Luận văn một số lớp phương trình tích phân dạng chập

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN MT S LP PHNG TRèNH TCH PHN DNG CHP LUN VN THC S TON HC H NI - 2015 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN MT S LP PHNG TRèNH TCH PHN DNG CHP LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH : TON GII TCH M S : 60 46 01 02 Ngi thc hin: NGUYN TH HON Cao hc khúa 2013-2015 Ngi hng dn: TS NCVC NGUYN VN NGC H NI - 2015 Mc lc M u Bin i Fourier v bi toỏn biờn Riemann 1.1 Mt s kin thc b tr 1.1.1 Khụng gian Lp 1.1.2 Cỏc bt ng thc v cỏc nh lý v tớch phõn 1.1.3 Tớch chp 1.1.4 Bin phõn b chn 1.2 Bin i Fourier L1 (R) 1.2.1 nh ngha bin i Fourier L1 (R) 1.2.2 Cỏc tớnh cht c bn ca bin i Fourier 1.2.3 Cụng thc ngc L1 (R) 1.3 Bin i Fourier L2 (R) 1.4 Tớch phõn Cauchy v tớch phõn Fourier 1.4.1 Lp hm Holder C 0, 1.4.2 Cỏc lp hm {0} v {{0}} 1.4.3 Giỏ tr chớnh ca tớch phõn Cauchy 1.4.4 Hm u 1.4.5 Tớch phõn Cauchy 1.4.6 Tớch phõn Fourier 1.5 Bi toỏn biờn Riemann i vi na mt phng 1.5.1 Ch s 1.5.2 Phỏt biu bi toỏn 1.5.3 Bi toỏn bc nhy 1.5.4 Bi toỏn thun nht Hm chớnh tc 1.5.5 Bi toỏn khụng thun nht ii 3 8 12 14 15 15 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 Mt s lp phng trỡnh 2.1 Phng trỡnh tớch chp 2.2 Phng trỡnh tớch chp 2.3 Phng trỡnh tớch chp tớch phõn dng chp trờn trc thc 24 lai mt 24 loi hai 26 trờn na trc (Wiener- Hopf) 30 Phng trỡnh cp tớch phõn dng chp v ng dng 3.1 Phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu cỏc bin s 3.2 Phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s 3.3 Bi toỏn biờn hn hp i vi phng trỡnh a iu hũa na mt phng 3.3.1 Phng trỡnh a iu hũa 3.3.2 Bi toỏn 3.3.3 Bi toỏn 33 33 35 38 38 39 40 Kt lun 42 Ti liu tham kho 43 iii M u Phng trỡnh tớch phõn k d v phng trỡnh tớch phõn dng chp ó c xõy dng v phỏt trin rt mnh m vũng na th k, t nm 1920 n nm 1970 Cỏc kt qu ny gn lin vi tờn tui nhiu nh toỏn hc ni ting nh Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cựng song hnh v tip sau ú l s i ca hng lot cỏc lý thuyt toỏn t k d tru tng khụng gian tuyn tớnh tng quỏt gn vi lý thuyt cỏc phng trỡnh tớch phõn k d vi dch chuyn v liờn hp phc cng nh nhiu dng bi toỏn biờn khỏc Ti Vit Nam, t nhng nm 1980, ó cú rt nhiu ngi quan tõm n lnh vc cỏc bi toỏn biờn Riemann, cỏc phng trỡnh tớch phõn k d Cauchy, phng trỡnh tớch phõn dng chp v ó thu c mt s kt qu nht nh T ú, lý thuyt toỏn t v phng trỡnh tớch phõn k d ó tr thnh mt mng ln khỏ hp dn toỏn hc hin i Vit Nam Tuy nhiờn, cho n ti liu nghiờn cu sõu v lnh vc ny cũn rt ớt, nht l l cỏc phng trỡnh tớch phõn dng chp c bit, nh phng trỡnh Wiener-Hopf, phng trỡnh cp tớch phõn, v.v