Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS NGUYỄN ĐỨC HIẾU

2 GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khiđưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực vàchưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác

NCS Bùi Văn Định

LỜI CẢM ƠN

Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệThông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của PGS TS.Nguyễn Đức Hiếu và đặc biệt là GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏlòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướngdẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh

Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và xêminatại Bộ môn Toán và tại Phòng Tối ưu và Điều khiển Viện Toán học, Viện Hànlâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp

đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của GS TSKH Phạm Thế Long, PGS

TS Đào Thanh Tĩnh, PGS TS Nguyễn Xuân Viên, PGS TS Tô Văn Ban,

TS Nguyễn Hữu Mộng, TS Nguyễn Trọng Toàn, GS TSKH Nguyễn ĐôngYên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắcnhất đến các Thầy

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặcbiệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán và các thầy trong Phòng Tối ưu

và Điều khiển, Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và độngviên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia

sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả Tác giả thành kínhdâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đìnhthân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc

Tác giả

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 5

MỞ ĐẦU 7

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài 7

2 Mục đích nghiên cứu 12

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 12

4 Phương pháp nghiên cứu 12

5 Kết quả của luận án 13

6 Cấu trúc của luận án 15

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16

1.1 Các khái niệm và các kết quả cơ bản 16

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng 21

1.3 Bài toán cân bằng tương đương 28

1.4 Bài toán cân bằng hai cấp 31

Chương 2 MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 33

2.1 Đặt bài toán 37

2.2 Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng 41

2.3 Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình

cân bằng thị trường điện bán độc quyền 49

2.4 Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu 53

2.5 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng 61

Chương 3 KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 77

3.1 Đặt bài toán 77

3.2 Phương pháp hàm phạt 78

3.3 Hàm đánh giá và hướng giảm 84

3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 91

KẾT LUẬN 95

1 Kết quả đạt được 95

2 Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo 96

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

∂f(x, x) dưới vi phân của hàm f(x, ) tại x

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một trạng thái đồngđều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữa những đối tượng có ảnhhưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau Thuật ngữ này được sử dụngrộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học,Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một

hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằngkhông và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài TrongHóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc

độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổnđịnh tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiệnsống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi vàthú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau

Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồngthời cũng là động lực và là mục đích của mỗi nền kinh tế Một ví dụ đơn giản

về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồngnhất một loại hàng hóa Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả củamặt hàng đó trên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu mặt hàng đượcbán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sảnxuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu làE(p) = D(p)− S(p) Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p∗ nếu E(p∗) = 0, tức làlượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong

cơ học khi hợp lực tác động lên hệ bằng không.

Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng có thể được nhìn nhận trongmột thể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó, chẳng hạnnhư bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nashtrong các trò chơi không hợp tác, v.v Ngược lại, nếu có nhiều mô hình cùngnằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép thiết lập một công thức chungcho cấu trúc thống nhất đó và do vậy chúng ta có thể phát triển các nghiêncứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho thể thống nhất chung đó mang lạikhả năng ứng dụng rộng lớn hơn các mô hình riêng lẻ Mô hình chung cho bàitoán cân bằng EP(C, f) đó là

Tìm x∗

∈ C sao cho f(x∗, y)≥ 0 với mọi y ∈ C,trong đó C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàmcân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C

Công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi H Nikaido và K Isoda năm

1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợptác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [29] và thường được gọi là bất đẳng thức

Ky Fan, tuy nhiên nó có tên gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem)theo cách gọi của các tác giả L D Muu và W Oettli [49] năm 1992, E Blum

và W Oettli [16] năm 1994 Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toánquen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toánđiểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợptác, bài toán tối ưu véc tơ, v.v [15, 16, 33, 49] Nó là một mô hình toán họcthống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ Vì vậy, các kết quả thuđược về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp cho các bài toán đặc biệtcủa nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng lẻ nói trên có thể mởrộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phù hợp nhờ đó nó có thểmang lại nhiều ứng dụng hơn

Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân bằng là:

nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm,tính ổn định [13, 27, 36, 49, 65] và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựngcác thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47,

54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48].Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xây dựng các phương phápgiải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiên cứu về bài toán cân bằng.Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cânbằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến các phương pháp: phương pháphàm đánh giá (gap function method), phương pháp sử dụng nguyên lý bàitoán phụ (auxiliary subproblem principle method), phương pháp điểm gần

kề (proximal point method), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonovregularization method), phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu(projection methods) Trong các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóngmột vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán Các thuậttoán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toánchiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác [15, 47],trong các thuật toán chiếu đó thì thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân được đề xuất bởi M V Solodov và B F Svaiter [59] (gọi là thuậttoán Solodov-Svaiter) có nhiều đặc điểm nổi bật, đó là nó có thể áp dụng đượccho một lớp khá rộng các bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) vớitoán tử F chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, màkhông nhất thiết phải có tính chất Lipchitz Ngoài ra, cũng theo [59] thì nóichung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C, F ) theo thuật toán này là ít hơnđáng kể so với các thuật toán khác

Từ những đặc điểm nổi bật của thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toánVIP(C, F ) ở trên, dẫn đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằngEP(C, f) là hết sức cần thiết Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luậnán

