Tóm tắt luận án Một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 Mục lục PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 1.1 Không gian với thứ tự sinh nón, không gian với K-chuẩn 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian Banach 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định sở lân cận gốc 1.4 Ứng dụng vào toán Cauchy thang không gian Banach 1.4.1 Trường hợp toán không nhiễu 1.4.2 Trường hợp toán có nhiễu 4 6 7 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc định lý điểm bất động 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị nón 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo độ đo định lý điểm bất động 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm không gian Banach 10 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 3.1 Bậc tôpô tương đối lớp ánh xạ đa trị cô đặc 3.1.1 Tính nửa liên tục compact ánh xạ đa trị 3.1.2 Bậc tôpô tương đối 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho số lớp ánh xạ ứng dụng vào toán điểm bất động 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn đơn điệu 3.2.1 Tính liên tục tập nghiệm dương phương trình 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: 3.2.3 Ứng dụng vào dạng toán điều khiển 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương 3.3.1 Sự tồn véctơ riêng giá trị riêng dương 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman giá trị riêng dương, véc tơ riêng 11 12 12 12 12 13 14 14 15 16 16 17 MỞ ĐẦU Lí thuyết không gian Banach có thứ tự phương trình chúng hình thành từ năm 1940 công trình M.G.Krein M.A.Rutman, phát triển mạnh mẽ đạt kết sâu sắc giai đoạn 1950–1980 công trình M.A.Krasnoselskii học trò, E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn, Lý thuyết tiếp tục hoàn thiện tận hôm với ứng dụng rộng rãi lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; phương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) lĩnh vực (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học, ) Trong thời gian tới, Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự có lẽ theo hai hướng: mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho lớp phương trình không gian thứ tự, mặt khác, tìm ứng dụng vào giải toán lĩnh vực khác mà ban đầu không liên quan đến phương trình không gian thứ tự Luận án trình bày nghiên cứu theo hai hướng nêu Cụ thể, theo hướng thứ nghiên cứu phương trình xạ đa trị chứa tham số không gian có thứ tự; hướng thứ hai sử dụng chuẩn nón độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình không gian thứ tự I Sử dụng chuẩn nón độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình Không gian với metric nón chuẩn nón (cũng gọi không gian K-metric, không gian K-chuẩn) mở rộng tự nhiên không gian metric, định chuẩn thông thường metric chuẩn nhận giá trị nón dương không gian có thứ tự Chúng đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 ứng dụng Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động, công trình Kantorovich, Collatz, P.Zabreiko nhà toán học khác Ta thấy hữu ích việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụ sau Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) ta muốn tìm điểm bất động ánh xạ T : X ! X Trong số trường hợp ta tìm không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh nón K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E chuẩn nón p : X ! K cho q (x) = kp (x)k p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y X: (1) Từ (1) ta suy 9k > : q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y X (2) Nếu làm việc (X; q) với tính chất (2) ta có thông tin làm việc với (1) từ (1) ta sử dụng tính chất ánh xạ tuyến tính dương tìm Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự Gần đây, nghiên cứu điểm bất động không gian với nón metric sôi động trở lại Tuy nhiên, kết giai đoạn sau không sâu ứng dụng so với nghiên cứu giai đoạn trước Ngoài nghiên cứu điểm bất động không gian với metric nón giai đoạn trước gần tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach mở rộng Trong chương luận án, trình bày kết định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S không gian với chuẩn nón Các kết ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm [0; 1) cho toán Cauchy thang không gian Banach với kì dị