Một số phương pháp giải bài toán cân bằng và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ PHẠM MINH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số: 62 46 01 10 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2017 Cơng trình hồn thành tại: VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QUÂN SỰ - BỘ QUỐC PHÒNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh TS Nguyễn Mạnh Linh Phản biện 1: GS.TSKH Lê Dũng Mưu Phản biện 2: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Bá Minh Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện, họp Viện KH&CNQS Vào hồi ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Viện Khoa học Công nghệ quân - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, toán cân đặc biệt quan tâm nghiên cứu lý thuyết ứng dụng Bài toán cân bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng giait tích phi tuyến tối ưu toán cân Nash, bất đẳng thức biến phân, toán bù phi tuyến, toán tối ưu (tối ưu véc tơ), toán điểm bất động, tốn điểm n ngựa lý thuyết trò chơi Hơn hợp tốn với cấu trúc rõ ràng tiện lợi cho việc nghiên cứu toán phức tạp nảy sinh thực tiễn Các nghiên cứu định tính thu nhiều kết quan trọng Các nghiên cứu phương pháp giải đạt nhiều kết quả, nhiên việc nghiên cứu giải toán cân với giả thiết phù hợp hiệu tiếp tục nghiên cứu Với mơ hình ứng dụng cụ thể thuật toán giải toán cân thực máy tính, đó, phần mềm Matlab cơng cụ hữu hiệu giải tốn tối ưu nói chung tốn cân nói riêng Các phương pháp giải tốn cân phân theo ba cách tiếp cận khác Hướng thứ sử dụng hàm đánh giá Phương pháp thay việc giải trực tiếp toán cân bằng phương pháp dựa hàm đánh giá đưa toán cân tốn tối ưu phù hợp Sau sử dụng phương pháp tối ưu cục để giải toán tối ưu Phương pháp hàm đánh giá xuất toán học ứng dụng tối ưu, sử dụng cho toán bất đẳng thức biến phân Zhu Marcotte Mastroeni phát triển phương pháp cho toán cân Cách tiếp cận thứ hai dựa nguyên lý toán phụ Bài toán cân đưa toán tương đương, gọi toán phụ, dễ giải Nguyên lý giới thiệu Cohen cho toán tối ưu sau ứng dụng cho tốn bất đẳng thức biến phân Mastroeni áp dụng phương pháp cho toán cân đơn điệu mạnh liên tục kiểu Lipschitz Cách tiếp thứ ba phương pháp điểm gần kề Phương pháp điểm gần kề Martinet phát để giải toán bất đẳng thức biến phân sau Rockafelar sử dụng để tìm nghiệm tốn tìm khơng điểm cho ánh xạ đơn điệu cực đại Gần đây, nhiều nghiên cứu phát triển cho toán cân Luận án "Một số phương pháp giải toán cân ứng dụng" đề xuất số phương pháp giải toán cân đưa số ví dụ minh họa cho mơ hình cân Nash-Cournot Cấu trúc luận án Luận án phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chia thành bốn chương: • Chương Bài tốn cân • Chương Phương pháp xấp xỉ • Chương Phương pháp xấp xỉ ngồi • Chương Phương pháp lặp egodic Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG Trong chương này, luận án nhắc lại định nghĩa toán cân số tính chất đơn điệu, liên tục kiểu Lípchitz số phương pháp giải biết toán cân Định nghĩa 1.1 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Rn song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} Bài toán cân (Viết tắt, EP (f, C)) định nghĩa sau: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , x) ≥ 0, ∀x ∈ C f (x, x) = với x ∈ C song hàm thỏa mãn điều kiện gọi song hàm cân C Định nghĩa nhắc lại số tính chất đơn điệu song hàm cân bằng: Định nghĩa 1.2 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn Song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}, gọi là: (i) đơn điệu C, f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C; (ii) đơn điệu chặt C, f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C x = y; (iii) giả đơn điệu C, f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C; (iv) đơn điệu mạnh C với số γ > 0, f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y , ∀x, y ∈ C; (v) giả đơn điệu mạnh C với số γ > 0, f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ −γ x − y , ∀x, y ∈ C; (vi) liên tục kiểu Lipschitz C với số c1 > 0, c2 > 0, f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y − c2 y − z , ∀x, y, z ∈ C, Từ định nghĩa, ta có: (iv) ⇒ (ii) ⇒ (i) ⇒ (iii); (iv) ⇒ (v) ⇒ (iii) Một số phương pháp giải biết Phần trình bày số toán cân EP (f, C) biết với điều kiện song hàm tập ràng buộc phù hợp Thuật toán 1.1 Phương pháp điểm gần kề Bước Chọn k := 0, x0 ∈ C β > Bước Tìm xk+1 ∈ C, cho f (xk+1 , y) + β xk+1 − xk , y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C Bước xk+1 = xk Dừng Ngược lại, k := k + quay lại Bước Thuật toán 1.2 Phương pháp điểm bất động Bước Chọn x0 ∈ C, k := Bước Tìm xk+1 ∈ C nghiệm toán f (xk , y) : y ∈ C Bước xk+1 = xk Dừng xk nghiệm EP (f, C) Ngược lại, k := k + quay lại Bước Thuật toán 1.3 Phương pháp nguyên lý toán phụ Bước Chọn x0 ∈ C, k = λ > Bước Tìm xk+1 ∈ C nghiệm toán λf (xk , y) + h(xk , y) : y ∈ C Bước xk+1 = xk Dừng, xk nghiệm Ngược lại, đặt k := k + quay lại Bước Ở đó, h : C × C → R, cho (A1 ) h không âm khả vi liên tục C × C, (A2 ) h(x, x) = ∇h(x, )(x) = 0, ∀x ∈ C, (A3 ) h(x, ) lồi mạnh, ∀x ∈ C Thuật toán 1.4 Phương pháp chiếu Bước Chọn x0 ∈ C, k = Bước Tìm xk+1 ∈ C nghiệm toán λf (xk , y) + k x −y 2 :y∈C Bước xk+1 = xk Dừng, xk nghiệm Ngược lại, đặt k := k + quay lại Bước Thuật toán 1.6 Phương pháp đạo hàm tăng cường Bước Chọn x0 ∈ C, k = 0, α ∈ (0, 1), ρ ∈ (0, 1), β > dãy số dương {γk } Bước Tìm y k nghiệm toán đây: βf (xk , y) + y − xk 2 :y∈C y k = xk , Dừng xk nghiệm EP (f, C) Ngược lại y k = xk , thực Bước Bước Tìm m số nguyên không âm nhỏ cho f (z k,m , xk ) − f (z k,m , y k ) ≥ α k y − xk , β z k,m = (1 − ρm )xk + ρm y k đặt z k := z k,m thực Bước Bước Chọn g k ∈ ∂f (z k , ·)(xk ), tính σk := f (z k , xk ) gk xk+1 := P rC (xk − γk σk g k ) đặt k := k + quay lại Bước Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG Chương trình bày hai phương pháp giải toán cân Thứ phương pháp chiếu cải tiến giải toán cân giả đơn điệu mạnh Thứ hai phương pháp xấp xỉ giải tốn giả đơn điệu khơng đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz 2.1.1 Phương