Khóa luận tốt nghiệp toán Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng Maple trong tính toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • • • • Khóa luận tốt nghiệp KHOA TỐN ———————* * *——————— BÙI HUYÈN TRANG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SÓ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • ••• Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • • • • KHOA TOÁN BÙI HUYỀN TRANG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỔ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG SVTH: Bùi Huyền Trang DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN Khóa luận tốt nghiệp KHĨA LN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC • • • • Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Giải tích tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến cho em suốt thịi gian học tập nghiên cứu trường Đặc biệt, em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Khuất Văn Ninh - người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh YỈên thưc hiên • • Bùi Huyền Trang LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn hành dưói hướng dẫn tận tình PGS.TS Khuất Văn Ninh vói cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành SVTH: Bùi Huyền Trang nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Khóa luận tốt nghiệp Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, khơng trùng với khóa luận tác giả Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thưc hiên • • Bùi Huyền Trang MỤC LỤC SVTH: Bùi Huyền Trang Khóa luận tốt nghiệp LỜI NĨI ĐÀU Tốn học môn học khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu bỏi ứng dụng vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực Toán ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân thường Vì việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trị quan trọng lí thuyết Tốn học Chúng ta biết có số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà Tốn học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Tốn phạm vi khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết vấn đề : “Giải gần số lớp phương trình vi phân thường ứng dụng Maple tính tốn” Khóa luận gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các phương pháp giải gần phương trình vi phân thường Chương 3: ứng dụng Maple tính tốn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực cịn hạn chế nên khóa luận em chắn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số 1.1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối sai số tương đối a, Khái niệm số gần Sai số tuyệt đối sai số tương đối Trong tính tốn thơng thường người ta số \h\ cho a—AaAr = ^g- < 0,001; õr3.37,7 d v _ 2, _ A _0,01 = r h = 12 =>A n = Õ7Ĩ 3.12 < 0,003; ^- = nr1 = \2fi =>AA = -ậi- < 0,001; dh 1.2 3.12,6 Khái quát phương trình vi phân 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm • Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào biến độc lập ta có phương trình vi phân thường • Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng • Phương trình vi phân thường cấp phương trình biểu diễn dạng Sau phương pháp giải tích ta cần nghiên cứu phương trình vi phân thường cấp với toán Cauchy 1.2.2 Bài tốn Cauchy phương trình vi phân thường cấp * Xét tốn (1-2) = (1) (ÍjJC)gR x[*0 40)= X, (2) x(t) hàm biến xác định [0,r] Được gọi toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp Lớp tốn Cauchy giải phép cầu phương hẹp thông thường để giải toán (1-2) ta phải sử dụng phương pháp giải gần (tích phân gần đúng) Tuy nhiên, trước sử dụng phương pháp tích phân gần ta cần biết tốn (1-2) có tồn nghiệm hay khơng tính nghiệm Vì thiếu điều kiện ta khơng xác định đâu nghiệm cần tìm 1.2.3 Một số định lý Xét toán (1-2) _Ệ=f(t,x) 0) XịXa_r.Xo+r-ị x(0) = x0 (2) a, Định lỷ 1( định lý tồn nghiệm) Xét toán (1-2) Nếu f(t,x) hàm liên tục hình chữ nhật R (r > cố định) tồn nghiệm x(t) phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức x(t) nghiệm toán (12) b, Định lỷ (định lý nghiêm) Xét toán (1-2) Nếu f ( t , x ) hàm liên tục hình chữ nhật R (r>0cố định) f ( t , x ) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến X hình chữ nhật R, tức ị f ( t , x ) — f ( t , y ) ị < N \ x — y \ N số (gọi Lipsit) nghiệm tốn (1 - 2) xác định > Từ hai định lý ta có định lý sau: c, Định lỷ (định lý tồn nghiệm) Xét tốn (1-2) Hàm /(í,x) xác định R (r > cố định) thỏa mãn hai điều kiện: (1) : / (í, x) liên tục R R đóng bị chặn nên: |/(í,jc)|< M với M = max|/(í,x)| (2) : / ịt, X) thỏa mãn điều kiện Lipsit: ịf(t,x) — f(t,y)ị