Thông tin tài liệu
Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ - - NGUYỄN THỊ THẢO Một số phương pháp giải tốn điện trường từ trường KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SƯ PHẠM VẬT LÝ Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Lí thuyết tập điện trường từ trường đề tài thu hút quan tâm yêu thích nhiều sinh viên Trong chương trình đ ại học, bạn sinh viên học điện trường từ trường chủ yếu hai môn “điện từ” “điện động lực” với trợ giúp mặt toán học mơn “phương pháp tốn lí” Những mơn học cung cấp kiến thức sâu đ ầy đủ điện trường từ trường, giúp cho giáo viên hiểu kĩ kiến thức trường phổ thông Tuy nhiên, môn học khó kiến thức trừu tượng có nhiều phép tốn phức tạp Trong tìm hiểu điện trường tìm hiểu hệ phương trình Maxwell, biểu thức vơ hướng trường tĩnh điện, phương trình Poisson vơ hướng… Cũng gần tương tự vậy, học từ trường, tìm hiểu hệ phương trình Maxwell từ trường, vectơ từ trường dừng, phương trình Poisson vectơ…Lý thuyết cách giải toán hai trường vừa có nhiều điểm tương đồng vừa có điểm khác biệt Điều vừa giúp sinh viên dễ nhớ kiến thức lại dễ làm cho sinh viên lẫn lộn lí thuyết phương pháp giải toán hai trường Mặc dù sinh viên động sáng tạo, chịu khó tìm tòi sách tài liệu, song việc giải toán điện trường từ trường thực khó khăn lớn Một tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, bạn sinh viên không tránh khỏi lúng túng lựa chọn cách giải nhanh gọn hợp lí Vì vậy, thực tế cho thấy bạn sinh viên cần có nhiều tài liệu tham khảo để bạn có nhìn tổng quan phương pháp giải toán điện trường từ trường, thấy tương tự lí thuyết cách giải tốn Từ sinh viên dễ dàng nhớ cách giải tốn hai trường Đó lí để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải toán điện trường từ trường ” Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý II Mục đích đề tài: - Hệ thống lại lí thuyết số phương pháp giải thơng dụng cho toán điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn toán điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung chủ yếu vào phần tập nên phần lí thuyết khơng chi tiết Bị hạn chế mặt thời gian nên đề tài giới hạn nghiên cứu điện trường từ trường mà không xét trường điện từ khác IV Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu sở lí luận phương pháp giải toán điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu: - Đọc tài liệu, thu thập tập, chọn phương pháp giải - Phân tích, tổng hợp rút kết luận - Vận dụng cơng cụ tốn học kiến thức bổ trợ VI Những đóng góp c luận văn Đề tài giúp em có nhiều kiến thức bổ ích hiểu biết sâu điện trường từ trường, làm hành trang để bổ sung thêm lượng kiến thức giảng dạy trường phổ thông Đề tài hi vọng giúp ích cho số bạn đọc có mối quan tâm VII Cấu trúc nội dung luận văn A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Phương pháp tổng hợp trường Chương 2: Phương pháp sử dụng định lí Gauss để giải toán điện trường định luật Ampere lưu số để giải tốn từ trường Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Chương 3: Phương pháp sử dụng phương trình poisson để giải tốn điện từ Chương 4: Phối hợp cách khác để giải toán điện trường từ trường C Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý B NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp trường 1.1.1 Sơ lược lý thuyết nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện - Xét hệ gồm điện tích điểm: [1] Cường độ điện trường điện tích q gây điểm M cách điện tích khoảng r là: ur E r q r 4 o r r Thế vô hướng điện tích q gây M: (r ) q 4 o r - Nếu điểm có điện trường N điện tích điểm gây điện trường tổng vectơ điện trường Chọn gốc tọa độ O, điểm tính trường M ( hình 1.1): ur ur Ta có : rk R rk' ur rk' Cường độ điện trường điện tích điểm gây điểm M : O uur E1 grad1 uur E2 grad2 uuur EN gradN qk ur R ur rk Hình 1.1 Điện trường tổng cộng hệ N điện tích điểm gây M: ur ur N N ur uur uur uuur N uur qk rk qk rk 1 E E1 E2 EN Ek 4. ur ur 4. o k 1 rk3 k 1 o k 1 R r ' k Thế vơ hướng hệ N điện tích điểm gây M N 1 2 N k k 1 - 4 o N qk 4 o k 1 rk ur Xét vật dẫn tích điện phân bố điện tích liên tục ( hình 1.2) : N k 1 qk ur R rk' M Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Cường độ điện trường vật dẫn gây M: ur E dq r r 4 o toànvât r (1.1) r r Điện vật dẫn gây M là: dq 4 o toàn vât r (1.2) Hình 1.2 Nếu điện tích phân bố liên tục theo chiều dài : dq .dl Với mật độ điện tích dài Nếu điện tích phân bố mặt liên tục: dq dS Với mật độ điện tích mặt Nếu điện tích phân bố liên tục theo thể tích vật dq .dV Với mật độ điện tích khối 1.1.2 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp từ trường r - Xét phần tử dòng điện Idl nằm O (hình 1.3) Cảm ứng từ phần rr ur o I [dl , r ] tử gây M cách O khoảng r là: d B 4 r o 4 107 (H.m1) gọi số từ ur dB Biểu thức gọi định luật BiotSarvart (còn gọi định luật Biot SarvartLaplace) r r O Với: r Idl M r uur Hình 1.3 Phân bố dòng theo thể tích: Idl JV dV r uur Phân bố dòng theo bề mặt: Idl J S dS uur uur Trong JV , J S mật độ dòng theo thể tích theo bề mặt ur - Vectơ cảm ứng từ B dòng điện gây điểm, nguyên lí chồng chất từ trường ur “ Vectơ cảm ứng từ B dòng điện tạo điểm M tổng ur vectơ cảm ứng từ d B tất phần tử nhỏ dòng điện tạo điểm ur ur ấy” Biểu thức: B d B (Cả dòng điện) M Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uur r JV , r dV r V uur r ur o J S , r dS Nếu dòng điện phân bố mặt: B 4 r3 S rr ur o I dl , r Nếu dòng điện phân bố dài: B 4 L r ur Vectơ cảm ứng từ B nhiều dòng điện gây điểm ur Nếu dòng điện phân bố khối: B o 4 - Vectơ cảm ứng từ tổng hợp điểm gây nên nhiều dòng điện uur tổng vectơ cảm ứng từ Bi gây dòng điện đơn lẻ điểm ur uur uur uur n uur B B1 B2 Bn Bi i 1 - Mở rộng cho trường hợp vectơ: ur Thế vectơ A dòng điện gây điểm M ur ur A dA (Cả dòng điện) uur JV dV r V uur ur o J S dS Nếu dòng điện phân bố mặt: A 4 r S r ur o Idl Nếu dòng điện phân bố dài: A 4 L r ur Thế vectơ A nhiều dòng điện gây điểm M ur Nếu dòng điện phân bố khối: A o 4 ur uur uur uur n uur A A1 A2 An Ai i 1 1.2 Phương pháp giải tập tổng hợp trường 1.2.1 Phương pháp giải tập tổng hợp điện trường [5] - Trường hợp tính điện trường, điện điểm gây hệ điện tích phân bố liên tục (chẳng hạn vật tích điện có kích thước bất kì): Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Bước 1: Chia vật dẫn thành thành phần nhỏ (dl, dS, dV) cho điện tích dq mang phần coi điện tích điểm Lập mối quan hệ thành phần (dl, dS,dV) với điện tích dq chúng Bước 2: Xét phương chiều lập biểu thức tính cường độ điện trường (hoặc vô hướng ) thành phần nhỏ gây điểm xét Bước 3: Tính điện trường (hoặc vô hướng) tổng cộng vật dẫn gây điểm xét cách lấy tích phân tồn vật dẫn theo cơng thức (1.1) (1.2) - Trường hợp tính điện trường, điện điểm gây nhiều vật dẫn tích điện uur uur uuur Bước 1: Tính điện trường, điện E1, E2 ,L , EN , 1,2 , ,N vật dẫn tích điện gây điểm Bước 2: Tính điện trường điện tổng cộng hệ điện tích gây điểm ur uur uur uuur E E1 E2 EN xét: 1 2 N 1.2.2 Phương pháp giải tập tổng hợp từ trường Trường hợp tính từ trường dòng điện chảy vật dẫn gây điểm Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ cho thích hợp Bước 2: Chia vật dẫn thành thành phần nhỏ (dl, dS, dV) Bước 3: Xét phương chiều lập biểu thức tính cảm ứng từ ( vectơ) phần nhỏ gây điểm xét Bước 4: Tính cảm ứng từ (hoặc vô hướng) tổng cộng vật dẫn gây điểm xét cách lấy tích phân tồn dòng điện 1.3 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường 1.3.1 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường tĩnh điện Bài 1[2]: Một kim loại mỏng có dạng hình vành khăn, bán kính r bán kính ngồi r 2, mang điện tích q phân bố mặt kim loại Xác định cường độ điện trường điểm trục hình vành khăn cách tâm vành khăn khoảng h Xét trường hợp a, r1 tiến đến Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý b, r1 tiến đến r2 Giải Chọn hệ tọa độ trụ hình vẽ Xét phần tử diện tích nhỏ dS cách tâm hình vành khăn khoảng r, z ur uur dE dE dS = rd dr dS mang điện tích dq dS r.d.dr uur d E2 Cường độ điện trường điểm A nằm trục ur đĩa cách tâm đĩa khoảng h d E phân h tích thành hai thành phần song song vng góc với r1 trục đĩa Với ur dE (S ) uur d E1 (S ) r2 uur d E2 Do tính chất đối xứng trục nên ur uur uur d E2 E d E1 (S ) ur Vậy E có: + Điểm đặt A + Phương trùng với trục vành khăn + Chiều: Hướng lên q > Hướng xuống q < + Độ lớn E dE (S ) E (S ) dE1 dE.cos = (S ) dq.cos 4. l (S ) h r.d.dr o (S ) h2 r 4. o (h r ) 2 h h r.dr = (-2) (h2 r )1/2 2 3/2 d = 4. o 4. o r (h r ) r2 = h 1 ( ) 2 o r22 h2 r12 h2 r2 r1 l dr O r d Hình 1.4 (S ) (S ) A Khóa luận tốt nghiệp E= Khoa vật lý q h 1 ( ) 2 2 (r r1 ) 2 o r1 h r2 h2 2 a, Trường hợp r1 tiến tới q h 1 ( ) r1 0 (r r ) 2 r12 h2 r22 h2 o E = lim = 2 q q h h (1 ( ) ) = 2 2 r2 2. o h 2 r2 o r2 h2 r2 h b, Trường hợp r1 tiến đến r2 q h 1 ( ) r1 r2 (r r ) 2 r12 h2 r22 h2 o E lim 2 (r22 r12 ) q h = lim r1 r2 (r r ) 2 (r12 h2 ).(r22 h2 ).( r22 h2 r12 h2 ) o = lim r1 r2 = q.h 2 2 2 o (r1 h ).(r2 h ).( r22 h2 r12 h2 ) q.h q.h = 2 o 2(r22 h2 ) r22 h2 4 o (r22 h2 )3/2 Bài [1]: Một cầu bán kính a tích điện mặt đến mật độ Hãy xác định điện điện trường điểm bên bên cầu Giải Xét phần tử diện tích ds mặt cầu mang điện tích dq= dS Điện dq gây A cách tâm cầu đoạn R là: d A dq 4. o r ' (2.1) Trong hệ tọa độ cầu (r, , ), ta có: d r ' R a 2.a.R.cos 2 r’ r dS a sin d.d O a dq dS a2.sin.d.d d Thay r’, dq vào 2.1, ta có : d a2 sin d.d 4. o R2 a2 2.a.R.cos 10 Hình 1.5 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý 2 a2 sin d a2 sin d.d = (S ) 4. R2 a2 2.a.R.cos 4. o 0 R2 a2 2.a.R.cos 0 d o = a2 d(R2 a2 2.a.R.cos ) 2 4. o 0 2.a.R R2 a2 2.a.R.cos = a 2 R2 a2 2.a.R.cos 4. o a.R = a ( R a R a ) 2. o R Nếu A nằm bên cầu (R < a) 1 a a [R a (a R)] = 2. o R o E1 d 0 dR Nếu A nằm cầu (R > a) a a 2 [R a ( R a)]= 2. o R o R E2 d a dR o R uur a2 ur e Vậy ta có : E2 o R2 r Bài [2]: Xác định cường độ điện trường tâm O mặt với mật độ điện mặt Giải O ’ r Xét phần tử nhỏ mang điện tích dq dS dq dl.dr R.d r.d R.d R.sin d R sin d.d ur uur uur Ta có: E d