BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62.46.30.01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 Cơng trình hồn thành Viện Cơng nghệ Thơng tin – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Phản biện 1:…………………………………………………………………… Phản biện 2:…………………………………………………………………… Phản biện 3:…………………………………………………………………… Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại:……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… vào hồi …… giờ… ngày……tháng……năm…… PhÇn mở đầu Tính cấp thiết đề tài Trong toán học tồn lớp toán: Tìm giao ®iĨm cđa mét hä låi Cj , j = 1, 2, , N , kh«ng gian Hilbert H N tập đóng hay không gian Banach X, mang tên toán chấp nhận lồi, có ứng dụng rộng rÃi xử lý ảnh phục chế hay tạo ảnh dựa vào liệu liên quan trực tiếp gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh Đây lµ lÜnh vùc cã nhiỊu øng dơng y häc, quân sự, công nghiệp, đặc biệt thiên văn công nghệ sinh học, Khi Cj cho dạng ẩn tập nghiệm phương trình, ta có toán: Tìm nghiệm chung cho họ N phương trình, nói N = 1, đà có nhiều phương pháp ổn Trường hợp N > GS Ng Bường chung không chỉnh Trường hợp đơn giản, định tìm nghiệm xấp xỉ cho toán đặt nghiên cứu vào năm 2006, toán tử phương trình đơn điệu, hemi-liên tục từ X vào X (không gian đối ngẫu cđa X ) GS Ng Bêng ®· ®Ị xt mét phương pháp hiệu chỉnh dựa việc xây dựng tổng phương trình hệ với trọng số phụ thuộc vào tham số hiệu chỉnh Một năm sau, GS O.Scherzer với cộng đà xét trường hợp toán tử có tính liên tục đóng yếu không gian Hilbert H đưa hai cách tiếp cận: Đưa không gian tích hiệu chỉnh lặp xoay vòng Năm 2008, Torsten Hein đưa phương pháp hiệu chỉnh dựa toán cực tiểu phiếm hàm ổn định không âm nửa liên tục u Sù héi tơ cịng nh tèc ®é héi tơ nghiệm hiệu chỉnh xây dựng phương pháp mà Scherzer Hein đề xuất đảm bảo, toán tử phương trình N = Năm 2009, Bài toán đến Aj : H H có tính chất ngược có tính chất tương tự xét cho GS Ph.K.Anh NCS C.V.Chung xét đơn điệu mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp song song, kết đạt phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ vỊ nghiƯm cã chn nhá nhÊt Trêng hỵp N > toán tử phương trình U đơn điệu chưa đề cập đến Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích thứ luận án nghiên cứu cách tiếp cận GS Ng Bường cho trường hợp toán tử liên tục đóng yếu không gian Hilbert H để thu hội tụ đánh giá ®ỵc tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh chØ cần điều kiện thông thường đặt lên toán tử hệ Mục đích thứ hai luận án nhận kết hội tụ tốc độ hội tụ cho trường hợp toán tử phương trình hệ U đơn điệu từ không gian Banach X vào X Các kết nhận dựa vào việc sử dụng cải tiến kỹ thông thường cho phương trình Những đóng góp luận án Trong luận án này, đề cập đến hai vấn đề tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương tr×nh Aj (x) = fj , j = 1, 2, , N Cụ thể, fj đại lượng xấp xỉ fj toán tử Aj : X → Yj , j = 1, 2, , N, có tính chất liên tục đóng yếu, đưa phương pháp hiệu chỉnh N Aj (x) fjδ + α x − x∗ → min, X j=1 mà tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá dựa điều kiện toán tử A1 Trong trường hợp toán tử Aj : X X U đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, đưa phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình dựa vào việc giải phương trình N A1 (x) + α µ ˜ δ (Aj (x) − fjδ ) + (x x ) = f1 j=2 đưa cách chọn tham số = (), đây, (0, 1) số cố định Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh cần dựa vào điều kiện đặt lên toán tử A1 Bố cục luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu trình bày thành ba chương Chương trình bày khái niệm không gian Hilbert không gian Banach, toán đặt không chỉnh từ giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục đóng yếu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U đơn điệu Trên sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương giới thiệu toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Chương giới thiệu kết đạt xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử có tính