Ngoài các phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phương pháphiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyết các bài toánđặt không chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa nghiệm của nó không duy nhất,hoặc không phụ thuộc liên tục theo các dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổinhỏ của các dữ liệu đầu vào của bài toán có thể dẫn đến sự sai khác rất lớncủa nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định Người

có công đặt nền móng cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh đó là A N.Tikhonov [63, 64], do tầm quan trọng của lý thuyết này mà đã có nhiều nhàtoán học nước ngoài như A N Tikhonov, V Y Arsenin [63, 64], v.v và cácnhà toán học trong nước như P K Anh, N Bường [1], L D Mưu [32], N D.Yên [62], v.v , dành nhiều công sức nghiên cứu Năm 2006, phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method) đã được áp dụng cho bàitoán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu trong không gian hữu hạn chiềubởi N T Hao [31] và đã được nhóm các tác giả N N Tâm, J C Yao và N

D Yên [62] mở rộng các kết quả đó ra trong không gian Hilbert Gần đây,phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov đã được mở rộng cho bài toán cân bằng giảđơn điệu bởi các tác giả P G Hưng và L D Mưu [32] Việc áp dụng phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng thức biếnphân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) sau

min{kx − xgk : x ∈ Sf}với xg ∈ C là một điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng đoán) và

Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) Với các giả thiết về tínhliên tục và tính đơn điệu của song hàm f thì tập ràng buộc Sf là một tập lồiđóng Nhưng vì nó không được cho dưới dạng tường minh nên theo S Boyd và

L Vandenberghe (xem [17, section 4.2]), MNEP(C, f) là một bài toán tối ưukhông lồi Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với

kỹ thuật siêu phẳng cắt [61] ta thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f).Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán bất đẳng

thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán bất đẳng thứcbiến phân hai cấp BVIP(C, F, G)

Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗), y− x∗i ≥ 0, ∀y ∈ SF.Bằng cách phát triển các kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăngcường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods),

P E Maingé (xem [38, 39]) vào năm 2008 đã xây dựng được các thuật toángiải bài toán bất đẳng thức biến phân liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trêntập S là giao giữa tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

và liên tục Lipschitz với tập các điểm bất động của ánh xạ demicontractive

Do đó, việc mở rộng các thuật toán này cho những lớp bài toán tổng quát hơnnhư bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và Lipschitz trên tậpnghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu là hết sức cần thiết Vấn đề nàycũng sẽ được nghiên cứu trong luận án

Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác là phương pháp điểm gần

kề Phương pháp này được đề xuất bởi B Martinet [40] vào năm 1970 cho bàitoán bất đẳng thức biến phân và được phát triển bởi R T Rockafellar [58]năm 1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đại Năm 1999, A Moudafi [44] đã

mở rộng phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đếnnăm 2010, A Moudafi [45] đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cânbằng hai cấp đơn điệu Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữaphương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toáncân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cân bằng với song hàm cânbằng là f + ǫkg Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra, tác giả

A Moudafi đòi hỏi các giả thiết về tính đơn điệu, tính liên tục và tính lồi củacác song hàm, và đặc biệt là giả thiết kxk+1 − xkk = o(ǫk) với xk là nghiệmcủa bài toán cân bằng EP(C, f + ǫkg), đây là giả thiết rất khó kiểm chứng vìchúng không liên quan tới các dữ liệu đầu vào của bài toán Do đó, việc tiếp

tục nghiên cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp (hoặccác trường hợp riêng của nó) với các giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếuhơn là rất cần thiết Những vấn đề này sẽ được giải quyết trong luận án.

• Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu cácnội dung sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp:

• Nội dung 1 Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằnggiả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệmcủa bài toán cân bằng giả đơn điệu

• Nội dung 2 Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳngthức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằnggiả đơn điệu

• Nội dung 3 Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằnghai cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Cùng với các phương pháp cơ bản của giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích đatrị và giải tích phi tuyến, chúng tôi còn sử dụng các phương pháp sau:

• Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng chúng tôi mở rộngphương pháp chiếu của Solodov-Svaiter, kết hợp với quy tắc tìm kiếmtheo tia của Armijo;

• Để xây dựng thuật toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệmcủa bài toán cân bằng giả đơn điệu chúng tôi sử dụng phương pháp chiếukết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt (chiếu siêu phẳng cắt) và quy tắctìm kiếm theo tia của Armijo;

• Để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm củabài toán cân bằng chúng tôi sử dụng kỹ thuật lai ghép giữa thuật toán đạohàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods) kết hợp với quy tắc tìm kiếm theo tia của Armijo;

• Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sửdụng phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá vànguyên lý bài toán phụ

5 Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, đãkết hợp thuật toán này với kỹ thuật siêu phẳng cắt để thu được thuậttoán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằnggiả đơn điệu Đã chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của cácthuật toán đề xuất, đồng thời đã áp dụng vào mô hình Nash-Cournottrong vấn đề cân bằng thị trường điện bán độc quyền

• Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cườngvới phương pháp siêu phẳng cắt và kỹ thuật tìm kiếm theo tia Armijocho bài toán bất đằng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm

của bài toán cân bằng giả đơn điệu Chứng minh được tính đúng đắn và

sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra Áp dụng thuật toán đã đề xuất vàobài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

