Một số phương pháp giải bài toán điện trường và từ trường

Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ - - NGUYỄN THỊ THẢO Một số phương pháp giải tốn điện trường từ trường KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SƯ PHẠM VẬT LÝ Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Lí thuyết tập điện trường từ trường đề tài thu hút quan tâm yêu thích nhiều sinh viên Trong chương trình đ ại học, bạn sinh viên học điện trường từ trường chủ yếu hai môn “điện từ” “điện động lực” với trợ giúp mặt toán học mơn “phương pháp tốn lí” Những mơn học cung cấp kiến thức sâu đ ầy đủ điện trường từ trường, giúp cho giáo viên hiểu kĩ kiến thức trường phổ thông Tuy nhiên, môn học khó kiến thức trừu tượng có nhiều phép tốn phức tạp Trong tìm hiểu điện trường tìm hiểu hệ phương trình Maxwell, biểu thức vơ hướng trường tĩnh điện, phương trình Poisson vơ hướng… Cũng gần tương tự vậy, học từ trường, tìm hiểu hệ phương trình Maxwell từ trường, vectơ từ trường dừng, phương trình Poisson vectơ…Lý thuyết cách giải toán hai trường vừa có nhiều điểm tương đồng vừa có điểm khác biệt Điều vừa giúp sinh viên dễ nhớ kiến thức lại dễ làm cho sinh viên lẫn lộn lí thuyết phương pháp giải toán hai trường Mặc dù sinh viên động sáng tạo, chịu khó tìm tịi sách tài liệu, song việc giải toán điện trường từ trường thực khó khăn lớn Một tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, bạn sinh viên không tránh khỏi lúng túng lựa chọn cách giải nhanh gọn hợp lí Vì vậy, thực tế cho thấy bạn sinh viên cần có nhiều tài liệu tham khảo để bạn có nhìn tổng quan phương pháp giải toán điện trường từ trường, thấy tương tự lí thuyết cách giải tốn Từ sinh viên dễ dàng nhớ cách giải tốn hai trường Đó lí để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải toán điện trường từ trường ” Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý II Mục đích đề tài: - Hệ thống lại lí thuyết số phương pháp giải thơng dụng cho toán điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn toán điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung chủ yếu vào phần tập nên phần lí thuyết khơng chi tiết Bị hạn chế mặt thời gian nên đề tài giới hạn nghiên cứu điện trường từ trường mà không xét trường điện từ khác IV Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu sở lí luận phương pháp giải toán điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu: - Đọc tài liệu, thu thập tập, chọn phương pháp giải - Phân tích, tổng hợp rút kết luận - Vận dụng cơng cụ tốn học kiến thức bổ trợ VI Những đóng góp c luận văn Đề tài giúp em có nhiều kiến thức bổ ích hiểu biết sâu điện trường từ trường, làm hành trang để bổ sung thêm lượng kiến thức giảng dạy trường phổ thông Đề tài hi vọng giúp ích cho số bạn đọc có mối quan tâm VII Cấu trúc nội dung luận văn A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Phương pháp tổng hợp trường Chương 2: Phương pháp sử dụng định lí Gauss để giải toán điện trường định luật Ampere lưu số để giải tốn từ trường Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Chương 3: Phương pháp sử dụng phương