chất liên tục đóng yếu, đồng thời kết số thực nhằm khẳng định tính đắn phương pháp Cuối cùng, chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình phi tuyến toán tử U đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Chương Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương gồm mục Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian Hilbert không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu khái niệm toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục đóng yếu với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U đơn điệu Trong mục 1.3, giới thiệu hệ phương trình không chỉnh, toán dẫn hệ phương trình không chỉnh số phương pháp hiệu chỉnh cho hệ toán Cụ thể, giới thiệu hai cách tiếp cận hiệu chỉnh tìm nghiệm hệ phương trình Aj (x) = fj , ∀j = 1, 2, , N (1.11) toán tử liên tục đóng yếu, bao gồm phương pháp lặp xoay vòng (phương pháp lặp xoay vòng dạng Newton phương pháp hiệu chỉnh dựa vào trình lặp điểm bất động) phương pháp đưa không gian tích Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục đóng yếu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải Xét toán tìm phần tử x0 D thỏa mÃn ®©y, Aj , j = 1, 2, , N X vào không gian Hilbert Yj thỏa mÃn hai tính chất liên tục đóng yếu fj Yj , gi¶ thiÕt Sj = {¯ ∈ D : Aj (¯) = fj } , j = 1, 2, , N, S = ∩N Sj , S = ∅ DÔ thÊy, Aj x x j=1 toán tử liên tục đóng yếu, nên Sj tập đóng, S tập đóng X toán tử phi tuyến từ tập lồi đóng D (1.11), thuộc không gian Hilbert Trong trường hợp vế phải hệ phương trình có nhiễu, vế phải j bëi fj vµ δ fj − fj j Yj j fj thay (2.1) Aj , j = 1, 2, , N toán tử không chỉnh Vì vậy, để tìm nghiệm j toán (1.11) với nhiễu vế phải fj , ta dẫn tìm nghiệm toán tối ưu Vì N Aj (x) − fj j Yj + α x − x∗ j=1 X → min, (2.2) D α lµ tham sè hiƯu chØnh, x∗ ∈ X\Sj Víi giả thiết Aj toán (2.2) có nghiệm nghiệm không Nhìn chung, việc tìm nghiệm (2.2) cần giải hai vấn đề: (i) (ii) Sự ổn định nghiệm (nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải hệ); Nghiệm cđa (2.2) ph¶i héi tơ vỊ nghiƯm cđa (1.11) , j Để giải vấn đề này, ta có định lý sau: jk Định lý 2.1 Cho > 0, f → fj j víi δj ≥ vµ xk lµ cực tiểu (2.2) với fj j j jk thay fj tồn dÃy hội tụ {xk } giới hạn x dÃy hội tụ điểm cực tiểu (2.2) Để khẳng định nghiệm toán (2.2) hội tơ vỊ nghiƯm cđa (1.11), kh«ng mÊt tÝnh δj = , ta có định lý sau: k Định lý 2.2 Nếu () thỏa mÃn () 0, α(δ) → δ → th× d·y nghiƯm {xαk } cđa (2.2) cã d·y héi tơ (ở đây, k 0, k = (k )) Giới hạn dÃy hội tụ nghiệm có x∗ -chn nhá nhÊt Ngoµi ra, nÕu nghiƯm cã x∗ -chuẩn nhỏ tổng quát, ta giả thiết nghiệm x0 nhÊt th× lim xδ = x0 α(δ) Các kết Định lý 2.1 Định lý 2.2 hoàn toàn suy từ kết Torsten Hein hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục đóng yếu trường hợp có nhiễu vế phải Giả sö xδ → x0 α(δ) δ → 0, ®ã tèc {xδ } ®ỵc Hein ®a nÕu bỉ sung điều kiện nguồn lên tất toán () tö Aj , j = 1, 2, , N Vậy với mục tiêu nới lỏng điều kiện đặt lên toán tử đánh độ hội tụ giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, định lý sau tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm x0 mà cần bổ sung điều kiện nguồn lên toán tử hệ Định lý 2.3 (i) A1 Giả thiết điều kiện sau thỏa mÃn khả vi Fréchet; A1 (x0 ) − A1 (z) Y1 ≤ L x0 − z cËn cđa x0 , ký hiƯu tËp c¸c lân cận x0 z U ; (ii) tồn t¹i mét sè (iii) tån t¹i (iv) L ω ω ∈ Y1 Y1 L>0 cho cho X , với z lân x0 x = A1 (x0 ) ; < 1, với ∼ δ p , < p < 2, ta cã xδ − x0 α(δ) p X = O(δ 1− ) 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải nhiễu toán tử Trong mục trước, đà nghiên cứu vấn đề hội tụ, tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với nhiễu vế phải Trong mục này, vấn đề xét cho hệ phương trình với toán tử có nhiễu, tức xét hệ phương trình (1.11), đó, đặc biệt quan tâm fj , Aj đại lượng j j h h xấp xỉ fj , Aj tương ứng, đây, fj thỏa mÃn điều kiÖn (2.1), Aj tháa m·n Ah (x) − Aj (x) j Yj ≤ hg ( x X) , (2.14) Ah Aj toán tử j phi tuyến có tính chất Để tìm nghiệm toán (1.11), ta xét phương pháp đây, g(t), t hàm không âm giới