tóm tắt luận án một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2014 Cơng trình hồn thành Học viện Kỹ thuật Quân Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Đức Hiếu GS TSKH Lê Dũng Mưu Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Đơng n, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Hữu Điển, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Quang Huy, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Học viện họp vào hồi ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Thư viện Học viện Kỹ thuật Quân MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Sự cân thường hiểu trạng thái đồng lực lượng đối lập hay đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn Mơ hình chung cho tốn cân EP(C, f ) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C, đó, C ⊆ H tập lồi đóng f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân bằng, tức f (x, x) = với x ∈ C Các hướng nghiên cứu thường đặt toán cân là: nghiên cứu vấn đề định tính tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng thuật toán để giải, tốc độ hội tụ thuật toán áp dụng vào tốn thực tế Trong đó, việc nghiên cứu xây dựng phương pháp giải chiếm tỉ trọng lớn hướng nghiên cứu tốn cân Tính đến nay, có nhiều kết đạt cho số lớp toán cân lồi đơn điệu, chẳng hạn như: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên lý toán phụ, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm phương pháp chiếu Trong phương pháp phương pháp chiếu đóng vai trị quan trọng đơn giản thuận tiện tính tốn Các thuật tốn chiếu cho toán cân thường phát triển từ thuật toán chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân số toán khác, thuật tốn chiếu cho tốn bất đẳng thức biến phân đề xuất M V Solodov B F Svaiter năm 1999 có nhiều đặc điểm bật địi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, ánh xạ khơng địi hỏi tính chất Lipchitz, từ dẫn đến việc mở rộng thuật toán cho toán cân EP(C, f ) cần thiết Đây vấn đề giải luận án Ngoài phương pháp chiếu cho tốn cân phương pháp hiệu chỉnh đóng vai trị quan trọng cho phép giải tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed problem) Việc áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào toán cân hay bất đẳng thức biến phân dẫn đến toán tối ưu MNEP(C, f ) sau min{ x − xg : x ∈ Sf }, với xg ∈ C điểm chọn trước (đóng vai trị nghiệm đoán) Sf tập nghiệm toán cân EP(C, f ) Bằng cách kết hợp thuật toán chiếu với kỹ thuật siêu phẳng cắt chúng tơi thu thuật tốn cho tốn MNEP(C, f ) Cùng với việc nghiên cứu xây dựng phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân, nhà tốn học cịn quan tâm tới toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) Tìm x∗ ∈ SF cho G(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ SF Bằng cách mở rộng kỹ thuật lai ghép phương pháp đạo hàm tăng cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods) P E Maingé năm 2008 ta thu thuật toán cho toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân VIEP(C, f, G) Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác phương pháp điểm gần kề Năm 2010, A Moudafi áp dụng phương pháp cho lớp toán cân hai cấp đơn điệu để chứng minh hội tụ thuật toán đưa ra, A Moudafi địi