trình poisson để giải tốn điện từ Chương 4: Phối hợp cách khác để giải toán điện trường từ trường C Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý B NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp trường 1.1.1 Sơ lược lý thuyết nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện - Xét hệ gồm điện tích điểm: [1] Cường độ điện trường điện tích q gây điểm M cách điện tích khoảng r là: ur E r q r 4   o r r Thế vô hướng điện tích q gây M:  (r )  q 4   o r - Nếu điểm có điện trường N điện tích điểm gây điện trường tổng vectơ điện trường Chọn gốc tọa độ O, điểm tính trường M ( hình 1.1): ur ur Ta có : rk  R  rk' ur rk' Cường độ điện trường điện tích điểm gây điểm M : O uur E1   grad1 uur E2   grad2 uuur EN   gradN qk ur R ur rk Hình 1.1 Điện trường tổng cộng hệ N điện tích điểm gây M: ur ur N N ur uur uur uuur N uur qk rk qk rk 1 E  E1  E2   EN   Ek    4.    ur ur 4.   o k 1 rk3 k 1 o k 1 R  r ' k Thế vơ hướng hệ N điện tích điểm gây M N   1  2    N  k  k 1 - 4   o N qk   4   o k 1 rk  ur Xét vật dẫn tích điện phân bố điện tích liên tục ( hình 1.2) : N k 1 qk ur R  rk' M Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Cường độ điện trường vật dẫn gây M: ur E dq r r 4   o toànvât r (1.1) r r Điện vật dẫn gây M là:  dq  4   o toàn vât r (1.2) Hình 1.2  Nếu điện tích phân bố liên tục theo chiều dài : dq  .dl Với  mật độ điện tích dài  Nếu điện tích phân bố mặt liên tục: dq   dS Với  mật độ điện tích mặt  Nếu điện tích phân bố liên tục theo thể tích vật dq  .dV Với  mật độ điện tích khối 1.1.2 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp từ trường r - Xét phần tử dòng điện Idl nằm O (hình 1.3) Cảm ứng từ phần rr ur o I [dl , r ] tử gây M cách O khoảng r là: d B  4 r o  4 107 (H.m1) gọi số từ ur dB Biểu thức gọi định luật BiotSarvart (còn gọi định luật Biot SarvartLaplace) r r O Với: r Idl M r uur Hình 1.3 Phân bố dịng theo thể tích: Idl  JV dV r uur Phân bố dòng theo bề mặt: Idl  J S dS uur uur Trong JV , J S mật độ dòng theo thể tích theo bề mặt ur - Vectơ cảm ứng từ B dòng điện gây điểm, nguyên lí chồng chất từ trường ur “ Vectơ cảm ứng từ B dịng điện tạo điểm M tổng ur vectơ cảm ứng từ d B tất phần tử nhỏ dòng điện tạo điểm ur ur ấy” Biểu thức: B   d B (Cả dịng điện) M Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uur r  JV , r  dV    r V uur r ur o  J S , r  dS Nếu dòng điện phân bố mặt: B  4  r3 S rr ur o I dl , r  Nếu dòng điện phân bố dài: B  4 L r ur Vectơ cảm ứng từ B nhiều dòng điện gây điểm ur  Nếu dòng điện phân bố khối: B  o 4 - Vectơ cảm ứng từ tổng hợp điểm gây nên nhiều dịng điện uur tổng vectơ cảm ứng từ Bi gây dòng điện đơn lẻ điểm ur uur uur uur n uur B  B1  B2   Bn   Bi i 1 - Mở rộng cho trường hợp vectơ: ur Thế vectơ A dòng điện gây điểm M ur ur A dA (Cả dòng điện) uur JV dV  r V uur ur o J S dS Nếu dòng điện phân bố mặt: A  4  r S r ur o Idl Nếu dòng điện phân bố dài: A  4 L r ur Thế vectơ A nhiều dòng điện gây điểm M ur  Nếu dòng điện phân bố khối: A  o 4 ur uur uur uur n uur A  A1  A2   An   Ai i 1 1.2 Phương pháp giải tập tổng hợp trường 1.2.1 