nội, giả thiết hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm toán tối ưu không ràng buộc N Ah x − fj j j Yj + α x − x∗ j=1 X → (2.15) D Cũng tương tự mục trước, mục giải hai vấn đề đặt toán h,j (2.15) có ổn định hay không? nghiệm x(h,j ) (2.15) cã héi tơ tíi nghiƯm x0 cđa (1.11) hay không , h, j 0? Để trả lời hai câu hỏi ta xét định lý sau: δ δ α > 0, hk → h > (Ahk xÊp xØ Ah (2.14)), fj jk → fj j víi j j δj δ h δj ≥ vµ xk lµ cùc tiĨu cđa (2.15), đó, fj Aj thay tương ứng fj jk hk Aj , tồn d·y héi tơ cđa d·y {xk } vµ giíi hạn x dÃy hội tụ cực tiểu (2.15) Định lý 2.4 Cho Để khẳng định nghiệm toán (2.15) hội tụ nghiệm (1.11), không j = , ta có định lý sau: h2 Định lý 2.5 Cho α(h, δ) tháa m·n α(h, δ) → 0, α(h,δ) → 0, α(h,δ) → h → 0, δ → 0, th× d·y nghiƯm xhk δk cđa (2.15) cã dÃy hội tụ (ở hk 0, k 0, k = k tính tổng quát ta giả thiết (hk , k )), giới hạn x0 nghiệm cã x∗ − chuÈn nhá nhÊt Ngoµi ra, nÕu x0 lim xh (h,) = x0 h,0 Bây giờ, ta giả thiết xh (h,) x0 h, δ → 0, khi ®ã tèc ®é hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xác định theo định lý sau: Định lý 2.6 (i) A1 Giả thiết điều kiện sau thỏa mÃn khả vi Fréchet; A1 (x0 ) − A1 (z) Y1 ≤ L x0 − z cËn cđa x0 , ký hiƯu tËp c¸c lân cận x0 z U ; (ii) tồn t¹i mét sè (iii) tån t¹i (iv) L ω ω ∈ Y1 Y1 L>0 cho cho X , với z lân x0 x = A1 (x0 ) ; < 1, với cách chọn ∼ (h + δ)p , < p < 2, ta cã xhδ − x0 α(h,δ) p = O((h + )1 ) X 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử tuyến tính liên tục Trong mục trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình trường hợp đặc biệt toán tử tuyến tính liên tục x0 X (1.11), đây, Aj , j = 1, , N, toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Yj , fj Yj Xét toán tìm phần tử thỏa mÃn hàm cho trước Giả sử Sj = {¯ ∈ X : Aj x = fj } , j = 1, , N, S = ∩N Sj , S = x j=1 Vì S Aj toán tử tuyến tính liên tục, nên Sj X, từ ®ã tËp nghiƯm δj cịng lµ mét tËp låi ®ãng Dữ liệu vế phải đại lượng xấp xỉ fj với mức độ nhiễu phương trình thứ tập lồi đóng j thỏa mÃn (2.1) Như mục trước, để tìm nghiệm j ta phải sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cực tiĨu phiÕm hµm δ A j x − fj j Bài toán đặt tìm xj cho Yj + α x − x∗ δ xαj → x0 X δj , α , (2.27) đồng thời chọn = α (δj ) tham sè hiÖu chØnh δ j xα(δj ) → x0 cho δj → vµ cuối đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh không gian vô hạn chiều, hay ước j lượng x (j ) x0 X , đây, x0 nghiệm có x -chuẩn nhỏ Để tìm nghiệm toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm toán tối ưu không ràng buộc N x∈X Yj A j x − fj j + α x − x∗ X, (2.28) j=1 Aj , j = 1, 2, , N , dÔ thÊy toán (2.28) có nghiệm nhất, định toán (2.28) hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với giả thiết vấn đề ổn xét đến qua định lý sau: δ δ ω ∈ Y1 p hiÖu chØnh α ∼ δ , < p < 1, ta cã cho α > 0, δj ≥ 0, fj jk → fj j k → ∞ vµ xk lµ cùc tiểu (2.28) j jk với fj thay fj th× d·y {xk } sÏ héi tơ tíi cùc tiểu (2.28) Định lý 2.8 Cho () tham sè hiÖu chØnh cho α(δ) → 0, α(δ) → δ → 0, th× δ δ d·y xα héi tơ tíi nghiƯm x0 cã x∗ - chn nhỏ (1.11), đây, x nghiệm Cho Định lý 2.7 (2.28) Định lý 2.9 Giả thiết tồn x x0 () Khi Aj đại lượng xấp xỉ Aj x Ah x j Ah j Yj với cách chọn tham sè = O(δ p/2 ) Ah j vµ tháa m·n hC x X, (2.35) Aj toán tử tuyến tính liên tục có tính chất Để tìm nghiệm toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa đây, C X x0 x = A số dương, giả thiết sở tìm nghiệm toán tối ưu không ràng buộc N Ah x fj j j Yj + α x − x∗ j=1 X → (2.36) D Aj , j = 1, , N , dễ thấy toán (2.36) có nghiệm định toán (2.36) hội tụ nghiệm hiệu Với giả thiết đặt lên Hai vấn đề ổn chỉnh giải qua định lý sau: Định lý 2.10 Cho α δ δ > 0, hk → h > (Ahk lµ xÊp xØ Ah vµ tháa m·n (2.35)), fj j,k → fj j , j j Ahk → Ah j j δ k → ∞, δj ≥ vµ xk lµ cùc tiĨu cđa (2.36) víi fj j , Ah j δj,k hk t¬ng øng bëi fj , Aj th× d·y {xk } sÏ héi tụ tới cực tiểu (2.36) Định lý 2.11 Cho δj = δ vµ chän α(h, δ) cho α(h, δ) → 0, h, δ → 0, th× d·y nhỏ (1.11) Định lý 2.12 (h + )p nghiệm thay h 0, →0 α(h, δ) α(h, δ) {xh,δ } α(h,δ) Gi¶ thiết tồn phần tử (2.36) hội tụ tới nghiÖm x0 cã x∗ − chuÈn ω ∈ Y1 cho x0 − x∗ = A∗ ω , th× víi c¸ch chän ta cã xh,δ α(h,δ) − x0 X = O (h + δ)1−p/2 O (h + δ)p/2 1≤p : Bx − By ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H (2.43) B¶ng 2.1 Kết tính toán sau 20 lần lặp cho to¸n tuyÕn tÝnh Ah = Aj + H, fjδ = fj + ∆, j √ h/3 h/2 δ/ √ H = h/2 h h/3 , ∆ = δ/ √ h h/4 h/4 δ/ Ta xét trường hợp toán tử có nhiễu Nghiệm xh,δ = (xα,h,δ ; xα,h,δ ; xα,h,δ ) cña (2.54) tìm nhờ việc giải α(h,δ) to¸n tèi u δ Ah x − f1 R3 δ + A h x − f2 2 R3 + α(h, δ) x − x∗ R3 min, R việc giải toán tối ưu dẫn giải phương trình hiệu chỉnh B h x + α(h, δ)(x − x∗ ) = fδ , δ δ ˜ x∗ ∈ R3 , B h = (Ah )∗ Ah + (Ah )∗ Ah , fδ = (Ah )∗ f1 + (Ah )∗ f2 B»ng cách sử 2 1 (0) phương pháp lặp Jacobi với xấp xỉ đầu x = (0; 0; 0) sau 20 lần lặp ta thu đây, dụng kết sau h x,h, xα,h,δ xα,h,δ xh,δ − x0 α(h,δ) 10−1 10−1 0.2000 0.985296 0.977224 0.961036 0.047467 10−2 10−2 0.0200 0.998553 0.997783 0.996333 0.004523 10−3 10−3 0.0020 0.999856 0.999779 0.999636 0.000450 10−4 10−4 0.0002 0.999986 0.999978 0.999964 R3 0.000045 B¶ng 2.2 Kết tính toán sau 20 lần lặp cho to¸n tun tÝnh víi to¸n tư cã nhiƠu, α = (h + δ), x∗ = (0; 0; 0) det(B) = 0, Rank(B) = Trong toán tử Aj vế phải fj , j = 1, xác định sau 0.1 0.2 0.1 −0.1 −0.1 0.2 −0.1 0.3 0.2 A1 = 0.3 −0.3 0.1 0.1 , f1 = 0.2 0.1 0.1 −0.1 0.3 0.4 0.1 0.2 −0.1 0.1 0.3 0.2 −0.1 0.2 0.3 , f2 = A2 = 0.5 0.3 −0.2 0.4 −0.1 0.5 −0.3 0.5 0.6 Bây giờ, ta xét ví dụ khác víi 11 trêng hỵp TËp nghiƯm cđa (2.54) (1; 3; 6; 2), nghiƯm cđa nghiƯm cã x∗ Chän (2.54) cã dạng - chuẩn nhỏ x0 = x + t (x x ), trường hợp x = x0 t xác định sau: t cho x0 x đây, x = (1; 1; 1; 1) đường thẳng qua hai ®iÓm R4 → min, x∗ = (x∗ ; x∗ ; x∗ ; x∗ ), suy t = (8 − 2x∗ − 5x∗ − x∗ )/30 4 Trong Bảng 2.3 Bảng 2.4 đưa kết tính toán với fj thay vÕ ph¶i cã nhiƠu δ δ ˜ fjδ = fj + ∆, j = 1, 2, ∆ = (δ/2; δ/2; δ/2; δ/2) , fδ = A∗ f1 + A∗ f2 Kết tính toán thực theo phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.46) x(k+1) = x(k) − βk (Bx(k) + αk (x(k) − x(0) ) − fδ ) , x(0) = x∗ ∈ R4 , βk = cαk , αk+1 = víi quy t¾c dõng lỈp ˜ Bx(K) − fδ αk , k = 0, 1, 2, , + αk (2.47) R4 ˜ ≤ τ δ < Bx(k) − fδ R4 , τ > 1, k = 0, 1, , K Để trình lặp hội tụ, ta cần chọn tham số thỏa mÃn điều kiện (2.48), (2.49) (2.50), chọn L= B Để R4 = 1.1847, α0 = 0.1, λ = tháa m·n ®iỊu kiÖn τ= x − x(0) (0) NÕu chän xÊp xØ đầu x nghiệm x + L2 = 0.7068, c = = 0.7075 2λ (2.50) ta cã thÓ chän [(1 + α0 ) (1 + α0 ) + 2α0 ] +1 − cλ − α0 α0 c R4 = x∗ = (0; 0; 0; 0) th× dƠ thÊy t = = 133.57463 15 vµ x0 = 1; 15 ; − ; 11 15 chuÈn nhá nhÊt Với cách chọn tham số xấp xỉ đầu trên, ta có kết nghiệm tìm sau: 12 (K) (K) x1 (K) x2 (K) n K x3 x4 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 16 0.177032 0.245830 −0.207462 0.545650 77 0.435608 0.225849 −0.259445 0.845527 10821 0.678054 0.280364 −0.286240 0.870472 439824 0.842983 0.367841 −0.310054 0.814587 15936490 0.940141 0.427954 −0.324409 0.766137 B¶ng 2.3 NghiƯm hiƯu chØnh héi tơ vỊ nghiƯm x0 víi nhiƠu δ = 10−n , n = 1, 2, n K ˜ Bx(K) − fδ τδ x(K) − x0 1.089943 13.357463 1.366260 1.004651 1.335746 1.366260 16 0.361763 0.133575 0.881541 77 0.114956 0.013357 0.628154 10821 0.036548 0.001336 0.399228 439824 0.011567 0.000134 0.203875 0.003655 0.000013 0.078987 15936490 B¶ng 2.4 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm x0 víi nhiƠu δ = 10−n , n = 1, 2, Trong trường hợp nhiễu toán tử, Aj fj xấp xỉ Ah j Ah = Aj + H, fjδ = fj + ∆, j = 1, 2, j h/2 h/3 h/4 h/5 δ/2 h/3 h/4 h/5 h/6 , ∆ = δ/2 H= h/4 h/5 h/6 h/7 δ/2 h/5 h/6 h/7 h/8 /2 fj , δ δ ˜ B h = (Ah )∗ Ah + (Ah )∗ Ah , fδ = (Ah )∗ f1 + (Ah )∗ f2 1 2 ˜ x(k+1) = x(k) − βk (B h x(k) + αk (x(k) − x(0) ) − fδ ) héi tô, ta chän 2 α0 = 0.05, λ = α0 +L , c = Để thỏa mÃn điều kiện (2.50) ta có Để trình lặp L = Bh thể chän R4 , τ= x−x(0) R4 [(1+α0 )(1+α0 )+2α0 ] α0 1−cλ−2 c α0 ( ) +1 to¸n nh sau: 13 = 145.8741 VËy ta cã kÕt qu¶ tÝnh (K) x1 (K) (K) x2 (K) n K x3 x4 