yếu Độ đo phi compact với giá trị nón định nghĩa có tính chất tương tự độ đo phi compact với giá trị R Nó sử dụng, chưa nhiều, để chứng minh tồn nghiệm phương trình Mối liên hệ độ đo phi compact phương trình không gian có thứ tự thể qua ví dụ sau Giả sử ta có không gian Banach X ánh xạ f : X ! X, ' độ đo phi compact xác định họ M tập X nhận giá trị nón K không gian có thứ tự E Giả sử tồn ánh xạ tăng A : K ! K cho '[f (Y )] A [' (Y )] ; 8Y M mà ta muốn chứng minh f cô đặc theo độ đo ' Nếu có Y M thoả mãn ' [f (Y )] ' (Y ) ta có ' (Y ) A [' (Y )] Như phần tử ' (Y ) K nghiệm phương trình u = A (u) ta sử dụng kết điểm bất động ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = Trong chương luận án đưa số điều kiện để ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact với giá trị nón áp dụng vào phương trình vi phân có chậm dạng x0 (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] ; h (t) t1= : Các kết đạt chương chương nhận đăng tạp chí Fixed Point Theory, số 2(2016) II Phương trình đa trị chứa tham số không gian có thứ tự Nghiên cứu phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A ( ; x) không gian có thứ tự thu kết sâu sắc, định lý Krein-Rutman giá trị riêng, vectơ riêng dương ánh xạ tuyến tính dương mạnh, nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm phương trình báo Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann, Krasnoselskii sử dụng bậc tôpô kết hợp với giả thiết chặn đơn điệu chứng minh tập nghiệm S1 = fx j : x = A ( ; x)g liên tục theo nghĩa biên tập mở, bị chặn chứa có điểm S1 Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann sử dụng bậc tôpô kết hợp với định lý tách tập compact liên thông để chứng minh tồn thành phần liên thông không bị chặn tập S2 = f( ; x) j x 6= , x = A ( ; x)g Một cách tự nhiên, xét bao hàm thức x A ( ; x) muốn thiết lập kết tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm Chương luận án giới thiệu kết số lớp phương trình đa trị không gian có thứ tự Chúng chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii tập nghiệm phương trình có chặn đơn điệu; nhận kết qủa tồn khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm Các kết áp dụng để nghiên cứu toán dạng điều khiển toán giá trị riêng ánh xạ đa trị tăng, dương Đối với số lớp ánh xạ đặc biệt chứng minh số tính chất mà Krein-Rutman thiết lập cho ánh xạ tuyến tính dương mạnh tính bội đơn, Chương PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN Trong chương này, trình bày khái niệm không gian thứ tự sinh nón, tôpô khái niệm đầy đủ không gian với K-chuẩn sử dụng Trong Mục 1.2, Mục 1.3 chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho tổng hai toán tử không gian với K-chuẩn trường hợp K-chuẩn nhận giá trị không gian Banach (Định lý 1.1), K-chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn (Định lý 1.3), họ lân cận (Định lý 1.5) Tiếp theo, mục 1.4 trình bày ứng dụng kết để chứng minh tồn nghiệm cho hai lớp toán Cauchy thang không gian Banach, toán không nhiễu toán nhiễu 1.1 Không gian với thứ tự sinh nón, không gian với K-chuẩn Cho (E; ) không gian tôpô tuyến tính thực, với tôpô tương thích với cấu trúc đại số E Tập K E gọi nón E nếu: (i) K tập lồi, đóng, khác rỗng; (ii) K K cho tất 0; (iii) K \ ( K) = f g Trong E với nón K quan hệ thứ tự là: x y , y x K: Khi ta gọi ba (E; K; ) không gian có thứ tự Định nghĩa 1.4 Cho (E; K; ) không gian với thứ tự sinh nón K X không gian tuyến tính thực Một ánh xạ p : X ! E gọi K-chuẩn X (i) p (x) E 8x X p (x) = E x = X , E , X phần tử không E X, (ii) p ( x) = j j p (x) R, 8x X, (iii) p (x + y) p (x) + p (y) 8x; y X Nếu p K-chuẩn X cặp (X; p) gọi không gian K-chuẩn Không gian xét với tôpô ký hiệu (X; p; ) 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian Banach Cho (E; K; k:k) không gian Banach thứ tự (X; p) không gian K-chuẩn Chúng ta sử dụng hai tôpô định nghĩa Định nghĩa 1.5 1) Ta định nghĩa lim xn = x lim p (xn x) = E gọi n!1 n!1 tập A X tập đóng A = ? A có tính chất: Với dãy fxn g A mà lim xn = x x A Ta thấy rằng, = G X : XnG đóng tôpô n!1 X: 2) Ta gọi tôpô X xác định họ nửa chuẩn ff p : f K g Định nghĩa 1.6 Cho (E; K; k:k) không gian Banach thứ tự (X; p) không gian K-chuẩn Giả sử tôpô X 1) Ta nói (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass với dãy fxn g X mà P chuỗi p (xn+1 xn ) hội tụ E dãy fxn g hội tụ (X; p; ) n=1 2) Ta nói (X; p; ) đầy đủ theo Kantorovich dãy fxn g thoả p (xk xl ) n, fan g an với k; l K, lim an = n!1 E (1.1) fxn g hội tụ (X; p; ) Chú ý dãy fan g (1.1) phụ thuộc vào fxn g : Định lý 1.1 Cho (E; K; k:k) không gian Banach thứ tự, (X; p; ) không gian K-chuẩn đầy đủ theo Weierstrass với = = Giả sử C tập lồi, đóng (X; p; ) S,T : C ! X toán tử thoả mãn điều kiện sau (i) T (x) + S (y) C 8x; y C; (ii) S liên tục S (C) tập compact tôpô ; (iii) tồn toán tử tuyến tính dương, liên tục Q : E ! E với bán kính phổ r (Q) < cho: p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] với x; y C: Khi toán tử T + S có điểm bất động trường hợp sau: (C1 ) = , K nón chuẩn (C2 ) = 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn Cho (E; K; ) không gian lồi địa phương Hausdorff với thứ tự nón K; tôpô họ nửa chuẩn có tính chất x y ) ' (x) xác định ' (y) 8' : (1.2) Không gian (X; p; ) với K-chuẩn p nhận giá trị E, tôpô sinh hội tụ lưới theo nghĩa fx g ! x p (x x) ! E Định lý 1.3 Cho không gian có thứ tự (E; K; ) với tôpô xác định họ nửa chuẩn ; đầy đủ theo dãy (X; p; ) không gian với p K-chuẩn tôpô xác định tương ứng Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C tập lồi, đóng X ánh xạ T; S : C ! X thoả mãn điều kiện sau (1) T liên tục C, S liên tục, T (C) + C C, S (C) C S (C) compact tương đối (2) Tồn dãy ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N thoả tính chất P1 (2a) Chuỗi n=1 Qn ( ) hội tụ E, K; (2b) Với ' số " > tồn > số r N (8x; y C, 'p (x y) < + " ) ' [Qr p (x y)] < " ) (2c) Với z C p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn [p (x y)] 8n N , x; y C: Khi ánh xạ T + S có điểm bất động C: 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định sở lân cận gốc Định nghĩa 1.8 Cho (E; K; ) không gian tuyến tính tôpô với tôpô 1) Một tập M E gọi chuẩn tắc K; M thoả thứ tự sinh nón K: M: 2) Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E; K; ) có tính chất chuẩn tắc có sở lân cận gốc họ gồm tập lồi, cân đối, chuẩn tắc V , W thuộc V \ K + W \ K tập chuẩn tắc Định nghĩa 1.9 Cho (E; K; ) không gian lồi địa phương có thứ tự có sở lân cận gốc gồm tập lồi, cân đối, chuẩn tắc Giả sử X không gian tuyến tính p : X ! K K-chuẩn X trình bày Định nghĩa 1.4 Với x X ta định nghĩa họ x x = x+p (W ) : W = V X : 9W x + p ; (W ) V Ta ký hiệu tôpô (duy nhất) X nhận họ x làm hệ lân cận x nhận họ x sở lân cận x X Định lý 1.5 Giả sử (E; K; ) không gian lồi địa phương có thứ tự, đầy đủ theo dãy, có tính chất chuẩn tắc không gian (X; p; ) xây dựng Định nghĩa 1.9 đầy đủ theo Weierstrass (hoặc Kantorovich) C tập lồi, đóng X ánh xạ T , S : C ! X thoả mãn điều kiện sau (1) Tz (x) = T (x) + z C cho x C; (2) Tồn dãy ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N có tính chất P (2a) K Qn ( ) hội tụ, n=1 (2b) V tồn W r N Qr (W + V ) V , (2c) Với z C p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn p (x y) với n N x; y C; (3) S liên tục, S (C) C S (C) compact tương đối Khi ánh xạ T + S có điểm bất động C: 1.4 Ứng dụng vào toán Cauchy thang không gian Banach Trong mục áp dụng định lý trừu tượng nhận mục 1.2, 1.3 để chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy thang không gian Banach Cho f(Fs ; k:ks ) : s (0; 1]g họ không gian Banach có tính chất Fr Fs ; kxks Đặt F = \s2(0;1) Fs Giả sử kiện f; g : kxkr 8x Fr < s < r R; x0 F1 , f; g : F 1: ! F ánh xạ thoả mãn điều (F; k:kr ) ! Fs liên tục < s < r 1: Xét toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] ; t ; x (0) = x0 (1.3) Chúng xét hai trường hợp: Trường hợp g (t; x) = , ta có toán không nhiễu Trường hợp g (t; x) 6= ; ta gọi toán có nhiễu 1.4.1 Trường hợp toán không nhiễu Xét toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] ; t := [0; M ] ; x (0) = x0 F1 hàm f : F ! F thoả mãn (A1) Với < s < r f liên tục từ (F; k:kr ) vào Fs ( Cku vkr 8u; v Fr ; t ; kf (t; u) f (t; v)ks r s B kf (t; )ks r s ; (1.4) B; C không phụ thuộc vào r; s; u; v; t: Ta ký hiệu = f(t; s) : < s < 1; < t < a (1 s)g a > số đủ nhỏ E không gian hàm u (t; s) thoả mãn hàm t 7! u n (t; s) liên tục h [0; ia (1 s)) 8s o2 (0; 1) kuk := sup ju (t; s)j : a(1t s) : (t; s) < 1: Ta có E không gian Banach, E ta xét thứ tự sinh nón K gồm hàm không âm Đặt X tập hợp hàm x \ {([0; a(1 s)); Fs ) cho 0 sg Định lý 1.7 Giả sử f , g thoả điều kiện (A1-A2) phương trình (1.3) có nghiệm Chương ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN Trong chương sử dụng độ đo phi compact với giá trị nón để chứng minh tồn nghiệm phương trình Trong nghiên cứu tính chất cô đặc ánh xạ theo độ đo phi compact với giá trị không gian có thứ tự sử dụng định lý điểm bất động ánh xạ tăng không gian Nhờ chứng minh ánh xạ cô đặc có điểm bất động Áp dụng kết chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy có chậm 2.1 2.1.