Phương pháp giải tập tổng hợp điện trường [5] - Trường hợp tính điện trường, điện điểm gây hệ điện tích phân bố liên tục (chẳng hạn vật tích điện có kích thước bất kì): Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Bước 1: Chia vật dẫn thành thành phần nhỏ (dl, dS, dV) cho điện tích dq mang phần coi điện tích điểm Lập mối quan hệ thành phần (dl, dS,dV) với điện tích dq chúng Bước 2: Xét phương chiều lập biểu thức tính cường độ điện trường (hoặc vô hướng ) thành phần nhỏ gây điểm xét Bước 3: Tính điện trường (hoặc vô hướng) tổng cộng vật dẫn gây điểm xét cách lấy tích phân tồn vật dẫn theo cơng thức (1.1) (1.2) - Trường hợp tính điện trường, điện điểm gây nhiều vật dẫn tích điện uur uur uuur Bước 1: Tính điện trường, điện E1, E2 ,L , EN , 1,2 , ,N vật dẫn tích điện gây điểm Bước 2: Tính điện trường điện tổng cộng hệ điện tích gây điểm ur uur uur uuur E  E1  E2   EN xét:   1  2   N 1.2.2 Phương pháp giải tập tổng hợp từ trường Trường hợp tính từ trường dòng điện chảy vật dẫn gây điểm Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ cho thích hợp Bước 2: Chia vật dẫn thành thành phần nhỏ (dl, dS, dV) Bước 3: Xét phương chiều lập biểu thức tính cảm ứng từ ( vectơ) phần nhỏ gây điểm xét Bước 4: Tính cảm ứng từ (hoặc vô hướng) tổng cộng vật dẫn gây điểm xét cách lấy tích phân tồn dịng điện 1.3 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường 1.3.1 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường tĩnh điện Bài 1[2]: Một kim loại mỏng có dạng hình vành khăn, bán kính r bán kính ngồi r 2, mang điện tích q phân bố mặt kim loại Xác định cường độ điện trường điểm trục hình vành khăn cách tâm vành khăn khoảng h Xét trường hợp a, r1 tiến đến Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý b, r1 tiến đến r2 Giải Chọn hệ tọa độ trụ hình vẽ Xét phần tử diện tích nhỏ dS cách tâm hình vành khăn khoảng r, z ur uur dE dE dS = rd  dr dS mang điện tích dq   dS   r.d.dr uur d E2 Cường độ điện trường điểm A nằm trục ur đĩa cách tâm đĩa khoảng h d E phân h tích thành hai thành phần song song vng góc với r1 trục đĩa Với  ur dE  (S )  uur d E1  (S )  r2 uur d E2 Do tính chất đối xứng trục nên ur uur uur  d E2   E   d E1 (S ) ur Vậy E có: + Điểm đặt A + Phương trùng với trục vành khăn + Chiều:  Hướng lên q >  Hướng xuống q < + Độ lớn E   dE (S ) E  (S ) dE1   dE.cos = (S ) dq.cos  4.   l (S ) h  r.d.dr o   (S ) h2  r 4.   o (h  r ) 2  h  h r.dr = (-2) (h2  r )1/2  2 3/2  d = 4.   o 4.   o r (h  r ) r2 =   h 1 (  ) 2  o r22  h2 r12  h2 r2 r1 l dr O r d Hình 1.4 (S ) (S ) A Khóa luận tốt nghiệp E= Khoa vật lý q h 1 (  ) 2 2  (r  r1 ) 2  o r1  h r2  h2 2 a, Trường hợp r1 tiến tới q h 1 (  ) r1 0  (r  r ) 2  r12  h2 r22  h2 o E = lim = 2 q q h h (1  (  ) ) = 2 2  r2 2.  o h 2 r2   o r2  h2 r2  h b, Trường hợp r1 tiến đến r2 q h 1 (  ) r1 r2  (r  r ) 2  r12  h2 r22  h2 o E  lim 2 (r22  r12 ) q h = lim r1 r2  (r  r ) 2  (r12  h2 ).(r22  h2 ).( r22  h2  r12  h2 ) o = lim r1 r2 = q.h 2 2 2   o (r1  h ).(r2  h ).