Ngoi ra, vic nghiờn cu cũn cho ta thy c s phong phỳ ca nhiu loi phng trỡnh tớch phõn núi chung v phng trỡnh tớch phõn dng chp núi riờng v lý thuyt cng nh ng dng Xut phỏt t nhng lý nờu trờn, tụi ó chn ti "Mt s lp phng trỡnh tớch phõn dng chp " lm lun cao hc vi hy vng s tỡm hiu sõu hn lý thuyt v ng dng ca cỏc phng trỡnh tớch phõn dng chp Cu trỳc lun Lun gm phn M u, Kt lun, Ti liu tham kho v chng Chng trỡnh by mt s kin thc b tr, nh tớch chp, bin i Fourier L1 (R) v L2 (R), tớch phõn Cauchy, tớch phõn Fourier v bi toỏn biờn Riemann i vi na mt phng Chng trỡnh by mt s lp phng trỡnh tớch phõn dng chp trờn trc thc: phng trỡnh tớch chp loi mt, loi hai v phng trỡnh tớch chp trờn na trc (phng trỡnh Wiener-Hopf) i vi mi lp phng trỡnh ó a vớ d minh Chng trỡnh by v phng trỡnh cp tớch phõn dng chp v ng dng ó xột phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu cỏc bin s, ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s Trỡnh by ng dng ca cỏc phng trỡnh cp núi trờn gii bi toỏn bin hn hp ca phng trỡnh a iu hũa na mt phng Bn lun ny c thc hin di s hng dn ca TS Nguyn Vn Ngc Tụi by t lũng bit n sõu sc ti Thy ó dnh nhiu cụng sc v thi gian hng dn, kim tra, giỳp tụi vic hon thnh bn lun ny Tụi xin gi li cm n n lónh o v cỏc thy, cụ khoa Toỏn - C Tin hc, Trng i hc Khoa hc T nhiờn, HQG H Ni v cỏc kin thc v nhng iu tt p mang li cho tụi thi gian hc ti trng Tụi xin cm n ti Phũng Sau i hc v nhng iu kin thun li ó dnh cho tụi vic hon thnh th tc hc v bo v lun Cui cựng tụi by t lũng bit n gia ỡnh, ngi thõn l ch da v tinh thn v vt cht cho tụi cuc sng v hc H Ni, thỏng 11 nm 2015 Nguyn Th Hon Chng Bin i Fourier v bi toỏn biờn Riemann Chng ny trỡnh by mt s kin thc b tr, nh tớch chp, bin i Fourier L1 (R) v L2 (R), tớch phõn Cauchy, tớch phõn Fourier v bi toỏn biờn Riemann i vi na mt phng Ni dung ca chng ny c hỡnh thnh ch yu t cỏc ti liu [1] v [3] 1.1 Mt s kin thc b tr Khụng gian Lp 1.1.1 Vi p l s thc: p < , Rn ta nh ngha Lp () l lp cỏc hm f (x) xỏc nh trờn , cho p f p |f (x)|p dx = < , dx = dx1 dx2 dxn S f c gi l chun ca hm f (x) Lp () l mt khụng gian Banach c bit, L2 () l mt khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng p (f, g) = f (x)g(x)dx, ú g(x) l liờn hp phc ca g(x) Hm xỏc nh trờn c gi l ch yu b chn trờn , nu tn ti hng s dng C , cho |f (x)| C hu khp ni trờn Cn di ln nht ca f (x) c ký hiu l ess supx |f (x)| Ta ký hiu L () l khụng gian ca tt c cỏc hm ch yu b chn trờn Chun L () c xỏc nh theo cụng thc f = esssupx |f (x)| , ú sup ly trờn tt c cỏc phõn hoch n v ca [a, b] Di õy l mnh quan trng v s trự mt Lp nh lý 1.1 (v s trự mt) (i) Nu khong (a, b) l hu hn thỡ cỏc lp hm sau