En d Et (S ) (S ) Do tính chất đối xứng: uur ur uur d Et E d En (S ) (S ) 11 uur d Et ur dE O uur d En Hình 1.6 dr d Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uuuur ur Vậy E có điểm đặt O, hướng hướng vectơ O'O (Nếu mặt tích điện dương) Độ lớn: cos dq cos R2 sin d.d E dE cos 4 o R2 (S ) ( S ) 4 o R (S ) 2 sin cos d d 4 o R2 0 cos2 8 o R2 sin 2 d 4 o R2 0 1 8 o R 4 o R2 Vậy độ lớn cường độ điện trường O là: E 4 o R2 1.3.2 Bài tập áp dụng phương pháp tổng hợp từ trường Bài [4]: Tính trường từ tĩnh tạo vòng dây bán kính R điểm M nằm trục vòng, vòng nhìn góc từ điểm M Tính từ trường điểm nằm trục ống dây Xôlênôit có chiều dài L với N vòng dây quấn sát dòng điện có cường độ I chạy qua Mở rộng cho trường hợp cuộn dây dài vô hạn Giải Chọn hệ trục tọa độ trụ ( R, , z) - Xét điểm P vòng dây Zp=0 r r - Xét phần tử dòng điện dl R.de ur - Từ trường d B phần tử dòng điện uur e P r R O biểu diễn hình 1.7 uur d Bt ur dB M uur d Bn Hình 1.7 ur - Khi điểm P chạy vòng dây, biến thiên từ 02 d B vạch hình nón đỉnh M có nửa góc đỉnh ur Vì trường toàn phần B(M ) hướng theo Oz r I dl - Độ lớn cảm ứng từ d l gây M là: dB o 4 r 12 z Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý ur Do tính chất đối xứng : d B uur d Bn (C ) B uur uur d Bt = d Bn (C ) ( Vì uur dB 0) t (C ) o I dl.sin o I sin o I sin o I sin dl R d 4 r R 2 (C) R 2 4 R d (C ) (C ) (C ) 4 4 sin sin 2 o I sin o I sin I sin d 2 o 4 R 4 R 2R uur o I sin uur Bz ez 2R P 1 O1 2 O2 M z Hình 1.8 ur uur Trên trục, trường có dạng B B.ez - Trường tạo điểm M ( có độ cao zM) vòng dây ( độ cao zp =zM + R.cotan ) có dòng điện cường độ I chạy qua là: uur o I sin3 Bp ( Theo câu 1) 2R Với dzp= R.d sin Số vòng dây nằm zp zp +dzp là: n.dzp ur nI dz p uur dB o sin ez 2R uur o nI R.d uur o nI sin e sin d e z z 2R sin ur uur ur uur o nI o nI B c os c os e B sin d e z z 2 1 - Khi ống dây dài vơ hạn: Với z1=0 1 Với z2= 2 13 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý ur uur uur nI B o 1 1 ez o nI ez Bài [3]: Dọc theo dải vật dẫn thẳng vơ hạn, bề rộng a có dòng điện chạy qua với mật độ dòng j phân bố theo bề rộng Tìm từ trường dải gây điểm nằm mặt phẳng dải Khảo sát trường hợp giới hạn bề rộng dải tiến tới vô hạn x uuur d Hx uur dH uuur d Hy Giải z Chọn hệ tọa độ Descartes.Đặt góc tọa độ dải, trục Oz hướng dọc theo dải, ur R a trục Ox vng góc với dải Phân tích dải thành dải song song với trục Oz Mỗi dải O y’ i y coi dòng điện thẳng dài vơ hạn Xét dải có tọa độ y’, bề rộng dy’ dy’ a Hình 1.9 Ta dễ dàng tính cường độ từ trường dây dẫn thẳng dài vô hạn gây điểm cách dây dẫn đoạn R là: H I 2 R Xét điểm nằm mặt phẳng Oxy có tọa độ(x,y,0) Cường độ từ trường A dy’ gây là: uur d H có: uur ur + Phương vng góc với mặt phẳng tạo R I dl uur ur uur + Chiều cho R , I dl H tạo thành tam diện thuận + Độ lớn dH i.dy ' 2 x ( y y ')2 uur uuur uuur uuur Mà H H x H y H z uuur uur + Vì H nằm hoàn toàn mặt phẳng Oxy nên H z =0 + dHx=dH cos = i.dy ' 2 x ( y y ') 2 14 ( y ' y) x ( y y ') 2 = i( y y ')dy ' 2 [x2 ( y y ')2 ] y Khóa luận tốt nghiệp + dHy= dH.sin = Khoa vật lý i.dy ' 2 x ( y y ') 2 x x ( y y ') 2 = i.x.dy ' 2 [x2 ( y y ')2 ] Tính Hx: Hx i( y y ')dy ' = 2 a /2 2 [x ( y y ') ] a /2 id[ x2 ( y y ')2 ] i = ln[ x2 ( y y ')2 ] a/2a/2 2 [ x ( y y ') ] 4 a /2 a /2 a [ x ( y )2 ] i i a a = ln ln[ x2 ( y )2 ]-ln[x2 ( y )2 ] = a 4 2 4 [x ( y ) ] Tính Hy: i.x.dy ' Hy = 2 a /2 2 [x ( y y ') ] a /2 Đặt a /2 a /2 i.x.dy ' i.dy ' ( y y ') ( y y ')2 a /2 2 x [1 a /2 2 x[1 ] ] x2 x2 y y' y y' 1 ) d (tan t ) dy ' tan t d ( dt x x x cos2t Đổi cận: y’ -a/2 a/2 a 2) y t t1 = arctan( x y t2= arctan( x a 2) 1 t2 i t2 cos t dt cos2t dt = I dt i (t t ) H y t t 2 2 2 [1 tan t ] t1 2 cos2t t2 i a a y y i ) arctan( )] [arctan( 2 x x 2 a a a [ x ( y )2 ] i y y i 2 ) arctan( )] [ arctan( H H x2 H y2 = ln a x x 4 [x2 ( y )2 ] 2 - Khi a + Tính Hx 15 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý a2 a 2 x y a y [x ( y ) ] i = lim i ln H x lim ln a a 4 a a [x2 ( y )2 ] x y a y x2 y y i a a ln1 ln = lim a 4 x y y a2 a + Tính Hy Khi x > a a y y i ) arctan( )]= i [ ( )] i H y lim [arctan( a 2 x x 2 2 Khi x < a a y y i ) arctan( )]= i (- ) i H y lim [arctan( a 2 x x 2 2 + Tính H: H H x2 H y2 i Bài [3]: Trên dây dẫn vô hạn, khoảng cách chúng d có dòng điện cường độ I chạy ngược chiều Tính vectơ cảm ứng từ hệ M nằm hai dây dẫn Giải Chọn hệ tọa độ Descartes hình vẽ z ur I dl2 Dựng mặt phẳng Oxy chứa M vng góc với hai dây dẫn r I dl1 R2 r Xét phần tử I d l dòng điện r phần tử I d l dòng điện r2 r1 O Hai phần tử gây M d vectơ là: Hình 1.10 x 16 uur R1 A M uur A2 y Khóa luận tốt nghiệp uur .o I A1 4 Khoa vật lý r dl .o I 4 R1 uur .o I A2 4 r . I dl R2 4o ur uur uur .o I A A1 A2 4 2.o I = 4 ( r dz.e .o I 4 R1 z r12 2 .o I z z r1 = ln 2 z z r22 ( uur dz.ez z r12 r . I dz.e R2 4o z r12 z r22 uur dz.ez z r22 uur ).ez dz uur .o I ).ez dz = (ln z z r12 ln z z r22 2 z r2 uur .o I a a2 r12 r uur lim ln ln .ez ez = 2 a a a2 r22 r2 r12 1 .o I a ln r1 .euur = .o I ln r2 euur = lim ln z z 2 r1 2 a r2 r22 a a Vậy : uur .o I r2 uur Az ln ez 2 r1 d Ta có: r1 x2 ( y )2 r r i j ur ur Còn B rot A = x y Ax Ay d r2 x ( y )2 r k z Az r r r = i( Az Ay ) j ( Ax Az ) k ( Ay Ax ) y z z x x y Mà Ay 0, Ax Nên Bx - Az ; By Az ; Bz y x Tính Bx: 17 uur )ez Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý d x ( y )2 .o I Bx ln y 2 d x ( y )2 d . I o = 2 d d y y 2 d d x ( y )2 x ( y )2 2 d .o I y y = [ ] 2 r1 r2 - Tính By: d x ( y )2 .o I By ln x 2 d x ( y )2 .o I = 2 .o I 2 d d y y 2 d d x ( y )2 x ( y )2 2 d d y y r1 r2 Nhận xét chung: - Phương pháp tổng hợp trường áp dụng cho điện trường từ trường - Đây phương pháp để tính cường độ điện trường vô hướng, cảm ứng từ vectơ Tuy nhiên số trường hợp phép toán dài phức tạp 18 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TỐN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐỊNH LUẬT AMPERE VỀ LƯU SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỪ TRƯỜNG 2.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss định luật Ampere lưu số 2.1.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss điện trường -[1] Định lý Ostrograski- Gauss dạng tích phân: ur ur ur ur q D d S q hay Ñ S Ñ S E.d S o (2.1) Với : q lượng điện tích chứa khơng gian xét ( vật dẫn phần vật dẫn giới hạn mặt kín S.) , o số điện Ta phát biểu định lí Ostrograski- Gauss sau: Thơng lượng cảm ứng điện qua mặt kín có giá trị tổng đại số điện tích có mặt mặt - Phương trình định lý Ostrograski- Gauss dạng vi phân: ur ur q .dV Ñ Ta có: D.d S .dV (2.2) Mặt khác, theo toán học: ur ur uur D d S divDdV Ñ (2.3) V S S V V ur Từ (2.2) (2.3) divDdV dV V V divD ( Đây phương trình định lí Ostrograski- Gauss dạng vi phân) 2.1.2 Sơ lược định lý Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ.[2] - Định lý Amprere lưu số cảm ứng từ ( gọi định luật Ampere hay định lý dòng tồn phần) phát biểu sau: Lưu số vectơ cảm ứng từ theo đường cong kín C tổng đại số cường độ dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn đường cong nhân với o : 19 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý n ur r B dl Ik o Ñ C (2.4) k 1 - Dấu Ik: Chọn chiều dương C, dấu Ik xác định theo quy tắc đinh ốc Đặt đinh ốc theo phương dòng điện Ik mang dấu dương chiều trùng với chiều tiến đinh ốc đinh ốc quay theo chiều dương C Ik mang dấu âm chiều ngược với chiều tiến đinh ốc đinh ốc quay theo chiều dương C 2.2 Phương pháp giải tập áp dụng định lí Gauss định luật Ampere lưu số 1.2.1 Phương pháp giải tập vận dụng định lý Gauss.[2] Bước 1: Xác định yếu tố đối xứng hệ điện tích từ suy ur số đặc điểm điện trường ( hướng vec tơ E điểm, biến thiên độ lớn theo vị trí khơng gian) Bước 2: Chọn mặt Gauss ( mặt kín S) chứa điểm mà ta cần xác định ur E Ta cần ý chọn mặt Gauss cho tính tốn dễ dàng điện thơng qua S Muốn phải chứa yếu tố đối xứng hệ điện tích; Bước 3: Tính điện thơng qua mặt Gauss theo cơng thức (2.1) Từ suy mối liên hệ cường độ điện trường E điện tích hệ từ suy vơ hướng hệ điện tích gây điểm 2.2.2 Phương pháp giải tập vận dụng định luật Ampere.[4] Khi áp dụng định lý Ampere lưu số cảm ứng từ ta tiến hành theo trình tự sau: Bước 1: Nhận xét tính đối xứng phân bố dòng điện để xác định hình dạng từ trường Xác định phụ thuộc từ trường vào thành phần tọa độ Bước 2: Chọn đường cong kín C Ta cần phải ý sử dụng tính đối xứng hình để chọn đường cong C cho thích hợp ur Bước 3: Tính lưu số B dọc theo C tìm tổng đại số cường độ dòng điện xuyên qua C So sánh hai biểu thức ta tìm B 20 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý 2.3 Bài tập vận dụng 2.3.1 Bài tập vận dụng định lý Gauss Bài : Xác định điện cường độ điện trường bên bên hình trụ dài, bán kính tiết diện ngang a , điện tích phân bố bên hình trụ với mật độ điện tích khối , số điện mơi ngồi hình trụ Giải ur Điện tích dương phân bố đối xứng trụ nên D hướng từ có ur ur phương vng góc với mặt trụ Trong tọa độ trụ trục Oz ta có: E E(r ).er - Tính cường độ điện trường điểm A nằm ngồi mặt trụ cách trục hình trụ khoảng r Chọn mặt Gauss hình trụ đồng trục với hình trụ xét, mặt Gauss qua điểm A Bán kính đáy mặt Gauss r > a, chiều dài l Theo định lý Ostrograski- Gauss: uur uur Ñ D1.d S1 . a l r e ur D ur e' (S ) D1.Sxq1 . a2 l a z D1.2 r.l . a l A r O D1 Hình 2.1 .a2 2r ur .a2 ur er Vậy cường độ điện trường điểm A nằm ngồi hình trụ là: E1 2r ` - Xét điểm A’ nằm mặt Gauss, hình tr ụ cách trục hình trụ khoảng r < a Chọn mặt Gauss hình trụ đồng trục với hình trụ xét, mặt Gauss qua điểm A Bán kính đáy mặt Gauss r< a,chiều dài l Giải ur D ur e' a Theo định lý Ostrgraski- Gauss ta có: r e r Hình 2.2 21 A’ Khóa luận tốt nghiệp uur uur Ñ D dS 2 Khoa vật lý . r l (S ) D2 Sxq . r l D2 2 r.l . r 2.l D2 uur r ur E2 o er - Tính vơ hướng: Thế vơ hướng A’ nằm bên hình trụ: uur E2 grad E2 r 2 E2 dr 2 o 2 o .r r dr C2 ( với C2 số) Chọn 2 0 C2 2 o .r Thế vơ hướng A nằm ngồi hình trụ: Ta có: a2 1 E dr E1 0 o 2r dr r r 1 o .a2 ln r C1 Điều kiện biên: 1 (a) 2 (a) . o a2 ln a C1 . o a2 1 1 C1 ln a . o a2 ln r . o a2 ln r o o a2 a2 . o a2 . o a2 2 22 ln a o .a2 (ln a ) .r Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Bài [1]: Một mặt cầu dẫn bán kính a nằm lớp cầu điện mơi đồng tâm bán kính b có số điện mơi Tìm điện dung tụ Giải Hệ điện tích có tính đối xứng cầu, vectơ cường độ điện trường có phương ur ur ur trùng phương bán kính Hay hệ tọa độ cầu, E(r,, ) E(r).er Với er vectơ đơn vị theo phương r Chọn mặt Gauss mặt cầu tâm O bán kính r -q +q Áp dụng định lí Gauss cho miền ta có: uur ur Ñ D1.d S ( S ) uur ur D2 d S q Ñ ( S ) uur ur Ñ ( S ) D3.d S q q Với < r < a a Với a < r < b Hình 2.3 Với r < b D1 D1.4 r q D2 4 r q D2 4 r D r D3 E1 q E2 4 o r E3 ur Mà E grad Nên E E.dr r Với < r < a 1 A1 q 2 A2 Với a < r < b r o 3 A3 Với r < b Điều điều kiện định cỡ kiện biên: 3 () 1 (a) 2 (a) (b) (b) b O A3 A3 q q A1 A2 A2 4 o a 4 o b q q 1 A2 A3 ( ) A1 4 o b a 4 o b 23 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý q 1 1 4 ( a b ) o q q 2 4 o r 4 o b 3 Điện dung tụ: C q 1 (a) 2 (b) q q 1 1 ( ) 4 o a b b b 4 o 4 o ab 1 ba a b Bài [1]: Hai mặt trụ đồng trục bán kính R1 R2 chiều dài b Giữa hai tụ có hai lớp điện mơi đồng trục 1 , bán kính mặt phân chia Ro Bỏ qua hiệu ứng bờ Hãy tìm điện dung hệ Giải ur Điện tích phân bố đối xứng trụ nên D hướng từ ngồi có phương vng ur ur góc với mặt trụ Trong tọa độ trụ trục Oz ta có: E E(r ).er Chọn mặt Gauss mặt hình trụ bán kính đáy r, tr ục trùng với trục hình trụ, chiều dài b Theo định lý Ostrograski- Gauss ta có: ur ur Đ D.d S q R2 R1 +q (S ) Nên Ñ D.dSxq q (S ) D.2 r.b q D q 2 r.b q E1 2 r.b o q E 2 2 o r.b ur Mà E grad R1 r Ro R o r R2 2 Nên E d E.dr r 1 R1 R 24 Ro 1 Hình 2.4 -q Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Ro R2 R1 Ro 1 2 E1dr E2dr Ro R R R q q q q = ln o ln dr dr = 2 1.b R1 2 b Ro 2 1.b.r 2 b.r R1 Ro Điện dung tụ: C q 1 ( R1 ) 2 ( R2 ) q q 2 o 1.b ln Ro R q ln R1 2 o b Ro 2 o b Ro R2 ln ln 1 R1 Ro Bài 4: Giải phần 1.3.1 phương pháp sử dụng định lí Gauss Một cầu bán kính a tích điện mặt đến mật độ Hãy xác định điện điện trường điểm bên bên cầu Giải: Ta thấy hệ điện tích có tính đối xứng cầu Các vectơ cường độ điện trường có phương vng góc với bề mặt cầu Giả sử cầu tích điện dương Các vectơ cường độ điện trường có phương vng góc với ur ur bề mặt cầu hướng từ Trong hệ tọa độ cầu, E(r,, ) E(r).er Trường hợp 1: Xét điểm A2 bên mặt cầu tích điện, cách tâm cầu khoảng r > a Chọn mặt Gauss mặt cầu diện tích S tâm trùng với tâm cầu, bán kính r qua A Theo định lí Ostrograski- Gauss ta có: uur uur Đ D2 d S2 q S D2 4 r 4 a D2 a r uur a E2 o r ur er ur er a Ta lại có: uur E2 grad2 E2 r 2 E2 dr uur E2 r a a dr C2 o r o r Điều kiện định cỡ: 25 Hình 2.5 uur E2 Khóa luận tốt nghiệp 2 () lim( r Khoa vật lý a a C2 ) C2 Vậy 2 o r o r Trường hợp 2: Xét điểm A1 nằm bên mặt cầu tích điện, cách tâm cầu khoảng r Chọn mặt Gauss mặt cầu bán kính r qua A1 Áp dụng định lí Ostrograski- Gauss: uur uur uur D d S q Vậy E1 D r D 1 Ñ 1 S uur Mà E1 grad1 E1 2 E2dr C1 r Áp dụng điều kiện biên ta có: 1 (a) 2 (a) C1 Vậy 1 a a o a o a o Tóm lại: uur Ở bên cầu: E1 1 a o uur a ur e Ở bên cầu: E2 o r r 2 a o r Ta thấy rằng, giải toán phương pháp định lí Ostrograski- Gauss đơn giản nhanh so với phương pháp tổng hợp điện trường 2.3.2 Bài tập vận dụng định luật Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ 2.3 Bài tập vận dụng định luật Ampere Bài 1[1]: Xác định cảm ứng từ dòng điện mặt chạy mặt phảng rộng ur r vơ hạn xOy với mật độ dòng J J o e z Mơi trường có số từ môi Giải Theo định luật Biot-Savart- Laplace cảm ứng từ dòng điện nguyên tố: r r ur o I dl r dB 4 r3 r Trong r bán kính vectơ hướng từ dòng điện ngun tố đến điểm xét ur r r ur Do đó, B có chiều cho dl, r, B hợp thành tam diện thuận 26 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý y uur d B2 B z ur J A ur B x C z uur d B1 uur J2 uur J1 O Hình 2.7 D Hình 2.6 x y Xét hai dòng điện đối xứng mặt phẳng Oxz ( hình 27), khoảng hai dòng điện, vectơ cảm ứng từ hai dòng gây điểm nằm mặt phẳng song song với mặt Oxy Trong thành phần cảm ứng từ theo ur phương y bị triệt tiêu lẫn nhau, thành phần theo phương x Nên B có chiều theo phương x - Chọn đường cong kín (C) hình vng cạnh a ur Áp dụng định luật Ampere lưu số B : ur r Ñ B.dl .o I .o.a.J (C ) ur r B.dl AB B.a ur r B.dl BC 0 ur r B.dl CD ur r B.dl .o a.J DA 0 B.a 2.B.a .o a.J B Bx uur J e o x ur uur B Bx uur .o J ex .o a.J .o J ( y 0) ( y 0) Bài [2]: Xác định cảm ứng từ Bên dây dẫn thẳng dài vơ hạn có dòng điện cường độ I chạy qua Bên bên ống dây C+ ur dB r r I Hình 2.8 hình xuyến ( Tơrơit) gồm N vòng dây Giải Đường cảm ứng từ bao quanh dây dẫn đường tròn nằm trục dây dẫn Cảm ứng từ tiếp tuyến với đường tròn 27 z Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Chọn đường cong kín đường tròn có tâm nằm trục dây dẫn, bán kính r Theo định lí Amper: uur r Ñ H.dl I H.2 r I (C ) H uur I uur H e 2 r 2 r I Hình 2.9 Chọn đường cong (C) đường tròn đồng tâm với ống dây hình xuyến bán kính r, với R1 < r < R2( R1 bán kính trong, R2 bán kính ngồi ống dây) ur Theo định lí Ampere lưu số B : ur r Ñ B.dl o NI B.2 r o NI (C ) B ur uur o NI o nI B o nIe 2 r Với n số vòng dây đơn vị độ dài C Lưu ý: Từ trường ống dây hình xuyến khơng vectơ cảm ứng từ có phương biến đổi Dọc theo bán kính r, cảm ứng từ phía trong( ứng với r bé) có giá trị lớn phía ngồi ( ứng với r lớn) Bài [4]: Tính từ trường điểm cuộn dây Xơlênơit dài vơ hạn có dòng điện cường độ I chạy qua định lí Ampere Giải D2 Xét từ trường bên ống dây Chọn đường cong kín A1B1C1 D1, khơng có vòng dây xun qua Định lý Ampere ur lưu số B : C2 e e e e e e e e e e e e e e e e e e D1 C1 A1 B1 A2 B2 Ñ A1B1C1D1 ur r B.dl o I i Hình 2.10 i A1B1.Btruc C1D1.B(r ) Mà A1B1 = C1D1 uur uuuur uur Br Btruc o nIez ( Theo 1.3.2, 1) Xét từ trường bên ống dây 28 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Chọn đường cong A2 B2C2D2 xuyên qua n.A2B2 vòng ống dây ur Theo định lí Ampere lưu số B ta có: B.dl A2 B2C2 D2 Ii o i A2 B2 Btruc C2 D2 B(r ) C2 D2 B(r ) A2 B2 Btruc B(r ) n A2 B2 I o n A2 B2 I o A2 B2 o n.I Vậy trường bên ống dây vô hạn Bài [1] 29 o n.A2 B2 I ... thống lại lí thuyết số phương pháp giải thơng dụng cho tốn điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn toán điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho... Nghiên cứu sở lí luận phương pháp giải toán điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu:... trường, thấy tương tự lí thuyết cách giải tốn Từ sinh viên dễ dàng nhớ cách giải toán hai trường Đó lí để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải toán điện trường từ trường ” Khóa luận tốt nghiệp Khoa
Ngày đăng: 06/10/2019, 06:48
Xem thêm:
