tóm tắt luận án một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

Tính đến nay, đã có nhiều kết quảđạt được cho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, chẳnghạn như: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên lý bài toán phụ, phương phá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Công trình được hoàn thành tại Học viện Kỹ thuật Quân sự

Người hướng dẫn khoa học:

MỞ ĐẦU

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đềunhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữa những đối tượng cóảnh hưởng qua lại lẫn nhau Mô hình chung cho bài toán cân bằngEP(C, f) đó là

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,

trong đó, C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} làsong hàm cân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C

Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cânbằng là: nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm,cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định và nghiên cứu định lượng bao gồmxây dựng các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán và

áp dụng vào trong các bài toán thực tế Trong đó, việc nghiên cứu xâydựng các phương pháp giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướngnghiên cứu về bài toán cân bằng Tính đến nay, đã có nhiều kết quảđạt được cho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, chẳnghạn như: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên

lý bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnhTikhonov, phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu Trongcác phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quantrọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán Các thuật toán chiếucho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán chiếucho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác, trong

đó thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân được đềxuất bởi M V Solodov và B F Svaiter năm 1999 có nhiều đặc điểmnổi bật vì nó chỉ đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liêntục, của ánh xạ giá mà không đòi hỏi tính chất Lipchitz, từ đó dẫnđến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng EP(C, f) làhết sức cần thiết Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luận án

Ngoài các phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phươngpháp hiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyếtcác bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem) Việc áp dụng phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳngthức biến phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) sau

min{kx − xgk : x ∈ Sf},

với xg ∈ C là một điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏngđoán) và Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) Bằngcách kết hợp giữa thuật toán chiếu với kỹ thuật siêu phẳng cắt chúngtôi thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f)

Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toánbất đẳng thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toánbất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)

Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ SF

Bằng cách mở rộng kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàmtăng cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscositymethods) của P E Maingé năm 2008 ta thu được thuật toán cho bàitoán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằngVIEP(C, f, G)

Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác là phương pháp điểmgần kề Năm 2010, A Moudafi áp dụng phương pháp này cho lớp bàitoán cân bằng hai cấp đơn điệu và để chứng minh sự hội tụ của thuậttoán đưa ra, A Moudafi đã đòi hỏi các giả thiết về tính đơn điệu, tínhliên tục của các song hàm, và đặc biệt là giả thiết kxk+1−xkk = o(ǫk),đây là giả thiết rất khó kiểm chứng vì chúng không liên quan tới các

dữ liệu đầu vào của bài toán Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu và đềxuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp là rất cần thiết.Vấn đề này cũng sẽ được đề cập và giải quyết trong luận án

2 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về bài toáncân bằng và bài toán cân bằng hai cấp:

- Nội dung 1 Nghiên cứu xây dựng các thuật toán cho bài toán cânbằng giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tậpnghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu

- Nội dung 2 Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳngthức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằnggiả đơn điệu

- Nội dung 3 Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải bài toán cânbằng hai cấp

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng và một lớp bài toáncân bằng hai cấp chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu của M V.Solodov và B F Svaiter, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo đồng thờikết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt và kỹ thuật lai ghép giữa thuậttoán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt Để xâydựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sử dụngphương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá vànguyên lý bài toán phụ

4 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơnđiệu theo tập nghiệm của nó Chứng minh được tính đúng đắn

và sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bàitoán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trườngđiện bán độc quyền Xây dựng được thuật toán chiếu kết hợpvới kỹ thuật siêu phẳng cắt giải bài toán tìm cực tiểu của hàmchuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn

điệu Chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuậttoán đề xuất.

• Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàmtăng cường và phương pháp siêu phẳng cắt cho bài toán bấtđẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bàitoán cân bằng giả đơn điệu Chứng minh được tính đúng đắn và

sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bài toánbất đẳng thức biến phân hai cấp

• Để xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp.Chứng minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bàitoán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu

Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải các bài toán phạt và

mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ khái niệm ∇-đơn điệu.Chứng minh được bất kì điểm dừng nào của hàm đánh giá cũng

là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằng là giả

∇-đơn điệu chặt Đồng thời chỉ ra hướng giảm của hàm đánhgiá tại những điểm không phải là điểm dừng.Áp dụng phươngpháp này vào bài toán nảy sinh khi ta sử dụng phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Luận án gồm 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị;

Chương 2 Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu

và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp

Chương 3 Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bàitoán cân bằng hai cấp

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cũng như cáckết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau

1.1 Các khái niệm và các kết quả cơ bản

Mục này trình bày một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi, đạohàm và dưới vi phân của hàm lồi

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Mục này dành để trình bày về bài toán cân bằng và một số trườnghợp riêng của nó như: bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối

ưu véc tơ, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong tròchơi không hợp tác, tiếp theo trình bày định lý Ky Fan và một số định

lý về sự tồn tại nghiệm cùng tính chất tập nghiệm của bài toán cânbằng Ta nhắc lại khái niệm về bài toán cân bằng

Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và

f : C × C → ¯R thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C; một hàm f nhưvậy được gọi là song hàm cân bằng (equilibrium bifunction) Bài toáncân bằng hay bất đằng thức Ky Fan là bài toán

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP(C, f) và tập nghiệm của nó là Sf.1.3 Bài toán cân bằng tương đương

Trong mục này, chúng tôi trình bày định lý về điều kiện để bàitoán cân bằng EP(C, f) tương đương với bài toán cân bằng EP(C, g)

và một hệ quả trực tiếp của nó là nguyên lý bài toán phụ cho bài toáncân bằng cùng một số bổ đề cần thiết cho việc xây dựng và chứng

minh sự hội tụ của các thuật toán ở chương sau.

1.4 Bài toán cân bằng hai cấp

Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và

f, g : C × C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C

Ta xét bài toán cân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) haybài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng BEP(C, f, g)sau

Tìm điểm x∗ ∈ Sf sao cho g(x∗, y) ≥ 0 ∀y ∈ Sf,

ở đó, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng

Tìm điểm u ∈ C sao cho f(u, y) ≥ 0 ∀y ∈ C

Bài toán BEP(C, f, g), theo sự hiểu biết của chúng tôi được A.Moudafi [45] xét đến đầu tiên năm 2010 và xây dựng phương phápđiểm gần kề cho lớp bài toán này khi các song hàm f, g là đơn điệutrên C Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán BEP(C, f, g) khá tổngquát vì nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như là các trườnghợp riêng của nó, chẳng hạn như: Bài toán bất đẳng thức biến phânhai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bàitoán cân bằng

Chương 2

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP

BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu xây dựng thuật toán chiếugiải bài toán cân bằng giả đơn điệu, áp dụng thuật toán này vào môhình cân bằng Nash-Cournot trong thị trường điện bán độc quyền,đồng thời kết hợp thuật toán này với các kỹ thuật siêu phẳng cắt đểxây dựng phương pháp giải cho bài toán tối ưu của hàm chuẩn Euclidetrên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán bấtđẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơnđiệu

Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [2], [3] trong Danhmục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

2.1 Đặt bài toán

Giả sử Ω ⊆ Rn là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C và f : Ω×Ω → R

là song hàm cân bằng xác định trên C; G : Ω → Rn là toán tử xácđịnh trên Ω Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng thuật toán giảicác bài toán sau:

• Bài toán cân bằng EP(C, f )

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Gọi Sf là tập nghiệm của bài toán EP(C, f)

• Bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệmcủa bài toán cân bằng MNEP(C, f)

min{kx − xgk : x ∈ Sf}với xg ∈ C là một điểm cho trước

• Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toáncân bằng VIEP(C, f, G)

Tìm x∗

∈ Sf sao cho hG(x∗

), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ Sf

Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng các giả thiết sau:

(A1) Hàm f (., y) liên tục trên Ω với mỗi y ∈ C;

(A2) Hàm f (x, ) là lồi trên Ω với mỗi x ∈ C;

(A3) Hàm f là giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm Sf của bài toán

cân bằng EP(C, f);

(A4) Toán tử G là L-Lipschitz và β-đơn điệu mạnh trên C;

(B1) Hàm h(.) là δ-lồi mạnh và khả vi liên tục trên Ω;

(B2) {λk} là dãy số dương sao cho P∞

k=0λk = ∞; P∞

k=0λ2k < ∞.Với mỗi z ∈ C, ta kí hiệu

∂2f(z, z) = {w ∈ Rn : f (z, y) ≥ f (z, z) + hw, y − zi, ∀y ∈ C}

= {w ∈ Rn : f (z, y) ≥ hw, y − zi, ∀y ∈ C},

và với w ∈ ∂2f(z, z), Hz = {x ∈ Rn : hw, x − zi ≤ 0}

Bổ đề 2.1 Giả sử song hàm cân bằng f thỏa mãn các giả thiết (A2)

và (A3), khi đó ta có Sf ⊆ Hz với mọi z ∈ C

Bổ đề 2.2 Giả sử các giả thiết (A1) và (A2) được thỏa mãn và{zk} ⊂ C là một dãy hội tụ về ¯z sao cho {wk} hội tụ về ¯w, với

wk ∈ ∂2f(zk, zk) với mọi k, khi đó ta có ¯w ∈ ∂2f(¯z,z).¯

Bổ đề 2.3 Giả sử song hàm cân bằng f thỏa mãn các giả thiết (A1),(A2), hàm h thỏa mãn giả thiết (B1) Nếu {xk} ⊂ C là một dãy bịchặn và {yk} là dãy được xác định bởi

yk = arg minnf(xk, y)+ 1

ρ

hh(y)−h(xk)−h∇h(xk), y −xkii : y ∈ Co,thì {yk} là dãy bị chặn

Bổ đề 2.4 ([60]) Giả sử x ∈ Rn và u = PC∩H z(x) Khi đó ta có

u = PC∩Hz(¯x), với ¯x = PHz(x)

Bổ đề 2.5 ([38, Lemma 3.1]) Giả sử {ak} là một dãy số thực khônggiảm ở vô cùng, tức là tồn tại một dãy con {akj} của dãy {ak} saocho

Bước khởi tạo Chọn x0 ∈ C và η ∈ (0, 1), ρ > 0

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk, thực hiện các bước:

Bước 1 Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh

minnf(xk, y) + 1ρhh(y) − h(xk) − h∇h(xk), y − xkii : y ∈ Co,thu được nghiệm duy nhất yk

Nếu f(xk, yk) + 1ρhh(yk) − h(xk) − h∇h(xk), yk− xkii ≥ 0, thì dừngthuật toán: xk ∈ Sf Ngược lại, thực hiện Bước 2

Bước 2 (quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo) Tìm số nguyêndương mk nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn

Bước 3 Đặt ηk := ηmk, zk := zk,mk, wk := wk,mk, và

Ck := {x ∈ C : hwk, x− zki ≤ 0}, xk+1 := PCk(xk), (2.6)rồi chuyển sang Bước lặp thứ k với k được thay bằng k + 1

Một trường hợp riêng của bài toán EP(C, f) là bài toán VIP(C, F ):

Tìm x∗ ∈ C : hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

ở đó F : Rn → Rn Bằng cách đặt f(x, y) = hF (x), y − xi, thì bài toánVIP(C, F ) trở thành bài toán EP(C, f) Trong trường hợp này, ta có

∂2f(x, x) = F (x), bằng cách chọn h(x) = kxk2, thì Thuật toán 2.1 trởthành Thuật toán 2.2 sau:

Thuật toán 2.2 Lấy x0 = xg ∈ C và ρ > 0, η ∈ (0, 1).