õy s trự mt khp ni Lp (a, b): M lp cỏc hm b chn, Clp cỏc hm liờn tc, Slp cỏc hm bc thang, P lp cỏc a thc i s, T lp cỏc a thc lng giỏc trự mt khp ni Lp (, ) (ii)Lp Sc ca tt c cỏc hm bc thang trự mt Lp (, ), (p 1.1.2 1) Cỏc bt ng thc v cỏc nh lý v tớch phõn nh lý 1.2 (bt ng thc Holder) Nu f Lp , g Lq , ú p, q ă fg f p 1 + = p q g q, nh lý 1.3 (bt ng thc Minkowski) Nu p f +g f p 1, thỡ p 1, thỡ + g p nh lý 1.4 (nh lý Lebesgue) Gi s trờn cho dóy cỏc hm kh tng {fk (x)} hi t hu khp ni n hm f (x) Nu tn ti hm thc F (x) 0, F (x) L1 (), cho |fk (x)| F (x), x , k thỡ f (x) L1 () v lim fk (x)dx = k f (x) dx nh lý 1.5 (nh lý Fubini) Cho F (x, y) kh tớch trờn ì Khi ú x F (x, y)dy kh tớch trờn , y F (x, y)dx kh tớch trờn Ngoi dx F (x, y) dy = dy F (x, y) dx = F (x, y) dxdy ì2 1.1.3 Tớch chp Gi s f,g l cỏc hm c xỏc nh R Hm s h(x) = (f g)(x) c xỏc nh bi cụng thc (f g)(x) = f (x y)g(y)dy, (1.1) R vi gi thit tớch phõn trờn tn ti hu khp ni vi mi x R c gi l tớch chp ca f v g T (1.1) d dng suy f g = g f nh lý 1.6 Nu f, g L1 (R) thỡ f g tn ti hu khp ni v f g L1 (R) Ngoi ||f g|| ||f ||1 ||g||1 Chng minh Theo nh lý Fubini ta cú |f g|dx R |f (x y)g(y)|dydx = R R |f (x y)|dx|g(y)|dy = = R |f (x)|dx R R |g(y)|dy = ||f ||1 ||g||1 R T ú suy pcm nh lý 1.7 Gi s p Nu f Lp (R), g L1 (R) thỡ f g Lp (R) ||f g||p ||f ||p ||g||1 (1.2) Chng minh Trng hp p=1 ó c chng minh nh lý 1.6 Xột trng hp < p < v 1/p+1/p=1 Ta cú |(f g)(x)| |f (x y)||g(y)|dy (1.3) R Vỡ |g(y)| = g(y)1/p+1/p , theo bt ng thc Holder ta cú |f (x y)|p |g(y)|dy)1/p ( |f (x y)||g(y)|dy ( R R |g(y)|dy)1/p R Do ú p/p |f g|p dx R |f (x y)|p |g(y)|dydx||g||1 R R S dng nh lý Fubini, ta cú p/p |f g|p dx ||f g||p = p R |f (x y)|p |g(y)|dydx||g||1 R R p/p |f (x y)|p dx = |g(y)|dy||g||1 R = ||f ||p ||g||p p R T ú suy (1.2) Nu p = , theo (1.3), ta cú |f g(x)| ||f || |g(y)|dy = ||f || ||g||1 R Nh vy ||f g|| ||f || ||g||1 nh lý c chng minh Ta cn nh lý sau nh lý 1.8 Gi s f (x) L1/(1) (E), g(x) L1/(1à) (E) ú > 0, > 0, + < Khi ú | |f |1/(1) |g|1(1à) dx)1à f gdx| ( E E |f |1/(1) )à ( ( E |g|1/(1à) ) (1.4) E Chng minh Bt ng thc Holder cho ba hm s l | ||1/ dx) ( Xdx| ( E E ||1/ dx) ( E |X|1/ dx) , E ú + + = 1, > 0, > 0, > cú bt ng thc trờn ta t = à, = , = (à + ) || = |f |/(+) g /(+) , || = |f |/(+) , |X| = |g|/+ Rừ rng + + = 1, |X| = |f g| T ú suy iu phi chng minh nh lý 1.9 (Bt ng thc Young v tớch chp) Gi s f v g tha cỏc iu kin ca nh lý 1.7 Khi ú ||f g||1/1à ||f ||1/(1) ||g||1/(1à) (1.5) Chng minh: Theo bt ng thc Young v tớch phõn ta cú |f (x y)|1/(1) |g(y)|1/(1à) dy |(f g)(x)| Rd à/(1) ì ||f ||1/(1) /(1à) ||g||1/(1à) K(u) = ex+ixu dx = + iu Do ú nghim