( r22  h2  r12  h2 ) q.h q.h = 2   o 2(r22  h2 ) r22  h2 4   o (r22  h2 )3/2 Bài [1]: Một cầu bán kính a tích điện mặt đến mật độ  Hãy xác định điện điện trường điểm bên bên cầu Giải Xét phần tử diện tích ds mặt cầu mang điện tích dq=  dS Điện dq gây A cách tâm cầu đoạn R là: d  A dq 4.   o r ' (2.1) Trong hệ tọa độ cầu (r,  ,  ), ta có: d r '  R  a  2.a.R.cos 2 r’ r  dS  a sin d.d O a dq   dS   a2.sin.d.d d Thay r’, dq vào 2.1, ta có : d   a2 sin  d.d 4.   o R2  a2  2.a.R.cos 10 Hình 1.5 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý 2 o I 2 o I 2 o I K' K K K'  2     K '  r r r r r  b2  a r  b2  a  b2  a       2 o I r 2 o I r C K   C2  B2   2 2 2  b  a  2  b  a  r Giải (3.3): B1 C  B   B1  r r r Tương tự: B  C3 r r  a  r  b - Điều kiện hữu hạn: B1  0 hữu hạn C1=0 B1  - Điều kiện biên: B1  a  * o 1  B2  B2  b  *  o B2  a   o 2 0 o 2 Ir  2 b  a  B3  b  3 o    C2 Ia o 2 Ia2   C   2 b2  a o 2 a 2  b2  a2    o 2 Ia2   2 b  a r I 2 b  C3 3 ob  o 2 I  2 b  a  C3  2  r r  a2  3 o I I  B3  o 2 2 r Vậy ta có:   0 uur  uur o 2 I 2 B  r  a e    2  2  b  a  r  uur  3 o I e  2 r - ra ar b r b ur Tính A Ta có: Az   B dr + Với r < a: Az = D1 uur uur Theo giả thiết Az(0)=Ao Az  Ao ez + Với a  r  b : A2   o 2 I   2 b2  a r   r  a dr   53 o 2 I  r2   a ln r    D2 2 b2  a     Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Xét tính liên tục r = a ta có: A1  a   A2  a  o 2 I  a2   o 2 I  a2 2  Ao    a ln a   D2  D2   a ln a   Ao 2  2  2 b  a  2 b  a      o 2 I    r2   o 2 I  a 2  A2    a ln r    a ln a   Ao 2  2  2 b  a   2 b  a     o 2 I  2 b2  a      a2  r r   a ln a   Ao   + Với r > b A3   B3dr   3o I I dr   o ln r  D3 2 r 2 Điều kiện liên tục b: A2 (b)  A3 (b)  o 2 I  2 b2  a  D3  A3    a2  r 3o I b   a ln a   Ao   2 ln b  D3   o 2 I  2 b2  a   a2  r 3o I b   a ln a   Ao  2 ln b   3 o I b o 2 I  a  r 2 b  ln   a ln   Ao 2 r 2  b2  a   a Vậy vectơ miền là: uuur uur A1z  Ao ez  uuur  r  o 2 I  a2  r  uur A2 z    a ln  A o  ez 2  a   b  a         uuur  o 2 I  a2  r 2 b    I b  uur A3 z   o ln   a ln  A  ez o   2  r a  b  a         Đối với này, sử dụng định lí Ampere để giải nhanh sử dụng phương trình Poisson Bài [1]: Tính cảm ứng từ cầu bán kính R, tích điện mặt với mật độ  , quay quanh trục với vận tốc góc  54 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Giải: z Chọn hệ tọa độ cầu ( (r,  , ) hình vẽ Vận tốc dài điểm nằm cầu là: r uur v  ( R sin  )e Khi cầu quay, điện tích cầu  độ mật dòng uur e uur e y  x chuyển đông với vận tốc v so với mặt đất tạo dòng điện với uur r uur j   v  ( R sin  )e ur er Hình 3.12 là: Phương trình Poisson tọa độ cầu: A  A 0 r sin2  (4.1) A  A  (r ) (sin   ) r r r r sin    Với A (r, )  2 A A 2 A cos A     2 r r r r  r sin   Thay A (r, ) vào (4.1) ta có: 2 A A  A A cos A     2 0 2 r r r r  r sin   r sin  (4.2) Đặt A (r, )  F (r).sin (4.2) thành: 2 F 2F 2F   0 r rr r (4.3) Đặt : r  et  ln r  t  dr  dt r dF dF dt dF d F d  dF  dF d F        Mặt khác: dr dt dr rdt dr dr  r dt  r dt r dt Thay vào (4.3) ta được: d F dF   2F  dt dt  k 1 Phương trình đặc trưng: k  k     k2  2 Nghiệm F  r   C1  C2r r2 55 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uur