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 29 0.167796 0.240586 −0.200835 0.525637 96 0.393307 0.251553 −0.267696 0.835876 7009 0.670939 0.277273 −0.285218 0.871628 380309 0.837765 0.364742 −0.309287 0.816961 13912613 0.937705 0.426402 −0.324047 0.767432 B¶ng 2.5 NghiƯm hiƯu chØnh héi tơ vỊ nghiƯm x0 víi nhiƠu h = δ = 10−n , n = 1, 2, n K ˜ B h x(K) − fδ τδ x(K) − x0 1.155791 14.587413 1.366260 1.009850 1.458741 1.366260 29 0.381565 0.145874 0.896866 96 0.120050 0.014587 0.655113 7009 0.038193 0.001459 0.406930 380309 0.012078 0.000146 0.210430 0.003819 0.000015 0.082164 13912613 Bảng 2.6 Tốc độ hội tụ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm x0 víi nhiƠu h = δ = 10−n , n = 1, 2, Nhận xét: Từ kết tính toán cho thấy, phương trình toán tử hệ phương trình đại số có định thức ma trận hệ số không, nên hệ có vô số nghiệm, hệ không chỉnh Bằng phương pháp hiệu chỉnh, hệ phương trình toán tử dẫn phương trình toán tử, cụ thể hệ phương trình đại số tuyến tính mà ma trận hƯ sè cã cïng kÝch thíc víi ma trËn hƯ số hệ hệ toán Ngoài ra, ma trận hệ số có định thức khác không, tức toán xấp xỉ toán đặt chỉnh ta hoàn toàn tìm nghiệm phương pháp giải thông thường, kết tính toán thể Bảng 2.1 Bảng 2.2 đà hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ mà không đòi hỏi phải thỏa mÃn điều kiện nguồn lên tất toán tử hệ Trong trường hợp toán xấp xỉ cho hệ phương trình có ma trận hƯ sè víi ®iỊu kiƯn xÊu, ®ã viƯc sư dụng phương pháp giải thông thường có sai số lớn, để tìm nghiệm ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp quy tắc dừng lặp, kết số thể 14 Bảng 2.3, Bảng 2.4, Bảng 2.5 Bảng 2.6, từ kết tính toán cho thấy, bỏ vai trò tham số hiệu chỉnh toán xấp xỉ lại toán đặt không chỉnh có vô số nghiệm Tuy nhiên, có mặt tham số hiệu chỉnh việc giải toán lại cho ta nghiệm nghiệm tìm theo ý muốn có phần tử x đóng vai trò tiêu chuẩn để chọn nghiệm 2.4.2 Kết tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến Xét hệ phương trình: Aj (x) = fj , j = 1, 2, (2.57) đây, x4 + x4 = 2 A1 (x) = f1 ⇔ x1 − x2 = , x1 x3 = x1 − x2 + x3 = A2 (x) = f2 ⇔ 2x − 2x2 + x3 = x1 − x2 − x3 = Ph¬ng tr×nh A1 (x) = f1 cã nghiƯm s1 = (−1; −1; 0), s2 = (−1; 1; 0), s3 = (1; −1; 0), s4 = (1; 1; 0), A2 lµ to¸n tư tun tÝnh cã rank(A2 ) = VËy, hÖ (2.57) cã hai nghiÖm s1 = (−1; −1; 0), s4 = (1; 1; 0) fj xÊp xØ bëi fjδ = (fj,1 ; fj,2 ; fj,3 ) víi fjδ − fj R3 ≤ δ , √ √ √ fjδ = fj + ∆, ∆ = (δ/ 3; δ/ 3; δ/ 3), j = 1, §Ĩ tìm nghiệm (2.57), ta tìm Trong trường hợp vế phải nghiệm toán tối ưu F (x) = A1 x − f1 R3 δ + A2 x − f2 R3 + α x − x∗ R3 → (2.58) x∗ = (x∗ ; x∗ ; x∗ ) ∈ R3 , α lµ tham sè hiƯu chØnh VËy, nghiƯm cđa (2.58) lµ nghiệm hệ đây, F = 0, i = 1, 2, xi Việc giải (2.60) thực sơ đồ lặp Newton x(k+1) = x(k) J(x(k) )−1 G(x(k) ), x(0) = x∗ = (x∗ ; x∗ ; x∗ ), 15 (2.60) ∂g1 ∂g1 ∂g1 g1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂g2 ∂g2 ∂g2 đây, J = , G = g2 , gi ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂g3 ∂g3 ∂g3 g3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 α = δ , sau 1000 lần lặp ta thu kết sau = ∂F ∂xi , i = 1, 2, 3, víi viƯc chän α=δ xα,δ xα,δ xα,δ 1.0000 1.1497 1.0959 1.1525 3.2159 1.1662 0.1000 1.0205 1.0161 0.1467 2.8581 0.1490 0.0100 1.0022 1.0017 0.0151 2.8312 0.0154 0.0010 1.0002 1.0002 0.0015 2.8287 0.0015 0.0001 1.0000 1.0000 0.0002 2.8285 0.0002 xδ − s1 α(δ) R3 xδ s4 () R3 Bảng 2.7 Kết tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x = (5; 5; 5) α=δ xα,δ xα,δ xα,δ 1.0000 -0.9973 -1.2169 -1.0887 1.1101 3.1764 0.1000 -0.9991 -1.0362 -0.1401 0.1447 2.8570 0.0100 -0.9999 -1.0040 -0.0145 0.0150 2.8312 0.0010 -1.0000 -1.0004 -0.0015 0.0015 2.8287 0.0001 -1.0000 -1.0000 -0.0001 0.0002 2.8285 xδ − s1 α(δ) R3 x δ − s4 α(δ) R3 B¶ng 2.8 Kết tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (−5; −5; −5) B©y giê ta xÐt trường hợp hệ phương trình (2.57) có nhiễu lên to¸n tư, ta cã (1 + h)x4 + x4 h A1 (x) = x2 − (1 − h)x2 (1 + h)x1 x3 (1 + h)x1 − x2 + x3 h A2 (x) = 2x − (2 + h)x2 + (1 + h)x3 x1 − x2 (1 + h)x3 Để tìm nghiệm