thấy uˆ là một hàm τ - tuần hoàn do nó là một thác triển tuần hoàn của u trên [−r,0) Do đó
Khi chuẩn ∥φ∥ S đủ nhỏ, ánh xạ ψ trở thành một ánh xạ co Theo định lý điểm bất động Banach, tồn tại duy nhất một điểm w ∈ B α sao cho ψ(w) = w, nghĩa là w là nghiệm tuần hoàn duy nhất của phương trình (2.46) trong không gian B α.
Trong luận văn này, bằng cách sử dụng các tính chất của toán tử Hille
Luận văn trình bày hệ thống các kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trong các không gian ngoại suy, bao gồm nguyên lý ánh xạ co, định lý Banach-Alaoglu và trung bình Cesaro Chúng tôi đã phân tích sự tồn tại nghiệm bị chặn trên nửa trục cho nhiều lớp phương trình vi phân như không thuần nhất, nửa tuyến tính, phương trình trung tính không thuần nhất và phương trình trung tính nửa tuyến tính Tài liệu này là nguồn tham khảo quý giá cho sinh viên và học viên chuyên ngành Toán giải tích Dù có những hạn chế do thời gian và năng lực, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ thầy cô và bạn bè.