uur  C uur  A (r, )  F (r ).sin  e   21  C2r  sin  e r  ur ur  C ur  2C uur   B  rot A   31  C2  cos er   31  C2  sin  e r   r  ur + Để B  r  C=0 Từ trường bên cầu là: uur C1 ur 2C uur B1  cos er  31 sin  e r r + Để B hữu hạn r C2=0 Từ trường bên mặt cầu là: uur ur uur (4.4) B2  C2cos er  C2 sin  e + Thành phần pháp tuyến r=R phải thỏa mãn điều kiện biên: C2cos  C1 cos  o j R3 (4.5) + Thành phần tiếp tuyến r=R thỏa mãn điều kiện liên tục: 2C1 sin   C2 sin  R3 (4.6) Giải (4.4), (4.5), (4.6) ta có: C1   o j.R3 3cos C2  2o j 3cos Vậy ta có từ trường bên cầu là: uur ur uur 2o j ur uur B2  C2cos er  C2 sin  e  cos er  sin  e 3cos   Thay j   v   R sin  uur 2o R sin  ur uur  B2  cos er  sin  e 3cos   Nhận xét: Phương trình Poisson áp dụng để giải tốn phức tạp 56 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý CHƯƠNG IV: PHỐI HỢP CÁC CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ TỪ TRƯỜNG 4.1 Phối hợp cách khác để giải toán điện trường Bài [5]: Hai cầu kim loại nhỏ có bán kính (O1 ,R), (O2,R) tích điện mặt với điện tích +q -q hai tâm cách khoảng a Tính điện dung hệ hai cầu Giải: Gọi A B hai điểm nằm O1 O2 hai mặt cầu Trước tiên ta tính cho trường hợp tổng quát Điện điểm nằm ngồi mặt cầu tích điện q, mật độ điện mặt  Chọn mặt Gauss mặt cầu tâm O bán kính r Áp dụng định lí Ostrograski- Gauss ta có: ur ur  (0  r  R) Ñ ( S ) D.d S   q (r  R)  D 4 r    D2 4 r  q r D  (0  r  R)   q (r  R)  D2  4 r Mà    E.dr nên O R Hình 4.1a 1  C1 (0  r  R)    q  C ( r  R)  4 r o  +q -q A B O1 Điều kiện định cỡ: 2()   C2  Hình 4.1b Điều kiện biên: 2 (R)  1 (R) q  1  4 R  o    q  4 o r  (0  r  R) ( r  R) Đối với cầu tâm O1: 57 O2 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý q  I  4 R  o    q  I 4 o r (0  r  R) ( r  R) Đối với cầu tâm O2: q  II  4 R  o    q  II 4 o r (0  r  R) ( r  R) Áp dụng phương pháp chồng chất điện trường ta có: Điện A:  A   I r R  II r a  R  Điện B: B   II r R  I r a  R  Ta có:  A  B  q 4 o R q 4 o R  q q ( a  R)  4 o (a  R) 4 o R(a  R)  q q(2R  a)  4 o (a  R) 4 o R(a  R) q(a  2R) 2 o R(a  R) Điện dung tụ điện: C q   A  B 2 o R(a  R) q  q ( a  R) ( a  R) 2 o R(a  R) Nhận xét: Với ta vận dụng phương trình Poisson để tìm điện ngồi hình trụ tích điện mặt Nhưng phép toán dài phức tạp Do ta phối hợp hai phương pháp định lí Gauss tổng hợp điện trường để giải Bài [4]: Một khối cầu bán kính a mang mật độ điện tích khối  , có lỗ hổng hình cầu bán kính b khơng chứa điện tích Hãy xác định trường lỗ hổng Giải Theo nguyên lí chồng chất điện trường, cường độ điện trường E điểm M nằm lỗ hỏng hình cầu uur uur chồng chất điện trường E1 E2 uur E1 M   O1 O2 Hình 4.2 58 uur E2 ur E Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Trong ta coi: uur E1 cường độ điện trường cầu O1 tích điện khối  gây M uur E2 cường độ điện trường cầu O2 tích điện khối -  gây M uur - Ta tìm cường độ điện trường E1 O1 gây M Chọn mặt Gauss mặt cầu tâm O1 bán kính r1 < R uur Vì lí đối xứng nên vectơ cường độ điện trường E1 M có phương trùng với phương bán kính r, có chiều hướng từ O1 đến M (giả sử  > 0) Áp dụng định lí