Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và kiểu song điều hoà
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN LÊ TÙNG SƠN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VÀ KIỂU SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2009 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn (2001), Xây dựng nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 4(20), 66-71. [2] Dang Quang A, Le Tung Son (2006), Iterative method for solving a boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, Vol 22, No 3, 229-234. [3] Dang Quang A, Le Tung Son (2007), Iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmonic equation, In book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds. N. M. Chuong et al. World Scientific Publishing Co. 103-113. [4] Dang Quang A, Le Tung Son (2009), Iterative method for solving a problem with mixed boundary conditions for biharmonic equation, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, (AAMM). Vol. 1, No. 5, 683-698 (online). [5] Lê Tùng Sơn (2007), Xây dựng toán tử biên - miền cho một bài toán biên đối với phương trình kiểu song điề u hoà, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 1(41), 14-17. [6] Vũ Vinh Quang, Lê Tùng Sơn (2008), Phương pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp giữa phương trình elliptic và phương trình song điều hoà, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 3(47), 80-87. Các kết quả chính của luận án được báo cáo tại - “Second International Conference on Abstract and Applied Analysis”, ICAAA -05, Quy Nhơn, 4-6/9/2005. - Hội thảo Toàn Quốc lần thứ II về “Các ứng dụng Toán học”, Đại học Bách khoa, Hà Nội, 23-25/12/2005. - Hội thảo Khoa học Quốc gia lần thứ III “Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ thông tin”, FAIR 2007, Đại học Nha Trang, 9-10/8/2007. - Seminar của Viện Toán học. - Seminar của khoa Toán - Cơ - Tin, ĐHKHTN - ĐHQGHN. - Hội đồng Khoa học Viện CNTT. Luận án được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đặng Quang Á PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: GS. TSKH Lê Ngọc Lăng Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Đình Sang Phản biện 3: PGS. TS Hoàng Văn Lai Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước tại hội trường Viện Công Nghệ Thông tin - Việ n Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi 14giờ, ngày 31 tháng 8 nảm 2009 Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư Viện Viện Công nghệ Thông tin Thư viện Trường Đại học Sư phạm-Đaị học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU Phương pháp số được phát triển trong hướng giải quyết vấn đề tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật, dẫn đến việc giải phương trình song điều hoà ufΔ= 2 . (1) Các bài toán dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Đã có nhiều hướng tiếp cận khác nhau. Giải bài toán song điều hoà hai chiều có phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov - Galerkin,… Trong đó, các vấn đề định tính cũng như các đánh giá về độ phức tạp của khối lượng tính toán của các ph ương pháp nói trên chưa được đề cập đến. Trong những năm gần đây, nhiều phương pháp mới hữu hiệu hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát triển như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phương trình tích phân biên và phần tử biên, phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản… Các phương trình kiểu song điều hoà () ubu f b ,Δ+ = > 2 0 (2) () uaubu f a ,bΔ−Δ+ = > > 2 00 (3) mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine, Katsikadelis và Kallivokas giải bằng phương pháp tích phân biên. Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song điều hòa về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson thực hiện đầu tiên bởi Palsev (1966), Meller (1968), Dorodnitsyn (1971)… Năm 1992, Abramov và Ulijanova đã đề xuất một phương pháp lặp 2 đưa một bài toán Dirichlet về dãy các bài toán cấp hai và dự đoán phương pháp lặp này sẽ hội tụ nhưng chưa chứng minh được về mặt lý thuyết. Tác giả Đặng Quang Á, khi nghiên cứu việc tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán biên, trong các năm: 1994, đối với phương trình 2 uaubu f ε Δ −Δ+ = với điều kiện biên 12 u ug, g n Γ Γ ∂ = = ∂ trên miền giới nội m R Ω ⊂ , trong đó 2 000 4 0,a ,b ,a b εε >≥≥ − ≥ . 1998, vẫn đối với bài toán trên trong trường hợp 2 40ab ε − < với các điều kiện biên 00 u u, n Γ Γ ∂ = = ∂ và 12 ug,ug ΓΓ = Δ= . 1999, đối với phương trình 2 uf,x , Δ =∈Ω với điều kiện biên hỗn hợp 2 1 0 0 0 u u, ,u n Γ Γ Γ ∂ = =Δ = ∂ , đã đạt được các kết quả: phân rã bài toán đang xét về dãy các bài toán cấp hai, chứng minh được sự hội tụ của dãy lặp đề xuất, chỉ ra tốc độ hội tụ và cách lựa chọn tham số lặp tối ưu. Trong đó tác giả đã đưa ra và chứng minh một Định lí về sự hội tụ của dãy lặp giải lặp phương trình toán tử Au=f khi toán tử A là tuyến tính, đối xứng, dương, hoàn toàn liên tục. Theo hướng nghiên cứu trên, trong các năm 2006, 2007, 2008, là các kết quả nghiên cứu của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn đối với một số bài toán biên,… Trên cơ sở đó, tác giả Đặng Quang Á, bằng các kết quả nghiên cứu liên tục từ 1994 đến nay đã đặt nền móng cho việc tìm kiếm một phương pháp chung nghiên cứu sự hội tụ của các quá trình lặp đưa các bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấ p hai. Theo hướng nghiên cứu của Abramova, Ulijanova và Đặng Quang Á đã đề xuất, luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên hoặc toán tử biên - miền và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski- Nikolaev. 3 Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ trợ, gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, đối với phương trình kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giả i số bài toán elliptic cấp hai. Chương 2. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm giải tích cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa, gồm đề xuất phương pháp và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp cho mô hình toán của một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn hồi. Chương 3. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm số trị cho bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và hỗn hợp, gồm đề xuất phương pháp, các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp đã đề xuất cho một số bài toán biên, trong đó có một bài toán là mô hình toán học của bài toán Thuỷ động học đã được các nhà Vật lý Mỹ công bố trên Physical Review E 71, 041608 năm 2005. Phương pháp cũng được áp dụng cho bài toán nhiễu. Các thực nghiệm trình bày trong luận án được thực hiện trên máy tính PC trong môi trường MATLAB. Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Dựa trên các tài liệu của các tác giả R. Adams, J. P. Aubin, G.I. Marchuk, D. Cioranescu, Đ. Q. Á, J. L. Lions, E. Magenes, A. Samarski, E. S. Nikolaev, trong chương 1 trình bày một số kiến 4 thức cơ bản, các kết quả được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả nghiên cứu trình bày trong chương 2 và chương 3, bao gồm 1.1. Không gian Sobolev - Định nghĩa và một số tính chất trong các không gian () L Ω p , ( ) Ω m,p W , ( ) Ω m H , ( ) Ω s H , ( ) H − Ω 1 , ( ) H − ∂ Ω /12 . - Định lý nhúng, vết của hàm trên biên và Định lý vết, công thức Green, bất đẳng thức Poincare cùng với các khái niệm hằng số vết ( ) γ Ω C , hằng số Poincare C Ω . 1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn Các kiến thức trong phần này bao gồm: - Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 và cấp 4. - Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann, bài toán Robin, bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa. - Định lí Lax - Milgram và các Định lí về sự duy nhất nghiệm của các bài toán biến phân trừu tượng cho các bài toán trên. 1.3. Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử Việc tìm nghiệm xấp xỉ cho một bài toán biên được đưa về giải lặp phương trình toán tử bởi sơ đồ lặp hai lớp của Samarski - Nikolaev có dạng chuẩn như sau + + − += = τ 1 1 01 kk kk k yy B Ay f , k , , (1.1) với xấp xỉ ban đầu y 0 cho trước. Ba trường hợp đặc biệt của (1.1) là sơ đồ lặp hiện, sơ đồ lặp ẩn và sơ đồ lặp dừng. Nếu (1.1) là sơ đồ lặp dừng, đã có các kết luận về điều kiện đủ cho sự hội tụ của (1.1). Trong trường hợp (1.1) là sơ đồ lặp hiện, nếu lựa chọn tập tham số 5 τ ττ 12 n , , , bởi tập tham số Chebyshev thì có thể cực tiểu hoá được tổng số phép lặp. 1.4. Phương pháp sai phân giải phương trình elliptic cấp hai Xét bài toán ( )() () () − Δ= ∈Ω ⎧ ⎪ ⎨ =∈∂Ω ⎪ ⎩ ux f x,x , B ux gx, x , (1.2) trong đó Ω là hình chữ nhật có kích thước L 1 , L 2 , B là toán tử biên với giả thiết bài toán (1.2) có nghiệm duy nhất. Phủ Ω bởi lưới () { } Ω= = = =00 kh ij x ik; jh i ,M ; j ,N . Với == 12 L L k;h M N , khi đó: Nếu (1.2) là bài toán Dirichlet thì nó luôn được đưa về hệ phương trình véc tơ 3 điểm dạng −+ − +−= ≤≤− ⎧ ⎨ == ⎩ 11 00 11 jijj NN YCYYF;jN, YF;Y F. (1.3) Nếu (1.2) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ phương trình véc tơ 3 điểm dạng −+ − ⎧ −= ⎪ − +−= ≤≤− ⎨ ⎪ −+= ⎩ 010 11 1 2 11 2 jijj NNN CY Y F , YCYYF;jN, YCYF, (1.4) trong đó C là ma trận ba đường chéo trội, F j là các véc tơ giá trị của nghiệm trên một hàng, F 0 và F N là các véc tơ điều kiện biên. Giả thiết =>20 n N,n, xuất phát từ phương pháp khử chẵn lẻ, các tác giả Samaski, Nikolaev đã đưa ra các thuật thu gọn khối lượng tính toán giải các hệ phương trình (1.3), (1.4) với độ phức tạp tính toán là O(MNlogN). Kết luận. Nội dung chương 1 là những kiến thức, kết quả quan trọng làm cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 và chương 3 của luận án. 6 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GIẢI TÍCH CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HOÀ 2.1. Lược đồ chung Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hoà ( ) ( ) () () 2 01 ⎧ Δ= ∈Ω ⎪ ⎨ =∈∂Ω=Γ= ⎪ ⎩ jj ux f x, x , B ux g x,x ,j ,, (2.1) trong đó Ω là một miền giới nội trong n R có biên Γ đủ trơn, Δ là toán tử Laplace, j B là các toán tử biên, ( ) ( ) j f x, g x là các hàm cho