MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN cân BẰNG có cấu TRÚC

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Quang Thủy GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn TS Lê Quang Thủy GS TSKH Phạm Kỳ Anh, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Những kết viết chung với thầy hướng dẫn cộng sự đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Hà nội, ngày 02 tháng 10 năm 2018 Nghiên cứu sinh Thay mặt tập thể hướng dẫn TS Lê Quang Thủy Trịnh Ngọc Hải LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn, TS Lê Quang Thủy đặc biệt GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tôi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà hai thầy dành cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Hai thầy bước dẫn dắt, truyền cho niềm đam mê nghiên cứu nhiều kinh nghiệm, kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời ln động viên khích lệ để tơi vượt qua thử thách bước đường làm khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn ứng dụng Tin học, Viện Sau đại học, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện cho tơi có nhiều thời gian tập trung nghiên cứu để hồn thành luận án khóa học nghiên cứu sinh Công tác quản lý đào tạo môi trường nghiên cứu Trường góp phần khơng nhỏ luận án hồn thành dự định Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm Xêmina liên quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn Nhóm tạo cho tơi nhiều cảm hứng nghiên cứu khoa học gắn bó với mơi trường nghiên cứu Đặc biệt, xin gửi lời cám ơn chân thành tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy giúp đỡ nhiều chuyên môn, gợi ý cho ý tưởng nghiên cứu Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia sẻ giúp đỡ người thân gia đình Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, anh chị em hai bên gia đình nội ngoại Đặc biệt xin cảm ơn vợ hai gái u q, người tơi mà phải chịu nhiều thiệt thòi vất vả; ln cảm thơng sẻ chia gánh nặng suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận án MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết 1.2 Bài toán cân mối liên hệ với toán khác 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.2 Bài tốn cân Nash trò chơi khơng hợp tác 1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân Chương Bài toán cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần 2.1 Phân rã song hàm thành tổng hai song hàm thành phần 2.1.1 Thuật toán phân rã 2.1.2 Thuật toán phân rã song song 2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu 2.1.4 Thử nghiệm số ứng dụng 2.2 Phân rã song hàm thành hiệu hai song hàm thành phần 2.2.1 Thuật toán hội tụ 2.2.2 Thử nghiệm số 2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic 2.3.1 Phương pháp ergodic-phân rã 2.3.2 Phương pháp ergodic-phân rã song song 2.3.3 Thử nghiệm số 16 16 20 20 22 22 23 27 28 31 35 37 39 46 47 51 55 55 60 63 Chương Bài toán cân hai cấp 67 3.1 Phương pháp chiếu đạo hàm cho toán cân hai cấp 68 3.1.1 Thuật toán hội tụ 3.1.2 Áp dụng cho toán EP( f , Fix ( T )) 3.1.3 Thử nghiệm số ứng dụng 3.2 Phương pháp ánh xạ co cho toán EP( f , Fix ( T )) 3.2.1 Tính co ánh xạ nghiệm Uλ 3.2.2 Thuật toán ánh xạ co cho toán cân tập điểm bất động 3.2.3 Thử nghiệm số Chương Nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động 4.1 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân điểm bất động 4.1.1 Thuật toán Armijo lai ghép 4.1.2 Thử nghiệm số 4.2 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép 4.2.2 Thử nghiệm số 68 75 76 82 82 87 92 96 97 97 109 113 114 118 Kết luận 121 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 122 Tài liệu tham khảo 123 BẢNG KÍ HIỆU R R+ H ⟨ x, y⟩ ∥x∥ xn → x xn ⇀ x Rn l2 PC ( x ) NC ( x ) ∂g( x ) ∂2 f ( x, x ) S:C→H Fix (S) VI( A, C ) Sol ( A, C ) EP( f , C ) Sol ( f , C ) EPS ( f , C ) EPD ( f , C ) ∅ ✷ Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Khơng gian Hilbert thực Tích vơ hướng hai véc tơ x y Chuẩn vectơ x không gian Hilbert H Dãy { x n } hội tụ mạnh tới x Dãy { x n } hội tụ yếu tới x Không gian Hilbert thực n chiều với tích vơ hướng ⟨ x, y⟩ := ∑in=1 xi yi , x = ( x1 , , xn ) , y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Không gian Hilbert thực dãy khả tổng bậc hai với tích vơ hướng ⟨ x, y⟩ := ∑i∞=1 xi yi , x = ( x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) ∈ l Phép chiếu vng góc x ∈ H lên tập C, tức PC ( x ) := argminy∈C ∥y − x ∥ Nón pháp tuyến ngồi tập lồi C x, tức NC ( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ ∀y ∈ C } Dưới vi phân hàm g x, tập ∂g( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ g(y) − g( x ) ∀y ∈ H } Dưới vi phân hàm f ( x, ) x Ánh xạ S từ tập C vào H Tập điểm bất động ánh xạ S Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tử A C Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân cho toán tử A C Bài toán cân song hàm f C Tập nghiệm toán cân cho song hàm f C Bài toán cân với song hàm phân rã thành tổng hai song hàm thành phần f = f + f Bài toán cân với song hàm phân rã thành hiệu hai song hàm thành phần f = f − f Tập rỗng Kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEP CDMA DEP EP FP NCP OP SP VI Bài toán cân hai cấp Mạng đa truy cập phân chia theo mã Bài toán cân đối ngẫu Bài toán cân Bài toán điểm bất động Bài toán bù phi tuyến Bài toán tối ưu Bài toán yên ngựa Bài toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Cân (equilibria) thường hiểu trạng thái đồng trình lực lượng đối lập Trong Cơ học, hệ vật đạt trạng thái cân tổng lực tác động vào hệ vật Trong Sinh học, hệ sinh thái trạng thái cân số loài thú mồi săn mồi đạt tỉ lệ tương đồng Cân trạng thái quan trọng vạn vật Mọi tồn tự nhiên muốn bền vững, phải đạt trạng thái Trong Toán học, mơ hình cân xem mở rộng mơ hình tối ưu hóa với nhiều chủ thể tham gia Mỗi chủ thể có mục tiêu khác nhau, chí đối lập Do đó, khó tìm phương án tối ưu cho tất chủ thể Trong tình này, mơ hình cân tỏ phù hợp, để giải mâu thuẫn lợi ích Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, f : C × C → R song hàm thỏa mãn tính chất cân f ( x, x ) = với x ∈ C Xét tốn tìm x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C (EP( f , C )) Bài toán EP( f , C ) H Nikaido K Isoda [60] đề xuất lần đầu vào năm 1955 nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash Năm 1972, tiếp tục Ky Fan nghiên cứu dạng bất đẳng thức minimax [31] Tên gọi Bài toán cân GS Lê Dũng Mưu W Oettli đưa vào năm 1992 [55] Điểm lý thú tốn bao hàm loạt toán riêng lẻ khác thể thống nhất, chẳng hạn toán tối ưu, toán cân Nash, toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa Ví dụ, chọn f ( x, y) := g(y) − g( x ), g : C → R, toán EP( f , C ) trở thành tốn tối ưu tìm x ∗ ∈ C cho g( x ∗ ) ≤ g(y) ∀y ∈ C (OP( g, C )) Trong trường hợp f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩, với F : C → C ánh xạ, toán cân trở thành tốn bất đẳng thức biến phân tìm x ∗ ∈ C cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ ∀y ∈ C (VI( F, C )) Mặt khác, phương pháp giải kết nghiên cứu toán riêng lẻ nói mở rộng tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho tốn cân Các nghiên cứu toán EP( f , C ) tạm chia thành hai hướng: nghiên cứu định tính bao gồm nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, ổn định nghiệm [10, 12, 30, 45, 54] nghiên cứu định lượng, bao gồm đề xuất giải thuật, nghiên cứu tốc độ hội tụ thuật toán [6,7,15,28,32,44,57, 65,70], áp dụng toán cân vào thực tế [36,38,64] Trong hướng nghiên cứu trên, việc đề xuất thuật giải cho toán cân chiếm tỉ trọng lớn Hai phương pháp để giải tốn cân phương pháp điểm gần kề [8] phương pháp chiếu tổng quát [65] Phương pháp điểm gần kề (PPM Proximal Point Method) bao gồm việc giải toán cân hiệu chỉnh f bước lặp Giả sử bước lặp k, biết x k , ta tính xấp xỉ x k+1 = Jλ ( x k ), f đó, Jλ giải thức song hàm f với tham số λ > 0, cho bởi: { } f Jλ ( x ) = z ∈ H : f (z, y) + ⟨y − z, z − x ⟩ ≥ ∀y ∈ C , x ∈ H λ (0.1) Với giả thiết f đơn điệu, lồi nửa liên tục theo biến thứ hai, hê-mi liên tục f theo biến thứ nhất, ánh xạ Jλ đơn trị không giãn Tuy nhiên, f thuộc lớp hàm đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn f giả đơn điệu, tốn cân f (0.1) khơng đơn điệu mạnh, đó, Jλ , nói chung, khơng đơn trị Vì