Ostrograski- Gauss: ur ur ur ur D Z Z d S với ( ) D d S  q Ñ  (S )  r uur  uuuur  E1  O1M  D1.4 r    r  D1  3 o - Tương tự cường độ điện trường cầu tâm O2 gây M là: uur  r uuuuur E2  O2 M 3 o Vậy cường độ điện trường bên lỗ hỏng là: ur uur uur  r uuuur  r uuuuur  r uuuuur E  E1  E2  O1M  O2 M  O1O2 3 o 3 o 3 o uuuuur Trường lỗ hỏng trường có hướng O1O2 Nhận xét: với ta áp dụng phương trình Poisson để tìm điện trường ngồi hình tr ụ tích điện khối (xem lại toán sử dụng phương trình Poisson để giải để tham khảo thêm) Tuy nhiên, giải phức tạp so với áp dụng định lí Gauss Do ta chọn cách phối hợp định lí Gauss chồng chất điện trường để giải 4.2 Phối hợp cách khác để giải toán từ trường uur Bài [1]: Xác định từ trường H tạo dòng điện chạy hai mặt ur uur phẳng song song với mật độ không đổi J  J o ez hai trường hợp: a, Các dòng điện hai mặt ngược chiều b, Các dòng điện hai mặt chiều 59 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Giải - Trước tiên ta dùng định lí Ampere để tính từ trường mặt phẳng y = a gây điểm nằm vùng không gian chung quanh ur uur B2 uur B2 a uur B2 -a Cảm ứng từ B mặt phẳng gây uur B1 y r i O uur i (C) r i uur B1 x uur B1 z có phương Ox có chiều Hình 4.3a Hình 4.3b xác định theo quy tắc đinh ốc hình vẽ - Chọn đường cong kín (C) hình vng c ạnh a hình vẽ cho mặt Ta có: uur r Đ  B1dl  oi1  oa.J (C )   uur r B1dl  AB  uur r B1dl  BC  uur r B1dl  CD  uur r B1dl  o aJ DA  B1.a + + B1.a + = oaJ  B1  o J Các trường hợp cụ thể: a, Trường hợp dòng điện hai mặt phẳng ngược chiều Từ trường mặt phẳng y = a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: uur  uuur  o J ex B1x   uur   J e o x  ( y  a) ( y  a) Tương tự, từ trường mặt phẳng y = -a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: uur 1  J e uuur  o x B2 x   uur   J e  o x ( y  a) ( y  a) 60 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Áp dụng nguyên lí chồng chất trường với: Miền y > a: uur uuur uuur uur uur Bx  Bx1  Bx   o Jex  o Jex  2 Với miền: -a < y < a uur uuur uuur uur uur uur Bx  Bx1  Bx  o Jex  o Jex  o Jex 2 Với miền: y < -a uur uuur uuur uur uur Bx  Bx1  Bx  o Jex  o Jex  2 b, Trường hợp dòng điện hai mặt uur B2 phẳng chiều Tương tự ta có: uur B2 Từ trường mặt phẳng y=a gây nên a phẳng này: r i r O i -a uur B2 không gian chung quanh mặt uur B1 y uur B1 (C) r i x uur B1 z Hình 4.4a uur    J e uuur  o x B1x   uur   J e  o z Hình 4.4b ( y  a) ( y  a) Từ trường mặt phẳng y = -a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: uur    J e o x uuur  B2 x   uur   J e o x  ( y  a) ( y  a) Áp dụng nguyên lí chồng chất trường với: Miền y > a: uur uuur uuur uur uur uur Bx  Bx1  Bx   o Jex  o Jex  o Jex 2 Với miền: -a < y < a 61 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uur uuur uuur uur uur Bx  Bx1  Bx  o Jex  o Jex  2 Với miền: y < -a uur uuur uuur uur uur uur Bx  Bx1  Bx  o Jex  o Jex  o Jex 2 Bài [4]: Một lỗ hổng hình trụ, trục (O’z), có tiết diện hình trịn bán kính R, khoét hình trụ dẫn trục Oz, bán kính R ( hình vẽ) Ở bên ngồi ur uur lỗ hỏng, trụ dẫn có dịng điện khơng đổi mật độ dòng J  