• Đề xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp Chứngminh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài toán phạt tớinghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu Đề xuất phương pháphàm đánh giá giải bài toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từkhái niệm ∇-đơn điệu Chứng minh được bất kỳ điểm dừng nào của hàmđánh giá cũng là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằngthỏa mãn giả thiết giả ∇-đơn điệu chặt Đồng thời chỉ ra hướng giảm củahàm đánh giá tại những điểm không phải là điểm dừng, cùng tính chất

"độc lập" của hướng giảm đối với tham số phạt ǫ Áp dụng các phươngpháp đề xuất vào bài toán nảy sinh khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnhTikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu

Các kết quả chính của luận án đã được công bố và gửi đăng trong 3 bàibáo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành và đã được báo cáo tại:

• Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự;

• Xêmina của Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâmKhoa học và Công nghệ Việt Nam;

• Hội nghị Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự,các năm 2010, 2011;

• Hội Thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 9, Ba Vì, Hà Nội, 2011;

• The 5th International Conference on High Performance Scientific puting, Hanoi 2012

Com-6 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương:

• Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

• Chương 2 Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu

và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp

• Chương 3 Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bàitoán cân bằng hai cấp

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cũng như các kết quả

bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau

Chương này gồm bốn phần Phần thứ nhất trình bày một số khái niệm vàcác kết quả cần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi Phần thứ hai dành

để giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một

số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Phần tiếp theo trìnhbày về bài toán cân bằng tương đương Phần cuối cùng trình bày về bài toáncân bằng hai cấp và một số trường hợp riêng của bài toán này

1.1 Các khái niệm và các kết quả cơ bản

1.1.1 Một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi

Các khái niệm về tập lồi và hàm lồi là các khái niệm cơ bản của giải tích lồi

và lý thuyết tối ưu, các khái niệm này có thể tìm thấy trong các tài liệu thamkhảo [2, 3, 6, 10, 12, 57, 66]

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một không gian véc tơ trên R, tập C ⊂ X đượcgọi là:

(a) lồi nếu ∀x, y ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C;

(b) nón có đỉnh tại 0 nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C;

(c) nón lồi nếu nó vừa là nón có đỉnh tại 0 vừa là một tập lồi

Các tập lồi là đóng kín đối với một số phép toán như phép giao, phép cộng,phép nhân với một số thực Tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong X thì

C∩ D, λC + βD cũng là các tập lồi với mọi λ, β ∈ R

Định nghĩa 1.2 Giả sử C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbertthực H và x0 ∈ C Khi đó tập

không gian Hilbert H và y ∈ H là một véc tơ bất kỳ, gọi

dC(y) = inf

x∈Ckx − yk

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại PC(y) ∈ C sao cho

dC(y) =ky − PC(y)k, thì ta nói PC(y) là hình chiếu của y trên C

Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu PC(y) của y trên C là nghiệm củabài toán tối ưu

Mệnh đề 1.1 (xem [10, Theorem 3.14, Proposition 4.8 ]) Cho C là một tậplồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó

(a) với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC(y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC(w)hay hy − w, x − wi ≤ 0 ∀x ∈ C;

(b) hình chiếu PC(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất;

(c) kPC(x)− PC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tính không giãn);

(d) kPC(x)− PC(y)k2 ≤ hPC(x)− PC(y), x− yi, ∀x, y ∈ H (tính đồng bức).Định nghĩa 1.4 Giả sử X là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương thực,

(a) hàm số f được gọi là lồi (convex function) trên C nếu

f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1];lồi chặt (strictly convex function) trên C nếu

f(λx + (1− λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0; 1);

và là lồi mạnh (strongly convex function) trên C với hệ số δ > 0 nếu

f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)δky − xk2,

(d) hàm f : C → R ∪ {±∞} được gọi là chính thường (proper function) nếudomf 6= ∅ và f(x) > −∞ với mọi x ∈ C

Định lí 1.1 (xem [2, Định lý 2.3]) Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi và

L0α(f ) = {x ∈ X : f(x) < α},

Lα(f ) = {x ∈ X : f(x) ≤ α}

là các tập lồi

Định nghĩa 1.5 Giả sử f : H → ¯R Khi đó

(a) f được gọi là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) tại x0 ∈ H nếu

limx→x0f(x)≥ f(x0)

(b) hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên C nếu nó là nửa liên tục dưới tạimọi x ∈ C Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous)trên C nếu −f là nửa liên tục dưới trên C Hàm f được gọi là liên tụctrên C nếu nó vừa nửa liên tục dưới và vừa nửa liên tục trên trên C.Định lí 1.2 (xem [2, Định lý 2.9]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H

và x0 ∈ H Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(a) f liên tục tại điểm x0;

(b) f bị chặn trên trong một lân cận mở của x0;

1.1.2 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Phép tính vi phân là một trong những phép tính cơ bản nhất của giảitích Nhờ những tính chất đặc thù của hàm lồi mà phép tính vi phân của nócàng trở nên đa dạng và phong phú hơn

Có thể thấy rằng nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đạo hàm theo mọi hướngtại x và ta có f′(x; d) =h∇f(x), di, ∀d ∈ H.