hỏi giả thiết tính đơn điệu, tính liên tục song hàm, đặc biệt giả thiết xk+1 −xk = o(ǫk ), giả thiết khó kiểm chứng chúng khơng liên quan tới liệu đầu vào toán Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán cân hai cấp cần thiết Vấn đề đề cập giải luận án 2 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận án nghiên cứu nội dung sau toán cân toán cân hai cấp: - Nội dung Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho toán cân giả đơn điệu tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn tập nghiệm toán cân giả đơn điệu - Nội dung Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu - Nội dung Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải toán cân hai cấp PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để xây dựng phương pháp giải toán cân lớp toán cân hai cấp mở rộng phương pháp chiếu M V Solodov B F Svaiter, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo đồng thời kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt kỹ thuật lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt Để xây dựng phương pháp giải tốn cân hai cấp chúng tơi sử dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá nguyên lý toán phụ KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt kết sau đây: • Xây dựng thuật toán chiếu giải toán cân giả đơn điệu theo tập nghiệm Chứng minh tính đắn hội tụ thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào toán cân Nash-Cournot mơ hình cân thị trường điện bán độc quyền Xây dựng thuật toán chiếu kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt giải tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu Chứng minh tính đắn hội tụ thuật tốn đề xuất • Xây dựng thuật tốn lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu Chứng minh tính đắn hội tụ thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp • Để xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp Chứng minh định lý hội tụ dãy nghiệm toán phạt tới nghiệm toán cân hai cấp ban đầu Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ khái niệm ∇-đơn điệu Chứng minh điểm dừng hàm đánh giá nghiệm toán cân song hàm cân giả ∇-đơn điệu chặt Đồng thời hướng giảm hàm đánh giá điểm điểm dừng.Áp dụng phương pháp vào toán nảy sinh ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Luận án gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị; Chương Một phương pháp chiếu cho toán cân giả đơn điệu áp dụng vào lớp toán cân hai cấp Chương Kết hợp phương pháp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Các khái niệm kết Mục trình bày số khái niệm tập lồi hàm lồi, đạo hàm vi phân hàm lồi 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng Mục dành để trình bày tốn cân số trường hợp riêng như: tốn bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu véc tơ, toán điểm bất động, toán cân Nash trị chơi khơng hợp tác, trình bày định lý Ky Fan số định lý tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán cân Ta nhắc lại khái niệm tốn cân Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H ¯ f : C × C → R thỏa mãn f (x, x) = với x ∈ C; hàm f gọi song hàm cân (equilibrium bifunction) Bài toán cân hay bất đằng thức Ky Fan tốn Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Ta