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc định lý điểm bất động Độ đo phi compact nhận giá trị nón Định nghĩa 2.1 Cho không gian Banach X tập thứ tự phận (Q; ) họ M 2X có tính chất: M co ( ) M: Ánh xạ ' : M ! Q gọi độ đo phi compact M ' (co ) = ' ( ) cho tất tập M: 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo độ đo định lý điểm bất động Định nghĩa 2.2 Cho (E; K; k:k) không gian Banach có thứ tự, X không gian Banach ' : M 2X ! K độ đo phi compact Một ánh xạ liên tục f : D X ! X gọi '-cô đặc với D thoả M, f ( ) M ' [f ( )] ' ( ) dẫn đến compact tương đối: Định lý 2.2 Cho (E; K; k:k) không gian Banach có thứ tự, X không gian Banach ' : M 2X ! K độ đo phi compact qui có tính chất ' (fxn : n 1g) = ' (fxn : n 2g) Giả sử D X tập khác rỗng, lồi, đóng f : D ! D ánh xạ liên tục tồn ánh xạ A : K ! K thoả giả thiết (H1 ) ' [f ( )] A [' ( )] với D, M, f ( ) M, (H2 ) x0 K, x0 A (x0 ) x0 = : Khi f có điểm bất động D Hệ 2.2 Giả sử độ đo compact quy ' ánh xạ f thoả giả thiết (H1 ) 00 (H2 ) 1) Ánh xạ A tăng dãy fA (xn )g hội tụ fxn g dãy tăng K, 2) A điểm bất động Kn f g Khi f có điểm bất động D 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm không gian Banach Chúng xét toán Cauchy x= (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] ; x (0) = u0 : (2.1) Trong trường hợp f không phụ thuộc biến thứ hai, phương trình (2.1) nghiên cứu Cho B (u0 ; r) cầu mở tâm u0 bán kính r Y , f : [0; b] B (u0 ; r) B (u0 ; r) ! Y ánh xạ liên tục đều, bị chặn h : [0; b] ! R hàm liên tục thoả (f ) 9m; l > 0, (0; 1] : ' [f (t; L; M )] l' (L) + m [' (M )] với tất tập L; M B (u0 ; r) ; (f ) h (t) t1= : Khi nhận tồn ngiệm địa phương toán (2.1) phát biểu định lý Định lý 2.3 Cho giả thiết (f ),(f ) thoả Khi tồn số b1 (0; b] (2.1) có nghiệm [0; b1 ] : Ở sử dụng độ đo phi compact 'c xây dựng sau Cho (Y; j:jY ) không gian Banach Giả sử ' độ đo phi compact với giá trị thực (có tính chất quy, nửa nhất, nửa cộng tính, bất biến qua tịnh tiến) xác định họ tập bị chặn M Y: Trong không gian hàm liên tục X = C ([a; b] ; Y ) ; xét chuẩn kxk = sup fjx (t)jY : t [a; b]g Với tập bị chặn X t [a; b] ta ký hiệu (t) = fx (t) : x g định nghĩa hàm 'c ( ) : [a; b] ! R định 'c ( ) (t) = ' [ (t)] : 10 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Trong chương này, Ở mục 3.1.1, 3.1.2 trình bày khái niệm nửa liên tục, khái niệm bậc tôpô tương đối cho ánh xạ đa trị compact (một trường riêng ánh xạ cô đặc) quan hệ " (k) " hai tập hợp Mục đính chương mở rộng định lý Krasnoselskii tính liên tục tập nghiệm phương trình dạng x F (x) Ngoài hai mục 3.1.1, 3.1.2 chuẩn bị, mục lại trình bày kết chúng tôi, bao gồm Tính bậc tôpô tương đối cho ánh xạ đa trị compact thông qua chặn ánh xạ tuyến tính (Định lý 3.1, Định lý 3.2) hay xấp xỉ , (Định lý 3.4) áp dụng vào toán điểm bất động (Định lý 3.5, Định lý 3.6), Bằng phương pháp chặn đơn điệu kết hợp với bậc tôpô tương đối mở rộng định lý Krasnoselski tính liên tục tập nghiệm cho ánh xạ đa trị (Định lý 3.7), Đánh giá khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm (Định lý 3.8), Ứng dụng kết Định lý 3.7 Định lý 3.8 cho toán biên phụ thuộc hàm điều khiển ánh xạ đa trị (Định lý 3.9), Ứng dụng Định lý 3.7, chứng minh tồn giá trị riêng, véctơ riêng dương toán tử đa trị tăng, dương trình lồi (Định lý 3.10, Định lý 3.11), đánh giá giá trị riêng dương chúng (Định lý 3.12, Định lý 3.13) Đánh giá giá trị riêng qua đại lượng tương tự bán kính phổ ánh xạ (Định lý 3.14) Chứng minh số tính chất đặc biệt cặp riêng dương ánh xạ đa trị tính bội đơn, tính tương tự tính chất Krein, Rutman chứng minh cho ánh xạ tuyến tính (Định lý 3.15, Định lý 3.16) Trong trường hợp ánh xạ không tăng, có thêm giả thiết compact, dùng