Định lí 1.3 (xem [35, Section 2.5.5]) Giả sử f là hàm δ lồi mạnh trên tậplồi đóng C ⊂ Rn Khi đó ta có

w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (subgradient) của f tại x nếu

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân ential) của f tại x và ký hiệu là ∂f (x) Hàm f được gọi là khả dưới vi phântại x nếu ∂f (x) 6= ∅

(subdiffer-Định lí 1.4 (xem [66, Theorem 2.6, Proposition 2.20, 2.21]) Một hàm lồichính thường f trên Rn khả dưới vi phân tại mỗi điểm x ∈ int(domf) và(a) ∂f(x) là một tập bị chặn;

(b) ∂f(x) = {∇f(x)} nếu f khả vi tại x;

(c) w ∈ ∂f(x) ⇔ f′(x; d)≥ hw, di ⇔ (w, −1) ∈ Nepif(x, f (x));

(d) f(x + d) − f(x) ≥ f′(x; d)

Định lí 1.5 (xem [57, Theorem 24.5]) Giả sử f là hàm lồi trên Rn, có giá

sao cho limk→∞fk(x) = f (x), ∀x ∈ C Nếu x ∈ C và {xk} ⊂ C sao cholimk→∞xk = x, thì với bất kì y ∈ Rn và bất kì dãy {yk} hội tụ về y ta có

lim sup

k→∞

fk′(xk; yk)≤ f′(x; y)

Hơn nữa, với bất kì số ǫ > 0, tồn tại chỉ số k0 sao cho

∂fk(xk)⊂ ∂f(x) + ǫB[0; 1], ∀k ≥ k0,với B[0; 1] là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Định lí 1.6 (xem [35, Theorem 2.4.11, Section 2.4.12, 2.5.4]) Giả sử C ⊆ Rn

là một lồi đóng khác rỗng và f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, khi đó mọi điểmcực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục, ngoài ra tậpcác điểm cực tiểu argminx∈C f(x) của f trên C là một tập lồi Hơn nữa, nếu

f là lồi chặt thì hàm số có không quá một điểm cực tiểu trên C Nếu f là lồimạnh thì hàm số luôn có duy nhất một điểm cực tiểu toàn cục trên C

Định lí 1.7 (xem [66, Proposition 2.31]) Giả sử C ⊆ Rn là một tập lồi khácrỗng và f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C Khi đó x0

là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi

0∈ ∂f(x0) + NC(x0)

Hệ quả 1.1 Với các giả thiết như trong Định lý 1.7 thì điểm x0 ∈ intC làđiểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(x0) Đặc biệt, nếu hàm fkhả vi thì điều kiện này trở thành ∇f(x0) = 0

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và f : C×C → ¯Rthỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; một hàm f như vậy được gọi là songhàm cân bằng (equilibrium bifunction) Chúng tôi xét bài toán cân bằng haybất đằng thức Ky Fan như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y)≥ 0, ∀y ∈ C

Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP(C, f) và tập nghiệm của nó là Sf

Bài toán này được đặt tên là bài toán cân bằng (equilibrium problem) bởi cáctác giả L D Muu và W Oettli [49] năm 1992, E Blum và W Oettli [16] năm

1994, nhưng công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi các tác giả Nikaido vàIsoda năm 1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi

không hợp tác, Ky Fan đưa ra năm 1972 [29] (thường được gọi là bất đẳngthức Ky Fan) Về mặt hình thức, bài toán cân bằng có dạng khá đơn giảnnhưng nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vựckhác nhau như: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash; nó cho tamột cách nhìn thống nhất, đồng bộ nhiều bài toán khác nhau bắt nguồn từnhiều ngành khác nhau, hợp nhất chúng trong một thể thống nhất chung rấtthuận tiện cho việc nghiên cứu Nhiều kết quả của các bài toán riêng lẻ nóitrên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điều chỉnh phùhợp và do vậy thu được nhiều ứng dụng rộng lớn hơn Điều này giải thích vìsao bài toán cân bằng mặc dù mới được chú ý gần đây nhưng đã có rất nhiều(hàng trăm) [15] các công trình của các nhà khoa học quan tâm nghiên cứumột cách rất tích cực.

Sau đây là một số ví dụ về những bài toán quen thuộc có thể được mô tảdưới dạng bài toán cân bằng

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → H là một ánh xạ đơn trị.Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) VIP(C, F ) là bài toán

f(x, y) = sup

u∈F (x)hu, y − xi

Khi đó, x∗ ∈ C và u∗ ∈ F (x∗) là nghiệm của bài toán MVIP(C, F ) khi và chỉkhi x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) (xem [49, Trang 1160]).Một trường hợp riêng quen thuộc của bài toán MVIP(C, F ) là bài toán quyhoạch lồi (convex programming) COP(C, h) được định nghĩa như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho h(x∗)≤ h(y), ∀y ∈ Ctrong đó h một hàm lồi khả dưới vi phân trên C Như ta đã biết, điểm x∗ ∈ C

là nghiệm của bài toán COP(C, h) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân đa trị MVIP(C, ∂h) sau