pháp chiếu cải tiến Phần trình bày phương pháp để giải toán cân giả đơn điệu mạnh Ước lượng sai số nghiệm cho dãy lặp sinh thuật toán xác định với vài giả thiết Một ví dụ minh họa trình bày 2.1 Thuật toán Cho > gọi điểm x¯ ∈ C -nghiệm EP (f, C) tồn x∗ ∈ Sol(f, C) cho x¯ − x∗ ≤ Xét toán cân với song hàm f is γ-giả đơn điệu mạnh liên tục kiểu Lipschitz với số c1 > c2 > C Thuật toán 2.1 Chọn dãy số dương {λk } thỏa mãn điều kiện sau: < a ≤ λk ≤ b < , c2 < γ, > 0, δ = 2c1 1 + 2a(γ − c2 ) Bước 0: k = 0, Chọn x0 ∈ C Bước 1: Giải toán lồi mạnh: xk+1 = argmin λk f (xk , y) + y − xk 2 :y∈C (1 − δ) , kết thúc: xk+1 -nghiệm δ EP (f, C) Ngược lại, đặt k := k + quay lại Bước Bước 2: Nếu xk − xk+1 < Định lý 2.1 Cho f : C × C → R γ- giả đơn điệu mạnh C, liên tục kiểu Lipschiz với hệ số c1 > c2 > Với x ∈ C, f (x, ·) lồi khả vi phân C Thì Sol(f, C) có nghiệm x∗ [1 + 2λk (γ − c2 )] xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ , ∀k ≥ Hơn nữa, dãy {xk } sinh Thuật toán 2.1 hội tụ tới nghiệm x∗ với sai số sau: xk+1 − x∗ ≤ xk+1 − x∗ ≤ δ k+1 x − x∗ 1−δ δ xk − xk+1 1−δ Hệ 2.1 Cho F : C → Rn γ-đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz 2γ với L > Cho < a ≤ λk ≤ b < , δ = dãy L + 2a (γ − L) xk xác định x0 ∈ C, xk+1 := P rC (xk − λk F (xk )), ∀k ≥ xk hội tụ tới nghiệm x∗ toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) với sai số: xk+1 − x∗ ≤ δ k+1 x0 − x∗ xk+1 − x∗ ≤ δ xk − xk+1 1−δ 11 l(x) = (l1 (x), l2 (x), · · · , lp (x)), D(x, y) = d (l(x), l(y)) Khi đạo hàm ∇D(·, y) D(·, y) x với y ∈ C xác định ∇D(·, y)(x) = −AT l(x) − l(y) + µXy ln l(x) l(y) , Xy = diag (l1 (y), · · · , lp (y)) l(x) l1 (x) lp (x) ln = ln , · · · , ln l(y) l1 (y) lp (y) Thuật toán 2.2 Bước Chọn x0 ∈ C, < σ < β ¯ A−1 γ ∈ (0, 1) Bước Tính y k := argmin f (xk , y) + βD(y, xk ) : y ∈ C , r(xk ) := xk − y k r(xk ) = Dừng Ngược lại, đặt z k := xk − γ mk r(xk ), mk số nguyên không âm nhỏ cho f xk − γ mk r(xk ), y k ≤ −σ r(xk ) Bước Tính xk+1 := P rCk ∩Hk (x0 ), Ck = x ∈ C : f (z k , x) ≤ , Hk = x ∈ Rn : x − xk , x0 − xk ≤ k := k + quay lại Bước 12 Định lý 2.2 Giả sử giả thiết (B1 ) − (B5 ) thỏa mãn, ∂f (x, ·) nửa liên tục trên C, xk sinh Thuật toán 2.2 {xk } ∈ int(C) với k xk hội tụ tới nghiệm x∗ of EP (f, C), x∗ = P rSol(f,C) (x0 ) Định lý 2.3 Giả sử thỏa mãn điều kiện (B1 )−(B4 ) ∂f (x, ·) nửa liên tục trên C, xk sinh Thuật toán 2.2., xk ∈ int(C) với k Sol(f, C) = ∅ thì, lim xk − x0 = +∞ k→∞ 2.2.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.2 Xét the mơ hình cân Cournot-Nash (Moudafi, A: Proximal point algorithm extended to equilibrium problem) Bài toán EP (f, C) xác định sau: f (x, y) = M (x + y) + x, d B(x + y) + q, y − x ,  1  M = 0 3 0     6 9 3 3 , B =   0 1     3 2      , d = 0 q=     1 4 9 5 2 3  3  4 , 7 13 C = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R+ , ≤ x1 + 2x2 + x3 + 3x5 ≤ 12, ≤ xi ≤ 15, i=1 ≤ x2 + x3 + 2x4 ≤ 13, ≤ x2 + x3 ≤ Dãy lặp cho Bảng 2.2 Bảng 2.2 Dãy lặp Ví dụ 2.2 k 10 20 50 100 150 180 200 250 300 350 355 358 360 361 xk1 