vậy, phương pháp PPM khơng thể áp dụng trường hợp Ngồi ra, thao tác giải toán cân phụ bước lặp khiến cho phương pháp PPM phức tạp mặt tính tốn Phương pháp chiếu tổng qt khắc phục nhược điểm PPM Tại bước lặp k, giả sử biết x k , ta tính xấp xỉ f f x k+1 = Uλ ( x k ), đó, Uλ ánh xạ nghiệm song hàm f với tham số λ > 0, cho { } f (0.2) Uλ = argmin λ f ( x, y) + ∥y − x ∥ : y ∈ C Với giả thiết song hàm f lồi, nửa liên tục theo biến thứ hai, toán tối ưu f f (0.2) lồi mạnh, đó, Uλ đơn trị Hơn nữa, việc tính Uλ đơn giản f nhiều so với tính Jλ Trong trường hợp f ( x, y) = ⟨ Fx, y − x ⟩, với F ánh xạ C, phương pháp chiếu tổng quát cho toán cân quay trở phương pháp chiếu truyền thống cho tốn bất đẳng thức biến phân, có dạng ( ) k +1 k k x = PC x − λFx , đó, PC phép chiếu lên C Đây coi phương pháp đơn giản cho toán VI(F, C) Năm 2014, Phạm Duy Khánh Phan Tú Vượng [43] chứng minh phương pháp hội tụ tuyến tính tới nghiệm 4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép Để giải tốn (4.32), chúng tơi đề xuất thuật toán sau Thuật toán 4.4 ) ( 1 Bước Chọn số thực dương < ρ < 2c , 2c2 , a ∈ (0, 1) dãy số dương {µn } ⊂ [ a, 1], {sn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim sn = ∞ Chọn x0 ∈ H, đặt n→∞ n := Bước • Giải tốn quy hoạch lồi mạnh { } i yn = argmin ρ f i ( xn , y) + ∥ xn − y∥ : y ∈ C , { } i i zn = argmin ρ f i (yn , y) + ∥ xn − y∥ : y ∈ C , i = 1, , N • Tìm in = argmax{∥zin − xn ∥} 1≤ i ≤ N đặt zn := zinn Bước Tính un = (1 − µn ) xn + µn Tn zn , với Tn xác định ∫ sn T (s) xds ∀ x ∈ C, Tn x := sn xn+1 = P( Hn ∩Wn ) x0 , Hn = {z ∈ H : ∥un − z∥ ≤ ∥ xn − z∥}, Wn = {z ∈ H : ⟨ xn − z, x0 − xn ⟩ ≥ 0} Cập nhật n := n + quay lại Bước Bổ đề 4.2 [65] Giả sử x ∗ ∈ Sol ( f i , C ) { xn }, {yin }, {zin }, i = 1, , N, dãy sinh Thuật toán 4.4 Khi đó, ∥zin − x ∗ ∥2 ≤ ∥ xn − x ∗ ∥2 − (1 − 2ρc1 )∥yin − xn ∥2 − (1 − 2ρc2 )∥yin − zin ∥2 Định lý 4.4 Giả sử C ⊂ H tập lồi, đóng, có miền khác rỗng, { T (s) : s ∈ R+ } nửa nhóm không giãn C, f i song hàm cân từ H × H vào R thỏa mãn Giả thiết 4.2, {µn } ⊂ [ a, 1] với a ∈ (0, 1) Khi đó, dãy { xn } {un } sinh Thuật toán 4.4 hội tụ mạnh tới p∗ = PΩ x0 Chứng minh Dễ thấy Hn Wn tập lồi, đóng với n ≥ Do đó, xn hồn tồn xác định với n ≥ Hơn nữa, thấy Tn ánh xạ không giãn với n ≥ 114 Ta chia phần chứng minh định lý thành bước Bước Chứng minh Ω ⊂ Hn ∩ Wn với n ≥ Thật vậy, với x ∗ ∈ Ω, theo Bổ đề 4.2, ta có ∥zin − x ∗ ∥ ≤ ∥ xn − x ∗ ∥ với n ≥ 0, i = 1, , N Từ định nghĩa in , ta có ∥zn − x ∗ ∥ ≤ ∥ xn − x ∗ ∥ với n ≥ (4.33) Từ tính lồi hàm số ∥ · ∥2 , tính khơng giãn ánh xạ Tn (4.33), ta suy ∥ u n − x ∗ ∥2 = (1 − µn )( xn − x ∗ ) + µn ( Tn zn − x ∗ ) ≤ (1 − µn )∥ xn − x ∗ ∥2 + µn ∥ Tn zn − Tn x ∗ ∥2 ≤ (1 − µn )∥ xn − x ∗ ∥2 + µn ∥zn − x ∗ ∥2 ≤ (1 − µn )∥ xn − x ∗ ∥2 + µn ∥ xn − x ∗ ∥2 = ∥ x n − x ∗ ∥2 ∀n ≥ 0, (4.34) đó, x ∗ ∈ Hn Vậy, Ω ⊂ Hn với n ≥ Tiếp theo, ta chứng minh Ω ⊂ Wn với n ≥ quy nạp Thật vậy, với n = 0, ta có x0 ∈ C W0 = H Suy ra, Ω ⊂ H0 ∩ W0 Giả sử Ω ⊂ Hm ∩ Wm với giá trị m ≥ Ta cần chứng minh Ω ⊂ Hm+1 ∩ Wm+1 Vì xm+1 = PHm ∩Wm x0 , áp dụng tính chất phép chiếu, với z ∈ Ω ⊂ Hm ∩ Wm , ta có ⟨ xm+1 − z, x0 − xm+1 ⟩ ≥ 0, suy z ∈ Wm+1 Chú ý rằng, Ω ⊂ Hn với n ≥ 0, Ω ⊂ Hn ∩ Wn với n ≥ Bước Chứng minh với i = 1, , N, ta có lim ∥ xn+1 − xn ∥ = lim ∥ xn − un ∥ = lim ∥ xn − zin ∥ = lim ∥ xn − yin ∥ = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Thật vậy, từ xn = PWn x0 tính chất phép chiếu, suy ra, với u ∈ Ω ⊂ Wn , ∥ x n − x0 ∥2 ≤ ∥ u − x0 ∥2 − ∥ u − x n ∥2 ≤ ∥ u − x0 ∥2 (4.35) Điều dẫn đến { xn } dãy bị chặn Kết hợp (4.34) với (4.33), ta có dãy {un }, {zn } bị chặn Nhận thấy xn+1 = PHn ∩Wn x0 ∈ Wn , xn = PWn x0 , áp dụng tính chất phép chiếu, ta có ∥ x n − x ∥ ≤ ∥ x n +1 − x ∥ − ∥ x n +1 − x n ∥ ≤ ∥ x n +1 − x ∥ (4.36) Suy ra, dãy {∥ xn − x0 ∥} khơng giảm Do đó, tồn giới hạn dãy {∥ xn − x0 ∥} Từ (4.36), ta có ∥ x n +1 − x n ∥ ≤ ∥ x n +1 − x ∥ − ∥ x n − x ∥ 115 Cho n → ∞, ta thu lim ∥ xn+1 − xn ∥ = n→∞ (4.37) Vì xn+1 ∈ Hn , ta dẫn đến ∥un − xn+1 ∥ ≤ ∥ xn+1 − xn ∥ Suy ra, ∥ u n − x n ∥ ≤ ∥ u n − x n +1 ∥ + ∥ x n +1 − x n ∥ ≤ ∥ x n +1 − x n ∥ Kết hợp bất đẳng thức cuối (4.37), ta