tóm tắt luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 70 kỷ 20, số nhà toán học nghiên cứu giải phương trình hệ phương trình dạng: Fx = y (1) F toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X , y ∈ Y Để thuận lợi nghiên cứu nhà toán học lấy X , Y không gian Banach Trường hợp đặc biệt (1) là: Fx = (2) Phạm vi ứng dụng lý thuyết toán tử rộng lớn Phạm vi ứng dụng rộng có hiệu lực thực tiễn trước phát triển nhanh chóng máy tính điện tử với phát triển mạnh mẽ công trình nghiên cứu xấp xỉ phương trình dạng (1) Với hiểu biết ban đầu qua tham khảo số tài liệu liên quan, thấy việc giải phương trình, hệ phương trình dạng (2) phù hợp với lực Có nhiều phương pháp giải, song phương pháp lặp phương pháp lập trình máy tính điện tử Vì chọn đề tài: “một số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến” 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến, ứng dụng vào tập cụ thể có sử dụng máy tính điện tử để giải Thảo luận chung phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Đánh giá nghiên cứu khoa học Nêu đóng góp đề tài Đề xuất kiến nghị Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào toán cụ thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple Pascal Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hoá phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Lập trình toán máy tính điện tử ngôn ngữ lập trình Maple Pascal 2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian véc tơ 1.2 Các không gian quan trọng 1.3 Đạo hàm Gateaux đạo hàm Frechet Định nghĩa 1: Cho X , Y hai không gian định chuẩn, U tập mở X , ánh xạ F : U → Y Khi đó: (i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T : X → Y đạo hàm Gateaux F x ∈ U nếu: F ( x + τ u ) − F ( x ) − τ Tu = τ →0 τ tục T : X → Y đạo hàm Frechet ∀ u ∈ X : lim (ii) Ánh xạ tuyến tính liên nếu: ∀ u ∈ X : lim u →0 (iii) Ánh xạ tuyến tính liên tục x ∈ U nếu: u ∀ x* ∈ X * : T : X →Y u →0 đạo hàm Gateaux yếu [ x0 ∈U F F ] * x F ( x + τ u ) − Fx − τ Tu = τ →0 τ tục T : X → Y đạo hàm Frechet lim F F ( x + u ) − F ( x ) − Tu = ∀u ∈ X , ∀x * ∈ X * : l i m (4i) Ánh xạ tuyến tính liên x ∈ U nếu: [ yếu ] * x F ( x + u ) − F ( x ) − Tu = u Các đạo hàm định nghĩa kí hiệu T = F ' ( x ) Định nghĩa 2: Cho X , , X n , Y ; n ≥ 2, không gian định chuẩn, ánh xạ: F : X × × X n → Y , với x = ( x , , x n ) ∈ X × × X n , ta cố định:   1   n  x =   x  , ,  x   ∈ X × × X n ,       F i : X i → Y , i = 1, n xét ánh xạ: i +1 n   1   i −1 0 0  F i ( x i ) = F   x  , ,  x  , x i ,  x  , ,  x             Nếu Fi có đạo hàm Frechet điểm riêng Frechet F theo xi 0  x   i đạo hàm gọi đạo hàm điểm x Ta viết: ∂F   0 i x = ( F ) '    x ∂x i     i Khi X = = X n = Y = R đạo hàm riêng Frechet trùng với đạo hàm riêng thông thường Ví dụ 1: Cho X , Y hai không gian định chuẩn, F : X →∧ Y ánh xạ (tức ∀ x ∈ X : Fx = b = const , b ∈ Y ) Khi ∀ x ∈ X ⇒ F ' x = θ (ánh xạ không) 3 Ví dụ 2: f : R → R hàm số thực, với x ∈ R ta có x theo nghĩa thông thường Ví dụ 3: Giả sử ánh xạ: F : R n → R , n ≥ f '(x0 ) đạo hàm f x = ( x1 , , x n )  Fx = F ( x1 , , x n ) có đạo hàm riêng theo x1 , , x n liên tục Khi x = ( x1 , , x n ) ∈ R n ta có:  ∂F  ∂F F ' ( x) =  ( x), , ( x)  ∂x n  ∂x1  n ∀ h = (h1 , , hn ) ∈ R ⇒ F ' ( x) h = ∑ n j =1 ∂F hj ∂x j Ví dụ 4: Nếu ánh xạ có đạo hàm f i ( x) = f i ( x1 , , x n ) : R n → R; x ánh xạ: hàm véc tơ nhiều biến n ≥ 2, i = 1, m (m ≥ 2) F = ( f , , f m ) : R n → R m F x = ( f ( x), , f m ( x) ) có đạo hàm x và:  f ' ( x)      ∂f F ' ( x) =    =  i ( x )     f ' ( x)   ∂x j  m×n  m   ∂f   ∂x1  ∂f  ∂x  =      ∂f m   ∂x1 ∂f1 ∂x ∂f ∂x  ∂f m ∂x ∂f xn ∂f  ∂x n             ∂f m    ∂x n   (ma trận Jacobi F )  f ' ( x)h    ∀ h = (h1 , , hn ) ∈ R ⇒ F ' ( x)h =     f ' ( x)h   m  Định lí hàm số ngược: Cho X , Y hai không gian định chuẩn, U tập mở X , ánh xạ F : U → Y phép đồng phôi từ U vào tập mở V = F (U ) ⊂ Y Giả sử F có đạo hàm Frechet điểm x ∈ U F ' ( x ) : X → Y phép đồng phôi tuyến tính Khi ánh xạ ngược F −1 : V → X có đạo hàm Frechet điểm y = F x ∈ V ( F −1 ) ' ( y ) = ( F −1 ) ' ( Fx ) = F ' ( x ) −1 n CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 Phương pháp Newton số biến thể 2.1.1 Phương pháp dây cung song song Cho f : U ⊂ R → R hàm số thực biến có nghiệm x * , ta thay giá trị f xấp xỉ x x * hàm tuyến tính: l ( x) = α ( x − x ) + f ( x ) với độ lệch α ≠ thích hợp, sau lấy nghiệm x1 l làm xấp xỉ x * Lặp lại cách làm với α cố định, ta có phương pháp lặp: x k +1 = x k − α −1 f ( x k ), k = 0,1, (2.1.1) gọi phương pháp dây cung song song không gian chiều Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F : D ⊂ R n → R n không gian n chiều, n ≥ , có nghiệm x * , có ma trận A không suy biến, thay α = A không đổi, thay giá trị F xấp xỉ x k x * hàm afin: Lk x = A ( x − x k ) + F x k , đặt x k +1 nghiệm Lk x = Ta có phương pháp dây cung song song không gian n chiều x k +1 = x k − A −1 F x k , k = 0,1, (2.1.2) k +1 n Về mặt hình học, x giao điểm siêu phẳng: n ∑a j =1 ij ( x j − x kj ) + f i ( x k ) = ; i = 1, , n với siêu phẳng x = R n +1 Để áp dụng phương pháp dây cung song song điều quan trọng phải chọn ma trận A thích hợp Ta giới thiệu vài cách chọn sau đây: Cách 1: Chọn A = λ I với λ ∈ R * Cách 2: Đối với (2.1.1) ta chọn α = f ' ( x ) Đối với (2.1.2) ta chọn A = F ' ( x ) , với F ' ( x) đạo hàm Gato F x , (2.1.2) phương pháp Newton cải biên: x k +1 = x k − F ' ( x ) −1 F x k , k = 0,1, (2.1.3) Cách 3: Chọn A cách ngẫu nhiên tuỳ thuộc vào dạng đặc biệt F Ví dụ: F x = Ax −G x (2.1.4) với A ma trận không suy biến đó, G hàm phi tuyến, ta có phương pháp Picard: x k +1 = A −1G x k , k = 0,1, (2.1.5) Chú ý: Phải chọn A cho trình lặp (2.1.2) phải hội tụ địa phương Nghĩa x đủ gần tới nghiệm x * F x = chắn k * ta có: kl i→m∞ x = x Khi F ' ( x * ) tồn điều kiện cần đủ để (2.1.2) hội tụ địa phương là: σ = ρ ( I − A −1 F ' ( x * ) ) < (2.1.6) ρ biểu thị bán kính phổ ma trận Do x * chưa biết nên khó chọn trước ma trận A để có (2.1.6), cách chọn lý tưởng A = F ' ( x * ) Từ buộc ta phải xét trình lặp: x k +1 = x k − Ak−1 F x k , k = 0,1, với Ak = F ' ( x k ) được* thay đổi từ bước đến bước cho: kl i→m∞ Ak = F ' ( x ) 2.1.2 Phương pháp Newton Cho f : U ⊂ R → R hàm số thực biến có nghiệm lặp: x* , trình x k +1 = x k − f ' ( x k ) −1 f ( x k ), k = 0,1, (2.1.7) phương pháp Newton không gian chiều Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F : D ⊂ R n → R n không gian n chiều, n ≥ , có nghiệm x * , cách thay f ' ( x k ) (2.1.7) đạo hàm Gato