L2 l f (x) = eixu du (1 iu)(1 + iu) Gi s, vớ d ny < < Vy thỡ f (x) = x e (x 0), = (1)x e (x < 0) õy l mt nghim v l nghim nht L2 Nghim ny tng t cho giỏ tr khỏc ca Vớ d 2.3 Phng trỡnh tớch phõn khụng ng nht loi hai + e|xt| (t)dt, (x) = f (x) + cú th gii bng bin i Fourier Cho vớ d ny mc ớch, ta gi thit l < < < < Sau ú ng dng ca bin i Fourier v n gin húa kt qu ta cú: (s) = F (s) + (s) +1 s2 Cú th sp xp li nh sau (s) = F (s) + ( )F (s) s2 + ( 2) Chỳ ý rng gii hn th hai bờn phi ca phng trỡnh l kt qu ca hai bin i Fourier Do ú, Sau ng dng ca bin i Fourier Inverse, nghim ca phng trỡnh tớch phõn c vit di dng tớch chp + (x) = f (x) + e 29 12|xt| f (t)dt 2.3 Phng trỡnh tớch chp trờn na trc (WienerHopf) Trong ng dng thng gp phng trỡnh dng f (t) + k(t s)f (s)ds = g(t), < t < (2.15) Phng trỡnh (2.15) c cho trờn na trc v c gi l phng trỡnh WiernerHopf Trong (2.15) ta a vo cỏc ký hiu f+ (t) = f (t), t > 0, 0, t < g(t), t > 0, 0, t < , g+ (t) = , f (t) = (t > 0) (2.16) Khi ú, phng trỡnh (2.15) cú th c vit li dng + f+ (t) + k(t s)f+ (s)ds = f (t) + g+ (t), < t < +, (2.17) ú k(t s)f+ (s)ds, t < 0, f (t) = l hm cha bit Ký hiu K(x), F (x), G+ (x) l bin i Fourier, tng ng ca cỏc hm k(t), f (t) v g+ (t) Gi thit rng k(t), g+ (t) l nhng hm thuc lp {0}, ngoi {{0}}, + K(x) + K(x) = 0, x R (2.18) Cỏc hm f (t) s c tỡm lp {0}, tc l cỏc nh Fourier F (x) lp {{0}} Tỏc ng bin i Fourier vo hai v ca phng trỡnh (2.17), ta c bi toỏn biờn Riemann F + (x) = 1 F (x) + G+ (x), + K(x) + K(x) < x < , (2.19) xỏc nh cỏc hm F (x) T õy ta c cụng thc nghim ca phng trỡnh (2.15) + f (t) = f+ (t) = F + (x)eixt dx, 30 t > (2.20) Ch s s ca bi toỏn biờn Riemann (2.19) c xỏc nh bi = Ind [1 + K(x)] (2.21) Vớ d 2.4 Xột phng trỡnh Wiener- Hopf (a + b |t s|) e|ts| f (s)ds = g(t), f (t) + t > 0, (2.22) ú a v b l cỏc hng s Ta cú k(t) = (a + b |t|) e|t| , + (a + b |t|) e|t|+ixt dt = K(x) = + K(x) = P (x) (x2 + 1) x2 (a b) + a + b (x2 + 1) P (x) = x4 + 2(a b + 1)x2 + 2a + 2b + , n gin, chỳng ta gi thit rng, cỏc s a, b cho a thc P(x) khụng cú nghim thc Gi s + i l mt nghim ca phng trỡnh trựng phng P(x)=0, ú > 0, > Cỏc nghim cũn li ca phng trỡnh ny l i, + i, i Chỳng ta biu din + K(x) dng + K(x) = X (x) , X + (x) ú (x + i)2 , (x + + i)(x + i) (x i)(x + i) X (x) = (x i)2 X + (x) = S dng phõn tớch trờn õy, chỳng bin i bi toỏn biờn Riemann (2.19) trng hp ny v dng F + (x) (x i)2 G+ (x) F (x) = , X + (x) (x i)(x + i) X (x) 31 < x < (2.23) T õy tỡm c (x i)2 G+ (x) C1 C2 + + , (x i)(x + i) x i x + i F + (x) = X + (x) (2.24) ú C1 = ( + i i)2 G+ ( + i) ( + i i)2 G+ ( + i) , C2 = , 2 (2.25) T õy, b qua nhiu tớnh toỏn phc tp, chỳng ta tỡm