Xét về khía cạnh kinh tế thì bài toán MVIP(C, F ) chính là bài toán tìm phương

án sản xuất x∗ trong tập các phương án sản xuất C (hay tập chiến lược) vàvéc tơ giá u∗ trong tập các giá thành F (x∗) ứng với phương án sản xuất x∗sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất

1.2.2 Bài toán tối ưu véc tơ

Giả sử K ⊂ Rm là một nón lồi đóng với phần trong int(K) khác rỗng sao chonón cực của K là K+ = {x ∈ Rm : hx, yi ≥ 0, ∀y ∈ K} cũng có phần trongint(K+) khác rỗng Xét quan hệ thứ tự từng phần trong Rm sinh bởi nón Knhư sau

x≤K y khi và chỉ khi y − x ∈ K,

x <K y khi và chỉ khi y − x ∈ int(K)

Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn và F : C → Rm.Hàm F được gọi là K-lồi trên C nếu

1.2.3 Bài toán điểm bất động

Giả sử C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và ánh xạ đơn trị F : C → C.Khi đó bài toán điểm bất động FP(C, F ) là bài toán

Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = F (x∗)

Bằng cách đặt

f(x, y) = hx − F (x), y − xi ∀x, y ∈ C,thì bài toán FP(C, F ) trở thành bài toán EP(C, f)

Tổng quát hơn, bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị MFP(C, F ) là bàitoán

1.2.4 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Xét một trò chơi không hợp tác gồm có p đấu thủ, đấu thủ thứ i có tập chiếnlược là Ci ⊆ Rn i và có hàm chi phí là fi : C → R với C = C1× × Cp tươngứng, tức là, nếu đối thứ nhất, thứ hai, , thứ p, lần lượt chọn chiến lược chơi

là x1 ∈ C1, x2 ∈ C2, , xp ∈ Cp, thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng sẽ là

f1(x1, x2, , xp), f2(x1, x2, , xp), , fp(x1, x2, , xp) Mục tiêu của mỗi đốithủ là tìm kiếm một chiến lược chơi trong tập chiến lược chơi tương ứng đểlàm cực tiểu chi phí của mình Ký hiệu x = (x1, x2, , xp), một điểm x∗ ∈ Cđược gọi là điểm cân bằng Nash nếu không tồn tại một đối thủ nào có thểgiảm được chi phí chỉ bằng cách thay đổi chiến lược chơi của mình trong khicác đối thủ khác vẫn giữ nguyên chiến lược của họ Về mặt toán học, điểm

x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu

fi(x∗1, , x∗i−1, x∗i, x∗i+1, , x∗p)≤ fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗p),

với mọi yi ∈ Ci và với mọi i = 1, 2, , p

Bài toán tìm điểm cân bằng Nash x∗ được gọi là bài toán cân bằng Nash Bằng

1.2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong phần này chúng tôi trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm vàmột số tính chất của tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f)

Giả sử H là một không gian Hilbert với một tô pô xác định (mạnh hoặcyếu), C ⊆ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C × C → R ∪ {+∞} làsong hàm cân bằng xác định trên C Ta xét các giả thiết sau

(G1) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên theo biến thứ nhất với mỗi y ∈ C;(G2) f (x, ) là hàm số lồi, nửa liên tục dưới theo biến thứ hai với mỗi x ∈ C;(G3) f thỏa mãn điều kiện bức trên C, tức là, tồn tại một tập com pắc

B ⊂ H và một véc tơ y0 ∈ B ∩ C sao cho

f(x, y0) < 0,∀x ∈ C \ B

rỗng trong không gian Hilbert H và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cânbằng xác định trên C Nếu f thỏa mãn giả thiết (G1) và f (x, ) tựa lồi trên Cvới mỗi x ∈ C cố định Khi đó, nếu C là tập com pắc hoặc điều kiện bức (G3)được thỏa mãn, thì bài toán EP(C, f ) có nghiệm

Để xét đến tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bàitoán cân bằng, ta cần đến các định nghĩa sau về tính đơn điệu của song hàmcân bằng f

được gọi là

(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số γ > 0 nếu

(f) giả đơn điệu theo tập S (pseudomonotone with respect to S) trên C nếu

f là giả đơn điệu theo x∗ trên C với mọi x∗ ∈ S

Từ định nghĩa trên, ta suy ra

(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ∀x∗ ∈ C

Tính chất đơn điệu của song hàm có liên quan chặt chẽ với tính đơn điệu củatoán tử được định nghĩa dưới đây

(a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu

hF (x) − F (y), x − yi ≥ γkx − yk2, ∀x, y ∈ C;

(b) đơn điệu chặt trên C nếu

hF (x) − F (y), x − yi > 0, ∀x, y ∈ C và x 6= y;

(c) đơn điệu trên C nếu

Định lí 1.9 (xem [13, Proposition 4.2], [36, Proposition 2.1.16])

(a) Nếu hàm f đơn điệu mạnh trên C và thỏa mãn các giả thiết (G1), (G2),thì bài toán EP(C, f ) có nghiệm duy nhất;

