Một số phương pháp giải bài toán điện trường và từ trường

Khóa luận tốt nghiệp Một số phương pháp giải tốn điện trường từ trường KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SƯ PHẠM VẬT LÝ Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Lí thuyết t ập điện trường từ trường đề tài thu hút quan tâm yêu thích c nhiều sinh viên Trong chương trình đ ại học, bạn sinh viên học điện trường t trường chủ yếu hai mô n “điện từ” “điện động lực” với trợ giúp mặt tốn học mơn “phương pháp tốn lí” Những mơn học cung cấp kiến thức sâu đ ầy đủ điện trường từ trường, giúp cho giáo viên hiểu kĩ kiến thức trường phổ thông Tuy nhiên, mơn học khó kiến thức trừu tượng có nhiề u phép tốn phức tạp Trong tìm hiểu điện trường tìm hiểu hệ phương trình Maxwell, biểu thức vơ hướng trường tĩnh điện, phương trình Poisson vô hướng… Cũng gần tương tự vậy, học từ trường, tìm hiểu hệ phương trình Maxwell từ trường, vectơ từ trường dừng, phương trình Poisson vectơ…Lý thuyết cách giải toán hai trường vừa có nhiều điểm tương đồng vừa có điểm khác biệt Điều vừa giúp sinh viên dễ nhớ kiế n thức lại dễ làm cho sinh viên lẫn lộn lí thuyết phương pháp giải toán hai trường Mặc dù sinh viên động sáng t ạo, chịu khó tìm tòi sách tài liệu, song việc giải toán điện trường từ trường thực khó khăn lớn Một tốn lại có nhiều cách gi ải khác nhau, bạn sinh viên không tránh khỏi lúng túng lựa chọn cách giải nhanh gọn hợp lí Vì vậy, thực tế cho thấy bạn sinh viên cần có nhiều tài liệu tham khảo để bạn có nhìn tổng quan phương pháp giải toán điện trường từ trường, thấy tương tự lí thuyết cách giải tốn Từ sinh viên dễ dàng nhớ cách giải toán hai trường Đó lí để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải toán điện trường từ trường ” Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý AI Mục đích đề tài: - Hệ thố ng lại lí thuyết số phương pháp giải thông dụng cho toán điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn tốn điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung chủ yếu vào phần t ập nên phần lí thuyết khơng chi tiết Bị hạn chế mặt thời gian nên đề tài giới hạn nghiên cứu điện trường từ trường mà không xét trường điện từ khác IV Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên c ứu sở lí luận phương pháp giải toán điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu: - Đọc tài liệu, thu thập tập, chọn phương pháp giải - Phân tích, tổng hợp rút kết luận - Vận dụng cơng cụ tốn học kiến thức bổ trợ VI Những đóng góp luận văn Đề tài giúp em có nhiề u kiến thức bổ ích hiểu biết sâu điện trường từ trường, làm hành trang để bổ sung thêm lượng kiến thức giảng dạy trường phổ thông Đề tài hi vọng giúp ích cho số bạn đọc có mối quan tâm VII Cấu trúc nội dung luận văn A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Phương pháp tổng hợp trường Chương 2: Phương pháp sử dụng định lí Gauss để giải toán điện trường định luật Ampere lưu số để giải tốn từ trường Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Chương 3: Phương pháp sử dụng phương trình poisson để giải tốn điện từ Chương 4: Phối hợp cách khác để giải toán điện trường từ trường C Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý B NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp trường 1.1.1 Sơ lược lý thuyết nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện - Xét hệ gồm điện tích điểm: [1] Cường độ điện trường điện tích q gây điểm M cách điện tích khoảng r là: ur E= Thế vơ hướng điện tích q gây M: ϕ( r) = - Nếu điểm có điện trường N điện tích điểm gây điện trường tổng vectơ điện trường Chọn gốc tọa độ O, điểm tính trường M ( hình 1.1): ur Ta có : rk ur rk Cường độ điện trường điện tích điểm gây k M điểm M : Hình 1.1 Điện trường tổng cộng hệ N điện tích điểm gây M: ur uur E=E Thế vô hướng hệ N điện tích điểm gây M ϕ = ϕ1 + ϕ + + ϕ N = ∑ ϕ k - Xét vật dẫn tích điện phân bố điện tích liên tục ( hình 1.2) : N ∑ ur o k =1 ur qk ur R − rk' Khóa luận tốt nghiệp Cường độ điện trường vật dẫn gây M: ur E= Điện vật dẫn gây M là: Khoa vật lý ϕ=  Nếu điện tích phân bố liên t ục theo chiề u dài : dq = λ.dl Với λ mật độ điện tích dài • Nếu điện tích phân bố mặt liên tục: dq = σ.dS Với σ mật độ điện tích mặt • Nếu điện tích phân bố liên tục theo thể tích vật dq = ρ.dV Với ρ mật độ điện tích khối 1.1.2 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp từ trường r - Xét phần tử dòng điện Id nằm O (hình 1.3) Cảm ứng từ phần l tử gây M cách O khoảng r là: −7 µo = 4π.10 Biểu thức gọi định luật BiotSarvart (còn gọi định luật Biot SarvartLaplace) Với: Phân bố dòng theo thể tích: Idl Phân bố dòng theo bề mặt: Idl uur Trong JV , - Vectơ cảm ứng từ chất từ trường “ Vectơ cảm ứng từ vectơ cảm ứng từ ur ấy” Biểu thức: B dB =∫ (Cả dòng điện) Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Nếu dòng điện phân bố khối: Nếu dòng điện phân bố mặt: ur Nếu dòng điện phân bố dài: B= ur - Vectơ cảm ứng từ B nhiều dòng điện gây điểm Vectơ cảm ứng từ tổng hợp điểm gây nên nhiều dòng điện uur tổng vectơ cảm ứng từ Bi gây dòng điện đơn lẻ điểm ur uur B =B - Mở rộng cho ur trường hợp vectơ: Thế vectơ A dòng điện gây ur điểm M ur A = ∫d A (Cả dòng điện) ur Nếu dòng điện phân bố khối: A= ur Nếu dòng điện phân bố mặt: A= Nếu dòng điện phân bố dài: ur A ur Thế vectơ A nhiều dòng điện gây điểm M ur uur uur uur A = A1 + A2 + + An = ∑Ai n uur i=1 1.2 Phương pháp giải tập tổng hợp trường Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý   ϕ I1    ϕ I2 =   Đối với cầu tâm O2:  ϕ  II1    ϕ  II  Áp dụng phương pháp chồng chất điện trường ta có: Điện A: ϕ =ϕ A I1 Điện B: ϕ =ϕ B II Ta có: ϕ −ϕ A Điện dung tụ điện: C= ϕ Nhận xét: điện phức tạp Do trường để giải Với ta có ngồi hình trụ tích điện mặt Nhưng phép tốn dài thể vận dụng phương ta phối hợp hai phương pháp định lí Gauss tổng hợp điện trình Poisson để tìm Bài [4]: Một khối cầu bán kính a mang mật độ điện tích khối ρ , có lỗ hổng hình cầu bán kính b khơng chứa điện tích Hãy xác định trường lỗ hổng Giải Theo nguyên lí chồ ng chất điện trường, cường độ điện trường E t ại điểm M nằm lỗ hỏng hình c ầu uur uur chồng chất điện trường E1 E2 Hình 4.2 58 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Trong ta coi: uur E1 uur E2 - Ta tìm cường độ điện trường E1 O1 Chọn mặt Gauss mặt cầu tâm O1 bán kính r1 < R Vì lí đối xứng nên vectơ cường độ điện trường E1 với phương bán kính r, có chiều hướng từ O1 đến M (giả sử Áp dụng định lí Ostrograski- Gauss: ur Ñ∫ D.d S (S) ⇔ D 4π r ur dS D= - Tương tự cường độ điện trường cầu tâm O2 gây M là: uur E Vậy cường độ điện trường bên lỗ hỏng là: ur E=E Trường lỗ hỏng trường có hướng Nhận xét: với ta áp dụng phương trình Poisson để tìm điện trường ngồi hình tr ụ tích điện khối (xem l ại tốn sử dụng phương trình Poisson để giải để tham khảo thêm) Tuy nhiên, giải phức tạp so với áp dụng định lí Gauss Do ta chọn cách phối hợp định lí Gauss chồng chất điện trường để giải 4.2 Phối hợp cách khác để giải toán từ trường hai mặt Bài [1]: Xác định từ trường phẳng song song với mật độ khơng đổi a, Các dòng điện hai mặt ngược chiều b, Các dòng điện hai mặt chiều 59 hợp: Khóa luận tốt nghiệp - Trước tiên ta dùng định lí Ampere Khoa vật lý y để tính từ trường mặt phẳng y = a gây t ại điểm nằm vùng a không gian chung quanh ur Cảm ứng