Ở bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk, thực hiện các bước:Bước 1 Tính yk = PC(xk − ρ2F(xk))

Nếu yk = xk, thì dừng, xk là nghiệm của bài toán VIP(C, F ),ngược lại chuyển sang Bước 2

Bước 2 Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyêndương m thỏa mãn

Tăng k lên 1 đơn vị và quay vể Bước 1

Áp dụng Bổ đề 2.6 và Định lý 2.1 vào Thuật toán 2.2 ta thu được cáckết quả sau

Hệ quả 2.1 Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) cónghiệm và hàm F là liên tục trên Rn, giả đơn điệu trên C theo tậpnghiệm SF của nó, khi đó với mỗi x∗ ∈ SF ta có

Nhận xét 2.2 Thuật toán 2.2 được đề xuất bởi M V Solodov và

B F Svaiter trong bài báo [60] Các Hệ quả 2.1 và Hệ quả 2.2 cũngđược chứng minh trong bài báo đó

2.3 Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình

cân bằng thị trường điện bán độc quyền

Mục này dành để trình bày một áp dụng của Thuật toán 2.1 giải bàitoán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điệnbán độc quyền theo các dữ liệu trong các bài báo [23] của J Contreras,

M Klusch, và J B Krawczyk (2004) và [56] của T D Quoc, P N.Anh, và L D Muu (2012)

2.4 Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên

tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu

Trong mục này, chúng tôi sẽ kết hợp Thuật toán 2.1 với kỹ thuật siêuphẳng cắt để thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f)

Thuật toán 2.3

Bước khởi tạo Chọn x0 = xg và ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1)

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk, thực hiện các bước sau:Bước 1 Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh sau

Bước 3 Lấy uk = PCk(xk), với

Ck = {x ∈ C : hwk, x− zki ≤ 0} (2.26)

Bước 4 Xác định hai nửa không gian sau

Bk = {x : kuk − xk ≤ kxk − xk}, (2.27)

Dk = {x : hx − xk, xg − xki ≤ 0}, (2.28)

và tính Ak = Bk ∩ Dk ∩ C,

xk+1 = PAk(xg) (2.29)Nếu xk+1 = xk, thì dừng, xk là nghiệm của bài toán MNEP(C, f).Ngược lại, quay lại Bước lặp thứ k với k được thay bởi k + 1

Định lí 2.2 Giả sử các giả thiết của Định lý 2.1 được thỏa mãn, khi

đó dãy {xk} và {uk} sinh bởi Thuật toán 2.3 hội tụ tới nghiệm duynhất của bài toán MNEP(C, f)

Áp dụng Thuật toán 2.3 vào bài toán MNVIP(C, F ) ta thu đượcThuật toán 2.4 sau

Thuật toán 2.4

Bước khởi tạo Lấy x0 = xg ∈ C và ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1)

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk, thực hiện các bước:

Bước 1 Tính yk = PC(xk − ρ2F(xk))

Nếu yk = xk, thì lấy uk = xk và chuyển sang Bước 4

Bước 2 Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyêndương m thỏa mãn

Đặt ηk = ηmk, zk = zk,mk

Bước 3 Lấy uk = PCk(xk), với

Ck = {x ∈ C : hF (zk), x − zki ≤ 0} (2.39)Bước 4 Xác định hai nửa không gian sau

Bk = {x : kuk − xk ≤ kxk − xk}, (2.40)

Dk = {x : hx − xk, xg − xki ≤ 0}, (2.41)

và tính Ak = Bk ∩ Dk ∩ C,

xk+1 = PAk(xg) (2.42)Nếu xk+1 = xk, thì dừng, xk là nghiệm Ngược lại, thay k bởi k + 1

lên tập nghiệm của bài toán VIP(C, F )

2.5 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm

của bài toán cân bằng

2.5.1 Đặt bài toán

Mục này dành để giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G)