F ' ( x k ) , ta có phương pháp Newton không gian n chiều: x k +1 = x k − F ' ( x k ) −1 F x k , k = 0,1, (2.1.8) k k +1 Bước lặp từ x đến x (2.1.8) mô tả hình học là: Mỗi thành phần f i F xấp xỉ hàm afin: L ( x) = f i ' ( x k )( x − x k ) + f i ( x k ) (2.1.9) k mà hàm afin mô tả siêu phẳng tiếp xúc với f i x , sau lấy x k +1 giao điểm n siêu phẳng (2.1.9) với siêu phẳng x = R n +1 Công thức (2.1.8) công thức tổng quát phương pháp Newton từ chiều đến n chiều Chú ý: có nhiều phương pháp lặp không gian n chiều khác mà có điều kiện cho n = trở thành (2.1.7), chẳng hạn ta xét trình lặp: (2.1.10) x k +1 = x k − F ' ( x k ) −1 F x k + (n − 1) G x k ; k = 0,1, với ánh xạ tuỳ ý Tầm quan trọng phép lặp Newton (2.1.8) dựa sở là: từ điều kiện cho F , bất đẳng thức dạng: x k +1 − x * ≤ c x k − x * (2.1.11) k * thoả mãn, miễn x đủ gần với nghiệm x Ta thấy bất đẳng thức (2.1.11) có phép lấy đạo hàm sau phương pháp Newton: Nếu F có đạo hàm Frechet x k thì: = F x * = F x k + F ' ( x k )( x * − x k ) + R ( x * − x k ) (2.1.12) G : Rn → Rn đây: lim h→0 R ( h) =0 h Từ x k gần với nghiệm x * hiển nhiên số hạng xấp xỉ hiệu x * − x k nghiệm h hệ tuyến tính: F ' (x k ) h = −F x k R ( x* − x k ) giảm (2.1.13) Hay nói cách khác, x k +1 = x k + h = x k − F ' ( x k ) −1 F x k lấy xấp xỉ x * Nếu F ' ' bị chặn lân cận x * ta R (x k − x* ) ≤ α x k − x* có: giả sử F ' ( x * ) không suy biến từ dẫn tới đánh giá (2.1.11) Nếu ta khai triển G theo F∧ x k , ta có: x * = G (0) = G ( F x k ) − G ' ( F x k ) F x k + R ( F x k ) = ∧ = x k − F ' ( x k ) −1 F x k + R ( F x k ) (2.1.14) 2.1.3 Một số biến thể phương pháp Newton Hai phép xấp xỉ sử dụng để tránh tính F ' ( x) đơn giản xấp xỉ đạo hàm riêng ∂ j f i (x) tỷ sai phân: ∂ j f i ( x) = j   k  f i  x + ∑ hi k e hi j   k =1 Và: ∂ j f i ( x) = j −1    − f i  x + ∑ hi k e k k =1   [     f i ( x + hi j e j ) − f i ( x) hi j (2.1.15) ] (2.1.16) hi j tham số phân biệt e j véc tơ toạ độ thứ j Biến thể 1: Tổng quát, cho h ∈ R p véc tơ tham số, ∆ i j ( x, h) xấp xỉ khác ∂ j f i (x) với tính chất: ∂ j f i (x) tồn với i, j = 1, n ta có: l i m ∆ i j ( x, h ) = ∂ j f i ( x ) (2.1.17) h→0 Khi đó, với ma trận sai số: J ( x, h ) = ( ∆ i j ( x, h ) ) (2.1.18) trình lặp: x k +1 = x k − J ( x k , h k ) −1 F x k ; k = 0,1, (2.1.19) k gọi phương pháp Newton rời rạc Các véc tơ tham số h ∈ R p k Ta cần phải có kl i→m∞ h = Quy tắc “làm giảm chuẩn” : F x k +1 ≤ F x k ; k = 0,1, (2.1.20) Phương pháp Newton không thoả mãn quy tắc (2.1.20) Biến thể 2: x k +1 = x k − ω k F ' ( x k ) −1 F x k ; k = 0,1, (2.1.21) ω với hệ số k chọn cho (2.1.20) thoả mãn Biến thể 3: −1 x k +1 = x k − [ F ' ( x k ) + λ k I ] F x k ; k = 0,1, (2.1.22) k với λk tham số chọn cho F ' ( x ) + λk I không suy biến thân F ' ( x k ) suy biến 7 Biến thể 4: Thỉnh thoảng ta phải tìm lại biểu thức x k +1 = x − F '(x k p ( k ) −1 F ' ( x) ) F x ; k = 0,1, k k phép lặp là: (2.1.23) với p(k ) số nguyên nhỏ 2.1.4 Chú ý nhận xét 2.2 Phương pháp cát tuyến 2.2.1 Phương pháp cát tuyến tổng quát Xét phương pháp Newton rời rạc không gian chiều: x k +1  f (x k + hk ) − f (x k )  = x −  hk   k −1 (2.2.1) f ( x k ) ; k = 0,1, Hai trường hợp đặc biệt quan trọng (2.2.1) là: Phương pháp lặp có dạng:  f ( x) − f ( x