định tách tập lồi chứng minh tồn công thức tính giá trị riêng dương ánh xạ đa trị lồi (Mệnh đề 3.9) 11 3.1 Bậc tôpô tương đối lớp ánh xạ đa trị cô đặc 3.1.1 Tính nửa liên tục compact ánh xạ đa trị 3.1.2 Bậc tôpô tương đối 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho số lớp ánh xạ ứng dụng vào toán điểm bất động (k) Ta xây dựng quan hệ " " (k = 1; 2; 3) hai tập hợp không gian Banach thứ tự sinh nón (X; K; k:k) khái niệm ánh xạ đa trị (k)-tăng sau: Định nghĩa 3.3 a Cho A B tập khác rỗng X: Ta định nghĩa (1) B , (8x A; 9y B cho x y) (nghĩa A B (2) B , (8y B; 9x A cho x y) (nghĩa B A + K) (3) 1) A 2) A K) 3) A B , 8x A; 8y B x y (nghĩa B x + K; 8x A) b Một ánh xạ F : E X ! 2X n f?g gọi (k) tăng, k = 1; 2; x, y E x (k) y (3) dẫn đến F (x) F (y); F gọi (3) tăng x, y E x < y dẫn đến F (x) F (y) Định lý 3.1 Cho tập mở, bị chặn chứa gốc không gian Banach thứ tự (X; K; k:k), A : K K \ ! n f?g ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi đóng 1) Nếu tồn ánh xạ L (đơn trị) tuyến tính dương, liên tục có bán kính phổ r (L) thoả (1) Lu u = A (u) 8u K \ @ A (u) (3.1) iK (A; ) = 1: 2) Giả sử X = K K tồn ánh xạ L (đơn trị) tuyến tính, hoàn toàn liên tục, u0 dương K; có bán kính phổ r (L) thoả (2) Lu A (u) u = A (u) 8u K \ @ : (3.2) Khi iK (A; ) = Định lý 3.2 Cho tập mở, bị chặn chứa điểm gốc ; ánh xạ đa trị T : K ! 2K n f?g nửa liên tục trên, compact, lồi nhận giá trị đóng, đồng thời K véctơ riêng ứng với giá trị riêng Khi đó: 1) iK (T; ) = T có K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn 1; 2) iK (T; ) = T K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn Định nghĩa 3.5 Cho ánh xạ đa trị F; ' : K ! 2K n f?g Với x K ta ký hiệu kF (x) y k : y F (x) ; y ' (x)g ' (x)k0 = sup fky nói cặp ánh xạ (F; ') 1) thoả điều kiện (c0 ) lim x2K;kxk!0 kF (x) '(x)k0 kxk 12 = 0; 2) thoả điều kiện (c1 ) lim x2K;kxk!1 kF (x) '(x)k0 kxk = 0: Định lý 3.4 Cho (X; K; k:k) không gian Banach thứ tự F; ' : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi đóng, F ( ), đồng thời ' K véctơ riêng ứng với giá trị riêng ' 1-thuần dương (theo nghĩa ' ( x) = ' (x) ; > 0) Khi có đẳng thức iK (F; Br ( )) = iK ('; Br ( )) (3.3) trường hợp sau: (i) (F; ') thoả (c ), số r đủ nhỏ, (ii) (F; ') thoả (c ), số r đủ lớn Định lý 3.5 Cho (X; K; k:k) không gian Banach thứ tự, X = K K A : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng: Giả sử , tập mở, bị chặn, ( thoả điều kiện: (i) Tồn ánh xạ tuyến tính P , Q : K ! K hoàn toàn liên tục, có bán kính phổ r (P ), r (Q) ; với P u0 dương, có hai trường hợp sau: (2) Px (1) A (x) 8x K \ @ ; A (x) A (x) 8x K \ @ ; A (x) Qx 8x K \ @ (3.4) (2) Px (1) Qx 8x K \ @ ; (3.5) (ii) < r (Q) < r (P ) : Khi với (r (Q) ; r (P )) phương trình x A (x) có nghiệm Kn f g Với ánh xạ đa trị ' : K ! 2K n f?g ta ký hiệu: r (') = sup r (') = inf > : 9x Kđể x ' (x) > : 9x Kđể x ' (x) ; quy ước sup ? = 0; ; quy ước inf ? = 1: Định lý 3.6 Cho (X; K; k:k) không gian Banach thứ tự A : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng Giả sử tồn ánh xạ đa trị lồi P , Q : K ! 2K n f?g compact, nửa liên tục trên, có giá trị đóng, 1-thuần dương thoả mãn điều kiện sau (i) (A; P ) thoả điều kiện (c ), (A; Q) thoả điều kiện ( c1 ); (ii) < r (P ) < r (Q) < < r (Q) < r (P ) < 1: Khi (r (P ) ; r (Q)) (r (Q) ; r (P )) phương trình x A (x) có nghiệm Kn f g 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn đơn điệu Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K ánh xạ đa trị F : K ! 2K n f?g : Trong mục trình bày kết nghiên cứu tính liên tục không bị chặn tập nghiệm phương trình 13 x F (x) 3.2.1 (3.6) Tính liên tục tập nghiệm dương phương trình Tập nghiệm (3.6) định nghĩa tập hợp S = fx Kn f g : = (x) > 0; x F (x)g : (3.7) Chúng khảo sát tính liên tục không bị chặn tập nghiệm theo nghĩa Krasnoselskii Định nghĩa 3.6 Một tập S X gọi liên tục, không bị chặn xuất phát từ với tập mở ; bị chặn, chứa S \ @ tập khác rỗng Định lý 3.7 Cho (X; K; k:k) không gian Banach với thứ tự sinh nón K ánh xạ F : K ! K n f?g nửa liên tục nửa liên tục đồng thời F compact với giá trị lồi, đóng Giả sử tồn G : K ! 