thu lim ∥un − xn ∥ = n→∞ (4.38) Hơn nữa, từ (4.34), Bổ đề 4.2 định nghĩa in , với x ∗ ∈ Ω, ta có ∥un − x ∗ ∥2 ≤ (1 − µn )∥ xn − x ∗ ∥2 + µn ∥zn − x ∗ ∥2 [ ] ∗ in in ≤ ∥ xn − x ∥ − µn (1 − 2ρc1 )∥yn − xn ∥ + (1 − 2ρc2 )∥yn − zn ∥ Do đó, [ ] a (1 − 2ρc1 )∥yinn − xn ∥2 + (1 − 2ρc2 )∥yinn − zn ∥2 [ ] ≤ µn (1 − 2ρc1 )∥yinn − xn ∥2 + (1 − 2ρc2 )∥yinn − zn ∥2 ≤ ∥ x n − x ∗ ∥2 − ∥ u n − x ∗ ∥2 = (∥ xn − x ∗ ∥ − ∥un − x ∗ ∥) (∥ xn − x ∗ ∥ + ∥un − x ∗ ∥) ≤ ∥ xn − un ∥ (∥ xn − x ∗ ∥ + ∥un − x ∗ ∥) (4.39) Kết hợp bất đẳng thức cuối với (4.38), ý đến tính bị chặn hai dãy {un }, { xn } điều kiện {µn }, ρ, ta đến lim yinn − xn = lim yinn − zn = n→∞ n→∞ (4.40) Từ ∥zn − xn ∥ ≤ ∥zn − yinn ∥ + ∥yinn − xn ∥ (4.40), ta có lim ∥zn − xn ∥ = n→∞ (4.41) Sử dụng định nghĩa in , ta có lim zin − xn = n→∞ (4.42) với i = 1, , N Từ Bổ đề 4.2 (4.42), ta thu lim yin − xn = n→∞ với i = 1, , N Vì { xn } dãy bị chặn, tồn dãy { xnk } { xn } hội tụ yếu tới p Bước Chứng minh p ∈ Ω Từ (4.38) (4.41), ta suy {unk } {znk } hội tụ yếu tới p Do {un } ⊂ C, C tập lồi, đóng, đó, đóng yếu, ta suy p ∈ C 116 N Tiếp theo, ta chứng minh p ∈ Ω Trước tiên, ta chứng minh p ∈ ∩ Sol ( f i , C ) i =1 Chú ý } = argmin ρ f i ( xn , y) + ∥ xn − y∥ : y ∈ C , { yin suy { ∈ ∂2 } ρ f i ( xn , y) + ∥ xn − y∥ (yin ) + NC (yin ) Do đó, tồn w ∈ ∂2 f i ( xn , yin ) w¯ ∈ NC (yin ) cho ρw + xn − yin + w¯ = (4.43) ⟨ ⟩ ¯ y − yin ≤ với y ∈ C Kết hợp điều với (4.43), ta có Vì w¯ ∈ NC (yin ), w, ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ρ w, y − yin ≥ yin − xn , y − yin (4.44) với y ∈ C Vì w ∈ ∂2 f i ( xn , yin ), ta có ⟨ ⟩ i i f i ( xn , y) − f i ( xn , yn ) ≥ w, y − yn với y ∈ C (4.45) Từ (4.44) (4.45), ta thu ( ) ⟨ ⟩ ρ f i ( xn , y) − f i ( xn , yin ) ≥ yin − xn , y − yin với y ∈ C (4.46) Do xnk ⇀ p ∥ xn − yin ∥ → n → ∞, ta có yink ⇀ p Cho n = nk (4.46), chuyển qua giới hạn k → ∞ sử dụng (H3) , ta kết luận f i ( p, y) ≥ N với y ∈ C, i = 1, 2, , N Vậy, p ∈ ∩ Sol ( f i , C ) i =1 Tiếp theo, ta chứng minh p = T (h) p với h > Từ Bước thuật tốn, ta có a∥un − Tn un ∥ ≤ µn ∥un − Tn un ∥ ( ) ≤ µn ∥un − Tn zn ∥ + ∥ Tn zn − Tn un ∥ ≤ ∥µn un − µn Tn zn ∥ + µn ∥ Tn zn − Tn un ∥ = ∥µn un + (1 − µn ) xn − un ∥ + µn ∥ Tn zn − Tn un ∥ ≤ (1 − µn )∥ xn − un ∥ + µn ∥zn − un ∥ ≤ ∥ u n − x n ∥ + µ n ∥ z n − x n ∥ Vì ∥un − xn ∥ → ∥zn − xn ∥ → 0, suy lim ∥un − Tn un ∥ = n→∞ Chú ý ∥ T ( h)un − un ∥ ≤ ) ( ∫ sn T (s)un ds T ( h)un − T ( h) sn 117 (4.47) + + ≤ + ( ∫ sn ) T (h) T (s)un ds − sn ∫ sn T (s)un ds − un sn ∫ sn T (s)un ds − un sn ( ∫ sn ) T (h) T (s)un ds − sn sn sn ∫ sn ∫ sn T (s)un ds T (s)un ds (4.48) Vì dãy {un } bị chặn, ta áp dụng Bổ đề 4.1 để thu ∫ ( ∫ sn ) sn lim T (h) T (s)un ds − T (s)un ds = 0, n→∞ sn sn (4.49) với h ∈ (0, ∞) đó, theo (4.47), (4.48) (4.49), ta có lim ∥ T (h)un − un ∥ = n→∞ với h > Áp dụng tính chất nửa đóng ánh xạ I − T (h), suy p điểm bất động T (h) với h > Do đó, p ∈ F Bước Chứng minh { xn } hội tụ mạnh tới p∗ := PΩ x0 Thật vậy, từ p∗ ∈ Ω (4.35), ta có ∥ xn − x0 ∥ ≤ ∥ p∗ − x0 ∥ ∀n ≥ Kết hợp bất đẳng thức cuối với xnk ⇀ p tính nửa liên tục yếu chuẩn ∥.∥, ta thu ∥ p − x0 ∥ ≤ lim inf ∥ xnk − x0 ∥ ≤ lim sup ∥ xnk − x0 ∥ ≤ ∥ p∗ − x0 ∥ k→∞ k→∞ Mặt khác, p∗ := PΩ x0 , ta có ∥ p − x0 ∥ ≥ ∥ p∗ − x0 ∥ Do đó, p∗ = p lim ∥ xnk − k→∞ { } ∗ ∗ ∗ x0 ∥ = ∥ p − x0 ∥ Chú ý xnk ⇀ p , ta có xnk → p Cuối cùng, giả sử xn j dãy hội{tụ yếu } khác { xn } Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh xn j hội tụ mạnh tới p∗ := PΩ x0 Do đó, dãy { xn } sinh Thuật toán 4.4 hội tụ mạnh tới PΩ x0 Sự hội tụ mạnh dãy {un } tới p∗ suy từ (4.38) Định lý chứng minh 4.2.2 Thử nghiệm số Ví dụ 4.3 Cho H = Rk , C := [−1, 1]k , k ≥ Với i ∈ {1, 2, , N }, song hàm f i cho k f i ( x, y) := ∑ αij (y2j − x2j ) j =1 118 với αij ∈ (0, 1) sinh ngẫu nhiên Dễ thấy điều kiện Giả thiết 4.2 thỏa mãn Để xây dựng nửa nhóm khơng giãn, ta xét ma trận vng cấp k:   e−s 0 · · ·    e−s · · ·     , s ∈ R, 0 · · · T (s) =        đặt     T (s) x =         =    0 ··· e−s 0 e−s 0 0 0 e−s 0 e−s 0 0 0 ··· ··· ··· ··· 0 ··· ··· ··· ··· 0 1     x             x1 x2       xk Dễ dàng kiểm tra { T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C Ω = ) ∩( N F ∩ Sol ( f i , C ) = {(0, 0, 0, , 0)T } i =1 ) ∩( N Ta áp dụng Thuật toán 4.4 để giải toán F ∩ Sol ( f i , C ) Chú ý ánh i =1 xạ Tn Thuật toán 4.4 tính cơng thức tường minh Tn z = (z1 − e−sn − e−sn , z2 , z3 , , z k ) T sn sn Các tham số chọn nh sau = 10; àn = 0.9 ∀n ≥ 1; • sn = n ∀n ≥ 1; • Tiêu chuẩn dừng: ∥ xn − x ∗ ∥ ≤ 5.10−3 , với x ∗ = (0, 0, 0, , 0) T nghiệm toán xét Trước tiên, ta thử nghiệm Thuật toán 4.4 với k = 6, N = 3, x0 = (1, 1, 1, 1, 1) T Kết trình bày Bảng 4.7 Nghiệm xấp xỉ thu sau 198 vòng lặp Tiếp theo, ta tiến hành thử nghiệm thuật toán với giá trị khác k, N x0 Kết trình bày Bảng 4.8 119 xn1 xn2 xn3 xn4 xn5 xn6 ∥ xn − x ∗ ∥ 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.4495 0.5810 0.5720 0.6221 0.5845 0.5796 0.6328 1.4593 0.3339 0.3348 0.3715 0.3507 0.3485 0.3787 0.8657 0.2029 0.1925 0.2287 0.1993 0.1949 0.2360 0.5137 0.0879 0.1278 0.1129 0.1499 0.1588 0.1103 0.3109 0.3335 0.0252 0.2648 -0.0727 -0.1500 0.3029 0.5491 0.1932 0.0471 0.1795 -0.0013 -0.0393 0.2039 0.3390 0.1034 0.0715 0.1194 0.0610 0.0514 0.1309 0.2314 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 198 0.0017 0.0017 0.0022 0.0017 0.0024 0.0023 0.0049 Iter(n) Bảng 4.7: Kết Thuật tốn 4.4 Ví dụ 4.3 với xuất phát điểm x0 = (1, 1, 1, 1, 1, 1) T x0 = (1, 1, 1, · · · , 1) T x0 = (−1, −1, −1, · · · , −1) T CPU times Iter CPU times Iter k=6, N=3 32.0823 135 32.7314 140 k=6, N=6 85.4715 171 110.8062 241 k=10, N=6 244.5807 423 231.3017 393 k=20, N=3 364.0974 889 351.2896 862 Bảng 4.8: Kết Thuật tốn 4.4 Ví dụ 4.3 với giá trị k, N x0 khác Có thể thấy, thời gian chạy số vòng lặp thuật tốn khơng chịu nhiều ảnh hưởng xuất phát điểm x0 lại phụ thuộc lớn vào số chiều kích thước tốn Kết Luận Trong chương này, giới thiệu hai phương pháp để tìm nghiệm chung tốn cân toán điểm bất động Trong mục chương, đề xuất phương pháp lai ghép kết hợp kĩ thuật tìm kiếm theo tia Armijo để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn Với giả thiết song hàm cân giả đơn điệu, dãy lặp sinh thuật toán hội tụ mạnh tới hình chiếu xuất phát điểm lên tập nghiệm.Trong mục tiếp theo, sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Sự hội tụ mạnh thuật tốn thiết lập với điều kiện song hàm cân giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện Lipschitz Chúng tiến hành vài thử nghiệm số để minh họa hai thuật toán 120 KẾT LUẬN Luận án đề xuất số phương pháp để giải tốn cân có cấu trúc, bao gồm toán cân với song hàm phân rã, tốn cân hai cấp, tốn tìm nghiệm chung Các kết thu luận án bao gồm: Thuật toán phân rã thuật toán phân rã song song cho toán cân giả đơn điệu mạnh Thuật toán phân rã cho toán cân với song hàm tách thành hiệu hai song hàm thành phần Thuật toán phân rã phân rã song song kết hợp kỹ thuật ergodic cho toán cân đơn điệu Thuật toán chiếu đạo hàm để giải toán cân hai cấp Thuật toán ánh xạ co cho toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Thuật toán Armijo kết hợp kỹ thuật lai ghép để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn đạo hàm tăng cường kết hợp kỹ thuật lai ghép để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Các phương pháp phân rã Chương mở rộng cho lớp tốn rộng hơn, với điều kiện đặt lên song hàm thành phần thay song hàm gốc ban đầu Thay phân rã song hàm cân bằng, nghiên cứu để phân rã miền ràng buộc toán Từ đó, giải tốn cân với miền ràng buộc không lồi Mở rộng kết hội tụ phương pháp ánh xạ co Chương thay Uλ ánh xạ nghiệm khác 121 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN P.K Anh, T.N Hai (2017) Splitting extragradient-like algorithms for strongly pseudmonotone equilibrium problems Numer Algor., 76, 67-91 (SCIE) P.K Anh, T.N Hai (2018) A splitting algorithm for equilibrium problem given by the difference of two bifunctions J Fixed Point Theory Appl., 20, 1-15 (SCIE) T.N Hai, N.T Vinh (2017) Two new splitting algorithms for equilibrium problems Rev R Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Math RACSAM, 111, 1051–1069 (SCIE) L.Q Thuy, T.N Hai (2017) A Projected subgradient algorithm for bilevel equilibrium problems and applications J Optim Theory Appl., 175, 411–431 (SCI) T.N Hai (2017) Contraction of the proximal mapping and applications to the equilibrium problem Optimization, 66, 381-396 (SCIE) L.Q Thuy, P.K Anh, L.D Muu, T.N Hai (2017) Novel hybrid methods for pseudomonotone equilibrium problems and common fixed point problems Numer Funct Anal Optim., 38, 443-465 (SCIE) L.Q Thuy, J.