4.3842 4.4657 4.4901 4.4976 4.5001 4.5012 4.5106 4.5309 4.5370 4.5389 4.5395 4.5396 4.5397 4.5397 xk2 0.0001 00.0013 0.0017 0.0082 0.0099 0.0107 0.0142 0.0412 0.0494 0.0519 0.0526 0.0528 0.0529 0.0529 xk3 3.4633 3.1371 3.0404 3.0117 3.0031 3.0005 2.9716 2.9176 2.9013 2.8963 2.8948 2.8943 2.8942 2.8942 xk4 1.7683 1.9315 1.9796 1.9938 1.9979 1.9989 2.0071 2.0206 2.0247 2.0259 2.0263 2.0264 2.0264 2.0265 xk5 1.3842 1.4657 1.4898 1.4969 1.4990 1.4995 1.4965 1.4897 1.4877 1.4870 1.4868 1.4868 1.4868 1.4868 2.3 Kết luận Chương trình bày hai thuật tốn giải toán cân Thứ phương pháp chiếu cải giải toán giả đơn điệu mạnh Thứ hai phương pháp xấp xỉ giải toán giả đơn điệu liên tục kiểu Lipschitz Hơn nữa, đưa mối liên hệ việc tồn nghiệm toán cân hội tụ dãy lặp 14 thuật toán xấp xỉ Một số ví dụ minh họa trình bày cho hai thuật toán đề xuất Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI Trong chương này, chúng tơi đề xuất hai thuật tốn xấp xỉ ngồi để giải toán cân miền ràng buộc phi tuyến Chiến lược thay miền ràng ràng buộc thuật toán đạo hàm tăng cường thời đa diện Thuật toán thứ cải tiến thuật toán đạo hàm tăng cường với điều kiện tối ưu tiệm cận đòi hỏi song hàm cân thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Tiếp theo để tránh đòi hỏi này, chúng tơi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường với phươngpháp tìm đường kiểu Armijo, sử dụng việc giải toán bất đẳng thức biến phân Hơn nữa, nghiên cứu hội tụ nghiệm thuật toán thứ với điều kiện có sai số tính tốn Xét toán EP (f, C) với: C = {x ∈ Rn : ci (x) ≤ ∀i = 1, 2, · · · , p} , ci hàm lồi, khả vi liên tục, ∃¯ x ∈ Rn : ci (¯ x) < 0, ∀i = 1, 2, · · · , p Song hàm cân f : Rn × Rn → R ∪ {+∞} thỏa mãn: (C1.) Với x ∈ Rn , f (x, ·) lồi, khả vi phân Rn ; (C2.) Với x ∈ Rn , f (·, x) liên tục Rn ; (C3.) Sol(f, C) = ∅ 15 Đặt C(x) := {y ∈ Rn : ci (x) + ci (x), y − x ≤ ∀i = 1, 2, · · · , p} 3.1 Phương pháp xấp xỉ ngồi Thuật tốn 3.1 Bước Chọn σ ∈ (0, 1), x0 ∈ Rn , βk ∈ 0, 1−σ max {c1 , c2 } ∀k = 0, 1, , lim inf βk > k→∞ Bước Giải toán lồi mạnh: y k := argmin βk f (xk , y) + y − xk 2 : y ∈ C(xk ) (1) Đặt r(xk ) := y k − xk r(xk ) = Dừng Ngược lại, thực Bước Bước Giải toán lồi mạnh: xk+1 := argmin βk f (y k , y) + y − xk 2 : y ∈ C(xk ) Đặt k := k + 1, quay lại Bước Định lý 3.1 Cho f liên tục kiểu Lipschiz điều kiện tối ưu tiệm cận sau thỏa mãn ∞ Ω := ∞ k=1 thì, dãy xk EP (f, C) u ∈ Sol(f, C) : f (y k , u) ≤ = ∅ Ωk = k=1 yk hội tụ tới nghiệm x∗ toán Chú ý 3.1 Với Ωk := u ∈ Sol(f, C) : f (y k , u) ≤ , điều kiện ∞ Ωk = ∅ Ω := k=1 16 gọi tối ưu tiệm cận toán EP (f, C) đề xuất Iiduka Yamada, Iusem Sosa Nó điều kiện quy cho thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép cho toán tựa cân Strodiot, Van Hien sử dụng 3.2 Phương pháp xấp xỉ ngồi tìm đường kiểu Armijo Thuật toán 3.2 Bước Chọn σ > 0, x0 ∈ C, < σ < β , γ ∈ (0, 1) Bước Tính y k := argmin f (xk , y) + β y − xk 2 : y ∈ C(xk ) , r(xk ) = xk − y k r(xk ) = Dừng Ngược lại, Tìm số ngun khơng âm nhỏ mk cho f xk − γ mk r(xk ), y k ≤ −σ r(xk ) đặt z k := xk − γ mk r(xk ) Chọn w¯ k ∈ ∂f (z k , ·)(z k ) Bước Tính xk+1 := P rC∩Hk (xk ), Hk = x ∈ Rn : w¯ k , x − z k ≤ đặt k := k + 1, quay lại Bước Định lý 3.2 Giả sử điều kiện tối ưu tiệm cận thỏa mãn dãy C(xk ) bị chặn, w¯ k bị chặn M > thì, x k+1 −x ∗ k ≤ x −x ∗ − x k+1 k − y¯ γ mk σ − M (1 − γ mk ) r(xk ) , Thì dãy xk sinh Thuật tốn 3.2 hội tụ tới nghiệm toán EP (f, C) 17 3.3 Sai số tính tốn Trong phần này, chúng tơi xét hội tụ Thuật tốn 3.1 tới nghiệm toán EP (f, C), với lỗi tính tốn Giả sử bước lặp k, thuật toán 3.1 sinh dãy {xk } {y k } cho    ≤ ,  y k − argmin βk f (xk , y) + y − xk : y ∈ C(xk )   ≤ ,  xk+1 − argmin βk f (y k , y) + y − xk : y ∈ C(xk ) (2) với > 0, phụ thuộc với máy tính Trong trường hợp này, khơng thể có dãy {xk } {y k } hội tụ nghiệm EP (f, C) Với τ > kí hiệu Solτ tập x¯ ∈ C cho r(¯ x) ≤ τ Mục đích dãy sinh Lược đồ (2) hội tụ tới nghiệm xấp xỉ thuộc Solτ Kí hiệu nghiệm xác bước là: y − xk := argmin βk f (ˆ y k , y) + y − xk := argmin βk f (y k , y) + y − xk yˆk := argmin βk f (xk , y) + xˆk+1 x¯k+1 : y ∈ C(xk ) , (3) : y ∈ C(xk ) , (4) : y ∈ C(xk ) (5) Gải sử tham số song hàm f thỏa mãn điều kiện: (i) x∗ ∈ Sol(f, C), ∈ (0, 1) (ii) σ1 > 0, σ2 > 0, |f (x, y)| ≤ σ2 , ∀x, y ∈ C(xk ) ⊂ B(x∗ , σ1 ) ∀k ≥ (iii) f liên tục kiểu Lipschiz với số c1 > 0, c2 > đơn điệu B(x∗ , σ1 + σ2 + 1) (iv) < − 2(3c1 + c2 )βk , ∀k ≥ 18 (v) Điều kiện tối ưu tiệm cận (vi) (1 − 2c1 βi )¯2 − α ¯ i > ∀k,   α ¯ k := + αk σ12 + δk + + αk σ12 + δk σ1 ,      7c1 βk αk := , (1 − 2c2 βk )(1 − 2(c2 + 3c1 )βk )    (σ2 + 6c1 )βk   δk := (1 − 2c2 βk )(1 − 2(c2 + 3c1 )βk ) Định lý 3.3 Giả sử thỏa mãn điều kiện (i) − (v) < số dương 4σ12 , ∀i ≥ 0, K> (1 − 2c1 βi )¯2 − α ¯i < ¯, α¯i định nghĩa (6), dãy {xi } {y i } định nghĩa Lược đồ (2) thì, tồn số nguyên j ∈ [0, K] cho (a) xj − y j ≤ 2¯ (b) xi − y i > 2¯, ∀i = 0, 1, · · · , j − (c) xj ∈ Sol3¯ 3.4 Kết luận Để giải toán EP (f, C), bước lặp k, hầu hết thuật toán giải tốn tập lồi Để thực tính tốn số trường hợp không đơn giản Để khắc phục vấn đề thay tập lồi nói chung đa diện Ck bước lặp Chúng đề xuất hai phương pháp giải toán cân với điều kiện liên tục kiểu Lipschiz không Đầu tiên, đề xuất thuật tốn xấp xỉ ngồi giải tốn cân với điều kiện tối ưu tiệm cận đòi hỏi song hàm cân liên tục kiểu Lipschiz Để tránh điều kiện liên tục kiểu Lipschitz chúng tối đề xuât thuật tốn xấp xỉ ngồi tìm kiếm theo tia kiểu Armijo 19 Chương PHƯƠNG PHÁP ERGODIC Chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải toán cân đơn điệu Phương pháp dựa phương pháp lặp ergodic nguyên lý toán phụ với ma trận đối xứng xác định dương Hơn nữa, đòi hỏi giả thiết đơn giản để dãy lặp hội tụ tới nghiệm toán Đối với phương pháp trước đòi hỏi tính đơn điệu mạnh liên tục kiểu Lipschitz, phương pháp đề xuất đòi hỏi tính đơn điệu yếu Phương pháp áp dụng với toán bất đẳng thức biến phân Phần cuối trình bày ví dụ minh họa 4.1 Thuật toán Thuật toán 4.1 Bước Cho ma trận đối xứng xác định dương M (n × n) Chọn x1 ∈ C k = > Bước