TOM TAT LUAN AN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN cân BẰNG có cấu TRÚC

MỞ ĐẦU Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, f : C × C → R song hàm thỏa mãn tính chất cân f ( x, x ) = với x ∈ C Bài toán cân song hàm f C phát biểu sau: tìm x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C (EP( f , C )) Điểm lý thú toán bao hàm loạt tốn riêng lẻ khác thể thống nhất, chẳng hạn toán tối ưu, toán cân Nash, toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa Mặt khác, phương pháp giải kết nghiên cứu tốn riêng lẻ nói mở rộng tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho toán cân Các nghiên cứu tốn EP( f , C ) tạm chia thành hai hướng: nghiên cứu định tính bao gồm nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, ổn định nghiệm nghiên cứu định lượng, bao gồm đề xuất giải thuật, nghiên cứu tốc độ hội tụ thuật toán , áp dụng toán cân vào thực tế Trong hướng nghiên cứu trên, việc đề xuất thuật giải cho toán cân chiếm tỉ trọng lớn Các phương pháp để giải tốn cân kể đến như: phương pháp chiếu, phương pháp phân rã, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hàm đánh giá Đặc điểm chung phương pháp giải xấp xỉ toán cân chúng sinh dãy lặp hội tụ tới nghiệm tốn Nói chung, bước lặp thuật toán, ta cần giải toán phụ Chi phí tính tốn để giải tốn phụ yếu tố ảnh hưởng đến tính hiệu tốc độ thuật tốn Một ý tưởng để giảm chi phí tính tốn cho tốn phụ phân rã song hàm f ban đầu thành tổng hiệu song hàm thành phần: f = f ± f Khi đó, thay xử lí song hàm f , ta cần làm việc với song hàm thành phần Ý tưởng đặc biệt hữu ích song hàm f có dạng phức tạp, song hàm thành phần có dạng đơn giản đặc biệt Phương pháp phân rã áp dụng rộng rãi cho toán tối ưu bất đẳng thức biến phân thu kết đáng khích lệ Chúng tơi cho việc mở rộng phương pháp sang toán cân cần thiết Đây vấn đề giải luận án Khi áp dụng tốn cân vào thực tế, ta gặp tình tập ràng buộc tốn khơng cho dạng hiển Chẳng hạn, mơ hình điều khiển công suất mạng viễn thông CDMA dẫn đến tốn cân với tập ràng buộc cho tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn T: tìm x ∗ ∈ Fix ( T ) cho f ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ Fix ( T ), (EP( f , Fix ( T ))) Fix ( T ) := {t ∈ C : T (t) = t} Bài tốn nói trường hợp riêng toán cân hai cấp, tức toán cân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn cân khác tìm x ∗ ∈ Sol ( g, C ) cho f ( x ∗ , y) ≥ với Sol ( g, C ) := {t ∈ C : g(t, y) ≥ ∀y ∈ Sol ( g, C ), (BEP( f , g, C )) ∀y ∈ C } , f , g song hàm cân C Mặc dù toán cân hai cấp thú vị có nhiều ứng dụng thực tế, việc giải cịn gặp nhiều khó khăn Theo hiểu biết người viết, có phương pháp giải cho toán BEP( f , g, C ) Việc đề xuất phương pháp mới, hiệu để giải toán câng hai cấp trường hợp riêng cần thiết Các vấn đề giải luận án Ngồi ra, việc kết hợp tốn cân toán điểm bất động đề tài lý thú Trong toán cân nghiên cứu tập trung khoảng 20 năm gần đây, tốn điểm bất động có lịch sử phát triển 100 năm Có nhiều phương pháp lặp đề xuất để tìm điểm bất động một họ ánh xạ không giãn, ví dụ phương pháp lặp kiểu Halpern, phương pháp lặp kiểu Mann Bằng việc kết hợp hai tốn nói trên, ta tận dụng kĩ thuật có lý thuyết điểm bất động để đề xuất chứng minh tính hội tụ thuật toán cho toán cân Trong chương cuối luận án, xét tốn tìm nghiệm chung tốn cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn EP( f , C ) ∩ Fix ( T ) Trong luận án, tập trung nghiên cứu nội dung sau: • Xây dựng phương pháp giải toán cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần • Xây dựng phương pháp giải tốn cân hai cấp trường hợp riêng • Xây dựng phương pháp tìm nghiệm chung toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn Tất thuật toán đề xuất luận án chứng minh hội tụ Chúng tiến hành vài thử nghiệm số để so sánh thuật toán với thuật tốn có đồng thời áp dụng chúng vào số mơ hình thực