Tính nửa trực tiếp và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH ANH HIẾU TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS LÊ HỒNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng năm 2013 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán phân loại nhóm hữu hạn xác định tất nhóm khơng đẳng cấu có cấp n cho trước, A Cayley đặt vào năm 1878, chưa có lời giải đầy đủ Với hai nhóm H K cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện … hai nhóm Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm, đặc biệt tốn phân loại xác định nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp hai nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, tơi chọn cho đề tài luận văn thạc sĩ là: “ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm, p – nhóm - Tìm hiểu quan hệ đẳng cấu nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Nghiên cứu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các nhóm p – nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm có cấp 2p p , với p số nguyên tố - Quan hệ đẳng cấu nhóm hữu hạn - Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Bài tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tích nửa trực tiếp hai nhóm - Khảo sát nhóm tự đẳng cấu nhóm hữu hạn - Sử dụng tích nửa trực tiếp để xây dựng phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn MỞ ĐẦU Chương 1: NHĨM VÀ p – NHĨM Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p – nhóm, để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm thấy tài liệu lý thuyết nhóm Chương 2: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng phân loại số lớp nhóm KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG NHĨM VÀ p – NHĨM Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn, để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm xem tài liệu lý thuyết nhóm 1.1 NHĨM 1.1.1 Định nghĩa số nhóm đặc biệt Định nghĩa Cho tập hợp G với phép tốn hai ngơi G GG G ( a, b) a b Cặp  G,  gọi nhóm thỏa mãn i)  a, b, c  G,  a*b *c = a* b*c  , ii) Tồn phần tử, ký hiệu e  G , gọi phần tử đơn vị, cho a  e = e  a = a , với a  G iii) Với a  G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử a 1  G cho a  a1  a1  a  e Nếu với a, b  G, a * b  b * a  G,  gọi nhóm Aben (hay nhóm giao hốn) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G kí hiệu G Nếu nhóm G khơng phải nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa Cho nhóm G Tập   S  G gọi nhóm G, kí hiệu S  G , thỏa mãn điều kiện sau: i) a, b  S, ab  S ii) a  S , a 1  S Mệnh đề Giả sử S phận khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) S nhóm G ii) Với x, y  S, xy1  S Mệnh đề [4] Giao họ nhóm nhóm G nhóm nhóm G Định nghĩa Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập hợp X giao tất nhóm G có chứa X, kí hiệu  X  X = x x2 xn n / xi  X ,  i   1, n số nguyên dương } 1  Nhận xét Định nghĩa Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a  X , kí hiệu  a  Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ký hiệu Cn Ta có Cn   a    a / a n  e  = e, a1 , a , , a n-1 Mệnh đề Giả sử G nhóm