2K n f?g ánh xạ (2) tăng thoả mãn (2) G (x) cho x K; (i) F (x) (2) (ii) tồn u Kn f g số dương a,b cho G (tu) atu 8t [0; b] : Khi tập S = x Kn f g : > thoả x F (x) liên tục, không bị chặn xuất phát từ 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: Trong nội dung khảo sát miền giá trị tham số để phương trình x F (x) có nghiệm Với x Kn f g ta ký hiệu (x) = f R+ n f0g : x F (x)g ký hiệu Kr = K \ Br ( ) : Định lý 3.8 Giả sử ánh xạ F : K ! 2K n f?g nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng thoả điều kiện (i) = F (x) với x Kn f g ; (ii) Tập S = x Kn f g : > thoả x F (x) liên tục, không bị chặn, xuất phát từ ; (iii) Có trường hợp sau: Trường hợp a = lim+ sup r!0 [ (x) < b = lim [ (x) < b = lim+ inf x2Kr \S r!1 inf [ x2S;kxk r (x) (3.8) Trường hợp a = lim r!1 Khi với sup x2S;kxk r r!0 [ x2Kr \S (a; b) phương trình x F (x) có nghiệm dương 14 (x) (3.9) 3.2.3 Ứng dụng vào dạng toán điều khiển Xét toán biên phụ thuộc hàm điều khiển: x00 (t) + (t) f (x (t)) = 0; t [0; 1] ; x (0) = x (1) = 0; (t) F (t; x (t)) ; t [0; 1]: Giả sử hàm f; F thoả mãn điều kiện sau (a1) f : R+ ! R+ hàm liên tục (a2) F : [0; 1] R+ ! 2R+ n f?g có giá trị lồi, compact hàm Caratheodory theo nghĩa 8x R+ ; hàm t 7! F (t; x) hàm đo được, nghĩa 8y R hàm D (t) = inf fjy zj : z F (t; x)g đo được, Đối với hầu hết t [0; 1] ; hàm x 7! F (t; x) nửa liên tục 8r > 0, tồn hàm 'r L1 [0; 1] cho supx2[0;r] F (t; x) [0; 1] 'r (t) hkn (hầu khắp nơi) Bài toán tương đương với toán tìm hàm x; thoả mãn hệ Z < G (t; s) (s) f (x (s)) ds; x (t) = : (t) F (t; x (t)) 8t [0; 1] ; với G : [0; 1] [0; 1] ! R+ hàm Green tương ứng Ta ký hiệu = [0; 1]: Đặt X = C ( ) không gian hàm số liên tục kxk = maxt2 jx (t)j nón hàm không âm Với u K ta ký hiệu Fu = x L1 ( ) : x (t) F (t; u (t)) hkn Au = y K : 9x Fu ; y (t) = Z (3.10) với chuẩn : G (t; s) x (s) f [u (s)] ds Chúng đưa (3.10) phương trình u A (u) : (3.11) Cùng với (3.11) ta xét toán phụ thuộc tham số tương ứng u A (u) : (3.12) Sử dụng kết Định lý 3.7 Định lý 3.8 nhận kết sau Định lý 3.9 Giả sử hàm F; f thoả mãn điều kiện (a1), (a2) điều kiện sau (a3) Tồn hàm tăng g : R+ ! R+ số dương s1 ; s2 ( s1 < s2 ), a; b ( a > b) cho (2) (i) F (t; s) f (s) g (s) 8s R+ , g (s) (1) (ii) F (t; s) f (s) bs 8s [s2 ; 1): 15 as 8s [0; s1 ] ; Khi 1) Tập nghiệm S toán (3.12) liên tục, không bị chặn, xuất phát từ : 2) Với 10 a ; 10 b toán (3.12) có nghiệm dương, nói riêng, b < : A (u) u: Khi tồn ( ; x0 ) (0; 1) K cặp-riêng-dương A với kx0 k = : Định lý 3.11 Cho A : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị 1-thuần dương, compact, nửa liên tục với giá trị lồi, đóng thoả điều kiện (i) A (2) tăng, (2) (ii) Tồn u Kn f g cho số = inf > : 9x u; A (x) x dương: Khi tồn ( ; x0 ) cặp riêng dương A thoả kx0 k = 1: Định lý 3.12 Cho A : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị 1-thuần dương, compact, nửa liên tục với giá trị lồi đóng thoả i) A ( 2)-tăng, (2) ii) Số > : 9x (A) = supu2K;kuk=1 inf u; A (x) x Khi 1) A có giá trị riệng với (A) ; 2) Nếu A ( 3)-tăng (A) giá trị riêng A Định lý 3.13 Cho (X; K; k:k) không gian Banach thứ tự Giả sử A : X liên tục trên, compact, thoả mãn (i) A trình lồi, (2) (ii) 8x 9u A (x) : u 8x (hay A (x) (iii) 9u Kn f g ; > : A (u) (2) u: 16 ); dương ! 2X n f?g ánh xạ nửa Khi A có cặp riêng dương ( ; x0 ) [0; 1) Kn f g với kx0 k = : Trường hợp ánh xạ tính chất tăng Trong mục ta chứng minh tồn cặp riêng dương cho lớp ánh xạ tính chất tăng Bù lại, ta phải tăng thêm tính compact cho ánh xạ Chúng có kết Mệnh đề 3.9 Cho F : S ! 2K n f?g ánh xạ đa trị lồi, nửa liên tục trên, có giá trị đóng thoả điều kiện sau: (i) F (S) tập compact tương đối, (ii) 8p S+ x S (F (x) ; p) > 0, (1) (iii) Tồn u S số dương u F (u) : Khi hp; xi = sup inf Thì tồn x0 S để 1) Với số xác định p2S+ x2S (F (x) ; p) F (x0 ) > x S thoả 2) Nếu số 3.3.2 x0 hp; x0 i ; (F (x0 ) ; p) = sup p2S+ x F (x) 0: Một số tính chất Krein-Rutman giá trị riêng dương, véc tơ riêng Chúng mở rộng khái niệm u0 dương, u0 dương mạnh, dương mạnh, nửa dương mạnh số đại lượng liên quan đến bán kính phổ ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 3.9 Cho K nón không gian Banach X ánh xạ đa trị A : K !2K n f?g, u0 K: 1) A gọi u0 dương 8x K (2) (1) hu0 i+ A (x) hu0 i+ hay nói tương đương 8x K; 8y A (x) ; > : u0 y u0 : (2) (1) 2) A gọi u0 dương mạnh 8x K ; > u0 A (x) u0 : Định nghĩa 3.10 F : X ! 