tế Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tác giả có liên quan đến luận án danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: • Chương Một số kiến thức chuẩn bị • Chương Bài tốn cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần • Chương Bài tốn cân hai cấp • Chương Tìm nghiệm chung toán cân toán điểm bất động Các kết luận án cơng bố báo tạp chí thuộc danh mục ISI: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Serie A Matemáticas, Numerical Algorithms, Optimization, Numerical Functional Analysis and Optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Miskolc Mathematical Notes báo cáo tại: • 7th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hà Nội, 19-23/3/2018 • Hội thảo Tối ưu tính tốn khoa học lần thứ 13 Ba Vì, Hà Nội từ 2325/4/2015 • Hội thảo Tối ưu tính tốn khoa học lần thứ 16 Ba Vì, Hà Nội từ 1921/4/2018 • Hội nghị Tốn ứng dụng Tin học Đại học Bách Khoa Hà Nội từ 1213/11/2016 • Hội nghị khoa học khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội vào ngày 01/10/2016 • Xêmina Bài tốn cân vấn đề liên quan, Viện Nghiên Cứu Cao Cấp Về Toán, ngày 27/09/2016 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết Cho H không gian Hilbert thực trang bị tích vơ hướng ⟨., ⟩ chuẩn tương ứng ∥.∥ Giả sử C ⊂ H tập lồi, khác rỗng, x0 ∈ C Tập { ⟨ ⟩ } 0 NC ( x ) := w ∈ H : w, y − x ≤ ∀y ∈ C gọi nón pháp tuyến (ngồi) C x0 Dễ thấy NC ( x0 ) nón lồi, đóng, khác rỗng Cho x ∈ H điểm Khi dC ( x ) := inf ∥y − x ∥ y∈C gọi khoảng cách từ x đến tập C Giả sử tồn điểm x0 ∈ C thỏa mãn dC ( x ) = x − x0 , ta gọi x0 hình chiếu x lên C, kí hiệu x0 = PC ( x ) Ánh xạ PC : H → C gọi phép chiếu (vng góc) lên C Ánh xạ cơng cụ sắc bén, đóng vai trị quan trọng thuật giải toán cân bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 1.1 Cho C ∈ H tập lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, • Với x ∈ H, PC ( x ) tồn nhất, đồng thời x0 = PC ( x ) ⟨ ⟩ y − x0 , x − x0 ≤ ∀y ∈ C • Ánh xạ PC có tính chất khơng giãn vững (hoặc 1-đơn điệu mạnh ngược), tức là, ∥ PC ( x ) − PC (y)∥2 ≤ ⟨ PC ( x ) − PC (y), x − y⟩ ∀ x, y ∈ H • Với x ∈ H, x0 = PC ( x ) x − x0 ∈ NC ( x0 ) Định nghĩa 1.2 Cho g : H → R ∪ {+∞}, x0 ∈ H Nếu tập { ⟨ ⟩ 0 ∂g( x ) := w ∈ H : w, y − x ≤ g(y) − g( x0 ) ∀y ∈ H } khác rỗng g gọi khả vi phân x0 , ∂g( x0 ) gọi vi phân, vectơ w thuộc ∂g( x0 ) gọi đạo hàm g x0 Hàm g gọi khả vi phân tập C khả vi phân điểm thuộc tập Định nghĩa 1.4 Song hàm f : C × C → R gọi γ-đơn điệu mạnh C tồn số γ > cho với x, y ∈ C, f ( x, y) + f (y, x ) ≤ −γ∥ x − y∥2 ; đơn điệu chặt C với x ̸= y ∈ C, ta có f ( x, y) + f (y, x ) < 0; đơn điệu C với x, y ∈ C, ta có f ( x, y) + f (y, x ) ≤ 0; γ-giả đơn điệu mạnh C tồn số γ > cho với x, y ∈ C, f ( x, y) ≥ ⇒ f (y, x ) ≤ −γ∥ x − y∥2 ; giả đơn điệu C với x, y ∈ C, ta có f ( x, y) ≥ ⇒ f (y, x ) ≤ thỏa mãn điều kiện Lipschitz tồn hai số c1 , c2 > cho f ( x, y) + f (y, z) ≥ f ( x, z) − c1 ∥ x − y∥2 − c1 ∥y − z∥2 1.2 Bài toán cân mối liên hệ với toán khác 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho F : C → C ánh xạ, toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ F tập C phát biểu dạng tìm x ∗ ∈ C cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ ∀y ∈ C (VI( F, C )) Dễ thấy tốn VI( F, C ) trường hợp đặc biệt EP( f , C ) cách đặt f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩ Có thể nói tốn bất đẳng thức biến phân trường hợp riêng quan trọng toán cân Bản thân toán VI( F, C ) đề tài lý thú, thu hút quan tâm nghiên cứu đông đảo nhà khoa học nước Rất nhiều phương pháp giải toán cân mở rộng trực tiếp từ phương pháp tương ứng dành cho toán bất đẳng thức biến phân Cần lưu ý thân toán bất đẳng thức biến phân bao hàm loạt toán khác như: toán bù phi tuyến, toán điểm bất động 1.2.2 Bài tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác Lý thuyết trị chơi đại cho “con đẻ” nhà toán học John von Neumann nhà kinh tế học