trước. Giả sử (2.1) là giải được, tức nghiệm ( ) uux = tồn tại và đủ trơn. Nội dung lược đồ bao gồm - Đưa bài toán (2.1) về một phương trình toán tử xác định trên biên Γ của Ω. - Nghiên cứu các tính chất của toán tử. - Tìm một cơ sở trực chuẩn của ( ) 2 Γ L là dãy các hàm riêng của toán tử. - Biểu diễn nghiệm của bài toán (2.1) qua dãy các hàm riêng vừa tìm được. 2.2. Nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hòa 2 1 00 − Δ= ∈Ω ∂ = ∈Γ Δ + = ∈Γ ∂ u f , x , u u , x , u q , x , n μ (2.2) 7 trong đó Ω là một miền giới nội trong 2 R có biên Γ đủ trơn, Δ là toán tử Laplace, μ là tham số không âm, 1 q − là một hàm số dương, n là vecto pháp tuyến ngoài của biên Γ. Bài toán (2.2) mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn hồi. Đặt Δ=uv và kí hiệu 0 Γ = vv, từ bài toán (2.2), ta nhận được dãy 2 bài toán đối với phương trình Poisson 0 vf, x , vv, x , Δ =∈Ω ⎧ ⎨ = ∈Γ ⎩ và 0 uv, x , u, x. Δ =∈Ω ⎧ ⎨ = ∈Γ ⎩ Đưa vào toán tử biên B được xác định bởi công thức Γ ∂ = ∂ 0 u Bv n cho việc tìm v 0 , khi đó bài toán (2.2) được đưa về phương trình toán tử 0 =Sv F với vế phải F hoàn toàn xác định, trong đó SqIB μ = + , I là toán tử đơn vị. Các tính chất của S được thể hiện thông qua các tính chất của toán tử B bởi định lý Định lí 2.1. Nếu 0 u Bv n Γ ∂ = ∂ , () vL∈Γ 2 0 thì i) B là toán tử đối xứng, dương trong không gian Hilbert ( ) 2 Γ L với tích vô hướng ( ) () L v,v v.vd Γ Γ =Γ ∫ 2 . ii) B là toán tử tuyến tính, hoàn toàn liên tục, ánh xạ không gian ( ) Γ s H vào ( ) 1+ Γ s H, ( ) Γ s H là không gian Sobolev, 0≥s . Xét Ω là một hình tròn bán kính R, sử dụng phương pháp toạ độ cực, khi đó toán tử B có biểu diễn ( ) ( ) 00 Ω =Γ ∫ s B vKs,svsd, trong đó () ( ) ( ) Ω ∂∂ =⋅ ∂ν ∂ν ∫ ss G s,x G s,x K s,s dx, 8 () () () 22 2 2 22 2cos 1 2 2cos ϕ ϕ π ϕ ϕ + −− = +− − rr R Rrr Gx,x ln rr rr , ( ) Gx,x là hàm Green của toán tử Laplace, s s , ν ν lần lượt là các véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ tại các điểm s và s . Khi đó tìm được dãy 0 1cos sin 2 nn nn e,e,g R RR ψ ψ ⎧ ⎫ == = ⎨ ⎬ ππ π ⎩⎭ , n = 1, 2, các hàm riêng của toán tử B ứng với các giá trị riêng () 0 , 221 n RR n λλ == + dương, dần tới 0 là một cơ sở trực chuẩn của không gian ( ) 2 Γ L . Với giả thiết q = 1, μ > 0, giả sử vế phải F có khai triển qua cơ sở { } 0 nn e,e,g là () 00 1 ∞ = =+ + ∑ nn n n n F ae ae bg , tìm hàm biên v 0 dưới dạng () 000 1 ααβ ∞ = =+ + ∑ nn n n n ve eg , trong đó 0 α αβ nn ,, là các hệ số chưa biết. Sau khi tính toán, rút gọn, ta thu được () 0 1 cos sin 2 nn n A FAnBn ψ ψ ∞ = =+ + ∑ , () () 22 00 2 0 1 2 =− ∫ R AcrrRrdr, R () 22 2 0 1 21 ⎛⎞ =− ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ n R nn r Ac(r)r(Rr)dr, Rn R () 22 2 0 1 21 ⎛⎞ =− ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ n R nn r B d(r)r(R r ) dr. Rn R () () () 00 0 2 === ++ + πππ ααβ μλ μλ μλ nnnn nn RRR A ,A,B , 9 () 0 00 1 0 2 ∞ = ⎛⎞ ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠ ∑ π μλ μλ μλ nn nn n nn AAB vR e e g . Vì vậy nghiệm ( ) ux của bài toán (2.2) được tính bởi công thức ( ) ()() Ω =− ∫ ux Gx,xvxdx, với () ()() ( ) () 0 ΩΓ ∂ = −−Γ ∂ ∫∫ ν s s Gx,s x Gx,x f xdx v sdv . Trong hệ tọa độ cực đã cho, cơ sở { } 0 nn e,e,g là dãy các hàm riêng của toán tử Laplace - Beltrami 2 2 u ϕ Γ ∂ −Δ = − ∂ ứng với các giá trị riêng 2 0 012 n ,n,n, , λλ === Khi đó, nếu ( ) 32 0 − ∈ Ω≥ s/ f H,s, thì ( ) 