(b) Nếu hàm f đơn điệu chặt trên C, thì bài toán EP(C, f) không có quámột nghiệm

1.3 Bài toán cân bằng tương đương

Thông thường, khi xem xét, tìm kiếm lời giải cho bài toán cân bằng, ngoàinhững đặc tính chung của song hàm cân bằng ban đầu f, người ta thường quantâm đến những khía cạnh đặc biệt thêm vào nào đó của nó, chẳng hạn nhưtính lồi mạnh của nó theo biến thứ hai, hay tính đơn điệu mạnh của nó, cáctính chất này thường giúp cho việc tìm kiếm lời giải trở nên dễ dàng hơn, nóimột cách khác, để giải bài toán cân bằng EP(C, f) người ta thường tìm cáchđưa về việc giải một bài toán cân bằng EP(C, g) tương đương với nó nhưng dễgiải hơn theo phương pháp tiếp cận tìm kiếm lời giải Trong mục này ta giảthiết C là một tập lồi trong không gian Rn

Định lí 1.10 (xem [20, Theorem 2.2]) Giả sử C ⊆ Rn là một tập lồi và

f, g : Rn× Rn → R ∪ {+∞} là các song hàm sao cho với mỗi x ∈ C cố định,thỏa mãn các điều kiện sau

Các bổ đề dưới đây cần thiết cho việc xây dựng và chứng minh sự hội tụcủa các thuật toán ở các chương sau

Bổ đề 1.1 ([41]) Giả sử h là một hàm số khả vi liên tục và δ-lồi mạnh trên

x∈ C hàm số f(x, ) là lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C, khi

đó điểm x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) khi và chỉ khi

nó là nghiệm của bài toán cân bằng sau

Tìm x∗ ∈ C : f(x∗, y)+h(y)−h(x∗)−h∇h(x∗), y−x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (AEP )Hàm

d(x, y) = h(y)− h(x) − h∇h(x), y − xiđược gọi là hàm Bregman (Bregman function) Hàm Bregman được sử dụng

để xây dựng các phép chiếu tổng quát, thường được gọi là phép chiếu d projection), xem chẳng hạn trong [21] Một trường hợp đặc biệt là khi hàmh(x) = 12kxk2 Trong trường hợp này phép chiếu d trở thành phép chiếuEuclide

(d-Bổ đề 1.2 ([41]) Với các giả thiết của Bổ đề 1.1 thì điểm x∗ ∈ C là nghiệmcủa bài toán cân bằng EP(C, f ) nếu và chỉ nếu

x∗ = arg min{f(x∗, y) + h(y)− h(x∗)− h∇h(x∗), y− x∗i : y ∈ C} (CP )Cần chú ý rằng hàm f(x, ) là lồi và hàm h là lồi mạnh nên (CP) là mộtbài toán quy hoạch lồi mạnh, do đó nghiệm của bài toán (CP) luôn luôn tồntại và duy nhất (xem Định lý 1.6)

Bổ đề 1.3 Giả sử bài toán cân bằng EP(C, f ) có nghiệm với f : C × C →

R∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C sao cho, với mỗi x ∈ C hàm

số f (x, ) là lồi, nửa liên tục dưới trên C, f (., y) là hàm số nửa liên tục trênvới mỗi y ∈ C và f là giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm Sf của nó Khi

đó, Sf là một tập lồi đóng và ta có

f(x∗, y) ≥ 0 ∀y ∈ C khi và chỉ khi f(y, x∗)≤ 0 ∀y ∈ C

Bổ đề 1.3 được chứng minh, chẳng hạn trong các tài liệu tham khảo [36,Proposition 2.1.15], [49], khi f là giả đơn điệu và đơn điệu trên C Trong trườnghợp f là giả đơn điệu theo tập Sf, việc chứng minh được tiến hành một cáchtương tự

1.4 Bài toán cân bằng hai cấp

Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và f, g : C×C →

R∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C Chúng tôi xét bài toáncân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) hay bài toán cân bằng trên tậpnghiệm của bài toán cân bằng BEP(C, f, g) sau

ở đó, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng

Bài toán BEP(C, f, g) theo sự hiểu biết của chúng tôi được tác giả A.Moudafi (xem [45]) xét đến đầu tiên và xây dựng phương pháp điểm gần kềcho lớp bài toán này khi các song hàm f, g là đơn điệu trên C Tuy có dạngđơn giản nhưng bài toán BEP(C, f, g) khá tổng quát vì nó chứa nhiều lớp bàitoán quan trọng khác như là các trường hợp riêng của nó, chẳng hạn như:

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.

Giả sử C ⊂ H, là tập lồi đóng khác rỗng và các ánh xạ G, F : C → H Bàitoán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) là bài toán

Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗), y− x∗i ≥ 0, ∀y ∈ SF, (1.4)

ở đó, SF là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau

Bằng cách đặt g(x, y) = hG(x), y − xi; f(x, y) = hF(x), y − xi, x, y ∈ C, thìbài toán BVIP(C, F, G) trở thành bài toán BEP(C, f, g)

Bài toán BVIP(C, F, G) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu xâydựng các phương pháp giải (xem [5, 34]), các định lý hội tụ của các thuật toánđưa ra dựa trên tính đơn điệu tổng quát, hay đơn điệu của các ánh xạ G, F

1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của

bài toán cân bằng

Giả sử, C ⊂ H, là tập lồi đóng khác rỗng, ánh xạ G : C → H, và f(x, y) làsong hàm cân bằng xác định trên C Bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G) là bài toán