k )  x = x −  x − xk   k k h = x − x , với x cố định k +1 −1 k (2.2.2) f ( x k ) ; k = 0,1, Phương pháp cát tuyến: x k +1  f ( x k −1 ) − f ( x k )  = x −  x k −1 − x k   k h k = x k −1 − x k Ta thấy trình lặp phương trình tuyến tính: −1 (2.2.3) f ( x k ) ; k = 0,1, x k +1 (2.2.1) nghiệm  f (x k + hk ) − f (x k )  k k l ( x) =   x − x + f (x ) = k h   ( ) Với l xét theo hai cách khác nhau: Cách 1: l xem xấp xỉ đường thẳng tiếp tuyến: lT ( x ) = f ' ( x k ) ( x − x k ) + f ( x k ) Cách : l phép nội suy tuyến tính x +h k k f hai điểm xk 2.2.2 Định nghĩa: n + điểm tuỳ ý x , x1 , , x n R n gọi vị trí đầy đủ véc tơ x − x j ; j = 1, n độc lập tuyến tính 2.2.3 Định lý: Cho x , x1 , , x n n + điểm tuỳ ý R n Khi phát biểu sau tương đương: (a) x , x1 , , x n vị trí đầy đủ (b) Với j bất kỳ, ≤ j ≤ n , véc tơ x j − x i ; i = 0, n ; i ≠ j , độc lập tuyến tính (c) Với e T = (1, ,1) , X = ( x , , x n ) , ma trận ( e, X T ) ∈ Mat (n + 1, R ) không suy biến (d) ∀ y ∈ R n tồn α , , α n ∈ R n với n ∑α i = i =0 n y = ∑α i x i để: i =0 ((d) tương đương với cách phát biểu là: hệ phương trình tuyến tính:  eT  X  α         =    α    n 1  y  (2.2.4) có nghiệm với y bất kỳ) 2.2.4 Định lý: Cho x , , x n y , , y n hai tập điểm R n Khi tồn hàm afin L x = a + A x với a ∈ R n A ∈ L ( R n ) cho L x j = y j ; j = 0, n x , , x n vị trí đầy đủ Hơn nữa, A không suy biến y , , y n vị trí đầy đủ Chú ý: Điều kiện L x j = y j ; j = 0, n viết lại dạng ma trận: ( e, X )  a T Từ: Lxj = yj   = y , , y n  A  T T ( ) T suy ra: A ( x j − x ) = y j − y ; j = 1, n Cho F : D ⊂ R n → R n , giả 2.2.5 Định nghĩa: F x , , F x n vị trí đầy đủ Khi điểm: với a A (2.2.5) sử hai tập điểm (2.2.6) , , x n (2.2.7) x s = − A −1 a thoả mãn: x (2.2.8) a + A x j = F x j ; j = 0, n sở x , , x n gọi xấp xỉ cát tuyến 2.2.6 Công thức cát tuyến Wolfe Cho x , , x n F x , , F x n vị trí đầy đủ Khi xấp xỉ cát tuyến sở thoả mãn: n xs = X z = ∑ z j x j (2.2.9) j =0 với z = ( z , , z n ) T nghiệm hệ tuyến tính kiểu   Fx F x n   z = ( 1,0, ,0 ) T  (n + 1) × (n + 1) : (2.2.10) 2.2.7 Công thức Newton Cho x , , x n F x , , F x n vị trí đầy đủ Ta đưa vào toán tử: với J : Dk ⊂ R n × L ( R n )  → L ( R n ) J ( x, H ) = F ( x + He1 ) − F x, , F ( x + He n ) − F x H −1 D miền xác định F H không suy biến, ( ) { Dk = ( x, H ) x + He i ∈ D ; i = 1, , n Đặt Khi H = ( x − x , , x n − x ) J ( x , H ) không suy biến xấp xỉ cát x s = x − J ( x , H ) −1 F x (2.2.11) } tuyến sở x s (2.2.12) cho bởi: (2.2.13) Chú ý: Nếu đặt dạng: Γ = ( F x − F x , , F x n − F x ) Ta biểu [( (2.2.13) viết (2.2.14) x s = x − H Γ −1 F x diễn x s sau: )( x s = x − Fx1 − Fx , Fx − Fx1 ,., Fx n − Fx n −1 x − x ,., x n − x n −1 2.2.8 Bổ đề: Cho ( J ( x, H ) xác định (2.2.11) với ) ] −1 −1 H = ( h1 , , h n ) J ( x, H ) = F ( x + h ) − Fx, F ( x + h ) − F ( x + h ),., F ( x + h ) − F ( x + h (2.2.15) Fx n n −1 ) Khi đó: (2.2.16) ∧ −1 ) H 2.2.9 Các dạng phương pháp cát tuyến Công thức Newton cho phép phương pháp cát tuyến tổng quát biểu diễn dạng compact:  x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k ; k = 0,1,  k ,1 k k ,n k H = ( x − x , , x − x )  k ta đặt x k ,0 = x k Mỗi cách chọn điểm phụ trợ x k ,1 , , x k ,n pháp cát tuyến: Dạng 1: Chọn x k , j = x k + ( x