2X n f?g gọi dương mạnh F (K) int(K) gọi nửa dương mạnh (2) tồn g K để cho: hg; F (x)i > = hg; xi với x Knint(K) : Định nghĩa 3.11 Cho (X; K; k:k) không gian Banach thứ tự ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g : 1) Với x K, ta định nghĩa tập K K (x) = ff K : hf; xi > 0g ; S (x) = ff K : hf; xi = 1g số (x) = inf fhf; zi : (f; z) S (x) 17 A (x)g ; (x) = sup fhf; zi : (f; z) S (x) A (x)g ; 2) Ta định nghĩa số r (A) = sup (x) ; r (A) = x2Knf g inf (x) x2Knf g Nếu intK 6= ? ta định nghĩa số or (A) = sup (x) ; or (A) = inf x2intK x2intK (x) : Định lý 3.14 Giả sử ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g 1-thuần dương, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng A (2) tăng với số r (A) > 0: Khi A có cặp riêng dương ( ; x0 ) với r (A) : Hơn nữa, 1) thêm A (1) tăng a) r (A) r (A) A u0 dương mạnh b) x0 2intK r (A) or (A) A nửa dương mạnh: 2) Nếu thêm A nửa liên tục dưới, nửa dương mạnh A (3) tăng r (A) = = r (A) Định nghĩa 3.12 Cho ánh xạ đa trị A : K !2K n f?g ; u0 K ta định nghĩa (2) 1) A gọi u0 tăng x đương: 8v A (y) ; 8u A (x) v có y dẫn đến hu0 i+ A (x)] \ K hay nói tương [A (y) u K > thoả v u u0 : 2) Ta nói A nửa tăng mạnh tồn g K cho x hg; x yi = hg; ui > cho u A (x) Định nghĩa 3.13 1) Giả sử ( ; x0 ) cặp riêng dương A Ta nói y KnintK ta A (y) có bội đơn từ (3.13) 0x A (x) với x K dẫn đến x hx0 i+ 2) Ta nói cặp riêng dương ( ; x0 ) A với cặp riêng dương ( ; x) A = x hx0 i+ : Định lý 3.15 Giả sử ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g 1-thuần dương, u0 dương, u0 tăng ( ; x0 ) cặp-riêng-dương A: Khi 1) có bội đơn 2) Nếu A (3) tăng ( ; x0 ) Định lý 3.16 Cho intK 6= ? A : K ! 2K n f?g ánh xạ đa trị nửa tăng mạnh, 1-thuần dương Giảsử ( ; x0 ) cặp riêng dương A Khi 1) có bội đơn ( ; x1 ) cặp riêng dương = x1 hx0 i+ 2) Nếu A (3) tăng ( ; x0 ) KẾT LUẬN 18 Luận án trình bày kết nghiên cứu theo hai hướng Trong hướng thứ nhất, sử dụng chuẩn nón độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu tồn điểm bất động áp dụng kết trừu tượng nhận vào số lớp phương trình vi phân Ở hướng thứ hai, dùng bậc tôpô kết hợp với kĩ thuật sử dụng thứ tự để chứng minh số kết có tính toàn cục tập nghiệm toán giá trị riêng cho ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số, không gian có thứ tự Kết luận án bao gồm: Chứng minh định lý điểm bất động tổng hai ánh xạ không gian với chuẩn nón trường hợp chuẩn nhận giá trị không gian Banach không gian lồi địa phương Ứng dụng kết nhận để chứng minh tồn nghiệm [0; 1) cho toán Cauchy với kì dị yếu thang không gian Banach Áp dụng kết điểm bất động ánh xạ tăng không gian có thứ tự để chứng minh tồn điểm bất động lớp ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact với giá trị nón Sử dụng kết độ đo phi compact với giá trị nón thích hợp để chứng minh tồn nghiệm lớp toán Cauchy có chậm Chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii tập nghiệm phương trình đa trị chứa tham số có chặn đơn điệu chứng minh tồn khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm Áp dụng kết để chứng minh tồn nghiệm toán biên với hàm điều khiển đa trị Tính bậc tôpô tương đối lớp ánh xạ đa trị thông qua ánh xạ tuyến tính, ánh xạ đa trị lồi hay ánh xạ xấp xỉ ; áp dụng vào toán điểm bất động Chứng minh tồn cặp riêng dương cho lớp ánh xạ tăng, dương với đánh giá cận cho giá trị riêng dương tương ứng Mở rộng khái niệm u0 -dương, u0 -tăng, dương mạnh cho ánh xạ đa trị; chứng minh số tính chất Krein-Rutman giá trị riêng, vectơ riêng dương ánh xạ tăng không gian có thứ tự Các hướng nghiên cứu là: Tìm định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với chuẩn nón, đủ mạnh để áp dụng vào toán Cauchy thang không gian Banach với kì dị kiểu Ovcjannikov Tìm cách ứng dụng đạo hàm ánh xạ đa trị để mở rộng định lý Rabinowitz-Dancer phân nhánh toàn cục nghiệm dương sang trường hợp đa trị Tìm điều kiện không ngặt lên ánh xạ để có cặp riêng dương tính cực đại giá trị riêng dương tương ứng 19 [...]