từ B mặt phẳng gây có phương Ox có chiều xác định theo quy tắc đinh ốc -a hình vẽ - Chọn đường cong kín (C) hình vng c Ta có: Hình 4.3a uur Đ∫ ( C) ạnh a hình vẽ cho mặt ∫ ⇒ B dl + AB Các trường hợp cụ thể: a, Trường hợp dòng điện hai mặt phẳng ngược chiều Từ trường mặt phẳng y = a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: ( y > a) uuur B ( y < a) 1x Tương tự, từ trường mặt phẳng y = -a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: 1  uuur B = 2x −   60 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý Áp dụng nguyên lí chồng chất trường với: Miền y > a: uur uuur B =B x x1 Với miền: -a < y < a uur uuur =B B x x1 Với miền: y < -a uur uuur B =B x b, Trường hợp dòng điện hai mặt phẳng chiều Tương tự ta có: Từ trường mặt phẳng y=a gây nên không gian chung quanh m ặt phẳng này: x1 uur B2 uur y (C) B1 r uur B2 i a uur B2 r O i -a r uur B1 uur i x B1 z Hình 4.4a Hình 4.4b uuur B 1x Từ trường mặt phẳng y = -a gây nên không gian chung quanh mặt phẳng này: uuur B 2x Áp dụng nguyên lí chồng chất trường với: Miền y > a: uur uuur =B B x x1 Với miền: -a < y < a 61 Khóa luận tốt nghiệp uur B x Với miền: y < -a uur B =B x Bài [4]: Một lỗ hổng hình tr ụ, trục (O’z), có tiết diện hình tròn bán kính R, kht hình trụ dẫn trục Oz, bán kính R ( hình vẽ) Ở bên ngồi lỗ hỏng, trụ dẫn có dòng điện khơng đổi mật độ dòng J Hãy xác định từ trường điểm lỗ Ta coi từ trường tổng cộng điểm hốc hình trụ chồng chất từ trường : uur tr ụ đặc Oz bán kính R, có dòng điện mật độ B1 ur chạy qua J uur B2 trụ đặc tr ục O’z bán kính R’, có mật độ - qua - Ta tính từ trường trụ đặc Oz gây M nằm hốc hình trụ Chọn đường cong kín (C) đường tròn tâm nằm trục Oz, bán kính r < R qua M Áp dụng định lí Ampere lưu số ta có: ur r Đ∫ o B1d l = µ (C) - Tương tự, từ trường trụ đặc trục O’z gây M nằm hố hình trụ uuuur uur OM B ur - Khi trường tổng hợp bằng: ur uur + B=B1   J ur uuuur o J ∧ OO ' ur µ ur Vậy B = o uuuur J ∧OO' 62 Khóa luận tốt nghiệp ur B vng góc với Nhận xét: - Việc chọn lựa phương pháp thích hợp để phối hợp với giúp toán trở nên đơn giản ngắn gọn ∑ 63 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý C KẾT LUẬN Bài tập điện từ trường r ất đa dạng phong phú Để giải toán này, phải nắm phương pháp lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp Chúng ta sử dụng phương pháp tổng hợp trường thuận lợi toán điện từ trường, chẳng hạn như: Bài tốn có phân bố điện tích ho ặc dòng điện liên tục dây dẫn đĩa, hay toán hệ nhiều vật dẫn Phương pháp Poisson, phương pháp định lí Gauss định luật Ampere lưu số có lợi tốn có phân bố điện tích dòng điện phức tạp hơn; tốn u cầu tính điện trường từ trường nhiều miền khác Tuy nhiên, phương pháp sử dụng định lí Gauss định luật Ampere đòi hỏi vật dẫn phải có tính đối xứng ( đối xứng điểm, mặt, tr ục ) Áp dụng phương pháp định lí Gauss định luật Ampere lưu số giúp giải toán nhanh gọn Phương pháp Poisson lại có nhiều lợi tốn có điện tích phân bố khối Trong lúc gi ải t ập, việc lựa chọn hệ tọa độ để giải quan trọng Đối với có phân bố điện tích hay dòng điện mặt phẳng nên chọn hệ tọa độ Descartes; với có phân bố điện tích hay dòng điện có tính đối xứng trụ, ta nên chọn hệ tọa độ trụ; với có phân bố đối xứng c ầu, ta nên chọ n hệ tọa độ cầu Phương pháp giải toán điện trường từ trường có phần tương tự nên cần liệt kê, so sánh giống khác để dễ dàng ghi nhớ kiến thức Trong lúc giải t ập, phải nắm vững phép biến đổi tích phân, giải phương trình vi phân, toán tử rot, grad, Laplace Qua đề tài này, ta thấy rõ mối quan hệ ba môn “điện từ”, “điện động lực ” “phương pháp tốn lí”, đồng thời giúp cho ta có nhìn khái qt