Oskar Morgenstern Đây hai đồng tác giả sách có tựa đề "Theory of Games and Economic Behaviour" xuất năm 1944 Đến đầu năm 1950, Nash đưa khái niệm “điểm cân Nash” trị chơi khơng hợp tác Cân Nash đạt không người chơi tăng lợi ích cách thay đổi chiến lược đối thủ khác giữ nguyên chiến lược họ Một cách tổng quát, giả sử có n người tham gia trị chơi khơng hợp tác Người chơi thứ i có tập chiến lược Ci có hàm lợi ích f i : C → R với C = C1 × Cn Mục tiêu người chơi tìm kiếm chiến lược cho riêng để tối đa hóa lợi ích f i Điểm x ∗ ∈ C gọi điểm cân Nash với y = (y1 , , yn ) ∈ C, f i ( x1∗ , , xn∗ ) ≥ f i ( x1∗ , , xi∗−1 , yi , xi∗+1 , , xn∗ ) ∀i = 1, , n Bằng cách đặt n f ( x, y) := ∑ [ fi (x1, , xi , , xn ) − fi (x1, , yi , , xn )] ∀ x, y ∈ C, (1.2) i =1 tốn tìm điểm cân Nash đưa toán cân EP( f , C ) Song hàm f định nghĩa gọi song hàm Nikaido-Isoda 1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa Xét hai không gian Hilbert thực H1 , H2 Giả sử C ⊂ H1 , D ⊂ H2 hai tập lồi, đóng, khác rỗng, L : C × D → R song hàm Bài toán điểm yên ngựa (Saddle point problem) phát biểu sau tìm ( x ∗ , y∗ ) ∈ C × D cho L( x ∗ , y) ≤ L( x ∗ , y∗ ) ≤ L( x, y∗ ) (SP( L, C, D )) Bài tốn đưa toán EP( f , K ) với K = C × D, f (u, v) := L( x, y′ ) − L( x ′ , y) với u = ( x ′ , y′ ), v = ( x, y) ∈ K 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân Trong mục này, xét số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân Một số tính chất miêu tả cấu trúc tập nghiệm EP( f , C ) trình bày Định lý 1.8.1 Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R song hàm cân bằng, giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện: với x ∈ C, hàm số f (., x ) hê-mi liên tục hàm số f ( x, ) lồi, nửa liên tục C Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: tồn tập compắc B cho: ∀ x ∈ C \ B, ∃y ∈ C : f ( x, y) < Khi đó, tốn cân EP( f , C ) có nghiệm Mệnh đề 1.2.1 Giả sử song hàm f giả đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu chặt) C Khi đó, tốn EP( f , C ) có tối đa nghiệm Định lý 1.9.1 Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R song hàm cân bằng, giả đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện: với x ∈ C, hàm số f (., x ) hê-mi liên tục hàm số f ( x, ) lồi, nửa liên tục C khả vi phân điểm thuộc H Khi đó, tốn cân EP( f , C ) có nghiệm Định lý 1.10.1 Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R song hàm cân bằng, giả đơn điệu thỏa mãn: với x ∈ C, hàm số f (., x ) nửa liên tục trên, f ( x, ) lồi C Khi đó, (a) Sd = S, (b) S tập lồi, đóng L.D Muu, N.V Quy (2015) On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems Vietnam J Math 43, 229 - 238 Chương Bài toán cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần Trong chương này, trình bày số phương phân rã cho tốn cân Đây biết đến phương pháp hiệu tối ưu để giải tốn với hàm mục tiêu có dạng phức tạp, nhiều thành phần Ý tưởng phương pháp tách hàm mục tiêu thành tổng hiệu hàm có dạng đơn giản Khi đó, thay phải xử lí trực tiếp hàm mục tiêu ban đầu, ta cần làm việc với hàm thành phần, nhờ đó, ta tận dụng tính chất dạng đặc biệt chúng 2.1 Phân rã song hàm thành tổng hai song hàm thành phần Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, có miền khác rỗng Ta xét toán EP( f , C) với f := f + f , f i : C × C → R, i = 1, 2, song hàm thành phần Ký hiệu lớp toán EPS ( f , C ) Định nghĩa 2.2 Song hàm f : C × C → R gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu tồn số Q > cho với x, y, z ∈ C, | f ( x, y) + f (y, z) − f ( x, z)| ≤ Q∥ x − y∥∥y − z∥ Định nghĩa 2.3 Song hàm f : C × C → R gọi liên tục -Hăolder tng phn trờn C nu tn ti cỏc hng số L > τ ∈ (0, 1] cho với x, y, z ∈ C, hai điều kiện sau thỏa mãn (a) | f ( x, y) − f (z, y)| ≤ L∥ x − z∥τ ; (b) | f ( x, y) − f ( x, z)| ≤ L∥y − z∥τ Giả thiết 2.1 Ta xét toán EPS ( f , C ) với giả thiết sau: (A1) Với x, hàm f (., x ) nửa liên tục trên C (A2) Song hàm f γ-giả đơn điệu mạnh C (A3) Với x ∈ C, hàm số f i ( x, ) nửa liên tục dưới, lồi, khả vi phân C f i ( x, x ) = 0, i = 1, 2.1.1 Thuật toán phân rã Thuật toán 2.1 Bước Chọn x0 ∈ C dãy số {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử biết x k , tính: { } k k k y = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C , } { k k +1 k x = argmin λk f (y , t) + ∥t − y ∥ : t ∈ C Nếu x k = yk = x k+1 , dừng thuật toán Ngược lại, đến Bước Bước Cập nhật k := k + quay trở lại Bước Định lý 2.1 Cho f : C × C → R song hàm phân rã thành f := f + f Giả sử điều kiện Giả thiết 2.1 thỏa mãn, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu với số Q, f liờn tc -Hăolder tng phn trờn C Khi đó, với x0 ∈ C, với dãy {λk } thỏa mãn điều kiện ∞ (A4) ∑ ∞ λk = ∞, (A5) k =1 ∑ (λk ) 2−τ < ∞, k =1 dãy { x k } sinh Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ toán EPS ( f , C ) 2.1.2 Thuật toán phân rã song song Thuật toán 2.3 Bước Chọn x0 ∈ C dãy {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử biết x k , tính } k y = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C , { k k { } zk = argmin λk f ( x k , t) + ∥t − x k ∥2 : t ∈ C , k k y +z x k +1 = Nếu x k = yk = zk , dừng thuật tốn Ngược lại, đến Bước Bước Cập nhật k := k + quay trở lại Bước Định lý 2.2 Cho f : C × C → H, f = f + f Giả sử điều kiện Giả thiết 2.1 thỏa mãn, f i liờn tc i -Hăolder tng phn, i = 1, Khi đó, với x0 ∈ C dãy ∞ 2−τ < ∞, đó, τ = min{ τ , τ }, {λk } thỏa mãn điều kiện ∑∞ k =1 λk = ∞, ∑k =1 ( λk ) dãy { x k } sinh Thuật toán 2.3 hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ toán EP( f , C ) p Nhận xét 2.3 Thuật tốn 2.3 mở rộng cho trường hợp f = ∑i=1 f i , p ≥ sau    x0 ∈ C,   (2.19) yik = argmin{λk f i ( x k , t) + 21 ∥t − x k ∥2 : t ∈ C }, i = 1, , p,     x k +1 = p y k p ∑ i =1 i Với giả thiết tương tự Định lý 2.2, ta chứng minh { x k } sinh (2.19) hội tụ mạnh tới nghiệm EP( f , C ) 2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu Giả sử f = f + f , song hàm f cho xác cịn f song hàm chứa nhiễu, tức là, thay biết f , ta biết phiên nhiễu gδ ( x, y) nó, gδ ( x, y) thỏa mãn điều kiện | f ( x, y) − gδ ( x, y)| ≤ δ∥ x − y∥α , ∀ x, y ∈ C với α ∈ (0, 2], δ > Giả sử với x ∈ C δ > 0, hàm gδ ( x, ) lồi, nửa liên tục Cho {δk } dãy số dương, giảm Ký hiệu gk ( x, y) := gδk ( x, y) Định lý 2.3 Giả sử tất điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn, limk→∞ δk = 2− µ ∑∞ k =1 λ k < ∞, với µ = min{τ, α} Khi đó, dãy { x k } sinh    x0 ∈ C,    { } k k k y = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C ,  { }     x k+1 = argmin λ g (yk , t) + ∥t − yk ∥2 : t ∈ C , k k hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ toán EPS ( f , C ) 10 2.2 Phân rã song hàm thành hiệu hai song hàm thành phần Trong mục này, ta xét toán EP( f , C ) với song hàm f phân rã thành hiệu hai song hàm thành phần: f := f − f với f i : H × H → R song hàm thỏa mãn điều kiện f i ( x, x ) = với x ∈ C, i = 1, Ký hiệu lớp toán EPD ( f , C ) Giả thiết 2.2 Ta xét toán EPD ( f , C ) với giả thiết sau (B1) Tập nghiệm toán EPD ( f , C ) khác rỗng (B2) f đơn điệu mạnh C (B3) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu C (B4) f liờn tc -Holder tng phn trờn C ă (B5) Với x ∈ C, hàm số f ( x, ) f (., x ) nửa liên tục dưới, lồi khả vi phân C Lưu ý rằng, với Giả thiết 2.2, song hàm f không thiết phải lồi theo biến thứ thứ hai Ngồi ra, khơng thiết phải thỏa mãn điều kiện tính liên tục đơn điệu C Để giải tốn EP( f , C ), chúng tơi đề xuất thuật toán phân rã sau Thuật toán 2.4 Bước Chọn x0 ∈ C dãy {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử biết x k , tính { } k y = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C , { } k +1 k k x = argmin λk f (t, y ) + ∥t − y ∥ : t ∈ C k k Bước Cập nhật k := k + quay lại Bước Định lý 2.4 Cho f : C × C → R, f = f − f Giả sử điều kiện Giả thiết 2.2 