hệ phương tr×nh Ah (x) = fjδ , j = 1, 2, j 16 ta tìm nghiệm toán tối ưu δ Fh (x) = Ah x − f1 R3 δ + A h x − f2 2 R3 + α x − x∗ R3 → Bằng sơ đồ lặp Newton, ta có kết tính toán cho Bảng 2.9 Bảng 2.10 h=δ xα xα xα xhδ − s1 α(h,δ) 1.0000 0.9574 1.1537 0.9288 3.0549 0.9424 0.1000 0.9993 1.0317 0.2491 2.8614 0.2511 0.0100 1.0002 1.0036 0.0291 2.8313 0.0293 0.0010 1.0000 1.0004 0.0030 2.8287 0.0030 0.0001 1.0000 1.0000 0.0003 2.8285 0.0003 R3 xhδ − s4 α(h,δ) R3 B¶ng 2.9 KÕt tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x = (5; 5; 5) vµ tham sè hiƯu chØnh α = h + δ h=δ xα xα xα xhδ − s1 α(h,δ) 1.0000 -0.7916 -1.2890 -1.0080 1.0692 3.0766 0.1000 -0.9780 -1.0519 -0.2465 0.2528 2.8607 0.0100 -0.9980 -1.0059 -0.0285 0.0291 2.8313 0.0010 -0.9998 -1.0006 -0.0029 0.0030 2.8287 0.0001 -1.0000 -1.0001 -0.0003 0.0003 2.8285 R3 xhδ − s4 α(h,δ) R3 Bảng 2.10 Kết tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x = (5; 5; 5) tham sè hiÖu chØnh α = h + δ x∗ - chuÈn nhá x(0) − s1 R3 = NhËn xÐt: KÕt cho thấy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ nghiệm Trong Bảng 2.7 Bảng 2.9, ta thấy víi 9.8489, x(0) − s4 R3 = 7.5498, x(0) = x∗ = (5; 5; 5), vËy nghiÖm hiÖu chØnh héi tơ vỊ s4 lµ nghiƯm cã x∗ - chn nhá Trong Bảng 2.8 Bảng 2.10, x(0) = x = (−5; −5; −5), x(0) − s1 R3 = 7.5498, x(0) − s4 R3 = 9.8489, nªn nghiƯm hiƯu chØnh héi tơ vỊ s1 lµ nghiƯm cã x∗ - chn nhỏ 17 Chương Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach Trong mục này, kết hiệu chỉnh cho hệ phương trình trường hợp toán tử Aj U đơn điệu ngược U (1.11) đưa đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux Giả thiết toán tử phải fj đại lượng xấp xỉ nghiệm toán Ah , fjδ j vµ tháa m·n Aj (2.1), (2.14) vµ vế Để tìm (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm toán N Ah (x) +α µ ˜ δ (Ah (x) − fjδ ) + α(x − x∗ ) = f1 , j (3.1) j=2 đây, (0, 1) số dương cố định, tham số hiệu chỉnh Định lý sau hội tụ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm cđa hƯ trêng hợp có nhiễu vế phải X không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A1 toán tử U đơn điệu liên tục Lipschitz, Aj toán tử ngược U đơn điệu mạnh với số j X , j = 2, , N Khi ®ã, ta có: Định lý 3.1 (i) với Cho > fj X , phương trình N A1 (x) + α µ ˜ δ (Aj (x) − fjδ ) + α(x − x∗ ) = f1 (3.3) j=2 cã nghiÖm nhÊt xδ ; α S = θ, fjδ tháa m·n (2.1) víi j = 1, , N , tham α, δ/α → 0, th× xδ héi tơ mạnh tới x0 S thỏa mÃn (ii) nÕu sè x0 − x∗ , U (x0 − z) 0, z S chọn cho (3.4) Trong trường hợp tổng quát, vế phải toán tử có nhiễu ta có định lý sau sù héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm hệ 18 Định lý 3.2 Cho X không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Ah toán tử liên tục Lipschitz U đơn điệu X , thỏa mÃn điều kiện (2.14), j g(t) hàm không âm giới néi, h > Khi ®ã, ta cã: ®Ịu, (i) > 0, fj X , phương trình (3.1) cã nghiÖm nhÊt xhδ ; α S = θ, fjδ tháa m·n (2.1), j = 1, , N , tham số hiệu chỉnh chọn h cho α, (δ + h)/α → 0, ®ã xα héi tụ mạnh tới x0 S thỏa mÃn (3.4) (ii) Nếu 3.2 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham sè hiƯu chØnh VÊn ®Ị chän tham sè hiƯu chØnh cho toán (1.11) N =1 với nhiễu vế phải đà Alber xét đến nguyên lý độ lƯch cỉ ®iĨn chän tham sè hiƯu chØnh tõ hƯ thøc A(xδ ) − fδ = Kδ p , K > 1, < p ≤ α Më réng kết trên, đưa nguyên lý tựa ®é lƯch chän tham sè hiƯu chØnh cho hƯ ph¬ng trình toán tử sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (3.1), nội dung nguyên lý chọn tham sè hiÖu chØnh tõ hÖ thøc ρ(α) = K(h + δ)p , K > 2, < p ≤ 1, đây, () xh x Sau kết lý thuyết dùng ®Ĩ chøng minh cho sù héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chỉnh nghiệm hệ phương trình chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch Bổ ®Ò 3.2 (i) ρ(α) ≡ α xhδ − x∗ α có tính chất sau: () liên tục (0 , +∞) víi α0 > 0; (ii) NÕu N (Ah (x∗ ) − fjδ ) > 0, h, δ > 0, j (3.10) j=2 th× limα→+∞ ρ(α) = +∞ Trong ®ã A0 ≡ Aj , fj0 ≡ fj j Định lý sau cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch Định lý 3.3 Cho x∗ ∈ X tháa m·n (3.10) Khi ®ã, ta cã: 19 (i) tån t¹i α = α(h, δ) cho ¯ (K − 2)(δ + h)p ,z∈S α≥ ¯ x∗ − z (3.13) ρ(¯ ) = [K + 2g( xhδ )](δ + h)p , K > 2, p ∈ (0, 1], α α ¯ (3.14) vµ ë đây, xh nghiệm (3.1) thay α = α; ¯ h, δ → th×: 1) α → 0; 2) nÕu p ∈ (0, 1) th× (δ + h)/α → vµ xhδ → x0 ∈ S ; ¯ α hδ 3) nÕu p = 1, U liên tục yếu theo dÃy S = {x0 } x x0 ( + h)/ (ii) Khi C, C > 3.3 Tèc ®é héi tơ nghiệm hiệu chỉnh Để đánh giá tốc độ hội tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh, ta gi¶ thiÕt A1 (y) − A1 (x0 ) − QA (x0 )∗ U (y − x0 ) ≤ γ A1 (y) − A1 (x0 ) , đây, y phần tử thuộc l©n cËn cđa tËp nghiƯm S , γ > 0, Q toán tử đối ngẫu chuẩn tắc X Định lý sau tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ Định lý 3.4 (i) (3.21) A1 Gi¶ thiÕt: kh¶ vi FrÐchet thỏa mÃn (ii) tồn phần tử X (iii) tham số hiệu chỉnh Khi đó, với cho (3.21); x∗ − x0 = A (x0 )ω ; chọn theo Định lý 3.3 < p < ta cã xhδ − x0 = O((h + δ)ν ), ν = min{1 − p; µp/2} ˜ α 3.4 Một số kết tính toán Để minh họa cho lý thuyết hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử U đơn điệu liên tục Lipschitz mục trước, ta xét toán tìm nghiệm hệ phương trình F( Bj x, x )Bj (x) = fj , j = 1, 2, 3, 20 (3.24) đây, F : R R chọn sau: t ≤ a0 0, t−a0 F (t) = , a0 < t ≤ a0 + ε ε 1, t > a0 + ε đó, a0 số dương, đủ bé Bj : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] lµ toán tử tích phân xác định Bj x(t) = kj (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, ®ã, kj (t, s), j = 1, 2, hạch tích phân xác ®Þnh nh sau: t(1 − s), t ≤ s k1 (t, s) = s(1 − t), s < t 2 3 (1−s) st2 − (1−s) t6 (1+2s) + (t−s) , s2 (1−s)(1−t) s2 (1−t3 )(2s−3) + + (s−t) , 6 k2 (t, s) = t≤s s≤t k3 (t, s) = ts Trong trường hợp fj đại lượng xấp xỉ fjδ = fj + δ, δ > 0, ®ã, toán (3.24) dẫn việc tìm nghiệm xấp xỉ toán F( Giải toán Bj x, x )Bj (x) = fjδ , j = 1, 2, (3.25) (3.25) dẫn tìm nghiệm phương tr×nh hiƯu chØnh ˜ δ δ δ A1 (x) + αµ (A2 (x) − f2 + A3 (x) − f3 ) + α(x − x∗ ) = f1 , ë ®©y, Aj (x) = F ( Bj x, x )Bj (x), j = 1, 2, 3, hay viÕt díi d¹ng ˜ B(x) + α(x − x∗ ) = fδ , (3.26) ˜ δ ˜ δ δ ˜ B(x) = A1 (x) + αµ (A2 (x) + A3 (x)), f = f1 + (f2 + f3 ) Để giải số toán (3.26), ta thực việc rời rạc hóa tích phân Bj x(t) sau: kj (ti , t0 )x0 + kj (ti , tM )xM ˜ Bj x(ti ) ≈ Bj xi = h + M −1 kj (ti , tq )xq , i = 0, 1, , M, q=1 x(t) ≈ x = (x0 ; x1 ; ; xM ), xi ≈ x(ti ), i = 0, 1, , M, ˜ 21 ë ®©y, t0 = 0, tM = 1, ti = i/M, tq = q/M, h = 1/M, vËy to¸n tư ˜ Bj xác định sau: Bj = (bi,q )M ; bi,q = hkj (ti , tq ), i, q = 1, , M − 1; i,q=0 bi,0 = hkj (ti , t0 )/2; bi,M = hkj (ti , tM )/2 (3.26) đưa dạng Sau rời rạc, toán B x + ( x ) = fδ , x ˜ (3.27) ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ B = A1 + αµ (A2 + A3 ), Aj x = F ( Bj x, x )Bj x, j = 1, 2, §Ĩ kiĨm tra nghiƯm hiƯu chØnh cã hội tụ nghiệm (3.24) hay không, ta giả thiÕt (3.24) cã nghiƯm x(t) = 1, kÕt qu¶ tÝnh tính toán kiểm tra hội tụ phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm toán (3.27) thực theo sơ đồ lặp hiệu chỉnh x(k+1) = x(k) − βk (Bx(k) + αk (x(k) − x(0) ) − fδ ) , x(0) = x∗ ∈ RM +1 , ˜ αk βk = cαk , αk+1 = , k = 0, 1, 2, , + αk với quy tắc dừng lặp Bx(K) f ˜ ˜ ≤ τ δ < Bx(k) − fδ RM +1 RM +1 , τ > 1, k = 0, 1, , K Để trình lặp hội tụ, ta cần chọn tham số thỏa mÃn điều kiện (2.48), (2.49) (2.50), ta chọn ˜ L= B α0 + L ,c = , RM +1 , α0 = 0.1, λ = 2λ x − x(0) τ= [(1 + α0 ) (1 + α0 ) + 2α0 ] +1 − cλ − α0 α0 c RM +1 (0) Trong kết tính toán, điểm xấp xỉ ban đầu chọn x RM +1 , a0 = −3 10 , ε = 10−2 , M = 50 vµ µ= ˜ = (0.9; 0.9; ; 0.9) Víi c¸ch chän tham sè xấp xỉ đầu trên, ta có kết nghiệm tìm sau: n K Bx(K) − fδ τδ x(K) − x0 1.281316 2.702034 0.714143 0.235367 0.270203 0.714143 0.133629 0.027020 0.714143 0.048042 0.002702 0.356609 12461 0.016399 0.000269 0.242662 595071 0.005181 0.000027 0.185342 22343008 0.001638 0.000003 0.149496 22 Bảng 3.1 Kết tính toán mối liên hệ số lần lặp tốc độ héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm ®óng x0 = (x0 ; x0 ; ; x0 ) = (1; 1; ; 1), δ = 10−n M B©y ta xét trường hợp