ký hiệu toán EP(C, f ) tập nghiệm Sf 1.3 Bài toán cân tương đương Trong mục này, chúng tơi trình bày định lý điều kiện để toán cân EP(C, f ) tương đương với toán cân EP(C, g) hệ trực tiếp ngun lý tốn phụ cho toán cân số bổ đề cần thiết cho việc xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán chương sau 1.4 Bài toán cân hai cấp Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H f, g : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân xác định C Ta xét toán cân hai cấp (bilevel equilibrium problem) hay toán cân tập nghiệm tốn cân BEP(C, f, g) sau Tìm điểm x∗ ∈ Sf cho g(x∗ , y) ≥ ∀y ∈ Sf , đó, Sf tập nghiệm tốn cân Tìm điểm u ∈ C cho f (u, y) ≥ ∀y ∈ C Bài toán BEP(C, f, g), theo hiểu biết A Moudafi [45] xét đến năm 2010 xây dựng phương pháp điểm gần kề cho lớp toán song hàm f , g đơn điệu C Tuy có dạng đơn giản toán BEP(C, f, g) tổng qt chứa nhiều lớp tốn quan trọng khác trường hợp riêng nó, chẳng hạn như: Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Chương MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Trong chương này, nghiên cứu xây dựng thuật toán chiếu giải toán cân giả đơn điệu, áp dụng thuật toán vào mơ hình cân Nash-Cournot thị trường điện bán độc quyền, đồng thời kết hợp thuật toán với kỹ thuật siêu phẳng cắt để xây dựng phương pháp giải cho toán tối ưu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân giả đơn điệu Nội dung chương dựa báo [2], [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 Đặt toán Giả sử Ω ⊆ Rn tập lồi mở chứa tập lồi đóng C f : Ω×Ω → R song hàm cân xác định C; G : Ω → Rn toán tử xác định Ω Trong chương này, xây dựng thuật tốn giải tốn sau: • Bài tốn cân EP(C, f ) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Gọi Sf tập nghiệm toán EP(C, f ) • Bài tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân MNEP(C, f ) min{ x − xg : x ∈ Sf } với xg ∈ C điểm cho trước • Bài tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân VIEP(C, f, G) Tìm x∗ ∈ Sf cho G(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ Sf Trong chương này, sử dụng giả thiết sau: (A1) Hàm f (., y) liên tục Ω với y ∈ C; (A2) Hàm f (x, ) lồi Ω với x ∈ C; (A3) Hàm f giả đơn điệu C theo tập nghiệm Sf toán cân EP(C, f ); (A4) Toán tử G L-Lipschitz β-đơn điệu mạnh C; (B1) Hàm h(.) δ-lồi mạnh khả vi liên tục Ω; ∞ (B2) {λk } dãy số dương cho ∞ λk = ∞; k=0 λk < ∞ k=0 Với z ∈ C, ta kí hiệu ∂2 f (z, z) = {w ∈ Rn : f (z, y) ≥ f (z, z) + w, y − z , ∀y ∈ C} = {w ∈ Rn : f (z, y) ≥ w, y − z , ∀y ∈ C}, với w ∈ ∂2 f (z, z), Hz = {x ∈ Rn : w, x − z ≤ 0} Bổ đề 2.1 Giả sử song hàm cân f thỏa mãn giả thiết (A2) (A3), ta có Sf ⊆ Hz với z ∈ C Bổ đề 2.2 Giả sử giả thiết (A1) (A2) thỏa mãn {z k } ⊂ C dãy hội tụ z cho {wk } hội tụ w, với ¯ ¯ wk ∈ ∂2 f (z k , z k ) với k, ta có w ∈ ∂2 f (¯, z ) ¯ z ¯ Bổ đề 2.3 Giả sử song hàm cân f thỏa mãn giả thiết (A1), (A2), hàm h thỏa mãn giả thiết (B1) Nếu {xk } ⊂ C dãy bị chặn {y k } dãy xác định y k = arg f (xk , y)+ {y k } dãy bị chặn h(y)−h(xk )− ∇h(xk ), y −xk ρ : y∈C , Thuật toán 2.2 Lấy x0 = xg ∈ C ρ > 0, η ∈ (0, 1) Ở bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước: Bước Tính y k = PC (xk − ρ F (xk )) Nếu y k = xk , dừng, xk