1s FH − ∈Ω, do đó ( ) () 21 22 1 s nn n Rn A B π ∞ − = + <+∞ ∑ . Mặt khác, với 0 μ ∀≥ ta có () () ( ) () ( ) () 2 2 1 22 21 222 22 22 111 ss nn nn nn n nnn s nABnABnAB μ ∞∞∞ −− + === +≤ +≤ + ∑∑∑ , nên () 0 s vH∈Γ, vì vậy ( ) 52s/ uH . + ∈Ω Kết luận. Công đoạn tìm ra và một cơ sở trực chuẩn của không gian 2 L( ) Γ là các hàm riêng của toán tử B đóng vai trò hết sức quan trọng và phải trải qua nhiều phép tính phức tạp, mặt khác, trong suôt quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân phải được tường minh. Các khó khăn trên cho thấy, phương pháp này chỉ áp dụng mang tính khả thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song điều hoà (2.1). Các kết quả của chương 1 được công bố trong [1]. 10 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM SỐ TRỊ CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HOÀ VÀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SONG ĐIỀU HOÀ 3.1. Lược đồ chung Xét bài toán = ⎧ Δ−Δ+ = ∈Ω ⎪ ⎨ =∈ΓΓ=Γ= = ⎪ ⎩ 2 1 01 1 U n ji ji i i i uaubu f,x , B u g , x , , j , , i , ,m. (3.1) trong đó Δ là toán tử Laplace, Ω là miền giới nội trong ( ) ≥Γ2 n R ,n , là biên đủ trơn của Ω, a, b là các hằng số không âm, f, g ji là các hàm cho trước. Với m = 1, (3.1) là bài toán biên với điều kiện biên không hỗn hợp, với m ≠ 1, (3.1) là bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp. Giả sử bài toán (3.1) là giải được. Để tìm nghiệm số trị cho bài toán (3.1), trước hết, ta phân rã bài toán (3.1) về dãy các bài toán cấp hai, sau đó đưa bài toán (3.1) về phương trình toán tử biên hoặc toán tử biên - miền dạng S ω = F , (3.2) trong đó vế phải F được xác định qua các dữ kiện vế phải của (3.1). Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp ( ) ( ) () + − += = 1 012 kk k S F, k , , , , ωω ω τ (3.3) tiến hành giải lặp phương tình toán tử (3.2) cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1), ở đây τ là tham số lặp. Tiến hành nghiên cứu các tính chất của toán tử S. Khi đó, nếu - S là toán tử tuyến tính đối xứng dương và hoàn toàn liên tục hoặc là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương thì sơ đồ lặp (3.3) sẽ hội tụ về nghiệm gốc u(x) của bài toán (3.1). 11 - S là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương thì sử dụng kỹ thuật ngoại suy theo tham số, tức là gây nhiễu điều kiện biên của (3.1) bởi tham số bé δ , đưa phương trình (3.2) về dạng S δ ω δ = F , (3.4) trong đó S δ là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương được xác lập từ S trên các không gian tương ứng. Khi đó, sơ đồ lặp (3.3) được sử dụng với sự có mặt của tham số bé δ . Từ (3.3), đưa ra quá trình lặp và công thức đánh giá sai số giữa hai bước lặp kề nhau. Bước cuối là tiến hành thực nghiệm kết quả trên máy tính đối với một số trường hợp cụ thể cho trước của hàm u. Quá trình thực nghiệm này vẫn được tiến hành kể cả trong trường hợp các tính chất của S chưa được chứng minh. 3.2. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp Xét bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp sau ΓΓ Γ Δ+ = ∈Ω ∂ ==Δ= ∂ 2 1 2 12 ubu f, x , u ug, g, u g, n (3.5) trong đó Ω là miền giới nội trong n R , (n ≥ 2) có biên Γ là liên tục Lipschits, Γ = Γ 1 ∪ Γ 2 (xem hình 1) n là véc tơ pháp tuyến ngoài của Γ, b là hằng số dương. Giả sử nghiệm của bài toán trên tồn tại và đủ trơn. 3.2.1. Phương trình toán tử biên - miền của bài toán gốc Đặt Δu = v, ϕ = -bu và ký hiệu 1 0Γ =vv, bài toán (3.5) được đưa về các bài toán cấp hai Ω Γ 2 Γ 1 Hình 1 12 01 22 Δ =+ ∈Ω ⎧ ⎪ = ∈Γ ⎨ ⎪ = ∈Γ ⎩ ϕ v f , x , v v , x , v g , x , và Δ =∈Ω ⎧ ⎨ = ∈Γ ⎩ u v, x , u g, x , (3.6) trong đó v 0 và ϕ là các hàm chưa biết. Để tìm v 0 , ϕ , đưa vào toán tử B được xác định trên không gian ( ) ( ) Γ ×Ω 22 1 LL bởi công thức B: ω → B ω , ω = 0 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ϕ v , B ω = 1 Γ ∂ ⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ ϕ u b n bu , (3. 7) khi đó bài toán (3. 5) được đưa về phương trình toán tử sau B ω = F , (3. 8) trong đó F = 1 2 1 2 Γ ⎛⎞∂ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ ν u bg bu , (3. 9) u 2 là nghiệm tìm được từ các bài toán dưới đây 2 21 22 2 0 Δ =∈Ω ⎧ ⎪ = ∈Γ ⎨ ⎪ = ∈Γ ⎩ vf, x , v , x , vg, x , và 22 2 Δ =∈Ω ⎧ ⎨ = ∈Γ ⎩ u v , x , u g, x . Các tính chất của B được nghiên cứu trên không gian Hilbert H = L 2 (Γ 1 ) × L 2 (Ω) với tích vô hướng ( ) () ( ) () 22 1 00 LL v,v , ϕϕ Γ Ω + 1 00 1 vvd dx, ϕϕ ΓΩ =Γ+ ∫∫ trong đó 0 0 ⎛⎞ ⎛⎞ ∈= = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ωω ω ω ϕ ϕ v v , H, , . Định lý 3.1. Với toán tử B được xác định bởi (3.7). Khi đó, trên không gian Hilbert H, ta có i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương. 13 ii) B được phân tích thành tổng của hai toán tử: một toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục và một toán tử chiếu. iii) B giới nội. Theo kết quả trên thì =>0 * BB . Do đó, trong trường hợp này, ta sẽ gây nhiễu bài toán gốc cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu. 3.2.2. Nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc qua bài toán nhiễu Gây nhiễu bài toán (3.5) bởi tham số dương nhỏ δ , ta có bài toán nhiễu sau 2 11 2 2 , , , , , , . ubu f x u ugx ub bgx ugx n δδ δ δδ δ δ Δ+ = ∈Ω ∂ = ∈Γ Δ + = ∈Γ Δ = ∈Γ ∂ (3.10) Gọi u, u δ lần lượt là nghiệm của bài toán (3.5) và (3.10). Định lý 3.2. Giả sử () − ∈ Ω 4s f H, ( ) − ∈Γ 12s/ gH , ( ) − ∈ Γ 32 11 s/ gH , () − ∈Γ≥ 52 22 4 s/ gH ;s , khi đó nghiệm u δ của bài toán (3.10) được khai triển dưới dạng tổng sau 1 0 1 5 0 2 + = =+ + ∈Ω≤≤− ∑ N iN i i uy y z,x , Ns , δδ δδ trong đó y 0 = u là nghiệm của bài toán (3.5), y i (i=1, 2, , N) là các hàm không phụ thuộc vào () ( ) −− ∈Ω∈ Ω si sN i ,y H ,z H δ δ và () Ω ≤ 2 1 H zC δ , C 1 không phụ thuộc vào δ . Từ kết quả của Định lý 3.2, nghiệm xấp xỉ E U của bài toán (3.5) được khai triển dưới dạng 1 1 N E i i i Uu δ γ + = = ∑ , 11 (1) . !( 1 )! NiN i i iN i γ + −+ − = +− , (3.73) (3.58) (3.59) (3.60) (3.61) 14 i u δ là nghiệm của bài toán (3.10) với tham số i δ , (i = 1, 2, 3, , N+1) thỏa mãn () 2 1 2 EN H Uu C δ + Ω −≤ , u là nghiệm của bài toán (3.5), C 2 là hằng không phụ thuộc vào δ . 3.2.3. Phép lặp giải bài toán nhiễu Tiến hành tương tự như khi đưa bài toán (3.5) về phương trình toán tử (3.8), bài toán nhiễu (3.10) được đưa về phương trình toán tử B δ ω δ = F, (3.11) với ω δ = 0 v δ δ ϕ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ , 1 01 , , Γ =Δ =− = + δδ δ δδ ϕ δ vu buBBP, P 1 là phép chiếu lên thành phần thứ nhất của ω δ , B được xác định bởi (3.7) và F được xác định bởi (3.9). Từ đó suy ra B δ giới nội và B δ = B δ * ≥ δ I, I là toán tử đơn vị. Sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình (3.11) được cho bởi công thức 11 1 0,1, ++ + − += δ δδ δ δ ωω ω τ (k ) (k ) (k) ,k BF, k = (3.12) Sơ đồ lặp (3.12) có thể được hiện thực hóa bởi quá trình lặp sau Bước 1. Cho giá trị xấp xỉ ban đầu cặp () () ( ) 00 0 v, δδ ϕ . Bước 2. Biết ( ) 0 k v δ và ( ) δ ϕ k , k = 0, 1, , giải liên tiếp hai bài toán () () () () ⎧ Δ =+ ∈Ω ⎪ ⎪ = ∈Γ ⎨ ⎪ = ∈Γ ⎪ ⎩ 01 22 kk k (k) k vf ,x, vv,x, vg, x, δδ δδ δ ϕ và () () () ⎧ Δ =∈Ω ⎪ ⎨ = ∈Γ ⎪ ⎩ kk k uv,x, ug,x. δδ δ (3.13) Bước 3. Tính xấp xỉ mới của 0 v δ và δ ϕ () () + + ⎛⎞ ∂ =+ + − ∈Γ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 1 00 1 01 1 (k) kk (k) ,k u vv b vbg,x, n δ δδδ δ τδ (3.14) () () ( ) + + = ++∈Ω 1 () () ,1 ,. kk kk k bu x δδδδδ ϕϕτϕ (3.15) 15 Khi đó +(1) 0 k v δ được tính theo (3.14), δ ϕ +(1)k được tính theo (3.15) sẽ thoả mãn (3.12). 3.2.4. Một số thực nghiệm và kết quả Chọn trước nghiệm chính xác của bài toán gốc, các thực nghiệm nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.13)-(3.15) về nghiệm gốc. Miền Ω là hình vuông đơn vị. Chọn tham số lặp = + 2 20752. τ δ , tham số nhiễu δ = 1/3 ε . ( ) = 2 Oh ε , h là bước lưới. Trong các bảng liệt kê kết quả thực nghiệm, Error =|| || E Uu ∞ − , K i lần lượt là số lần lặp cho việc tìm i u δ , i = 1, 2, 3. B1. u = (x 2 -1) (y 2 -1) Lưới K 1 K 2 K 3 Err T/g (s) 16 x 16 32 x 32 64 x 64 13 23 42 19 37 70 24 48 93 0.0023 0.0007 0.0003 0.88 4.95 42.51 B2. u = sin( π x)sin( π y) Lưới K 1 K 2 K 3 Error T/g (s) 16 x 16 32 x 32 64 x 64 10 17 27 16 26 39 21 33 47 0.0050 0.0013 0.0003 0.78 3.52 23.59 Nhận xét. Nếu cho δ = 0 thì quá trình lặp (3.13)-(3.15) không hội tụ nữa. Điều đó càng chứng tỏ vì sao ta phải gây nhiễu bài toán (3.5) bởi tham số nhiễu δ dương đủ bé và ngoại suy nghiệm của nó theo δ . Các kết quả trong 3.2 được công bố trong [3]. 16 3.3. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp Mô hình toán của bài toán Thuỷ động học trong Physical Review E 71, 041608 như sau ( ) Γ Γ Γ ΓΓΓ Γ Γ Δ= ∈Ω ∂∂Δ ∂ == = =−Δ ∂∂ ∂ ∂∂Δ ∂ = == =Δ =Δ= ∂∂ ∂ 2 1 2 455 3 4 2 0 0 00 0 top u,x,y , uu u , u U , U b u, xx y uu u , u , b u, u u , xx y (3.16) trong đó Δ là toán tử Laplace, Ω là hình chữ nhật có biên Γ=Γ ∪Γ ∪Γ ∪Γ ∪Γ 12345 được mô tả trong hình 2, Hình 2 U top , U là các hàm cho trước, b là hằng số không âm, << > 12 00al,l . Tổng quát, chúng tôi xét bài toán ( ) Γ Γ Γ Γ Γ ΓΓΓ Γ Γ Δ= ∈Ω ∂∂Δ ∂ ∂ ===+Δ== ∂∂ ∂ ∂ ∂Δ ∂ ==−Δ==Δ= ∂∂ 2 1 3 2 1 455 3 4 2 123 45 67 87 9 uf,x,y , uu u u g, g, u g, b u g, g, xx y x uu g , u g , b u g , u g , u g , xy (3.17) Ω y l 2 Γ 1 Γ 5 a Γ 4 l 1 Γ 2 Γ 3 x [...]... 4, với tỉ số b/a ≤ 5 thì quá trình lặp (3.28)(3.29) hội tụ khá tốt Các kết quả trong 3.4 được công bố trong [2] KẾT LUẬN Luận án đã trình bày các kết quả nghiên cứu về một phương pháp số giải một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và điều kiện biên hỗn hợp Đây là một hướng tiếp cận mới cho việc tìm nghiệm của bài toán. .. kiện biên không hỗn hợp mô tả độ uốn của bản mỏng có biên bị ngàm đàn hồi IV Nghiên cứu bằng thực nghiệm một bài toán đối với phương trình kiểu song điều hòa với các điều kiện biên cho bởi hàm và đạo hàm cấp 3 Các kết quả của luận án đã khẳng định tính ưu việt của phương pháp khi giải quyết việc tìm nghiệm xấp xỉ cho lớp các bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên không hỗn hợp và điều. .. toán biên được dựa trên ý tưởng của A.A.Abramov, V.I.Unijanova và Đặng Quang Á đề xuất: Nếu phân rã được một bài toán biên