Giải toán lồi mạnh xk+1 := argmin λk f (xk , y) + M (y − xk ), y − xk : y ∈ C đặt r(xk ) := xk+1 − xk r(xk ) = Dừng Ngược lại thực Bước k λ j xj Bước Tính z k := j=1 , k := k + quay lại Bước k λj j=1 20 Định lý 4.1 Giả sử f đơn điệu nửa liên tục C, Sol(f, C) = ∅ ∞ ∞ λk |f (xk , xk+1 )| < ∞ λk = ∞, {λk } ⊂ (0, +∞), k=1 k=1 Khi đó, thuật tốn dừng bước lặp xk , xk -nghiệm toán EP (f, C) Ngược lại, dãy {z k } sinh Thuật toán 4.1 hội tụ tới điểm z ∗ ∈ Sol(f, C) Mệnh đề 4.1 Giả sử dãy {xk } sinh từ Thuật toán 4.1 tồn Q > α ∈ (0, 2) cho     1+ ∞ λk α − α < ∞,  k=1   |f (xk , xk+1 )| ≤ Q xk − xk+1 α M ∀k, ∞ λk |f (xk , xk+1 )| < ∞ k=1 Chú ý 4.1 (i) Nếu α ∈ (0, 2), tồn dãy số dương {λk } cho ∞ ∞ λk = ∞ k=1 λk2 − α < ∞ k=1 (ii) trường hợp đặc biệt α = f (x, y) := F (x), y − x , F : C → Rn Nếu dãy {F (xk )} bị chặn, điều kiện (6) thỏa mãn (iii) Nếu song hàm f l liờn tc Hăolder trờn C ì C, tc l, tồn số Λ > τ ∈ (0, 1] cho |f (x, y) − f (x , y )| ≤ Λ (x, y) − (x , y ) τ ¯ M ∀x, y, x , y ∈ C, 21 ¯ cho ma trận M M 0 M ¯ := M thì, điều kiện (6) thỏa mãn (iv) Cho {xk } sinh Thuật toán 4.1 x k+1 k k ∞ k < ∞, w ∈ ∂f (x , ·)(x ), ∞ λk wk xk − k=1 k λk |f (x , xk+1 )| < +∞ k=1 Thuật toán 4.1 áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân V I(G, C) mô tả sau: Thuật toán 4.2 Bước Cho ma trận đối xứng, xác định dương M (n × n) Chọn x1 ∈ C k = Bước Giải toán lồi mạnh xk+1 := argmin F xk , y + M y − xk , y − xk : y ∈ C 2λk Đặt r xk = xk+1 − xk Nếu r xk Bước Bước Tính = Dừng Ngược lại, thực k λj xj z k := > j=1 , k λj j=1 đặt k := k + quay lại Bước 4.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 4.1 Xét tốn EP (f, C) với 22 Bảng 4.1 Ví dụ λk k z1k 9467 9468 k 9468 9469 9469 9555 9468 k ln(k+1) 9468 9469 4.1 điểm khởi z2k z3k 9447 9426 9447 9427 9448 9427 9448 9427 9448 9428 9447 9427 9448 9427 9448 9427 9448 9427 tạo x0 z4k 9385 9386 9386 9386 9386 9385 9386 9386 9386 := (1, 1, 1, 1, 1)T z5k z k − z k−1 4549 4543 6.0391.10−4 4541 2.1960.10−4 4540 1.1859.10−4 4539 7.6172.10−5 4546 4542 3.5901.10−4 4540 2.1889.10−4 4540 6.4145.10−5 C = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R+ , x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 ≤ 10, 2x1 + x2 − x3 + x4 + 3x5 ≤ 15, x1 + x2 + x3 + x4 + 0.5x5 ≥ ; f (x, y) = Ax + χn (y + x) + µ − α, y − x − x − y Ở  χ  A= χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ  χ χ  T T χ  , α = (α0 , · · · , α0 ) , µ = (µ1 , · · ã , àn ) 5ì5 ú µ := (3, 4, 5, 7, 6)T , ξ := 3, α := (2, 2, 2, 2, 2)T Chọn := 10−4 1 Điểm khởi tạo x0 := (1, 1, 1, 1, 1)T , λk := λk := , k k ln(k + 1) Kết tính tốn cho Bảng 4.1 Với điểm khởi tạo x0 := (2, 2, 2, 1, 1)T λk := kết tính tốn cho Bảng 4.2 k 23 4.3 Kết luận Phương pháp lặp ergodic giải toán cân với điều kiện đơn điệu song hàm cân Phương pháp xem xét cho toán bất đẳng thức biến phân KẾT LUẬN Những kết luận án Luận án trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, tốn cân số trường hợp riêng nó, đồng thời trình bày số thuật toán giải toán cân bằng, qua đề