nghiệm toán VIP(C, F ), ngược lại chuyển sang Bước Bước Tìm mk số nguyên dương nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn F (z k,m ), xk − y k ≥ k y − xk ρ , (2.19) Ck = {x ∈ C : F (z k ), x − z k ≤ 0} (2.20) z k,m = (1 − η m )xk + η m y k Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Bước Tính xk+1 = PCk (xk ), với Tăng k lên đơn vị quay vể Bước Áp dụng Bổ đề 2.6 Định lý 2.1 vào Thuật toán 2.2 ta thu kết sau Hệ 2.1 Giả sử toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có nghiệm hàm F liên tục Rn , giả đơn điệu C theo tập nghiệm SF nó, với x∗ ∈ SF ta có xk+1 −x∗ ≤ xk −x∗ − xk+1 − xk ¯ − ηk ρ F (z k ) xk −y k ∀k, (2.21) Hệ 2.2 Với giả thiết Hệ 2.1 dãy {xk } sinh Thuật tốn 2.2 hội tụ tới nghiệm toán VIP(C, F ) Nhận xét 2.2 Thuật toán 2.2 đề xuất M V Solodov B F Svaiter báo [60] Các Hệ 2.1 Hệ 2.2 chứng minh báo 11 2.3 Áp dụng vào tốn cân Nash-Cournot mơ hình cân thị trường điện bán độc quyền Mục dành để trình bày áp dụng Thuật tốn 2.1 giải tốn cân Nash-Cournot mơ hình cân thị trường điện bán độc quyền theo liệu báo [23] J Contreras, M Klusch, J B Krawczyk (2004) [56] T D Quoc, P N Anh, L D Muu (2012) 2.4 Áp dụng vào tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu Trong mục này, kết hợp Thuật toán 2.1 với kỹ thuật siêu phẳng cắt để thu thuật toán cho toán MNEP(C, f ) Thuật toán 2.3 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1) Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh sau f (xk , y) + ρ h(y) − h(xk ) − ∇h(xk ), y − xk : y∈C , để thu nghiệm y k Nếu xk = y k , lấy uk = xk chuyển sang Bước Ngược lại, thực Bước Bước Tìm mk số nguyên dương nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k :    wk,m ∈ ∂2 f (z k,m , z k,m ),   k,m k   w , x − y k ≥ h(y k ) − h(xk ) − ∇h(xk ), y k − xk ρ (2.25) Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk , wk = wk,m Bước Lấy uk = PCk (xk ), với Ck = {x ∈ C : wk , x − z k ≤ 0} 12 (2.26) Bước Xác định hai nửa không gian sau Bk = {x : uk − x ≤ xk − x }, (2.27) Dk = {x : x − xk , xg − xk ≤ 0}, (2.28) tính Ak = Bk ∩ Dk ∩ C, xk+1 = PAk (xg ) (2.29) Nếu xk+1 = xk , dừng, xk nghiệm toán MNEP(C, f ) Ngược lại, quay lại Bước lặp thứ k với k thay k + Nhận xét 2.3 Nếu xk+1 = xk từ (2.27), (2.26) (2.25) ta suy xk ∈ Sf Mà Sf ⊆ Ak , ∀k nên ta có xk+1 = PSf (xg ) Bổ đề 2.7 Giả sử uk = PCk (xk ) x∗ nghiệm tốn cân EP(C, f ) Khi ta có uk −x∗ ≤ xk −x∗ − uk − xk ¯ ηk δ ρ wk − xk −y k ∀k (2.30) Định lí 2.2 Giả sử giả thiết Định lý 2.1 thỏa mãn, dãy {xk } {uk } sinh Thuật toán 2.3 hội tụ tới nghiệm toán MNEP(C, f ) Áp dụng Thuật toán 2.3 vào toán MNVIP(C, F ) ta thu Thuật toán 2.4 sau Thuật toán 2.4 Bước khởi tạo Lấy x0 = xg ∈ C ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1) Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước: Bước Tính y k = PC (xk − ρ F (xk )) Nếu y k = xk , lấy uk = xk chuyển sang Bước Bước Tìm mk số nguyên dương nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k ,  F (z k,m ), xk − y k ≥ y k − xk ρ (2.38) 13 Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Bước Lấy uk = PCk (xk ), với Ck = {x ∈ C : F (z k ), x − z k ≤ 0} (2.39) Bước Xác định hai nửa không gian sau Bk = {x : uk − x ≤ xk − x }, (2.40) Dk = {x : x − xk , xg − xk ≤ 0}, (2.41) tính Ak = Bk ∩ Dk ∩ C, xk+1 = PAk (xg ) (2.42) Nếu xk+1 = xk , dừng, xk nghiệm Ngược lại, thay k k + quay Bước lặp thứ k Áp dụng Bổ đề 2.7 Định lý 2.2 vào Thuật toán 2.4 ta thu hệ sau Hệ 2.3 Giả sử toán VIP(C, F ) có nghiệm tốn tử F liên tục Ω, giả đơn điệu C theo tập nghiệm SF tốn VIP(C, F ), với x∗ ∈ SF ta có uk − x∗ ≤ xk − x∗ − uk − xk ¯ − ηk ρ F (z k ) xk − y k ∀k (2.43) xk = PHk (xk ) Hk = {x ∈ Rn : F (z k ), x − z k ≤ 0} ¯ Hệ 2.4 Với giả thiết Hệ qủa 2.3 dãy {xk }, {uk } sinh Thuật tốn 2.4 hội tụ tới điểm x∗ hình chiếu điểm xg lên tập nghiệm toán VIP(C, F ) 2.5 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 2.5.1 Đặt toán Mục dành để giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân VIEP(C, f, G) 14 2.5.2 Thuật toán chiếu cho toán VIEP(C, f, G) Thuật toán 2.5 Bước khởi tạo Chọn x0 ∈ C tham số η ∈ (0, 1), ρ > Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh f (xk , y) + h(y) − h(xk ) − ∇h(xk ), y − xk ρ : y∈C thu nghiệm y k Nếu y k = xk , đặt uk = xk chuyển tới Bước Ngược lại, chuyển sang Bước Bước (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo) Tìm mk số nguyên dương nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k :    (2.46) wk,m ∈ ∂2 f (z k,m , z k,m ),   k,m k   w , x − y k ≥ h(y k ) − h(xk ) − ∇h(xk ), y k − xk ρ Bước Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk , wk = wk,mk , Ck = {x ∈ C : wk , x − z k ≤ 0}, tính uk = PCk (xk ) (2.47) Bước Đặt xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) chuyển Bước lặp thứ k với k thay k + Nhận xét 2.4 • Nếu uk = xk xk ∈ Sf Nếu uk = xk = xk+1 , xk nghiệm tốn VIEP(C, f, G) • wk = ∀k Bổ đề 2.8 Giả sử giả thiết (A1), (A2), (A3) (A4) thỏa mãn, đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.46) xác định đắn theo nghĩa, bước lặp k, tồn số nguyên dương m > thỏa mãn bất đẳng thức (2.46) với wk,m ∈ ∂2 f (z k,m , z k,m ), 15 thêm vào đó, với nghiệm x∗ tốn cân EP(C, f ), ta có xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ − uk − xk ¯ − ηk δ ρ wk − 2λk uk − x∗ , G(uk ) + λ2 G(uk ) k 2 xk − y k ∀k (2.48) xk = PHzk (xk ) ¯ Bổ đề 2.9 Giả sử giả thiết (A1), (A2), (A3) (A4) thỏa mãn dãy {xk }, {uk } sinh Thuật toán 2.5 bị chặn Bổ đề 2.10 Tồn dãy {xki } ⊂ {xk } hội tụ điểm x ∈ C, dãy {y ki }, {z ki } {wki } bị chặn ¯ Bổ đề 2.11 Nếu dãy {xki } ⊂ {xk } hội tụ điểm x ¯ ηk (2.60) y ki − xki ( kii )2 → i → ∞, w x ∈ Sf ¯ Định lí 2.3 Giả sử tập nghiệm Sf toán cân EP(C, f ) khác rỗng hàm h(.), dãy {λk } thỏa mãn điều kiện (B1), (B2) tương ứng, với giả thiết (A1), (A2), (A3) (A4), dãy {xk } sinh Thuật toán 2.5 hội tụ nghiệm x∗ toán VIEP(C, f, G) 2.5.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) Thuật tốn 2.5 trở thành Thuật toán 2.6 Bước khởi tạo Chọn x0 ∈ C tham số η ∈ (0; 1), ρ > Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực bước: Bước 16 ρ y k = PC (xk − F (xk )) Nếu y k = xk , đặt uk = xk chuyển tới Bước Ngược lại, chuyển sang Bước Bước (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo) Tìm mk số nguyên dương nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k : (2.71)  F (z k,m ), xk − y k ≥ y k − xk ρ Bước Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Tính