Tìm x∗ ∈ Sf sao cho hG(x∗), y− x∗i ≥ 0, ∀y ∈ Sf (1.6)

ở đó, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng sau

Với mỗi x, y ∈ C đặt g(x, y) = hG(x), y−xi, ta đưa được bài toán VIEP(C, f, G)

về bài toán BEP(C, f, g)

Một trường hợp riêng của bài toán VIEP(C, f, G) là khi G(x) = x − xg, trongtrường hợp này bài toán VIEP(C, f, G) tương đương với bài toán MNEP(C, f)sau:

min

tức là bài toán tìm hình chiếu của điểm xg xuống tập nghiệm của bài toán cânbằng Sf Bài toán MNEP(C, f) xuất hiện khi ta áp dụng phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng (xem [32])

Chương 2 MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN

CÂN BẰNG HAI CẤP

Thông thường, các phương pháp giải bài toán cân bằng được phát triểnchủ yếu từ các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân Trong cácphương pháp đó, phương pháp chiếu (projection method) đóng một vai tròquan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán Ta bắt đầu chương nàybằng việc nhắc lại một số thuật toán thuộc loại chiếu giải bài toán bất đẳngthức biến phân VIP(C, F )

Ký hiệu SF là tập nghiệm của bài toán VIP(C, F ) Thuật toán Chiếu cơ bản(Basic Projection Algorithm) (xem [28, Algorithm 12.1.1]) được xác định theoquy tắc lặp sau:

Bước khởi tạo x0 ∈ C, k = 0

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tính xk+1 = PC(xk − F (xk))

Bước 2 Nếu xk+1 = xk thì dừng, xk là nghiệm

Ngược lại, thay k bởi k + 1 và chuyển về Bước lặp thứ k

Với các điều kiện toán tử F là τ-đơn điệu mạnh và L-Lipchitz trên C thì dãy{xk} được xác định bởi Thuật toán Chiếu cơ bản hoặc sẽ dừng lại sau một sốhữu hạn bước lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán VIP(C, F ) hoặc sẽ hội tụtới nghiệm của bài toán VIP(C, F ) (xem [28, Theorem 12.1.2]) Bằng phản ví

dụ (xem [28, Example 12.1.3]) các tác giả cũng đã chỉ ra rằng thuật toán này

không hội tụ khi toán tử F là đơn điệu trên C Hay nói cách khác, Thuật toánChiếu cơ bản không áp dụng được cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phânđơn điệu.

Để thu được thuật toán chiếu cho lớp toán tử khác, thì Thuật toán Chiếuvới độ dài bước thay đổi, một biến thể của thuật toán chiếu, đã được đề xuất,

cụ thể ta có:

Thuật toán Chiếu với độ dài bước thay đổi (Projection Algorithm with VariableSteps) (xem [28, Algorithm 12.1.4]) được xác định như sau

Bước khởi tạo x0 ∈ C, k = 0

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tính xk+1 = PC(xk − τkF(xk))

Bước 2 Nếu xk+1 = xk thì dừng, xk là nghiệm

Ngược lại, thay k bởi k + 1 và chuyển về Bước lặp thứ k

Trong đó τk (k = 0, 1, 2, ) là các số dương (đóng vai trò là độ dài bước) vàđược chọn trong mỗi bước lặp

Với các giả thiết toán tử F là τ-đơn điệu mạnh ngược (hoặc đồng bức) coercive) trên C (tức là hF(y) − F(x), y − xi ≥ τkF(y) − F(x)k2, ∀x, y ∈ C)

(co-và bài toán VIP(C, F ) có nghiệm, bằng cách chọn các tham số τk thỏa mãn

0 < infkτk ≤ supkτk < 2τ , thì dãy {xk} được xác định bởi Thuật toánChiếu với độ dài bước thay đổi hoặc sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước lặptới nghiệm của bài toán VIP(C, F ) hoặc sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toánVIP(C, F ) (xem [28, Theorem 12.1.8])

Hai thuật toán chiếu ở trên, chỉ hội tụ cho lớp toán tử F tương đối hẹp, đó

là lớp toán tử Lipchitz, đơn điệu mạnh hoặc lớp toán tử đơn điệu mạnh ngược

Để thu được thuật toán chiếu cho lớp toán tử đơn điệu tổng quát hơn, người

ta đã mở rộng Thuật toán Đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm) củaKorpelevich [37] cho bài toán bất đẳng thức biến phân và được gọi là Thuậttoán đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm) hay Thuật toán Chiếu kép

(Double Projection Algorithm).