kj −1 − x kj ) e j ; Trường hợp H k ma trận đường H k = diag ( x1k −1 − x1k , , x nk −1 − x nk ) k k −1 k Nếu đặt h j = x j − x j ; j = 1, , n thì: (2.2.17) cho ta dạng phương j = 1, , n (2.2.18) chéo  1 J ( x k , H k ) =  k F ( x k + h1k e1 ) − Fx k ,., k F ( x k + hnk e n ) − Fx k hn  h1 [ ] [ ]   với:  J : D J × Dh ⊂ R n × R n → L ( R n )  n n i  D J × Dh = ( x, h) ∈ R × R x + hi e ∈ D, hi ≠ 0, i = 1, , n  J ( x, h) = h −1 F ( x + h e1 ) − F x , , h −1 F ( x + h e n ) − F x 1 n n  { ( [ phương pháp lặp là: ] [ x k +1 = x k − J ( x k , x k −1 − x k ) −1 F x k ; k = 0,1, Dạng 2: Chọn x k, j j = x + ∑ ( xik −1 − xik )e i ; k j = 1, , n i =1 } ]) (2.2.19) (2.2.20) (2.2.21) Ta định nghĩa phép lặp (2.2.20) với: n n −1    J ( x, h) =  h1−1 [ F ( x + h1e1 ) − Fx] ,., hn−1  F ( x + ∑ h j e j ) − F ( x + ∑ h j e j )    j =1 j =1    Dạng 3: Chọn x k , j = x k + Pj ,k ( x k −1 − x k ) ; Pj ,k ∈ L ( R n ), j = 1, , n 2.2.22) (2.2.23) 10 Dạng 4: Nếu chọn x k , j phụ thuộc cách xác vào p lần lặp số k + lần lặp đầu x k , , x ta nói phép lặp (2.2.17) phương pháp cát tuyến p điểm Nếu chọn x k , j phụ thuộc vào x k , , x k − p +1 phép lặp (2.2.17) phương pháp cát tuyến p điểm liên tiếp Phép lặp:  x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k  k −1 k k −n k  H n = ( x − x , , x − x )  k = 0,1,  tuyến n + điểm liên tiếp cát tuyến p + điểm tổng (2.2.24) phương pháp cát Phương pháp quát tạo theo đủ cách, chẳng hạn tương tự (2.2.23) ta chọn: p x k , j = x k + ∑ Pi , j ,k ( x k −i − x k ) ; Pi , j ,k ∈ L ( R n ) ; j = 1, n (2.2.25) i =1 Theo bổ đề 2.2.8 ta viết (2.2.24) dạng khác: x k +1 = x k − H k Γk−1 F x k (2.2.26) với:  H k = ( x k − x k −1 , x k −1 − x k −2 , , x k − n +1 − x k −n )  (2.2.27) k k −1 k − n +1 − F x k −n )  Γk = ( F x − F x , , F x 2.2.10 Định lý: Giả sử ma trận Γp Γp +1 xác định theo (2.2.27), −1 với k = p ; p + không suy biến, ký hiệu hàng ma trận Γp v , , v n Khi đó: Γ p−+11 = B − B (q p − q p −n ) v n + v n (q p − q p − n ) với q i = F x i +1 − F x i B ma trận có hàng Chú ý: Gọi P ma trận hoán vị cho (2.2.28) v n , v , , v n −1 Γp P = ( q p −n , q p −1 , , q p − n +1 ) Γ p +1 = ( q , , q p Ta có: Γ p−+11 = P −1 Γ p−1 − p − n +1 ) = Γ p P + ( q p − q p − n ) (e1 ) T −1 −1 p P Γ p ( q − q p − n ) (e1 ) T P −1 Γ p−1 α (2.2.29) 2.2.11 Phương pháp Steffensen Nếu đặt h k = f ( x k ) (2.2.1) ta có phương pháp Steffensen không gian chiều: x k +1 = x k − f (x k ) ( ) f ( x k ) ; k = 0,1, f x + f (x ) − f (x ) k k k (2.2.30) Tương ứng với phương pháp cát tuyến điểm (2.2.17)_(2.2.23) ta định nghĩa phương pháp Steffensen tương tự (2.2.17) với việc chọn: x k , j = x k + Pj ,k F x k ; j = 1, , n dẫn đến dạng dạng sau đây: j Dạng 1: Nếu Pj ,k = (0, ,0, e ,0, ,0) ta có phương pháp Steffensen đặc biệt: 11 (2.2.31) x k +1 = x k − J ( x k , F x k ) −1 F x k với J xác định (2.2.19) Dạng 2: Tương ứng với phương pháp cát tuyến j (2.2.20)_(2.2.22) chọn Pj ,k = (e , , e ,0, ,0) ta có phương pháp Steffensen dạng (2.2.31) với J xác định (2.2.22) Dạng 3: Tổng quát, tương ứng với phương pháp cát tuyến n + điểm (2.2.24), ta chọn: p x k , j = x k + ∑ Pi , j ,k F x k −i +1 ; j = 1, , n i =1 (2.2.32) tương ứng với điểm phụ trợ x k , j (2.2.25), trường hợp đặc biệt (2.2.32) ta đặt x k , j = x k + F x k − j +1 ; j = 1, , n dẫn đến phương pháp Steffensen:  x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k  k k − n +1 )  H k = ( F x , , F x (2.2.33) với J ( x, H ) xác định (2.2.11) Dạng 4: Phương pháp Steffensen phát sinh từ mối liên quan với phương trình điểm bất động x = G x , điểm phụ trợ x k ,i chọn x k ,i = G i x k ; i = 1, , n sinh toán tử G , đặt F x = x − G x (2.2.17), ta có phương pháp Steffensen dạng: [  x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 x k − G x k  k k n k k  H k = G x − x , , G x − x ( ) ] (2.2.34) 2.2.12 Chú ý nhận xét 2.3 Một số biến thể 2.4 Các phương pháp sử dụng tính liên tục ánh xạ Thay ánh xạ F : D ⊂ R n → R n , ta xét họ ánh xạ: H : D × [ ;1 ] ⊂ R n × [ ;1 ] → R n cho: H ( x,0) = F0 x ; H ( x,1 ) = F x ; ∀ x ∈ D (2.4.1) với: H ( x,0) = biết trước nghiệm x , H ( x,1) = giải Có nhiều cách xác định ánh xạ H Chẳng hạn: Cách 1: H ( x, t ) = t F x + ( − t ) F0 x ; x ∈ D, t ∈ [ ;1 ] (2.4.2) với F0 ánh xạ cho phương trình F0 x = biết trước nghiệm x0 Cách 2: H ( x, t ) = F x + (t − 1) F x ; x ∈ D, t ∈ [ ;1 ] (2.4.3) với x cố định Mọi cách xác định H , ta xét phương trình: H ( x, t ) = ; t ∈ [ ;1 ] (2.4.4) Giả sử (2.4.4) có nghiệm x = x (t ) ánh xạ liên tục theo t ∈ [ ;1 ] Nghĩa giả sử tồn ánh xạ liên tục x : [ ;1 ] → D cho: H ( x (t ), t ) = ; ∀ t ∈ [ ;1 ] (2.4.5) 12 2.4.1 Định nghĩa F : R n → R n gọi ánh xạ cưỡng chuẩn lim x →∞ Fx =∞ 2.4.2 Định lí: Giả sử F : R n → R n khả vi liên tục R n F ' x không suy biến với ∀ x ∈ R n , F ánh xạ cưỡng chuẩn F ánh xạ thoả mãn F ' ( x) −1 ≤ β ; ∀ x ∈ R n Khi với x ∈ R n cố định tuỳ ý, tồn ánh xạ: x : [ ;1 ] → R n , cho (2.4.5) xảy với H xác định (2.4.3) Hơn x khả vi liên tục và: −1 x ' (t ) = − F ' ( x (t ) ) F x ; x (0) = x ; ∀ t ∈ [ ;1 ] (2.4.6) 2.4.3 Các phương pháp sử dụng tính liên tục ánh xạ 2.4.3.1 Phương pháp thứ Phép xấp xỉ để thu x * = x (1) 2.4.3.2 Phương pháp thứ hai Phép xấp xỉ tới nghiệm (2.4.4) 2.4.4 Chú ý nhận xét 2.5 Các phương pháp đặc biệt hàm biến Cho hàm số f : [ a ; b ] ⊂ R → R Xét phương trình: f ( x) = Giả sử phương trình có: (i) Nghiệm ξ đoạn [ a ; b ] (ii) f ∈ C [ a ; b ] , f ' ( x) f ' ' ( x) không đổi dấu đoạn [ a ; b ] 2.5.1 Định nghĩa: Điểm x ∈ [ a ; b ] gọi điểm Fourier f ' ' ( x) f ( x) > 2.5.2 Phương pháp dây cung 2.5.3 Phương pháp tiếp tuyến 2.6 Bàn thảo phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến CHƯƠNG 3: BÀI TẬP Bài toán 1: Biết hàm số: 13 f : [ ; ] → R, f ( x ) = 0,1 x + x − x + x − x − 1,357824 nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton cải có không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Bài toán 2: Biết hàm F = ( f1 , , f ) : B [ ;1 ] ⊂ R → R có nghiệm x* , ∀x = ( x1 , , x5 ) ∈ R : với f1 : R  → R , f ( x ) = x1 x 22 + 0,4 x3 + 0,5 x + x53 − f2 : R5  → R , f ( x) = 0,3 x13 + x x32 + x 43 − x5 + f3 : R5  → R , f ( x) = 0,2 x1 + x − x3 x 42 + x52 − f4 : R5  → R , f ( x) = − x12 − x 23 + 0,5 x3 x x5 f5 : R5  → R , biên f ( x) = x1 + x + x3 + x x5 Hãy viết công thức phương pháp Newton cải biên không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Bài toán 3: Biết hàm số  π π  f :  ;  → R,  24  f ( x) = x − si n x − π −6 12 có nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Bài