c nghim ca phng trỡnh (2.22) dng f (t) = f1 (t) + f2 (t), ú e|ts| cos( + |t s|)g(s)ds, f1 (t) = g(t) + (2.26) + ( 1)2 f2 (t) = 42 e(t+s) cos (t s)g(s)ds + R 42 e(t+s) cos[ + (t + s)]g(s)ds, (2.27) à=i ( + i)2 (a b) + a + b ( i)4 , ei = , Rei = i 82 ( i) 32 (2.28) Chng Phng trỡnh cp tớch phõn dng chp v ng dng Chng ny trỡnh by mt lp phng trỡnh cp tớch phõn dng chp v ng dng ó xột phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu cỏc bin s, ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s Trỡnh by ng dng ca cỏc phng trỡnh cp núi trờn gii bi toỏn bin hn hp ca phng trỡnh a iu hũa na mt phng Ni dung ca chng ny c hỡnh thnh ch yu t cỏc ti liu [1] v [2] 3.1 Phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu cỏc bin s Xột phng trỡnh cp tớch phõn trờn hai na trc sau õy [1]: (t) + (t) + ( )k1 (t )d = g(t), t > 0, (3.1) ( )k2 (t )d = g(t), t < Phng trỡnh (3.1) c gi l phng trỡnh cp ( dual equations, pair of equations) i vi n hm (t), t (, ) Hm ny c cha hai phng trỡnh khỏc trờn hai khong R+ (t > 0) v R (t < 0) khụng giao cú hp l khong tớch phõn õy (t) l mt hm cha bit, k1 (t), k2 (t), g(t) l nhng hm thuc {0} Phng trỡnh cp (3.1) c vit li dng 33 (t) + (t) + ( )k1 (t )d = g(t) + f (t), t R, (3.2) ( )k2 (t )d = g(t) + f+ (t), t R, ú f (t) l nhng hm mt phớa cha bit lp {0} Tỏc ng bin i Fourier vo hai v ca cỏc phng trỡnh (3.2), ta c [1 + K1 (x)](x) = G(x) + F (x), (3.3) [1 + K2 (x)](x) = G(x) + F + (x) (3.4) ú (x), G(x), F (x), K1 (x), K2 (x) tng ng l bin i Fourier ca cỏc (t), g(t), f (t), k1 (t), k2 (t) Gi s cú cỏc iu kin sau + K1 (x) = 0, + K2 (x) = (3.5) Khi ú, t (3.3)(3.4) suy (x) = G(x) + F (x) G(x) + F + (x) = + K1 (x) + K2 (x) (3.6) Cỏc hm F (x) c xỏc nh t bi toỏn biờn Riemann sau õy F + (x) = + K2 (x) k2 (x) K1 (x) F (x) + G(x) G(x), x R + K1 (x) + K1 (x) (3.7) Ch s ca bi toỏn biờn Riemann (3.7) c xỏc nhtheo cụng th = Ind + K2 (x) + K1 (x) (3.8) Gii bi toỏn biờn Riemann (3.7), theo cụng thc (2.12), ly bin i Fourier ngc, ta tỡm c nghim ca phng trỡnh cp (3.1): (t) = = R R G(x) + F (x) ixt e dx, + K1 (x) G(x) + F + (x) ixt e dx + K2 (x) (3.9) (3.10) iu kin gii c ng vi ch s õm l R K2 (x) K1 (x) G(x) dx = 0, k = 1, 2, , , X + (x)[1 + K1 (x)] (x + i)k 34 (3.11) 3.2 Phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s Xột phng trỡnh cp tớch phõn trờn hai na trc sau õy [2]: (t) + (t) + ( ) [k1 (t ) + mk1 (t + )]d = f1 (t), t > 0, (3.12) ( ) [k2 (t ) + mk2 (t + )]d = f2 (t), t < Phng trỡnh (3.12) c gi l phng trỡnh cp ( dual equations, pair of equations) i vi n hm (t), t (, ), vỡ hm ny c cha hai phng trỡnh khỏc trờn hai khong (h khong)khụng giao cú hp l khong