toán tử tích ph©n cã nhiƠu h Bj x(t) = h kj (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, đây, h kj (t, s) = kj (t, s) + h(t, s), j = 1, 2, 3, < h(t, s) ≤ h, ∀t, s vµ h → +0, nÕu chän nhiễu h(t, s) = h ta có kết tÝnh to¸n sau: n K ˜ ˜ B h x(K) − fδ τδ x(K) − x0 0.288198 2.771210 0.714143 0.153002 0.270602 0.714143 0.125654 0.027024 0.714143 0.047713 0.002702 0.359784 12420 0.016399 0.000269 0.243664 594816 0.005181 0.000027 0.185589 22341513 0.001638 0.000003 0.149560 Bảng 3.2 Kết tính toán mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm ®óng x0 = (x0 ; x0 ; ; x0 ) = (1; 1; ; 1) có nhiễu lên toán tử M h = δ = 10−n NhËn xÐt: KÕt qu¶ tÝnh toán kết kiểm tra hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình không chỉnh cho trước nghiệm hệ Phương tr×nh hiƯu chØnh x(t) = ˜ (3.27) cã B ma trận với điều kiện xấu, để tìm nghiệm ta cần phải sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp quy tắc dừng lặp Từ Bảng 3.1 Bảng 3.2 thấy số lần lặp hiệu chỉnh phụ thuộc lớn vào nhiễu xấp xỉ đầu việc chọn x(0) Vì vậy, trường hợp đòi hỏi độ xác cao cho nghiệm toán yêu cầu thời gian tính toán tương đối lớn Kết luận Luận án đề cập đến hai vấn đề sau: Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử liên tục đóng yếu Các kết đạt đà phương pháp đưa hệ phương trình không chỉnh toán đặt chỉnh, việc giải toán xấp xỉ 23 thực phương pháp Newton Ngoài ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục đóng yếu toán tử Tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm cđa hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet toán tử, điều kiện nguồn điều kiện số Lipchitz Trong trường hợp đặc biệt, toán tử tuyến tính liên tục xét đến đà phương pháp đưa hệ phương trình không chỉnh toán đặt chỉnh Ngoài ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục toán tử Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện nguồn toán tử Trong trường hợp toán tử có tính chất U đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, đưa phương pháp hiệu chỉnh tính nghiệm hiệu chỉnh Tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh vỊ nghiƯm cđa hệ phương trình đưa tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn tính khả vi Fréchet Cuối cùng, ®a c¸c vÝ dơ tÝnh to¸n sè ®Ĩ minh họa cho lý thuyết Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp là: Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh đưa chương chương cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Nghiên cứu việc áp dụng phương pháp lặp cho hệ phương trình đặt không chỉnh Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nhiều tham số cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 24 CÁC CƠNG TRÌNH Đà CƠNG BỐ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Buong,Ng., Dung,N.D (2009), Regularization for a Common Solution of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations , Int Journal of Math Analysis, 3(34), 1693 - 1699 [2] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788 [3] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Technology, 83(7) , 73 - 79 [4] Buong,Ng., Dung,N.D (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310 [5] Buong,Ng., Dung,N.D (2013), Regularization for a common solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XV số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012 [6] Buong,Ng., Dung,N.D (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 54(3), 397 406 ... tính toán cho thấy, phương trình toán tử hệ phương trình đại số có định thức ma trận hệ số không, nên hệ có vô số nghiệm, hệ không chỉnh Bằng phương pháp hiệu chỉnh, hệ phương trình toán tử dẫn phương. .. kết tính toán cho hệ phương trình toán tử tuyến tính Trong mục 2.1, 2.2 2.3 đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử kết dẫn việc giải phương trình toán tử, trường hợp toán tử liên... phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U đơn điệu Trong mục 1.3, giới thiệu hệ phương trình không chỉnh, toán dẫn hệ phương trình không chỉnh số phương pháp hiệu chỉnh