J ez chạy qua Hãy xác định từ trường điểm lỗ ur B Giải Ta coi từ trường tổng cộng điểm hốc hình trụ chồng chất từ trường : uur B1 trụ đặc Oz bán kính R, có dịng điện mật độ ur J chạy qua ur uur B2 trụ đặc trục O’z bán kính R’, có mật độ - J chạy uur B2 uur B1 ur e J uuur  M   J ’ O O Hình 4.5 qua - Ta tính từ trường trụ đặc Oz gây M nằm hốc hình trụ Chọn đường cong kín (C) đường trịn tâm nằm trục Oz, bán kính r < R qua M Áp dụng định lí Ampere lưu số ta có: n ur r o J r uur o J r uur o ur uuuur B  B1  e  J  OM 1dl  o  I k  B1 2 r  o J  r  B1  Ñ  2 k 1 (C )   - Tương tự, từ trường trụ đặc trục O’z gây M nằm hố hình trụ uur  J r uur  uuur uuuur B2   o e  o  J  OM 2   - Khi trường tổng hợp bằng: ur uur uur o ur uuuur o uuur uuuuur  ur uuuur uuuuur B  B1  B2  J  OM   J  O ' M  o J  OM  O ' M 2 u r uuuu r   o J  OO'   ur  ur uuuur Vậy B  o J  OO' 62     Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý uuuur ur B vng góc với OO ' Nhận xét: - Việc chọn lựa phương pháp thích hợp để phối hợp với giúp tốn trở nên đơn giản ngắn gọn 63 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý C KẾT LUẬN Bài tập điện từ trường đa dạng phong phú Để giải toán này, phải nắm phương pháp lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp Chúng ta sử dụng phương pháp tổng hợp trường thuận lợi toán điện từ trường, chẳng hạn như: Bài tốn có phân bố điện tích dòng điện liên tục dây dẫn đĩa, hay toán hệ nhiều vật dẫn Phương pháp Poisson, phương pháp định lí Gauss định luật Ampere lưu số có lợi tốn có phân bố điện tích dịng điện phức tạp hơn; tốn u cầu tính điện trường từ trường nhiều miền khác Tuy nhiên, phương pháp sử dụng định lí Gauss định luật Ampere địi hỏi vật dẫn phải có tính đối xứng ( đối xứng điểm, mặt, trục ) Áp dụng phương pháp định lí Gauss định luật Ampere lưu số giúp giải toán nhanh gọn Phương pháp Poisson lại có nhiều lợi tốn có điện tích phân bố khối Trong lúc giải tập, việc lựa chọn hệ tọa độ để giải quan trọng Đối với có phân bố điện tích hay dịng điện mặt phẳng nên chọn hệ tọa độ Descartes; với có phân bố điện tích hay dịng điện có tính đối xứng trụ, ta nên chọn hệ tọa độ trụ; với có phân bố đối xứng cầu, ta nên chọn hệ tọa độ cầu Phương pháp giải tốn điện trường từ trường có phần tương tự nên cần liệt kê, so sánh giống khác để dễ dàng ghi nhớ kiến thức Trong lúc giải tập, phải nắm vững phép biến đổi tích phân, giải phương trình vi phân, tốn tử rot, grad, Laplace Qua đề tài này, ta thấy rõ mối quan hệ ba môn “điện từ”, “điện động lực” “phương pháp tốn lí”, đồng thời giúp cho ta có nhìn khái qt phương pháp giải tập, từ giúp ta lựa chọn cách giải cho phù hợp với Do thời gian nghiên cứu có hạn chế, nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn để đề tài tơi hồn chỉnh 64 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Th.s Trương Thành (2011), Bài giảng điện động lực học [2] Vũ Thanh Khiết , Điện học, Nhà xuất giáo dục [3] L.G.Gretskô- V.L.Xugakôv, O.F.Tômaxevits- A.M.Feđortsenkô (1978), Tuyển tập tập vật lí lí thuyết, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [4] Jean- Marier