... bất động của tổng hai ánh xạ trên không gian với chuẩn nón trong các trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach hoặc trong không gian lồi địa phương Ứng dụng các kết quả nhận được để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên [0; 1) cho một bài toán Cauchy với kì dị yếu trên thang các không gian Banach 2 Áp dụng một kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự để chứng minh sự... với giá trị trong nón để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động và áp dụng các kết quả trừu tượng nhận được vào một số lớp phương trình vi phân Ở hướng thứ hai, chúng tôi dùng bậc tôpô kết hợp với kĩ thuật sử dụng thứ tự để chứng minh một số kết quả có tính toàn cục về tập nghiệm của bài toán giá trị riêng cho ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số, trong không gian có thứ tự Kết quả chính của luận án bao gồm:... -dương, u0 -tăng, dương mạnh cho các ánh xạ đa trị; chứng minh một số tính chất Krein-Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng dương của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự Các hướng nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi là: 1 Tìm một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với chuẩn nón, đủ mạnh để có thể áp dụng vào bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach với kì dị kiểu Ovcjannikov... của một lớp ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón Sử dụng kết quả này và một độ đo phi compact với giá trị trong nón thích hợp để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán Cauchy có chậm 3 Chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu và chứng minh tồn tại khoảng giá trị tham số để phương trình. .. (x0 ) thì x0 = : Khi đó f có điểm bất động trong D Hệ quả 2.2 Giả sử độ đo compact chính quy ' và ánh xạ f thoả giả thiết (H1 ) và 00 (H2 ) 1) Ánh xạ A là tăng và dãy fA (xn )g hội tụ nếu fxn g là dãy tăng trong K, 2) A không có điểm bất động trong Kn f g Khi đó f có điểm bất động trong D 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach Chúng tôi xét bài toán Cauchy x= (t) = f [t;... (Mệnh đề 3.9) 11 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị 3.1.2 Bậc tôpô tương đối 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động (k) Ta xây dựng quan hệ " " (k = 1; 2; 3) giữa hai tập hợp trong không gian Banach thứ tự sinh bởi nón (X; K; k:k) và khái niệm ánh xạ đa trị (k)-tăng như sau: Định nghĩa... trên, có giá trị đóng, 1-thuần nhất dương và thoả mãn các điều kiện sau (i) (A; P ) thoả điều kiện (c 0 ), (A; Q) thoả điều kiện ( c1 ); (ii) 0 < r (P ) < r (Q) < 1 hoặc 0 < r (Q) < r (P ) < 1: Khi đó nếu 2 (r (P ) ; r (Q)) hoặc 2 (r (Q) ; r (P )) thì phương trình x 2 A (x) có nghiệm trong Kn f g 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu Cho X là không gian Banach với thứ tự. .. chặn M của Y: Trong không gian các hàm liên tục X = C ([a; b] ; Y ) ; xét chuẩn kxk = sup fjx (t)jY : t 2 [a; b]g Với mỗi tập bị chặn X và t 2 [a; b] ta ký hiệu (t) = fx (t) : x 2 g và định nghĩa hàm 'c ( ) : [a; b] ! R định bởi 'c ( ) (t) = ' [ (t)] : 10 Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Trong chương này, Ở các mục 3.1.1, 3.1.2 chúng tôi trình bày các... ') thoả (c 1 ), số r đủ lớn Định lý 3.5 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, X = K K và A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng: Giả sử 1 , 2 là các tập mở, bị chặn, 2 1 ( 2 và thoả các điều kiện: (i) Tồn tại các ánh xạ tuyến tính P , Q : K ! K hoàn toàn liên tục, lần lượt có bán kính phổ là r (P ), r (Q) ; với P là u0 dương, và có một trong hai trường... f?g là ánh xạ nửa Khi đó A có cặp riêng dương ( 0 ; x0 ) 2 [0; 1) Kn f g với kx0 k = 1 và 0 : Trường hợp ánh xạ không có tính chất tăng Trong mục này ta chứng minh sự tồn tại cặp riêng dương cho một lớp ánh xạ không có tính chất tăng Bù lại, ta phải tăng thêm tính compact cho ánh xạ Chúng tôi có kết quả Mệnh đề 3.9 Cho F : S ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị lồi, nửa liên tục trên, có giá trị đóng và thoả các ... đầu không liên quan đến phương trình không gian thứ tự Luận án trình bày nghiên cứu theo hai hướng nêu Cụ thể, theo hướng thứ nghiên cứu phương trình xạ đa trị chứa tham số không gian có thứ tự; ... Fixed Point Theory, số 2(2016) II Phương trình đa trị chứa tham số không gian có thứ tự Nghiên cứu phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A ( ; x) không gian có thứ tự thu kết sâu sắc,... tham số, không gian có thứ tự Kết luận án bao gồm: Chứng minh định lý điểm bất động tổng hai ánh xạ không gian với chuẩn nón trường hợp chuẩn nhận giá trị không gian Banach không gian lồi địa phương