cấp cao về dãy các bài toán biên cấp hai và chứng tỏ được sự hội tụ thì sẽ triệt để sử dụng được các kết quả và các thuật toán hữu hiệu sẵn có Các kết quả mới của luận án I Đề xuất phương pháp tìm nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà với điều. .. phương trình kiểu song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp dựa trên phương pháp gây nhiễu bài toán đang xét và ngoại suy nghiệm theo tham số nhiễu III Đề xuất và nghiên cứu hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp phức tạp mô tả một hiện tượng trong Vật lý Na nô Các thực nghiệm tính toán minh họa đã khẳng định các... phương trình elliptic với điều kiện biên không hỗn hợp và điều kiện biên hỗn hợp Các hướng nghiên cứu tiếp theo 1 Áp dụng phương pháp cho các bài toán biên đối với phương trình Elliptic cấp cao hơn Chẳng hạn, phương trình tam điều hòa hoặc kiểu tam điều hòa… 2 Áp dụng phương pháp cho các bài toán biên đối với phương trình Parabolic và Hyperbolic ... quá trình lặp (3.28) - (3.29) đã được đề xuất hội tụ rất nhanh với tham số lặp τ = 1 Cố định τ = 1, u = (x2 - 1)2 ey + (y2 - 1) ex, lưới 128 × 128, tiến hành thực nghiệm trong các trường hợp cho các hệ số a cố định, b 23 24 thay đổi và b cố định, a thay đổi của phương trình II Đề xuất và nghiên cứu hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho một bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều. .. 3.27e - 4 4.04 0.02 9 5.11e - 4 3.72 0.001 10 5.21e - 4 4.02 0.001 10 5.50e - 4 4.08 3.4 Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình 0 10 5.34e - 4 4.03 0 10 5.64e - 4 4.06 kiểu song điều hòa với điều kiện biên không hỗn hợp Các kết quả trong 3.3 được công bố trong [4] Xét bài toán với điều kiện biên không hỗn hợp sau 21 22 ⎧ 2 ⎪ Δ u − aΔu + bu = f , x ∈ Ω, ⎪ ⎨ ⎪u = g , ∂Δu = g , x ∈ Γ, 0...17 18 trong đó các dữ kiện miền Ω và hệ số b của bài toán (3.16) trong bài toán (3.17) không thay đổi 3.3.1 Phương trình toán tử biên của bài toán gốc Đặt Δu = v và kí hiệu Δu Γ = g, Δu Γ = h, g, h là các hàm chưa 2 4 biết Đưa vào một toán tử biên B xác định trên không gian L2 ( Γ 2 ∪ Γ 4 ) bởi công thức Sv0 = ∂u ∂n Γ2 ∪Γ4 ⎧g ⎪ v0 = ⎨ ⎪h ⎩ cho việc tìm g và h, trong đó (3.18) v0 v0 dΓ, v0 , v0... bu , bài toán (3.23) được đưa về hai bài toán cấp hai ⎧Δu = v, x ∈ Ω, ⎨ ⎩ u = g0 , x ∈ Γ Bước 2 Biết ϕ ( k ) ( x ) ( k = 0,1, ,) , giải liên tiếp hai bài toán (3.6) v( k ) − av( k ) = f + ϕ ( k ) , ⎧Δ trong đó Δ là toán tử Laplace, Ω là miền giới nội trong R n có biên Γ đủ trơn, n là vectơ pháp tuyến ngoài của Γ , a, b là các hằng số dương Giả sử đối với bài toán (3.23), nghiệm u(x) tồn tại và đủ... xác 2 định bởi (3.18) là một toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục, ánh xạ từ không gian H ( Γ 2 ∪ Γ 4 ) vào không s gian H s +1 ( Γ 2 ∪ Γ 4 ) , s ≥ 0 H s ( Γ 2 ∪ Γ 4 ) là không gian Sobolev Bài toán (3.17) được đưa về phương trình toán tử Bv0 = ψ , ∂u2 , ∂n (3.19) ⎧ g4 , ( x, y ) ∈ Γ 2 , ⎪ ⎪ − g8 , ( x, y ) ∈ Γ 4 , ⎩ ϕ =⎨ u2 là nghiệm tìm được từ các bài toán Δv2 = f , ∂v2 ∂x ∂v2 . trình bày các kết quả nghiên cứu về một phương pháp số giải một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và điều. cứu phương pháp tìm nghiệm số trị cho bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và hỗn hợp, gồm đề xuất phương pháp, . và thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên hoặc toán