tớch phõn õy m = l mt hng s thc, (t) l mt hm cha bit, k1, k2 , f1 , f2 l nhng hm thuc lp {0} Khi m=0 thỡ phng trỡnh cp tớch phõn (3.12) cú hch ph thuc vo hiu cỏc bin s (tớch chp Fourier) v tr thnh phng trỡnh cp (3.1) Vi m = phng trỡnh cp tớch phõn (3.12) cú nhõn ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s (dng chp Fourier) Chỳng ta luụn luụn gi thit rng m = 0, k1 = k2 (3.13) Ngoi ra, chỳng ta gi s rng m2 = Ký hiu f l bin i Fourier ca f (x) {0}: f F [f ( )] = f ( )eit d, t R (3.14) R Chỳng ta ký hiu f+ (t) = 0(t < 0), g+ (t) = f (t) = 0(t > 0) f1 (t), t > 0, 0, t < 0, g (t) = , f2 (t), t < 0, 0, t > (3.15) (3.16) v vit li phng trỡnh cp (3.12) dng (t) + (t) + ( ) [k1 (t ) + mk1 (t + )]d = g+ (t) + f (t), t R, (3.17) ( ) [k2 (t ) + mk2 (t + )]d = g (t) + f+ (t), t R, (3.18) R R 35 ú f+ (t) = (t) + f (t) = (t) + ( ) [k2 (t ) + mk2 (t + )]d, t > 0, (3.19) ( ) [k1 (t ) + mk1 (t + )]d, t < (3.20) R R l nhng hm cha bit trờn cỏc na trc t > Ký hiu F [f+ (t)] = F + (x), F [f (t)] = F (x), x R (3.21) D thy rng cỏc hm F (x) cú th thỏc trin gii tớch thnh nhng hm F (z)(z = x + iy) cỏc na mt phng y > Ly bin i Fourier theo bin t hai v cỏc phng trỡnh (3.17) , (3.18) ta s nhn h thúng nhng phng trỡnh i vi (x), (x), x R : [1 + k1 (x)] (x) + m k1 (x) (x) = g (x) + F (x) + [1 + k (x)] (x) + m k (x) (x) = g (x) + F + (x) 2 (3.22) Cựng vi cỏc iu kin (3.13), chỳng ta gi thit thờm rng nh thc ca h (3.22) khỏc khụng vi mi x, tc l D(x) := m k2 (x) k (x) = 0, x R (3.23) Nh vy t h (3.22) cú th xỏc nh nht (x) v (x) Ta cú (x) = + (x) = + m + k (x)F (x) k (x)F (x) D(x) m k (x) g+ (x) k (x) g (x) , D(x) (3.24) (1 + k (x))F + (x) (1 + k (x))F (x) D(x) (1 + k (x)) g (x) (1 + k (x)) g+ (x) D(x) (3.25) Trong (3.24) thay x bi -x ri ng nht biu thc nhn c vi (3.23), ta c m + k (x)F (x) k (x)F (x) D(x) (1 + k (x))F + (x) (1 + k (x))F (x) + g1 (x), = D(x) 36 (3.26) ú g1 (x) = (1 + k (x)) g (x) (1 + k (x)) g+ (x) D(x) m k (x) g+ (x) k (x) g (x) , D(x) (3.27) F1 + (x) = F + (x), F1 (x) = F + (x), (3.28) F2 + (x) = F (x), F2 (x) = F (x) (3.29) Ký hiu Cỏc hm Fj (x) cú thỏc trin gii tớch tng ng vo cỏc na mt phng {y > 0} v {y < 0} S dng cỏc ký hiu trog (3.27) v (3.28), chỳng ta vit li ng nht thc (3.25) v ng nht thc nhn c t (3.25) bng cỏch thay x bi x dng m k1 (x) + m k2 (x) + + k1 (x) F1 (x) F2 (x) = F1 (x) D(x) D(x) D(x) m k2 (x) F (x) g1 (x), x R, + D(x) (3.30) + k1 (x) + m k2 (x) m k1 (x) F1 (x) F2 (x) = F (x) D(x) D(x) D(x) + k2 (x) + F2 (x) g1 (x), x R D(x) (3.31) Do ú chỳng ta cú bi toỏn Riemann i vi hai hm chnh hỡnh tng mnh F1 (x) v F2 (x) Phng phỏp ny khụng phi l phng phỏp chung gii quyt mt