Ck = {x ∈ C : F (z k ), x − z k ≤ 0}, uk = PCk (xk ) (2.72) Bước Đặt xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) chuyển Bước lặp thứ k với k thay k + Áp dụng Định lý 2.3 vào thuật toán ta thu hệ sau Hệ 2.5 Giả sử tập nghiệm SF toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) khác rỗng, toán tử F liên tục Ω, giả đơn điệu theo tập SF C, toán tử G thỏa mãn giả thiết (A4) dãy số {λk } thỏa mãn giả thiết (B2), dãy {xk } sinh Thuật toán 2.6 hội tụ nghiệm x∗ toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) 17 Chương KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Trong chương này, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp hàm đánh giá giải toán cân hai cấp, đồng thời áp dụng phương pháp đề xuất vào toán nảy sinh ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân Nội dung chương dựa báo [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 Đặt toán Giả sử C tập lồi đóng Rn f, g : C × C → R song hàm cân xác định C Chúng xét toán cân hai cấp BEP(C, f, g) sau Tìm x∗ ∈ Sf cho g(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Sf , (3.1) Sf = {u ∈ C : f (u, y) ≥ 0, ∀y ∈ C} 3.2 Phương pháp hàm phạt Ta nhắc lại rằng, song hàm cân ϕ : C × C → R gọi đơn điệu mạnh C với hệ số β > ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ≤ −β||x − y||2 ∀x, y ∈ C, gọi thỏa mãn điều kiện (hay ngắn gọn bức) C tồn tập com pắc B ⊂ Rn véc tơ y0 ∈ B ∩ C cho ϕ(x, y0 ) < 0, ∀x ∈ C \ B Mệnh đề 3.1 Giả sử ϕ đơn điệu mạnh C với hệ số β > 0, cho ϕ(x, ) lồi nửa liên tục theo biến thứ hai với x ∈ C Khi đó, với y ∈ C tồn tập com pắc B cho y ∈ B ϕ(x, y) < ∀x ∈ C \ B 18 Hệ 3.1 [36, Proposition 2.1.16] Nếu song hàm cân ϕ đơn điệu mạnh C, ϕ(x, ) lồi, nửa liên tục theo biến thứ hai với x ∈ C, ϕ C Hệ 3.2 Giả sử song hàm g đơn điệu mạnh C, g(x, ) lồi, nửa liên tục theo biến thứ hai với x ∈ C Nếu song hàm f C thì, với số ǫ > 0, song hàm f + ǫg theo ǫ C, tức là, tồn điểm y0 ∈ C tập com pắc B không phụ thuộc vào ǫ cho f (x, y0 ) + ǫg(x, y0 ) < ∀x ∈ C \ B Nhận xét 3.1 Hai song hàm cân f g giả đơn điệu C, tổng f + g khơng thiết giả đơn điệu C Ví dụ 3.1 Xét hai song hàm f (x, y) = (x2 y1 − x1 y2 )ex2 g(x, y) = (x1 y2 − x2 y1 )ex1 xác định tập C = {(x1 , x2 )T ∈ R2 : −1 ≤ x1 , (x1 − 9) ≤ x2 ≤ 10x1 + 9} 10 Khi đó, ta có (a) f (x, y), g(x, y) giả đơn điệu C; (b) Với số ǫ > 0, hàm fǫ (x, y) = f (x, y) + ǫg(x, y) không giả đơn điệu không thỏa mãn điệu kiện C Bây với số ǫ > cố định, đặt fǫ = f + ǫg, ta xét toán cân phạt PEP(C, fǫ ) xác định sau Tìm xǫ ∈ C cho fǫ (¯ǫ , y) = f (¯ǫ , y) + ǫg(¯ǫ , y) ≥ ∀y ∈ C ¯ x x x Tập nghiệm toán phạt PEP(C, fǫ ) kí hiệu Sfǫ Định lí 3.1 Giả sử f, g giả đơn điệu, nửa liên tục theo biến thứ nửa liên tục dưới, lồi theo biến thứ hai C Khi điểm tụ dãy {xk } với xk ∈ Sfǫk với k, ǫk → 19 nghiệm toán cân hai cấp ban đầu Thêm vào đó, hàm g đơn điệu mạnh hàm f C, với ǫk > tốn phạt PEP(C, fǫk ) có nghiệm dãy {xk } với xk ∈ Sfǫk hội tụ tới nghiệm toán hai cấp (3.1) ǫk → Nhận xét 3.2 Định lý 3.1 cho phép ta chuyển việc giải toán BEP(C, f, g) giải dãy toán phạt PEP(C, fǫ ) Nếu f g đơn điệu, tốn phạt PEP(C, fǫ ) đơn điệu nên PEP(C, fǫ ) giải phương pháp có Tuy nhiên, f g giả đơn