Brebéc, Philippe Denéve, Thierry Desmarais, Marc Ménétrier, Bruno No el, Claude Orsini (2006), Điện từ học1, điện từ học 2, Nhà xuất giáo dục [5] Lương Dun Bình (2007), Giáo trình vật lí đại cương tập 2, Nhà xuất giáo dục [6] Đào Văn Phúc (1978), Điện động lực học, Nhà xuất giáo dục 65 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp trường 1.1.1 Sơ lược lý thuyết nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện 1.1.2 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp từ trường 1.2 Phương pháp giải tập tổng hợp trường 1.2.1 Phương pháp giải tập tổng hợp điện trường 1.2.2 Phương pháp giải tập tổng hợp từ trường 1.3 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường 1.3.1 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường tĩnh điện 1.3.2 Bài tập áp dụng phương pháp tổng hợp từ trường 12 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TỐN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐỊNH LUẬT AMPERE VỀ LƯU SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỪ TRƯỜNG 2.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss định luật Ampere lưu số 19 2.1.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss điện trường 19 2.1.2 Sơ lược định lý Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ 19 2.2 Phương pháp giải tập áp dụng định lí Gauss định luật Ampere lưu số 20 1.2.1 Phương pháp giải tập vận dụng định lý Gauss 20 2.2.2 Phương pháp giải tập vận dụng định luật Ampere 20 2.3 Bài tập vận dụng 21 2.3.1 Bài tập vận dụng định lý Gauss 21 2.3.2 Bài tập vận dụng định luật Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ 26 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH POISSON ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ 3.1 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson 33 3.1.1 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson điện trường 33 3.1.2 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson t trường dừng 33 66 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý 3.2 Phương pháp giải 34 3.2.1 Phương pháp giải toán sử dụng phương trình Poisson điện trường 34 3.2.2 Phương pháp giải tốn sử dụng phương trình Poisson từ trường dừng 35 3.2 Bài tập vận dụng phương trình Poisson 35 3.3.1 Bài tập vận dụng phương trình Poisson điện trường 35 3.3.2 Bài tập vận dụng phương trình Poisson từ trường dừng 47 CHƯƠNG 4: PHỐI HỢP CÁC CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ TỪ TRƯỜNG 4.1 Phối hợp cách khác để giải toán điện trường 57 4.2 Phối hợp cách khác để giải toán từ trường 59 C KẾT LUẬN 64 67 ... thống lại lí thuyết số phương pháp giải thơng dụng cho tốn điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn toán điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho... Nghiên cứu sở lí luận phương pháp giải toán điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu:... trường, thấy tương tự lí thuyết cách giải tốn Từ sinh viên dễ dàng nhớ cách giải toán hai trường Đó lí để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải toán điện trường từ trường ” Khóa luận tốt nghiệp Khoa