phương pháp giải t ập, từ giúp ta lựa chọn cách giải cho phù hợp với Do thời gian nghiên cứu có hạn chế, nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiế n thầy bạn để đề tài c tơi hồn chỉnh 64 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Th.s Trương Thành (2011), Bài giảng điện động lực học [2] Vũ Thanh Khiết , Điện học, Nhà xuất giáo dục [3] L.G.Gretskô- V.L.Xugakôv, O.F.Tômaxevits- A.M.Feđortsenkô (1978), Tuyển tập tập vật lí lí thuyết, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [4] Jean- Marier Brebéc, Philippe Denéve, Thierry Desmarais, Marc Ménétrier, Bruno No el, Claude Orsini (2006), Điện từ học1, điện từ học 2, Nhà xuất giáo dục [5] Lương Dun Bình (2007), Giáo trình vật lí đại cương tập 2, Nhà xuất giáo dục [6] Đào Văn Phúc (1978), Điện động lực học, Nhà xuất giáo dục 65 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp trường 1.1.1 Sơ lược lý thuyết nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện 1.1.2 Sơ lược lý thuyết phương pháp tổng hợp từ trường 1.2 Phương pháp giải tập tổng hợp trường 1.2.1 Phương pháp giải tập tổ ng hợp điện trường 1.2.2 Phương pháp giải tập tổ ng hợp từ trường 1.3 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường 1.3.1 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường tĩnh điện 1.3.2 Bài tập áp dụng phương pháp tổng hợp từ trường 12 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TỐN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐỊNH LUẬT AMPERE VỀ LƯU SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỪ TRƯỜNG 2.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss định luật Ampere lưu số 19 2.1.1 Sơ lược lý thuyết định lý Gauss điện trường 19 2.1.2 Sơ lược định lý Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ 19 2.2 Phương pháp giải tập áp dụng định lí Gauss định luật Ampere lưu số 20 1.2.1 Phương pháp giải t ập vận dụng định lý Gauss 20 2.2.2 Phương pháp giải tập vận dụng định luật Ampere 20 2.3 Bài tập vận dụng 21 2.3.1 Bài tập vận dụng định lý Gauss 21 2.3.2 Bài tập vận dụng định luật Ampere lưu số vectơ cảm ứng từ 26 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH POISSON ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ 3.1 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson 33 3.1.1 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson điện trường 33 3.1.2 Sơ lược lý thuyết phương trình Poisson t trường dừng 33 66 Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý 3.2 Phương pháp giải 34 3.2.1 Phương pháp giải tốn sử dụng phương trình Poisson điện trường 34 3.2.2 Phương pháp giải toán sử dụng phương trình Poisson từ trường dừ ng 35 3.2 Bài tập vận dụng phương trình Poisson 35 3.3.1 Bài tập vận dụng phương trình Poisson điện trường 35 3.3.2 Bài tập vận dụng phương trình Poisson từ trường dừng 47 CHƯƠNG 4: PHỐI HỢP CÁC CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ TỪ TRƯỜNG 4.1 Phối hợp cách khác để giải toán điện trường 57 4.2 Phối hợp cách khác để giải toán từ trường .59 C KẾT LUẬN 64 67 ... ng lại lí thuyết số phương pháp giải thơng dụng cho tốn điện trường từ trường, xếp chúng theo đặc điểm phương pháp giải - Lựa chọn toán điện trường từ trường từ lựa chọn cách giải phù hợp cho... Nghiên c ứu sở lí luận phương pháp giải tốn điện trường từ trường - Giải tập điện từ trường phương pháp trình bày - Nghiên cứu kiến thức toán học bổ trợ - Rút số nhận xét V Phương pháp nghiên cứu:... Tính điện trường, điện tích điện gây điểm Bước 2: Tính điện trường điện tổng cộng hệ điện tích gây điểm xét: 1.2.2 Phương pháp giải tập tổng hợp từ trường Trường hợp tính t trường dòng điện chảy