cỏch hiu qu Nhng may mn, m2 = nú cú th c lm Chỳng ta s xột trng hp ny Gi s iu kin sau õy c tha + k1 (x) + k2 (x) D1 (x) = 0, x R D(x)D(x) (3.32) Gii h (3.29)-(3.30) theo Fj (j = 1, 2) ta c h phng trỡnh dng 1 + k2 (x) + k2 (x) + F1 (x) = F1 (x) + F2 (x) + d1 (x), x R, (3.33) D1 (x) D(x) D(x)D(x) 1 + k1 (x) + k1 (x) + F2 (x) = F1 (x) F (x) + d2 (x), x R, D1 (x) D(x)D(x) D(x) 37 (3.34) ú d2 , d2 l nhng hm ó bit D dng cú c bi toỏn biờn Riemann cho cỏc hm chnh hỡnh tng mnh Trong trng hp m=1, ta cú + + F1 (x) + F2 (x) = G(x)[F1 (x) + F2 (x)]+g(x), x R (3.35) Trong trng hp m=-1, ta cú + + F1 (x) F2 (x) = G(x)[F1 (x) F2 (x)]+g(x), x R, (3.36) ú g(x) l hm ó bit v G(x) = + k2 (x) + k1 (x) + k2 (x) + k1 (x) Nh vy G() = G() = v t (3.31) suy G(x) = 0, x R Vỡ th, nh ó bit [1], nhng iu kin ny xỏc nh cỏc hm chnh hỡnh tng mnh F1 (z) + F2 (z) v F1 (z) F2 (z) Tip theo chỳng ta xỏc nh F2 (z) vi s tr giỳp F1 (z) v t nú vo phng trỡnh (3.27) Chỳng ta s cú bi toỏn biờn Riemann i vi hm chnh hỡnh tng mnh F1 (z) Vỡ th hm F1 (z) v F2 (z) s c xỏc nh Tip theo hm gii tớch tng mnh F (z)(z = x + iy) c nh ngha bi cỏc cụng thc F (z) = F1 (z), F2 (z), y > 0, y < (3.37) Nh vy ta cú F + (x) = F1 (x), F (x) = F2 (x) (3.38) Do ú ta cú th xỏc nh (x) t phng trỡnh (3.23) Ly bin i Fourier ngc (t) = F [(x)](t) ta tỡm c hm (t) l nghim ca phng trỡnh cp (3.12) 3.3 3.3.1 Bi toỏn biờn hn hp i vi phng trỡnh a iu hũa na mt phng Phng trỡnh a iu hũa Cho D l na mt phng (y>0) v u(x,y) l nghim u (regular) ca phng trỡnh a iu hũa n u = 0, (n 1) (3.39) 38 Hm u(x, y) c gi l nghim u ca phng trỡnh (3.38), nu nú tha phng trỡnh bờn D, tin n khụng cựng vi cỏc o hm cú cp nh hn n x2 + y + 3.3.2 Bi toỏn iu kin biờn nh ngha D hm u(x,y)trit tiờu vụ cc bi iu kin n-1 trờn R vk (x, 0) ku y k = fk (x), k = 0, 1, , l 1, l + 1, n (3.40) y=0 v ngoi nhng iu kin khụng a phng di õy: vl (x, 0) = vl (x, h1 ) + mvl (x, h1 ) + fl (x), x > vl (x, 0) = vl (x, h2 ) + mvl (x, h2 ) + fl (x), x < (3.41) ú h1 = h2 l nhng hng s dng, m2 = 1, l l s khụng i l n 1, cỏc hm fk (x) {0} Trong trng hp h1 = h2 rt n gin v cỏch gii c vit mt cỏch d dng Cỏch gii Trc tiờn, ta cn li gii ca phng trỡnh (3.38) D trờn biờn R cho cỏc iu kin biờn (3.39) vi k=0,1, ,n-1 Nú cú th c vit di dng: yn u(x, y) = (n 1)! n1 k (1)k Cn1 k=0 k y k P fn1k , y (3.42) (3.43) ú P f (x) = y f (t)dt (t x)2 + y R v i vi u(x,y) trit tiờu vụ cc, cỏc hm fk ó cho cn phi tha iu kin kh tớch di õy: tl fk (x)dx = 0, l = 0, 1, , 2(m 1), k = 1, n (3.44) R ú k=2m, hoc k=2m-1 Nhng bi toỏn trờn vi bt k l cú th c gii quyt bng nhng cỏch ging Xột trng hp l=0 Nh vy, fk (x), (k=1,2, ,n-1, x R l ó bit, cũn