điệu tốn phạt PEP(C, fǫ ), khơng thừa hưởng tính chất đơn điệu từ f g phương pháp có sử dụng tính chất đơn điệu khơng thể áp dụng cho tốn PEP(C, fǫ ) cách trực tiếp 3.3 Hàm đánh giá hướng giảm Trong mục này, ta giả thiết hàm f g nửa liên tục dưới, lồi C theo biến thứ hai Định nghĩa 3.1 Hàm ϕ : C → R ∪ {+∞} gọi hàm đánh giá (gap function) cho toán PEP(C, fǫ ) (a) ϕ(x) ≥ ∀x ∈ C; (b) ϕ(¯) = x nghiệm toán PEP(C, fǫ ) x ¯ Mệnh đề 3.2 ([xem 42]) Giả sử l : C × C → R hàm số khả vi, không âm, lồi mạnh theo biến thứ hai C thỏa mãn (a) l(x, x) = ∀x ∈ C; (b) ∇y l(x, x) = ∀x ∈ C Khi đó, hàm ϕǫ (x) = − miny∈C [f (x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)]] hàm đánh giá hữu hạn cho tốn PEP(C, fǫ ) Nếu thêm vào đó, f g khả vi theo biến thứ cho ∇x f (x, y), ∇x g(x, y) hàm liên tục C × C, ϕǫ (x) hàm khả vi C ∇ϕǫ (x) = −∇x gǫ (x, yǫ (x)), 20 gǫ (x, y) = f (x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)], yǫ (x) = arg miny∈C {gǫ (x, y)} Định nghĩa 3.2 Song hàm khả vi f : C × C → R gọi là: (a) ∇-đơn điệu mạnh C tồn số τ > cho: ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y), y − x ≥ τ ||y − x||2 ∀x, y ∈ C; (b) ∇-đơn điệu chặt C ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y), y − x > ∀x, y ∈ C x = y; (c) ∇-đơn điệu C ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y), y − x ≥ ∀x, y ∈ C; (d) giả ∇-đơn điệu chặt C ∇x f (x, y), y−x ≤ =⇒ ∇y f (x, y), y−x > ∀x, y ∈ C, x = y; (e) giả ∇-đơn điệu C ∇x f (x, y), y − x ≤ =⇒ ∇y f (x, y), y − x ≥ ∀x, y ∈ C Nhận xét 3.3 Các định nghĩa (a), (b), (c) tìm thấy số cơng trình G Mastroeni năm 2003 [42], G Bigi, M Castellani, M Pappalardo năm 2009 [14], định nghĩa (d) (e), hiểu biết chúng tôi, chưa đưa trước Từ định nghĩa trên, ta thấy (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (e) (a) ⇒ (b) ⇒ (d) ⇒ (e) Tuy nhiên, (c) khơng kéo theo (d) ngược lại ví dụ sau Ví dụ 3.2 Với f (x, y) = ex (y − x2 ) xác định R × R f khơng ∇-đơn điệu R f giả ∇-đơn điệu chặt R Ngược lại, với song hàm f (x, y) = (y − x)T M (y − x) xác định C × C, với C = Rn M ma trận thực cấp n × n Ta có 21 (a) f ∇-đơn điệu C không ∇-đơn điệu chặt C (b) f ∇-giả đơn điệu chặt C M + M T ma trận xác định dương cấp n × n Định lí 3.2 Giả sử gǫ giả ∇-đơn điệu chặt C x ¯ điểm dừng hàm đánh giá ϕǫ C, tức ∇ϕǫ (¯), y − x x ¯ ≥0 ∀y ∈ C, x nghiệm tốn phạt PEP(C, fǫ ) ¯ Mệnh đề 3.3 Giả sử gǫ giả ∇-đơn điệu chặt C x nghiệm tốn PEP(C, fǫ ), ∇ϕǫ (x), yǫ (x) − x < Mệnh đề 3.4 Giả sử f, g song hàm khả vi liên tục tập com pắc C cho f (x, ) lồi chặt C với x ∈ C f giả ∇-đơn điệu chặt C Khi đó, x ∈ C khơng nghiệm tốn EP(C, f ), tồn số ǫ > cho yǫ (x) − x hướng ¯ giảm hàm ϕǫ C x với < ǫ ≤ ǫ ¯ Các ví dụ sau giả thiết Định lý 3.2 thỏa mãn Ví dụ 3.3 Xét hai song hàm 2 f (x, y) = ex (y − x2 ), g(x, y) = 10x (y − x2 ), xác định R × R Khi ta có (a) f (x, y), g(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R (b) Với ǫ > 0, f (x, y) + ǫg(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 Ví dụ 3.4 Xét hai song hàm f (x, y) = −3x2 y + xy + 2y , g(x, y) = −x2 − xy + 2y , xác định R+ × R+ , 22 (a) f, g giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ ; (b) Với ǫ > 0, f (x, y) + ǫg(x, y) giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov áp dụng cho toán EP(C, f ) dẫn đến toán cân hai cấp BEP(C, f, g) với g song hàm hiệu chỉnh Bằng cách chọn g(x, y) = x − xg , y − x ta có g đơn điệu mạnh ∇-đơn điệu mạnh với hệ số Áp dụng Định lý 3.1 Định lý 3.2 trên, ta nhận hệ sau Hệ 3.