-C Yao, C.-F Wen, T.N Hai (2018) An extragradient-like parallel method for pseudomonotone equilibrium problems and semigroup of nonexpansive mappings Miskolc Mathematical Notes, MMN-2114 (SCIE) 122 Tài liệu tham khảo [1] P.K Anh, C.V Chung (2014) Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings Numer Funct Anal Optim 35, 649-664 [2] P.K Anh, D.V Hieu (2016) Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems Vietnam J Math., 44, 351-374 [3] P.N Anh (2013) A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems Optimization, 62, 271-283 [4] P.N Anh, T.T.H Anh, T Kuno (2017) Convergence theorems for variational inequalities on the solution set of Ky Fan inequalities Acta Math Vietnam., 42, 761-773 [5] P.N Anh, L.Q Thuy, T.T.H Anh (2017) Strong convergence theorem for the lexicographic Ky Fan inequality Vietnam J Math., DOI: 10.1007/s10013-017-0253z [6] P.N Anh, T.N Hai, P.M Tuan (2016) On ergodic algorithms for equilibrium problems J Global Optim., 64, 179-195 [7] A.S Antipin (2002) Gradient approach of computing fixed points of equilibrium problems J Glob Optim., 24, 285-309 [8] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010) Convex analysis & monotone operator theory in Hilbert spaces, Springer, New York [9] J.Y Bello Cruz, R.D Millán (2014) A direct splitting method for nonsmooth variational inequalities J Optim Theory Appl., 161, 729-737 [10] M Bianchi, S Schaible (1996) Generalized monotone bifuntions and equilibrium problems J Optim Theory Appl., 90, 31-43 [11] M Bianchi, R Pini (2005) Coercivity conditions for equilibrium problems J Optim Theory Appl., 124, 79-92 [12] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, M Passacantando (2013) Existence and solution methods for equilibria European J Operational Research, 227, 1-11 123 [13] E Blum, W Oettli (1994) From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Math Student, 63, 127-169 [14] J.M Borwein, Q.J Zhu (2005) Techniques of variational analysis SpringerVerlag, New York [15] L.M Briceno-Arias (2012) A Douglas-Rachford splitting method for solving equilibrium problems Nonlinear Anal., 75, 6053-6059 [16] R.E Bruck (1979) A simple proof of the mean ergodic theorem for nonlinear contractions in Banach spaces Israel J Math., 32, 107-116 [17] N Buong, N.D Lang (2011) Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups Appl Math Comput., 218, 2459-2466 [18] N Buong, N.T.H Phuong (2013) Strong convergence to solutions for a class of variational inequalities in Banach spaces by implicit iteration methods J Optim Theory Appl., 159, 399-411 [19] N Buong, S Ha, N.T.T Thuy (2016) A new explicit iteration method for a class of variational inequalities Numer Algorithms, 72, 467-481 [20] N Buong, V.X Quynh, N.T.T Thuy (2016) A steepest-descent Krasnosel’skii–Mann algorithm for a class of variational inequalities in Banach spaces J Fixed Point Theory Appl., 18, 519-532 [21] A Cegielski, R Zalas (2013) Methods for variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of quasinonexpansive operators Numer Funct Anal Optim., 34, 255-283 [22] L.C Ceng, A Petrusel, J C Yao (2009) Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of Infinitely many nonexpansive mappings J Optim Theory Appl., 143, 37-58 [23] J Contreras, , M Klusch, J.B Krawczyk (2004) Numerical solutions to NashCournot equilibria in coupled constraint electricity markets IEEE Trans Power Syst., 19, 195-206 [24] S Dempe (2002) Foundations of bilevel programming Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [25] S Dempe (2003) Annotated bibliography on bilevel programming and mathematical programs with equilibrium constraints Optimization, 52, 333-359 [26] S Dempe, J Dutta, S