u(x,0)=f0 (x) l hm cha bit Nu hm sau cựng c xỏc nh, li gii ca Bi toỏn s c cho bi cụng thc (3.41) 39 T (3.40) v (3.41) cho hm cha bit f0 (x) (x), x R, cú th d dng nhn c nhng phng trỡnh cp (3.12), ú hn (1)n1 n1 j kj (x) = n1 x2 + y (n 1)! y , j = 1, 2; x R (3.45) y=hj Cỏc hm kj (x) cú bin i Foorier hn (1)n1 n1 e|t|y j Ft [kj (x)] (t) = y (n 1)! y n1 , j = 1, 2; t R y=hj Vỡ cỏc hm trờn õy l chn theo t, nờn cỏc iu kin (3.34),(3.35) s cú dng n gin nht: + + F1 (t) + F2 (t) = F1 (t) + F2 (t) + g(t), t R (3.46) + + F1 (t) F2 (t) = (F1 (t) F2 (t)) + g(t), t R (3.47) hoc Cỏc hm gii tớch tng khỳc F1 (z) + F2 (z) hoc F1 (z) F2 (z) c xỏc nh bi nhng iu kin trờn , trng hp ny c xỏc nh nht v c cho bi cỏc tớch phõn ang Cauchy Do ú hm (x) cng s c xỏc nh mt cỏch nht 3.3.3 Bi toỏn iu kin biờn Xỏc nh D hm u(x,y) trit tiờu vi cc v tha cỏc iu kin biờn trờn R sau õy vk (x, 0) k u y=0 = fk (x), x R, k = 0, 1, , l 1, l + 1, n (3.48) i vi vl (x, 0) cú iu kin biờn hn hp nh (3.40) Cỏch gii Nghim ca phng trỡnh (3.38) D trờn biờn R cho cỏc iu kin biờn (3.47) i vi k=0,1, ,n-1 cú th c vit di dng: y u(x, y) = P f0 + n1 k=1 fk (t)r2(k1) ln r2 dt, 4k [(k 1)!]2 k (3.49) R ú r2 = (x t)2 + y v i vi u(x,y) trit tiờu vụ cc, cỏc hm a phi tha cỏc iu kin: tl fk (t)dt = 0, k = 1, 2, , n 1, l = 0, 1, , 2(k 1) R 40 (3.50) Nh (3.47), chỳng ta s xột l=0, f0 (x) (x) l hm cha bit cha Cho tha iu kin biờn hn hp (3.40), s c a n gii phng trỡnh cp dng (3.12) 41 Kt lun Lun ny ó trỡnh by cỏc chớnh sau õy: Tớch chp v cỏc tớnh cht ca ớch chp, c bit l bt ng thc Young, bin i tớch phõn Fourier L1 (R), L2 (R), tớch phõn Cauchy trờn trc thc v bi toỏn biờn Riemann i vi na nt phng Cỏc kin thc ny l cn thit v b ớch khụng ch i vi nghiờn cu v phng trỡnh tớch phõn dng chp, m cũn di vi nhiu lnh vc khỏc, chng hn nh i vi phng trỡnh tớch phõn k d, tỏn x, nhiu x súng, v.v Phng trỡnh tớch chp loi v loi trờn ton trc, phng trỡnh tớch chp trờn na trc ( phng trỡnh Wiener-Hopf), phng trỡnh cp tớch chp, phng trỡnh cp tớch phõn vi nhõn ph thuc vo hiu v tng cỏc bin s trờn h na trc, ng dng ca phng trỡnh cp bi toỏn biờn hn hp ca phng trỡnh a iu hũa Lun ó a mt s vớ d v phng trỡnh tớch phõn dng chp cho phộp tỡm nghim ca chỳng di dng tng minh 42 Ti liu tham kho [1] F D Gakhov, U I Cherski, Equations of Convolution Type (in Russian), " Nauka", Moscow, 1978 [2] Elena Obolashvili, Effective Solutions of Some Dual Integral Equations and Their Applications, Generalizations of Complex Analysis, Banach Center Publications, Volume 37, 251-257, 1996 [3] E C Titchmarsh, Introduction to Theory of Fourier Integrals, Second Edition, Oxford University Press, 1948 43