xuất mục tiêu nghiên cứu luận án Chương chứng minh hội tụ thuật toán chiếu với giả thiết giả đơn điệu mạnh song hàm cân Đồng thời, đưa thuật toán giải toán cân với hàm xấp xỉ trong, để giải toán cân giả đơn điệu mạnh mà khơng đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm cân Chương đề xuất phương pháp xấp xỉ để giải toán cân bằng, phương pháp thay miền ràng buộc toán đa diện lồi xấp xỉ bước lặp Chương đề xuất hai thuật toán lặp để giải toán cân giả đơn điệu liên tục thoả mãn không thoả mãn giả thiết liên tục kiểu Lipschitz song hàm cân Đồng thời, đưa đánh giá sai số nghiệm với sai số tính tốn qua bước lặp Trong chương 4, lần đầu phương pháp ergodic sử dụng để giải toán cân bằng, phương pháp phát triển từ phương pháp lặp ergodic giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị Một số ví dụ minh họa cho thuật tốn đề xuất, trình bày Chương Chương Những đóng góp luận án Đưa phương pháp chiếu cải tiến giải toán cân giả đơn điệu mạnh với điều kiện liên tục kiểu Lipschitz 24 Đề xuất phương pháp xấp xỉ giải toán cân giả đơn điệu khơng đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz đa diện Đề xuất hai phương pháp giải toán cân miền ràng buộc phi tuyến Ở song hàm cân thỏa mãn không thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Chứng minh hội tụ thuật tốn đề xuất với sai số tính tốn Đề xuất phương pháp lặp ergodic giải toán cân đơn điệu Hướng nghiên cứu Nghiên cứu khắc phục điều kiện tối ưu tiệm cận phương pháp giải ergodic phương pháp xấp xỉ Nghiên cứu giải toán cân với song hàm cân giả lồi không lồi với biến thứ hai Nghiên cứu, đánh giá độ phức tạp thuật toán đề xuất DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ [1] Anh PN., Tuan PM., Long LB.: An interior approximal method for solving pseudomonotone equilibrium problems, Journal of Inequalities and Applications, 2013:156, 1-16, 2013 ISSN: 10255834, SCIE [2] Anh PN., Tuan PM.: Modified projection method extended to strongly pseudomonotone Ky Fan inequalities JP Journal of Fixed Point Theory and Applications, (3), 143-157, 2014 ISSN: 09734228 [3] Anh PN., Hai TN., Tuan PM.: On Ergodic algorithms for equilibrium problems, Journal Global Optimization, 64, 179-195, 2016 ISSN: 1573-2916, SCI [4] Anh PN., Tuan PM.: Outer-interior proximal algorithms for solving equilibrium problems, Submitted to Acta Mathematica Vietnamica, 2016 ISSN: 0251-4184, SCOPUS ... phương pháp dựa hàm đánh giá đưa toán cân tốn tối ưu phù hợp Sau sử dụng phương pháp tối ưu cục để giải toán tối ưu Phương pháp hàm đánh giá xuất toán học ứng dụng tối ưu, sử dụng cho toán bất... sử dụng để tìm nghiệm tốn tìm khơng điểm cho ánh xạ đơn điệu cực đại Gần đây, nhiều nghiên cứu phát triển cho toán cân Luận án "Một số phương pháp giải toán cân ứng dụng" đề xuất số phương pháp. .. Bước 7 Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG Chương trình bày hai phương pháp giải toán cân Thứ phương pháp chiếu cải tiến giải toán cân giả đơn điệu mạnh Thứ hai phương pháp xấp xỉ giải tốn giả đơn