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện (a) Với x ∈ C, f (x, ) lồi, nửa liên tục C; (b) f giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện C Khi đó, với ǫk > tốn phạt PEP(C, fǫk ) ln có nghiệm dãy {xk } xk ∈ Sfǫk , hội tụ tới nghiệm toán BEP(C, f, g) ǫk → Nếu thêm vào đó, f (x, ) + ǫk g(x, ) hàm lồi chặt C với x ∈ C f (x, y) + ǫk g(x, y) giả ∇-đơn điệu chặt C (điều thỏa mãn f (x, y) ∇-đơn điệu) xk điểm dừng bất ¯ kì tốn tối ưu minx∈C ϕk (x) với ϕk (x) = miny∈C {f (x, y) + ǫk g(x, y)}, {¯k } hội tụ tới nghiệm x toán BEP(C, f, g) ǫk → 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Luận án đạt kết sau: (a) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán chiếu cho toán cân giả đơn điệu tốn tìm cựu tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng thuật toán đề xuất vào mơ hình Nash-Cournot vấn đề cân thị trường điện bán độc quyền Các kết thể cơng trình [2] (b) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Các kết thể công trình [3] (c) Đề xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu chứng minh tính chất dừng hàm đánh giá giả thiết Áp dụng vào toán nảy sinh sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân Các kết thể cơng trình [1] KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Xây dựng thuật toán chiếu kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt cho toán VIEP(C, f, G) • Xây dựng thuật toán lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho lớp tốn BEP(C, f, g) • Nghiên cứu phương pháp hàm đánh giá giải toán EP(C, f ) khơng trơn áp dụng vào tốn BEP(C, f, g) khơng trơn 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN On penalty and gap function methods for bilevel equilibrium problems, J Appl Math., DOI:10.1155/2011/646452 A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization, DOI: 10.1080/02331934.2013.773329 An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilibrium constraints submitted Các kết luận án báo cáo • Xêmina Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; • Xêmina Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam; • Hội nghị Khoa học nhà nghiên cứu trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, năm 2010, 2011; • Hội Thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 9, Ba Vì, Hà Nội, 2011; • The 5th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hanoi 2012 25 ... chuẩn bị; Chương Một phương pháp chiếu cho toán cân giả đơn điệu áp dụng vào lớp toán cân hai cấp Chương Kết hợp phương pháp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN... CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu xây dựng thuật tốn chiếu giải toán cân giả đơn điệu, áp dụng thuật tốn vào mơ hình cân. .. VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Trong chương này, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp hàm đánh giá giải toán cân hai cấp, đồng thời áp dụng phương pháp đề xuất vào toán nảy