thỏa mãn Khi đó, với x0 ∈ C với dãy {λk } thỏa mãn hai điều kiện (A4), (A5), dãy { x k } sinh Thuật toán 2.4 hội tụ mạnh tới nghiệm toán EPD ( f , C ) 11 Hệ 2.2 Giả sử điều kiện (B1), (B2), (A4) (A5) thỏa mãn Ngoài ra, giả sử (C1) Với x ∈ H, f ( x, ) nửa liên tục dưới, lồi khả vi phân C, (C2) Với x ∈ C, f (., x ) nửa liên tục dưới, lồi khả vi phân H, (C3) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz H, (C4) f liờn tc -Hăolder tng phn trờn H Khi đó, dãy { x k } sinh    x0 ∈ H,    { } k k k y = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C ,  } {     x k+1 = argmin λk f (t, yk ) + 21 ∥t − yk ∥2 : t ∈ H hội tụ mạnh tới nghiệm toán EPD ( f , C ) Giả sử tập vi phân ∂ f (., x )( x ) tính dễ dàng với x ∈ C, đồng thời điều kiện sau thỏa mãn (C4’) Tồn số M > cho với x ∈ C với ξ ∈ ∂ f (., x )( x ), ta có ∥ξ ∥ ≤ M Khi đó, Thuật tốn 2.4 cải tiến sau:    x0 ∈ H,   yk = argmin{λk f ( x k , t) + 12 ∥t − x k ∥2 : t ∈ C },     x k+1 ∈ yk − λ ∂ f (., yk )(yk ) k (2.40) Hệ 2.3 Giả sử điều kiện (B1), (B2), (C1)-(C3) (C4’) thỏa mãn, dãy {λk } thỏa mãn hai điều kiện ∞ ∞ k =1 k =1 ∑ λk = ∞, ∑ λ2k < ∞ Khi đó, dãy { x k } sinh (2.40) hội tụ mạnh tới nghiệm toán EPD ( f , C ) 2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic Ta xét toán EP( f , C ) với song hàm f phân rã thành tổng hai song hàm thành phần f := f + f Để giảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm f song hàm thành phần, chúng tơi kết hợp thuật tốn phân rã với phương pháp ergodic 12 Giả thiết 2.3 Các thuật toán đề xuất với giả thiết sau: (D1) f giả đơn điệu C Với y ∈ C, f (·, y) nửa liên tục yếu, lõm C (D2) Với x ∈ C, f i ( x, x ) = 0, f i ( x, ·) nửa liên tục dưới, lồi khả vi phân C (i = 1, 2) (D3) Tập nghiệm toán cân EPS ( f , C ) khác rỗng Điều kiện f giả đơn điệu lõm theo biến thứ (D1) thay tính đơn điệu f 2.3.1 Phương pháp ergodic-phân rã Thuật toán 2.5 Bước Chọn x0 ∈ C, {λk } ⊂ (0, 1) Đặt k = 0, z0 = x0 , s0 = λ0 Bước Giả sử biết x k , tính: { } yk = argmin λk f ( x k , t) + ∥t − x k ∥2 : t ∈ C , { } k +1 k k x = argmin λk f (y , t) + ∥t − y ∥ : t ∈ C ) ( λ λ k + z k + k +1 x k +1 s k +1 = s k + λ k +1 ; z k +1 = − s k +1 s k +1 Bước Cập nhật k := k + đến Bước Định lý 2.5 Giả sử tất điều kiện Giả thiết 2.5 thỏa mãn, f , f liờn tc Hăolder tng phn vi cỏc hng s τ1 , τ2 Đặt τ := min{τ1 , τ2 } Khi đó, với dãy {λk } thỏa mãn (A4), (A5), dãy {zk } sinh Thuật toán 2.5 hội tụ yếu tới nghiệm toán EPS ( f , C ) 2.3.2 Phương pháp ergodic-phân rã song song Thuật toán 2.6 Bước Chọn x0 ∈ C dãy {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt t0 = x0 , k = 0, s0 = λ0 Bước Giả sử biết x k , tính: { } yk = argmin λk f ( x k , t) + ∥t − x k ∥2 : t ∈ C , { } k k k z = argmin λk f ( x , t) + ∥t − x ∥ : t ∈ C , 13 x k +1 yk + zk = , s k +1 = s k + λ k +1 ; t k +1 = ( λ − k +1 s k +1 ) tk + λ k +1 k +1 x s k +1 Bước Cập nhật k := k + đến Bước Định lý 2.6 Giả sử điều kiện Giả thiết 2.3 thỏa mãn, song hàm f i liên tc i -Hăolder tng phn (i = 1, 2), t τ = min{τ1 , τ2 } Khi đó, với dãy {λk } thỏa mãn (A4), (A5), dãy {tk } sinh Thuật toán 2.6 hội tụ yếu tới nghiệm toán EPS ( f , C ) Thử nghiệm số ứng dụng Trong phần này, chúng tơi áp dụng thuật tốn phân rã vào mơ hình cân Nash thị trường sản xuất điện Các thuật toán thử nghiệm hai trường hợp: song hàm cho xác song hàm chứa nhiễu Phương pháp phân rã hiệu thử nghiệm cho tốn cân khơng lồi Ngồi ra, chúng tơi tiến hành vài so sánh sơ thuật toán với thuật tốn đề xuất trước đó, bao gồm: Thuật tốn Đạo hàm tăng cường, Thuật toán Đạo hàm tăng cường đối ngẫu Thuật tốn tìm kiếm theo tia kiểu Armijo Kết cho thấy thuật toán tỏ ưu hơn, đặc biệt trường hợp song hàm f tốn cân có dạng phức tạp, chứa nhiều thành phần 14 Chương Bài toán cân hai cấp Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, f , g : C × C → R song hàm cân C Bài toán cân hai cấp phát biểu sau: Tìm x ∗ ∈ Sol ( g, C ) : cho f ( x ∗ , y) ≥ với y ∈ Sol ( g, C ), Sol ( g, C ) := { x ∈ C : g( x, y) ≥ ∀y ∈ C } 3.1 (BEP( f , g, C )) Phương pháp chiếu đạo hàm cho toán cân hai cấp 3.1.1 Thuật tốn hội tụ Định nghĩa 3.1 • Ánh xạ A : C → C gọi para-đơn điệu đơn điệu C với x, y ∈ C, ta có ⟨ A( x ) − A(y), x − y⟩ = ⇔ A( x ) = A(y) ã Song hm g : C ì C → R gọi para-(giả) đơn điệu (giả) đơn điệu C với x ∗ ∈ Sol ( g, C ), y ∈ C, ta có g(y, x ∗ ) = ⇒ y ∈ Sol ( g, C ) Mệnh đề 3.1 Cho A : C → C ánh xạ para-đơn điệu Với x ∗ ∈ Sol ( A, C ), y ∈ C, ta có ⟨ A(y), y − x ∗ ⟩ = ⇒ y ∈ Sol ( A, C ) Giả thiết 3.1 Ta xét toán BEP( f , g, C ) với giả thiết sau (E1) Song hàm f ρ-đơn điệu mạnh g para-giả đơn điệu C (E2) Với x ∈ C, hàm số f ( x, ), g( x, ) lồi, khả vi phân, hàm số f (., x ) hê-mi liên tục, hàm số g(., x ) nửa liên tục yếu hàm số f ( x, ) nửa liên tục yếu C (E3) Sol ( g, C ) ̸= ∅ 15 (E4) Với x ∈ C, tồn số L > cho, với dãy bị chặn {tk } ⊂ C, ta có | g(tk+1 , x ) − g(tk , x )| ≤ L∥tk+1 − tk ∥ với k ≥ (E5) Các ánh xạ x → ∂2 f ( x, x ) x → ∂2 g( x, x ) bị chặn tập bị chặn C Thuật toán 3.1 Bước Chọn x0 ∈ C, µ ∈ (0, ∞) dãy {αk }, {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử biết x k , tính: v k ∈ ∂2 g ( x k , x k ); w k ∈ ∂2 f ( x k , x k ); { } k k k k d = v + αk w ; ηk = max µ; ∥d ∥ ; ( ) λk k k +1 k x = PC x − d ηk Bước Cập nhật k := k + quay trở lại bước Bước Định lý 3.1 Giả sử điều kiện Giả thiết 3.1 thỏa mãn, ∑i∞=1 λi = ∞, ∑i∞=1 λ2i < ∞, ∑i∞=1 αi = ∞, ∑i∞=1 λi αi = ∞ limi→∞ αi = Khi đó, dãy { x k } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ toán BEP( f , g, C) 3.1.2 Áp dụng cho toán EP( f , Fix ( T )) Cho song hàm f : H × H → R ánh xạ T : H → H với tập điểm bất động Fix ( T ) khác rỗng Ta áp dụng Thuật toán 3.1 để giải tốn Tìm x ∗ ∈ Fix ( T ) cho f ( x ∗ , y) ≥ với y ∈ Fix ( T ) (3.12) g( x, y) := ⟨ x − T ( x ), y − x ⟩ ∀ x, y ∈ H (3.13) Đặt Mệnh đề 3.3 Giả sử T ánh xạ không giãn g song hàm cho (3.13) Khi đó, (a) Fix ( T ) = Sol ( g, H ) (b) Song hàm g para-đơn điệu Thuật toán 3.2 Bước Chọn x0 ∈ H, µ ∈ (0, ∞) dãy {αk }, {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử x k biết, tính: w k ∈ ∂2 f ( x k , x k ); d k = x k − T ( x k ) + α k w k ; { } λ k ηk = max µ; ∥d ∥ ; x k+1 = x k − k dk ηk Bước Cập nhật k := k + quay lại Bước 16 Định lý 3.2 Giả sử song hàm f thỏa mãn tất điều kiện Giả thiết 3.1, T ánh xạ không giãn với tập điểm bất động Fix ( T ) ̸= ∅, ∑i∞=1 λi = ∞, ∑i∞=1 λ2i < ∞, ∑i∞=1 αi = ∞, ∑i∞=1 λi αi = ∞ limi→∞ αi = Khi đó, dãy { x k } sinh Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ toán (3.12) 3.2 Phương pháp ánh xạ co cho toán EP( f , Fix ( T )) 3.2.1 Tính co ánh xạ nghiệm Uλ Ta nhắc lại khái niệm ánh xạ nghiệm Cho song hàm cân f : C × C → R, λ > 0, ánh xạ Uλ cho } Uλ : C → C, x → argmin λ f ( x, y) + ∥ x − y∥2 : y ∈ C { gọi ánh xạ nghiệm f C Định nghĩa 3.3 Song hàm f : C × C → C gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz tăng cường tồn ánh xạ αi : C × C → C β i : C → C, i = 1, , p thỏa mãn, với x, y, z ∈ C ta có p f ( x, y) + f (y, z) ≥ f ( x, z) + ∑ ⟨αi ( x, y), β i (y − z)⟩ , i =1 β i : C → C ánh xạ liên tục Ki -Lipschitz, αi : C × C → C, i = 1, , p song hàm thỏa mãn tính chất αi ( x, y) + αi (y, x ) = 0, tồn Li > cho ∥αi ( x, y)∥ ≤ Li ∥ x − y∥ với x, y ∈ C, i = 1, , p Định lý 3.3 Cho f : C × C → R song hàm thỏa mãn f ( x, ) nửa liên tục dưới, lồi, khả vi phân với x ∈ C, λ > Giả sử f γ-đơn điệu mạnh thỏa mãn điều 2γ kiện Lipschitz tăng cường C Khi đó, Uλ ánh xạ co với λ ∈ (0, M ), p M = ∑ Ki Li , Ki , Li hệ số Định nghĩa 3.3 i =1 3.2.2 Thuật toán ánh xạ co cho toán cân tập điểm bất động Cho T : C → C ánh xạ không giãn với tập điểm bất động Fix ( T ) ̸= ∅, f : C × C → R song hàm cân Xét toán cân song hàm f tập điểm bất động Fix ( T ) Tìm x ∗ ∈ Fix ( T ) cho f ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ Fix ( T ) 17 EP( f , Fix ( T )) Kí hiệu tập nghiệm EP( f , Fix ( T )) Sol ( f , Fix ( T )) Giả thiết 3.2 Ta xét toán với điều kiện sau (F1) Với x ∈ C, hàm số f (., x ) nửa liên tục yếu, hàm số f ( x, ) nửa liên tục dưới, lồi, khả vi phân C (F2) Song hàm f γ-đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz tăng cường C (F3) Với dãy bị chặn { x k }, {yk } ⊂ C, tồn số Λ > cho | f ( x k , yk )| ≤ Λ∥ x k − yk ∥ p Giả sử M = ∑ Ki Li , với Ki , Li p hệ số Định nghĩa 3.3 Với điều i =1 kiện Giả thiết 3.2, toán EP( f , Fix ( T )) có nghiệm x ∗ Ta đề xuất thuật tốn sau để tìm nghiệm Thuật toán 3.3 Bước Chọn x0 ∈ C dãy số {λk } ⊂ (0, ∞) Đặt k = Bước Giả sử biết x k , tính: x k+1 = Uλk+1 Tx k Bước Cập nhật k := k + quay trở lại Bước Định lý 3.4 Cho T : C → C ánh xạ không giãn với tập điểm bất động Fix ( T ) ̸= ∅ f : C × C → R song hàm thỏa mãn Giả thiết 3.2, {λk } ⊂ (0, ∞) dãy số giảm thỏa mãn lim λk = 0, n→∞ ∞ ∑ λk = ∞ k =1 | λ k − λ k +1 | = k→∞ λ2k+1 lim { } Khi đó, dãy x k sinh Thuật toán 3.3 hội tụ yếu tới nghiệm toán EP( f , Fix ( T )) Thử nghiệm số ứng dụng Trong phần này, áp dụng toán cân hai cấp vào mơ hình Nash cho thị trường sản xuất điện có yếu tố bảo hộ doanh nghiệp Mơ hình dẫn đến toán cân với tập ràng buộc cho dạng ẩn, đó, phương 18 pháp truyền thống cho tốn cân khơng thể áp dụng Bằng việc xây dựng ánh xạ không giãn có tập điểm bất động trùng với tập ràng buộc, chúng tơi áp dụng thành cơng thuật tốn chiếu đạo hàm để giải tốn nói Ngồi ra, chúng tơi tiến hành vài so sánh sơ thuật toán với Thuật toán kiểu đạo tác giả Iiduka đề xuất trước Kết so sánh cho thấy, thuật toán tỏ ưu hơn, đặc biệt toán có số chiều lớn 19 Chương Nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động 4.1 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân điểm bất động Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, có miền khác rỗng, f i : C × C → R, i = 1, , N, song hàm cân C, S j , j = 1, , M ánh xạ khơng giãn Ta xét tốn ∗ tìm x ∈ ( ) N ∩ Sol (C, f i ) ∩ ( M ) ∩ Fix (S j ) , j =1 i =1 (4.3) Sol ( f i , C ) nghiệm toán cân cho song hàm f i C, Fix (S j ) tập điểm bất động ánh xạ S j Giả thiết 4.1 Ta giả thiết với i = 1, , N, (G1) Song hàm f i giả đơn điệu C (G2) Song hàm f i nửa liên tục yếu theo biến thứ nhất, f i ( xn , yn ) → với dãy { xn }, {yn } bị chặn thỏa mãn ∥ xn − yn ∥ → 0; (G3) Hàm số f i ( x, ) nửa liên tục dưới, lồi, khả vi phân C với x ∈ C 4.1.1 Thuật toán Armijo lai ghép Để giải toán (4.3), ta đề xuất thuật toán sau Thuật toán 4.1 β Bước Chọn số thực dương β > 0, σ ∈ (0, ), γ ∈ (0, 1) dãy {αn } ⊂ (0, 1) 20 thỏa mãn điều kiện lim sup αn < 1, x0 ∈ C Đặt n := n→∞ Bước Giải N toán lồi mạnh β yin = argmin{ f i ( xn , y) + ∥ xn − y∥2 : y ∈ C } i = 1, , N đặt di ( xn ) = xn − yin Bước Giả sử I ( xn ) = {i ∈ {1, 2, , N } : di ( xn ) ̸= 0} • Với i ∈ I ( xn ), tìm số nguyên dương nhỏ thỏa mãn ( ) i f i xn − γmn di ( xn ), yin ≤ −σ ∥di ( xn )∥2 Đặt Vni := { x ∈ H : ⟨win , x − z¯in ⟩ ≤ 0}, i z¯in = xn − γmn di ( xn ), win ∈ ∂2 f i (z¯in , z¯in ) Tính zin = PC∩V i ( xn ) n • Với i ∈ / I ( xn ), đặt zin = xn Bước Tìm in = argmax{∥zin − xn ∥ : i = 1, , N }, đặt z¯n := zinn Bước Tính j un = αn xn + (1 − αn )S j z¯n , j = 1, , M j j Bước Tìm jn = argmax{∥un − xn ∥ : j = 1, , M }, đặt u¯ n := unn Bước Tính xn+1 = PCn ∩Qn ( x0 ), Cn = {v ∈ C : ∥u¯ n − v∥ ≤ ∥ xn − v∥}, Q n = { v ∈ C : ⟨ x0 − x n , v − x n ⟩ ≤ 0} Bước Kiểm tra điều kiện xn+1 = xn Nếu điều kiện thỏa mãn, dừng thuật tốn, khơng, cập nhật n := n + quay lại Bước { }M Định lý 4.1 Giả sử { f i }iN=1 họ song hàm thỏa mãn Giả thiết 4.1, S j j=1 ( ) ( ) N ∩ M ánh xạ không giãn C Giả sử tập nghiệm F = ∩ Sol ( f i , C ) ∩ Fix (S j ) khác i =1 j =1 rỗng Khi đó, Thuật tốn 4.1 dừng vịng lặp n xn nghiệm tốn, sinh dãy { xn } vô hạn hội tụ mạnh tới xˆ = PF x0 Chú ý Trong Bước Thuật tốn 4.1, ta thay phép lặp kiểu Mann j un = αn xn + (1 − αn )S j z¯n , j = 1, , M 