toán 4: Hãy viết công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình:  e x+ y − x + y =  2  ( x + 0,5 ) + y = biết hệ phương trình có nghiệm Bài toán 5: Biết phương trình: ( x* ; y* ) x + t an x − = π có nghiệm π π  x* ∈  ;   4,5  Hãy viết công thức phương pháp Steffensen không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 14 Bản luận văn trình bày phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyền Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lí, tính chất kiến thức sở Chương 2: Trình bày lý thuyết số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Chương 3: Một số toán giải phương trình hệ phương trình phi tuyến sử dụng phương pháp Newton phương pháp Steffensen Ứng dụng giải toán số máy tính điện tử ngôn ngữ lập trình Maple Pascal TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 [1] Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 1, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 2, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [6] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Trường đại học khoa học Huế [7] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Doãn Tuấn, Khu Quốc Anh, Tạ Mân, Nguyễn Anh Kiệt (1998), Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Hoàng Tuỵ (2006), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [9] J.M Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables, University of Maryland College Park, Maryland Academig Press New York and London [10] Rajendra Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa Publishing House New Delhi Madras Bombay Calcutta London [...]... tuy n Cụ thể: Chương 1: Trình bày các khái niệm, định lí, tính chất là ki n thức cơ sở Chương 2: Trình bày lý thuyết một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuy n Chương 3: Một số bài to n giải phương trình và hệ phương trình phi tuy n sử dụng phương pháp Newton và phương pháp Steffensen Ứng dụng giải to n số tr n máy tính đi n tử bằng ng n ngữ lập trình Maple hoặc Pascal TÀI... rằng hệ phương trình n y có một nghiệm Bài to n 5: Biết rằng phương trình: ( x* ; y* ) 1 5 x + t an x − = 0 π 4 có một nghiệm π π  x* ∈  ;   7 4,5  Hãy viết công thức phương pháp Steffensen trong không gian một chiều để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình n y KẾT LU N VÀ KI N NGHỊ 14 B n lu n v n n y đã trình bày các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuy n Cụ thể: Chương... điểm Fourier n u f ' ' ( x) f ( x) > 0 2.5.2 Phương pháp dây cung 2.5.3 Phương pháp tiếp tuy n 2.6 B n thảo về các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuy n CHƯƠNG 3: BÀI TẬP Bài to n 1: Biết rằng hàm số: 13 f : [ 2 ; 3 ] → R, f ( x ) = 0,1 x 5 + 2 x 4 − 5 x 3 + x 2 − 4 x − 1,357824 nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton cải có một không gian một chiều để tìm nghiệm xấp... 4 x5 Hãy viết công thức phương pháp Newton cải bi n trong không gian 5 chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Bài to n 3: Biết rằng hàm số  π π  f :  ;  → R,  24 6  f ( x) = x − si n 2 x − π −6 12 có một nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton trong không gian một chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Bài to n 4: Hãy viết công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình:  e x+ y − x... Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, Nhà xuất b n đại học quốc gia Hà N i [2] Nguy n Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất V n Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình to n tử, Nhà xuất b n khoa học và kỹ thuật, Hà N i [3] Nguy n Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất b n khoa học và kỹ thuật Hà N i [4] Nguy n V n Khuê (Chủ bi n) , Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập 1, Nhà xuất... xuất b n giáo dục, Hà N i [5] Nguy n V n Khuê (Chủ bi n) , Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập 2, Nhà xuất b n giáo dục, Hà N i [6] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Trường đại học khoa học Huế [7] Đo n Quỳnh (Chủ bi n) , Nguy n Do n Tu n, Khu Quốc Anh, Tạ M n, Nguy n Anh Kiệt (1998), Đại số tuy n tính và hình học giải tích, Nhà xuất b n đại học quốc gia Hà N i [8] Hoàng Tuỵ... k với J được xác định bởi (2.2.19) Dạng 2: Tương ứng với phương pháp cát tuy n 1 j (2.2.20)_(2.2.22) n u ch n Pj ,k = (e , , e ,0, ,0) thì ta có phương pháp Steffensen dạng (2.2.31) với J được xác định bởi (2.2.22) Dạng 3: Tổng quát, tương ứng với phương pháp cát tuy n n + 1 điểm (2.2.24), ta có thể ch n: p x k , j = x k + ∑ Pi , j ,k F x k −i +1 ; j = 1, , n i =1 (2.2.32) tương ứng với các điểm phụ... được x * = x (1) 2.4.3.2 Phương pháp thứ hai Phép xấp xỉ tới nghiệm của (2.4.4) 2.4.4 Chú ý và nh n xét 2.5 Các phương pháp đặc biệt đối với hàm một bi n Cho hàm số f : [ a ; b ] ⊂ R → R Xét phương trình: f ( x) = 0 Giả sử phương trình n y có: (i) Nghiệm ξ duy nhất tr n đo n [ a ; b ] (ii) f ∈ C 2 [ a ; b ] , f ' ( x) và f ' ' ( x) không đổi dấu tr n đo n [ a ; b ] 2.5.1 Định nghĩa: Điểm x ∈ [ a ; b... Tuỵ (2006), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất b n đại học quốc gia Hà N i [9] J.M Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables, University of Maryland College Park, Maryland Academig Press New York and London [10] Rajendra Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa Publishing House New Delhi Madras Bombay Calcutta London ... , n và được sinh ra bởi to n tử G , đặt F x = x − G x ở (2.2.17), ta có phương pháp Steffensen dạng: [  x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 x k − G x k  k k n k k  H k = G x − x , , G x − x ( ) ] (2.2.34) 2.2.12 Chú ý và nh n xét 2.3 Một số bi n thể 2.4 Các phương pháp sử dụng tính li n tục của ánh xạ Thay vì ánh xạ F : D ⊂ R n → R n , ta xét họ các ánh xạ: H : D × [ 0 ;1 ] ⊂ R n × [ 0 ;1 ] → R n ... Chương 2: Trình bày lý thuyết số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuy n Chương 3: Một số to n giải phương trình hệ phương trình phi tuy n sử dụng phương pháp Newton phương pháp. .. xấp xỉ phương trình KẾT LU N VÀ KI N NGHỊ 14 B n lu n v n trình bày phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuy n Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lí, tính chất ki n thức... VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUY N 2.1 Phương pháp Newton số bi n thể 2.1.1 Phương pháp dây cung song song Cho f : U ⊂ R → R hàm số thực bi n có nghiệm x * , ta thay giá trị f xấp xỉ x x * hàm tuyến