Thuật toán đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm) (xem [28, rithm 12.1.9])

Algo-Bước khởi tạo x0 ∈ C, τ > 0, k = 0

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tính xk+1/2 = PC(xk − τF (xk))

Bước 2 Nếu xk+1/2 = xk, thì dừng, xk là nghiệm

Ngược lại, tính xk+1 = PC(xk − τF (xk+1/2)),

thay k bởi k + 1 và chuyển đến Bước lặp thứ k

Với các giả thiết toán tử F là liên tục Lipchitz với hằng số L và giả đơn điệutrên C theo tập nghiệm SF của nó, bằng cách chọn tham số hiệu chỉnh τ < 1

L,thì dãy {xk} sinh bởi Thuật toán Đạo hàm tăng cường hội tụ tới nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) (xem [28, Theorem 12.1.11]).Điểm ưu việt của Thuật toán Đạo hàm tăng cường là nó có thể áp dụngđược cho một lớp rộng lớn các bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệutheo tập nghiệm Lớp toán tử giả đơn điệu này khá tổng quát, vì nó chứa cáclớp toán tử giả đơn điệu, đơn điệu, đơn điệu mạnh ngược hay đơn điệu mạnhnhư là các trường hợp riêng Mặc dù vậy, nó vẫn còn một số hạn chế như làtại mỗi bước lặp, chúng ta phải tính hai phép chiếu thay vì một phép chiếunhư trong các thuật toán trước đó Trong nhiều trường hợp, tập ràng buộc Ckhông có cấu trúc đặc biệt (như là nửa không gian, đơn hình, hay đa diện lồi, ) thì việc tìm một hình chiếu tương ứng với việc giải một bài toán quy hoạch

PC(x) := arg miny∈Cky − xk do đó, về mặt tính toán, thuật toán đạo hàmtăng cường có chi phí tính toán lớn hơn so với các thuật toán trên, điều nàydẫn đến chi phí để giải bài toán sẽ rất lớn khi số các bước lặp k lớn Ngoài ra,thuật toán này cũng đòi hỏi phải biết hằng số Lipchitz L của toán tử F màtrong nhiều trường hợp, khi hằng số L khó tìm hoặc toán tử F không Lipchitzthì chúng ta không thể áp dụng thuật toán này một cách trực tiếp Do vậy,

vấn đề đặt ra là cần phải xây dựng các thuật toán mới cho bài toán VIP(C, F )khi toán tử F là giả đơn điệu và không nhất thiết phải có tính Lipchitz, ngoài

ra khi thực thi, nó còn phải có số các bước lặp k nhỏ, nhất là trong các trườnghợp tập lồi C không có cấu trúc đặc biệt để giảm chi phí tính toán Để giảiquyết những vấn đề này, M V Solodov và B F Svaiter (xem [59]) đã đề xuấtthuật toán (gọi là thuật toán Solodov-Svaiter) bằng cách kết hợp giữa thuậttoán chiếu, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và kỹ thuật siêu phẳng cắt nhưsau

Thuật toán Solodov-Svaiter (xem [59, Algorithm 2.1])

Bước khởi tạo x0 ∈ C, γ, σ ∈ (0, 1), k = 0

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tính r(xk) = xk− PC(xk− F (xk)) Nếu r(xk) = 0 thì dừng, xk lànghiệm, ngược lại, chuyển sang Bước 2

Bước 2 Tìm mk là số nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn

hF (xk − γmr(xk)), r(xk)i ≥ σkr(xk)k2,đặt ηk = γmk, zk = xk − ηkr(xk)

Bước 3 Tính xk+1 = PC∩Hk(xk),

ở đó Hk = {x ∈ Rn : hF (zk), x− zki ≤ 0},

thay k bởi k + 1 và chuyển đến Bước lặp thứ k

Với giả thiết toán tử F là giả đơn điệu theo tập nghiệm của bài toán VIP(C, F )

và liên tục trên Rn thì dãy {xk} sinh bởi Thuật toán Solodov-Svaiter hội tụtới nghiệm của bài toán VIP(C, F ) (xem [59, Theorem 2.1])

Điểm ưu việt của thuật toán này là nó có thể áp dụng được cho một lớpkhá rộng các toán tử F vì nó chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm,tính liên tục, mà không cần đòi hỏi tính Lipchitz của toán tử F Ngoài ra, cũngtheo [59] thì nói chung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C, F ) theo thuậttoán này là ít hơn đáng kể so với các thuật toán khác Tuy nhiên, trong thuậttoán này, ở mỗi bước lặp ta phải tính hình chiếu trên tập C ∩ Hk thay vì trên

C như trong các thuật toán chiếu khác Vì vậy như các tác giả của [59] đã gợi

ý, thuật toán này không nên sử dụng khi tập C có cấu trúc đặc biệt, vì khithực thi, thuật toán này có thể làm mất đi cấu trúc đặc biệt của C

Từ những đặc điểm nổi bật của Thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toánVIP(C, F ) ở trên, dẫn đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằngEP(C, f) và các bài toán khác là hết sức cần thiết

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu xây dựng các thuật toán giải bàitoán cân bằng, bài toán tối ưu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cânbằng và tổng quát hơn là bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmcủa bài toán cân bằng Bằng cách mở rộng thuật toán của Solodov-Svaiterchúng tôi xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu theotập nghiệm của nó, chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toánđưa ra và áp dụng thuật toán này vào mô hình cân bằng Nash-Cournot trongthị trường điện bán độc quyền Tiếp theo, chúng tôi kết hợp thuật toán nàyvới các kỹ thuật siêu phẳng cắt để xây dựng phương pháp giải cho bài toántối ưu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu vàbài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [2], [3] trong Danh mụccông trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

• Bài toán cân bằng EP(C, f)

Gọi Sf là tập nghiệm của bài toán EP(C, f)