21 phép lặp kiểu Halpern j un = αn x0 + (1 − αn )S j z¯n , j = 1, , M tổ hợp lồi ánh xạ S j , j = 1, , N ánh xạ đồng để thu thuật toán Sự hội tụ thuật toán thiết lập với điều kiện tương tự Định lý 4.1 4.2 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Định nghĩa 4.1 Họ { T (s) : s ∈ R+ } ánh xạ C gọi nửa nhóm khơng giãn C thỏa mãn điều kiện sau: (a) Với s ∈ R+ , T (s) ánh xạ không giãn C; (b) T (0) x = x với x ∈ C; (c) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ) với s1 , s2 ∈ R+ ; (d) Với x ∈ C, ánh xạ T (·) x từ R+ vào C liên tục Kí hiệu F = R+ } ∩ s ≥0 Fix ( T (s)) tập điểm bất động chung ánh xạ { T (s) : s ∈ Giả sử { f i }iN=1 họ song hàm cân H; { T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C Ta xét tốn tìm x ∗ ∈ Ω := F ∩ ( N ) ∩ Sol ( f i , C ) i =1 (4.32) Giả thiết 4.2 Giả sử với i = 1, , N, điều kiện sau thỏa mãn (H1) Song hàm f i giả đơn điệu H; (H2) Song hàm f i thỏa mãn điều kiện Lipschitz H; (H3) Song hàm f i nửa liên tục yếu theo biến thứ nhất, f i ( xn , yn ) → với dãy { xn }, {yn } bị chặn thỏa mãn ∥ xn − yn ∥ → 0; (H4) Hàm số f i ( x, ) lồi, khả vi phân C với x ∈ H; (H5) Tập nghiệm Ω khác rỗng 22 4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép Để giải toán (4.32), chúng tơi đề xuất thuật tốn sau Thuật tốn 4.4 Bước Chọn số thực dương < ρ < với a ∈ (0, 1) ( 1 2c1 , 2c2 ) dãy số dương {µn } ⊂ [ a, 1] Chọn x0 ∈ H, đặt n := Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh yin = argmin{ρ f i ( xn , y) + ∥ xn − y∥2 : y ∈ C }, zin = argmin{ρ f i (yin , y) + ∥ xn − y∥2 : y ∈ C }, i = 1, , N; Tìm in = argmax{∥zin − xn ∥}, 1≤ i ≤ N đặt zn := zinn ; Bước Tính un = (1 − µn ) xn + µn Tn zn , Tn xác định Tn x := sn ∫ sn T (s) xds, ∀ x ∈ C với lim sn = +∞; n→+∞ xn+1 = P( Hn ∩Wn ) x0 , Hn = {z ∈ H : ∥un − z∥ ≤ ∥ xn − z∥}, Wn = {z ∈ H : ⟨ xn − z, x0 − xn ⟩ ≥ 0} Cập nhật n := n + quay lại Bước Định lý 4.4 Giả sử C ⊂ H tập lồi đóng, có miền khác rỗng, { T (s) : s ∈ R+ } nửa nhóm không giãn C, f i song hàm cân từ H × H vào R thỏa mãn Giả thiết 4.2, {µn } ⊂ [ a, 1] với a ∈ (0, 1) Khi đó, dãy { xn } {un } sinh Thuật toán 4.4 hội tụ mạnh tới p∗ = PΩ x0 23 KẾT LUẬN Luận án đề xuất số phương pháp để giải tốn cân có cấu trúc, bao gồm toán cân với song hàm phân rã, tốn cân hai cấp, tốn tìm nghiệm chung Các kết thu luận án bao gồm: Phương pháp phân rã phương pháp phân rã song song cho toán cân giả đơn điệu mạnh Phương pháp phân rã cho toán cân với song hàm tách thành hiệu hai song hàm thành phần Phương pháp phân rã phân rã song song kết hợp kỹ thuật ergodic cho toán cân đơn điệu Phương pháp chiếu đạo hàm để giải toán cân hai cấp Phương pháp ánh xạ co cho toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Phương pháp Armijo kết hợp kỹ thuật lai ghép để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn Phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp kỹ thuật lai ghép để tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Các phương pháp phân rã Chương mở rộng cho lớp tốn rộng hơn, với điều kiện đặt lên song hàm thành phần thay song hàm gốc ban đầu Thay phân rã song hàm cân bằng, nghiên cứu để phân rã miền ràng buộc toán Từ đó, giải tốn cân với miền ràng buộc không lồi Mở rộng kết hội tụ phương pháp ánh xạ co Chương thay Uλ ánh xạ nghiệm khác 24 ... đề xuất số phương pháp để giải tốn cân có cấu trúc, bao gồm toán cân với song hàm phân rã, toán cân hai cấp, tốn tìm nghiệm chung Các kết thu luận án bao gồm: Phương pháp phân rã phương pháp phân... dựng phương pháp giải toán cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần • Xây dựng phương pháp giải toán cân hai cấp trường hợp riêng • Xây dựng phương pháp tìm nghiệm chung tốn cân. .. hàm cân C Mặc dù toán cân hai cấp thú vị có nhiều ứng dụng thực tế, việc giải cịn gặp nhiều khó khăn Theo hiểu biết người viết, có phương pháp giải cho toán BEP( f , g, C ) Việc đề xuất phương pháp