Lohse (2006) Optimality conditions for bilevel programming problems Optimization, 55, 505-524 124 [27] B.V Dinh, P.G Hung, L.D Muu (2014) Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems Numer Funct Anal Optim., 35, 539-563 [28] B.V Dinh, L.D Muu (2015) A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria Optimization, 64, 559-575 [29] P.M Duc, L.D Muu (2016) A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings Optimization, 65, 1855-1866 [30] P.M Duc, L.D Muu, N.V Quy (2016) Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems Pac J Optim., 12, 833-845 [31] K Fan (1972) A minimax inequality and applications Academic Press, New York In Inequality III: 103-113 [32] K Gábor, T.N Hai, N.T Vinh (2018) Coupling Popov’s algorithm with subgradient extragradient method for solving equilibrium problems J Nonlinear Convex A., 19, 959-986 [33] F Giannessi, A Maugeri, P.M Pardalos (2004) Equilibrium problems: nonsmooth optimization and variational inequality models Kluwer, Dordrecht [34] T N Hai (2018) Self-adaptive ergodic algorithm for equilibrium problems over the fixed point set Int J Comput Math., DOI 10.1080/00207160.2018.1520225 [35] D.V Hieu, P.K Anh, L.D Muu (2017) Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems Comput Optim Appl., 66, 75-96 [36] D.V Hieu, L.D Muu, P.K Anh (2016) Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings Numer Algorithms, 73, 197-217 [37] J Huang, S Zhang, H Li, D Metaxas (2011) Composite splitting algorithms for convex optimization Comput Vis Image Underst., 115, 1610-1622 [38] H Iiduka, I Yamada (2009) A subgradient-type method for the equilibrium problem over the fixed point set and its applications Optimization 58, 251-261 [39] H Iiduka (2010) A new iterative algorithm for the variational inequality problem over the fixed point set of a firmly nonexpansive mapping Optimization, 59, 873885 125 [40] H Iiduka (2012) Fixed point optimization algorithm and its application to power control in CDMA data networks Math Program., 133, 227-242 [41] H Iiduka, I Yamada (2009) A use of conjugate gradient direction for the convex optimization problem over the fixed point set of a nonexpansive mapping SIAM J Optim., 19, 1881-1893 [42] A.N Iusem, W Sosa (2003) New existence results for equilibrium problems Nonlinear Analysis, 52, 621-635 [43] P.D Khanh, P.T Vuong (2014) Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities J Glob Optim., 58, 341-350 [44] J.K Kim, P N Anh, T N Hai (2017) The Bruck’s ergodic iteration method for the Ky Fan inequality over the fixed point set Int J Comput Math., 94, 2466-2480 [45] I.V Konnov, D.A Dyabilkin (2011) Nonmonotone equilibrium problems: coercivity conditions and weak regularization J Glob Optim., 49, 575-587 [46] I.V Konnov (2000) Combined relaxation methods for variational inequalities Springer, Berlin [47] I.V Konnov (2007) Equilibrium models and variational inequalities Elsevier, Amsterdam [48] G.M Korpelevich (1976) The extragradient method for finding saddle points and other problems Ekon Math Methody., 12, 747-756 [49] P.E Maingé (2008) Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization Set-Valued Anal., 16, 899-912 [50] P.E Maingé (2010) Projected subgradient techniques and viscosity methods for optimization with variational inequality constraints Eur J Oper Res 205, 501-506 [51] G Mastroeni (2003) On auxiliary principle for equilibrium problems, in: P Daniele, F Giannessi, and A.Maugeri, (eds.), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [52] J.J Moreau (1965) Proximité et dualité dans un espace hilbertien Bull Soc Math France, 93, 273-299 [53] A Moudafi (2009) On the convergence of splitting proximal methods for equilibrium problems in Hilbert spaces J Math Anal Appl., 359, 508-513 [54] L.D Muu (1984) Stability property of a class of variational inequality Optimization, 15, 347-351 [55] L.D Muu, W Oettli (1992) Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria Nonlinear Anal TMA., 18, 1159-1166 126 [56] L.D Muu, N.V Quy (2015) On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems Vietnam J Math 43, 229 - 238 [57] L.D Muu, T.D Quoc (2009) Regularization Algorithms for Solving Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model J Optim Theory Appl., 142, 185 - 204 [58] L.D Muu, W Oettli (2000) Optimization over equilibrium sets Optimization, 49, 179-189 [59] J Nash (1951) Non-cooperative games Ann of Math., 54, 286-295 [60] H Nikaido, K Isoda (1955) Note on noncooperative convex games Pacific J Math., 5, 807-815 [61] M.A Noor (1999) Some algorithms for general monotone mixed variational inequalities Math Comput Model., 29, 1-9 [62] M.A Noor (2001) Iterative schemes for quasimonotone mixed variational inequalities Optimization, 50, 29-44 [63] J.W Peng (2010) Iterative algorithms for mixed equilibrium problems, strict pseudocontractions and monotone mappings J Optim Theory Appl 144, 107-119 [64] T.D Quoc, P.N Anh, L.D Muu (2012) Dual extragradient algorithms extended to equilibrium problems J Glob Optim., 52, 139-159 [65] T.D Quoc, L.D Muu, N.V Hien (2008) Extragradient algorithms extended to equilibrium problems Optimization, 57, 749-776 [66] N.V Quy (2014) An algorithm for a bilevel problem with equilibrium and fixed point constraints Optimization, 64, 1-17 [67] R.T Rockafellar (1997) Convex analysis, Princeton Universty Press Princeton, New Jersey [68] W Rudin (1987) Real and complex analysis McGraw-Hill, New York [69] S Saeidi (2009) Iterative algorithms for finding common solutions of variational inequalities and systems of equilibrium problems and fixed points of families and semigroups of nonexpansive mappings Nonlinear Anal., 70, 4195-4208 [70] P Santos, S Scheimberg (2011) An inexact subgradient algorithm for equilibrium problems Comput Appl Math., 30, 91-107 [71] Y Shehu (2011) Iterative approximation method for finite family of relatively quasi nonexpansive mappings and systems of equilibrium problems J Glob Optim., 51, 69-78 127 [72] T Shimizu, W Takahashi (1997) Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings J Math Anal Appl., 211, 71-83 [73] M.V Solodov, B.F Svaiter (1999) A new projection method for variational inequality problems SIAM J Control Optim., 37, 765-776 [74] A Tada, W Takahashi (2006) Strong convergence theorem for an equilibrium problem and a nonexpansive mapping In, Nonlin Anal and Convex Anal (W Takahashi, T Tanaka, eds.), Yokohama Publishers, Yokohama [75] A Takahashi, I Yamada (2008) Parallel algorithms for variational inequalities over the Cartesian product of the intersections of the fixed point sets of nonexpansive mappings J Approx Theory, 153, 139-160 [76] K.K Tan, H.K Xu (1993) Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process J Math Anal Appl., 178, 301-308 [77] N.T.T Thuy, P.T Hieu, J.J Strodiot (2016) Regularization methods for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups Optimization, 65, 1553-1567 [78] H Tuy (1998) Convex analysis and global optimization Kluwer Academic Publisher [79] P.T Vuong, J.J Strodiot, V.H Nguyen (2012) Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems J Optim Theory Appl., 155, 605-627 [80] H.K Xu (1991) Inequalities in Banach spaces with applications Nonlinear Anal Theory Methods Appl 16,1127-1138 [81] H.K Xu (2002) Iterative algorithms for nonlinear operators J London Math Soc., 66, 240-256 [82] I Yamada (2001) The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings Stud Comput Math., 8, 473-504 [83] L.H Yen, L.D Muu, N.T.T Huyen (2016) An algorithm for a class of split feasibility problems: application to a model in electricity production Math Meth Oper Res., 84, 549-565 128 ... phân chia theo mã Bài toán cân đối ngẫu Bài toán cân Bài toán điểm bất động Bài toán bù phi tuyến Bài toán tối ưu Bài toán yên ngựa Bài toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Cân (equilibria) thường... trọng lớn Hai phương pháp để giải toán cân phương pháp điểm gần kề [8] phương pháp chiếu tổng quát [65] Phương pháp điểm gần kề (PPM Proximal Point Method) bao gồm việc giải toán cân hiệu chỉnh... ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Quang Thủy GS.TSKH