cyclic hữu hạn m ước nguyên dương G Khi tồn nhóm H G cho H  m Định nghĩa Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e a  G Nếu a m  e, m  a có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho a m  e m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord  a  Từ định nghĩa ta có ord  a    a  , ord  a  =  a = Định nghĩa Giả sử N nhóm nhóm G Với a  G , tập hợp aN  an / n  N  Na  na / n  N  gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải N a Mệnh đề Hai lớp kề trái N trùng khơng có phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng lớp kề phải) Định nghĩa Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm N G gọi nhóm chuẩn tắc G nếu: x  G, a  N, xax 1  N , kí hiệu N G Mệnh đề Giả sử N nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) N nhóm chuẩn tắc G ii) xN = Nx , với x  G Khi N nhóm chuẩn tắc G, lớp kề trái, lớp kề phải N gọi lớp kề N G Mệnh đề Cho G nhóm Ký hiệu Z  G   g  G / gs = sg,  s G Khi Z  G  nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm tâm nhóm G Định nghĩa Cho x y hai phần tử nhóm G Ký hiệu  x, y = x-1 y-1 xy  G, gọi giao hoán tử x với y Định nghĩa Cho G nhóm Nhóm sinh giao hoán tử  x, y  , x, y G , ký hiệu G, G  , gọi nhóm giao hốn tử nhóm G Mệnh đề Cho G nhóm, G, G  G Mệnh đề Cho H nhóm nhóm G thỏa mãn điều kiện G: H  = Khi H G Mệnh đề Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G cho H  Z  G  Khi G / H nhóm cyclic G nhóm aben Định nghĩa 10 Cho G nhóm N  G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái N G tập thương G N kí hiệu G / N G / N  xN / x  G Lực lượng tập G / N gọi số nhóm N nhóm G, kí hiệu G : N  Mệnh đề 10 Cho N nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi i) Quy tắc cho tương ứng cặp  xN , yN  với lớp kề xyN ánh xạ từ G / N  G / N đến G / N ii) Tập thương G / N với phép tốn hai ngơi:  xN , yN  xyN nhóm, gọi nhóm thương G nhóm chuẩn tắc N Định lý (Định lý Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn N nhóm G Khi G bội N Hệ Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Hệ Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố cyclic sinh phần tử bất kì, khác phần tử trung lập nhóm Định nghĩa 11 Cho X tập, kí hiệu S  X  tập gồm tất song ánh từ X đến X Tập S  X  với phép hợp thành ánh xạ nhóm gọi nhóm đối xứng tập X hay nhóm phép X Đặc biệt tập X  1, 2, , n nhóm đối xứng S  X  kí hiệu S n gọi nhóm đối xứng n phần tử Mệnh đề 11 Nhóm S n có n! phần tử Mệnh đề 12 Một nghịch phép   Sn cặp phần tử i, j tập 1, 2, , n cho i  j   i     j  Định nghĩa 12 Ta gọi phép  chẵn hay lẻ tùy theo số nghịch  số chẵn hay số lẻ Mệnh đề 13 Tập gồm tất phép chẵn tập X  1, 2, , n , n  , nhóm S n , ký hiệu An , gọi nhóm thay phiên n phần tử Định nghĩa 13 (Nhóm Dihedral) Ta gọi nhóm Dihedral Dn , n  , nhóm sinh hai phần tử: a cấp n b cấp , với quan hệ xác định bab1  a 1 Nhóm Dn nhóm khơng giao hốn, cấp 2n có biểu diễn: Dn   a, b / a n  b2  e, bab1  a 1  Định nghĩa 14 (Nhóm Quaternion tổng quát) Ta gọi nhóm Quaternion Q2 , n > , nhóm sinh hai phần tử: a n 10 Ker   1 1G'  = x  G /   x   1G'  Im    G  =   x  / x  G Ta gọi Ker Im hạt nhân ảnh đồng cấu  Mệnh đề 15 Nếu  : G  G' đồng cấu nhóm Ker nhóm chuẩn tắc G Im nhóm G’ Mệnh đề 16 Đồng cấu nhóm  : G  G' toàn cấu Im = G' Nó đơn cấu Ker = e , e đơn vị G 1.1.2 Một số kết p – nhóm hữu hạn Định nghĩa 18 i) Một nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố gọi p – nhóm ii) Nhóm H gọi p – nhóm G H vừa nhóm G vừa p – nhóm iii) Nhóm H gọi p – nhóm Sylow G H p – nhóm G H = p n lũy thừa cao p chia hết G Định lý (Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết G Khi tồn p – nhóm Sylow G Định lý (Định lý Sylow thứ hai) Giả sử G nhóm hữu hạn Khi đó, p – nhóm G chứa p – nhóm Sylow G 11 Định nghĩa 19 Hai nhóm S T nhóm G gọi liên hợp có phần tử g  G cho g 1Sg = T Trong đó: g 1Sg = g 1sg / s  S Định lý (Định lý Sylow thứ ba) i) Mọi p – nhóm Sylow nhóm hữu hạn G liên hợp với ii) Gọi s p số p – nhóm Sylow phân biệt nhóm hữu hạn G Khi s p  mod( p ) s p   kp, k  N iii) s p chia hết cấp G Định lý Nếu G    G p – nhóm nhóm tâm Z(G) khơng tầm thường, nghĩa Z  G   Định lý Mọi nhóm có cấp p với p số ngun tố nhóm giao hốn Chứng minh: Ta chứng minh Z (G)  G Theo Định lý 5, ta có Z (G) khơng tầm thường Do đó, theo định lý Lagrange Z (G)  p Z (G)  p Nếu Z (G)  p Z (G)  G Ngược lại Z (G)  p G / Z  G  nhóm cyclic, theo mệnh đề chương suy G nhóm aben, vơ lý với Z (G)  p Như Z (G)  G Do G nhóm Aben 12 1.1.3 Tích trực tiếp Mệnh đề 17 Cho hai nhóm N Q Tập hợp tích Đề Các N  Q   n, q  / n  N, q  Q với phép nhân xác định  n, q  n ', q '   nn ', qq ' nhóm Định nghĩa 20 Nhóm N  Q xác định mệnh đề gọi tích trực tiếp ngồi hai nhóm N Q Định lý Định lý Cho G nhóm N, Q hai nhóm G cho N  Q  1 , nq  qn, n  N , q Q NQ  G Khi G  N  Q Hệ Cho G nhóm N, Q hai nhóm chuẩn tắc G thỏa mãn điều kiện NQ  G N  Q  1 Khi G  N  Q Thí dụ Cho n số nguyên dương, lẻ, lớn Khi đó: D2 n  Dn  C2 nhóm D2 n   r, s / r n  s  1, srs  r 1  Định lý Cho G nhóm hữu hạn N, Q hai nhóm chuẩn tắc G cho N Q  G Nếu (i) N  Q  1 (ii) NQ  G G  N  Q 13 Định nghĩa 21 Cho G nhóm, với hai nhóm N Q thỏa mãn hai điều kiện sau: i) nq  qn, n  N , q  Q ii) g  G, g có biểu diễn dạng g  nq, n  N , q  Q Khi G gọi tích trực tiếp hai nhóm N Q kí hiệu G  N  Q Định lý 10 Nếu G tích trực tiếp hai nhóm N Q G  N  Q Định lý 11 Cho G nhóm N, Q hai nhóm G thỏa mãn điều kiện N  Q  1, nq = qn, n N, q Q Khi NQ nhóm G, đẳng cấu với N  Q Mệnh đề 18 Cho Cn Cm hai nhóm cyclic cấp n cấp m Khi Cn  Cm  Cnm   n, m   1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHĨM 1.2.1 Nhóm tự đẳng cấu Mệnh đề 19 Giả sử G nhóm Gọi Aut  G  tập hợp tất đẳng cấu nhóm từ G vào Khi đó, Aut  G  nhóm phép hợp thành ánh xạ Phần tử đơn vị nhóm tự đẳng cấu đồng 1G : G  G với 14 1G  x   x, x  G Nghịch đảo đẳng cấu   Aut  G  đẳng cấu ngược  1  Aut  G  Định nghĩa 22 Nhóm Aut  G  xác định gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G 1.2.2 Nhóm tự đẳng cấu số nhóm hữu hạn Định lý 12 Cho Cn nhóm cyclic cấp n sinh phần tử a Khi nhóm tự đẳng cấu Cn nhóm aben xác định Aut  Cn  =  /  : Cn  Cn đồng cấu ( a )  a k , k  N,  k, n    Hệ Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp p, với p số nguyên tố, nhóm cyclic cấp p - Từ Mệnh đề chương hệ trên, ta có Hệ Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp p , p số nguyên tố lẻ, có phần tử cấp Mệnh đề 20 Nếu p số nguyên tố lẻ Aut (C p ) nhóm cyclic cấp p  p  1 Mệnh đề 21 Nếu p số nguyên tố Aut (C p  C p )  GL(2, Z p ), GL(2, Z p ) nhóm ma trận vuông cấp hai không suy biến trường Z p 15 Mệnh đề 22 Nếu p số ngun tố cấp nhóm GL(2, Z p ) là: GL( 2, Z p )  p( p  )( p  ) Mệnh đề 23 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp 3, nhóm cyclic cấp Nếu C3 = Aut  C3     /   id  , với  tự đẳng cấu C3 xác định   a   a , a C3 Mệnh đề 24 Nhóm tự đẳng cấu Aut( C2  C2 ) nhóm dihedral D3 Nếu C2  C2  {1,b,c,bc} Aut( C2  C2 ) có phần tử xác định bảng sau: Aut( C2  C2 ) ( b ) ( c ) id  1 b b c c bc bc c bc b bc b c 2 3 4 5 6 Nhận xét Trong nhóm Aut( C2  C2 ) mệnh đề 24, ta có 4  2521 nghĩa  5 liên hợp Mệnh đề 25 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp nhóm cyclic cấp Nếu C4   a  Aut( C4 ) có phần tử xác định bảng sau: Aut  C4   a id  1 a a3 2 ord   16 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng số lớp nhóm 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP Bổ đề Cho N Q hai nhóm  : Q  Aut ( N ) đồng cấu nhóm Khi tập hợp  n, q  / n  N, q Q  với phép toán xác định  n, q  n ', q '   n (q)  n ' , qq ' nhóm, ký hiệu N  Q Định nghĩa Cho N Q hai nhóm  : Q  Aut ( N ) đồng cấu nhóm Nhóm N  Q gọi tích nửa trực tiếp ngồi hai nhóm N Q đồng cấu  Nhận xét i) Nếu  đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp N  Q tích trực tiếp N  Q ii) Nếu N Q nhóm giao hốn  đồng cấu tầm thường N  Q nhóm giao hốn iii) Nếu N Q hai nhóm hữu hạn N  Q  N  Q Thí dụ 17 Xét Q  C2   b / b2     1, b  N  C4   a / a     1, a, a , a  Theo Mệnh đề 25 (chương 1) ta có Aut( C4 )  1 C3 ,  với  xác định  ( x )  x3 Suy có đồng cấu từ nhóm Q lên nhóm tự đẳng cấu Aut(N)  : Q  Aut  N  ; 1C3 ; b  , 1 đồng cấu tầm thường Khi tích nửa trực tiếp N với Q đồng cấu  nhóm khơng giao hốn cấp Dễ dàng kiểm chứng ánh xạ sau hai đơn cấu Q  N  Q b 1N , b N  N  Q a  a,  Q Đồng a   a, 1Q  b  1N , b  nhóm N  Q có biểu diễn N  Q = < a, b / a = b2 = 1, bab1 = a 1 > Nhóm nhóm khơng giao hốn cấp đẳng cấu với nhóm D4 Với 1 : Q  Aut  N  đồng cấu tầm thường theo nhận xét (chương 2) N 1 Q N  Q  C4  C2 Định lý Cho G  N  Q Khi đó: i) N nhóm chuẩn tắc G ii) NQ  G iii) N  Q  1G  Định nghĩa 18 Cho G nhóm N, Q nhóm G Nhóm G gọi tích nửa trực tiếp N Q nếu: i) N nhóm chuẩn tắc G ii) NQ  G iii) N  Q  1G  Định lý Cho G nhóm với hai nhóm N Q Giả sử G  NQ N  Q  {1G } Khi g  G có biểu diễn dạng: g  nq, n  N q  Q Định lý Giả sử G tích nửa trực tiếp hai nhóm N Q Khi G  N  Q,  : Q  Aut ( N ) cho  (q)(n)  qnq 1 , q  Q, n  N Nhận xét i) Từ định lý (chương 1), ta thấy G nhóm có hai nhóm N Q, N G , NQ  G N  Q  1G  tồn đồng cấu  : Q  Aut (N ) cho G  N  Q Như ta xác định nhóm G biết nhóm Q nhóm chuẩn tắc N G thỏa mãn N  Q  {1G } NQ  G ii) Nếu G nhóm cyclic cấp p (p số ngun tố) G khơng phải tích nửa trực tiếp Do G có nhóm cấp p iii) Cho hai nhóm N Q Gọi G  N  Q tích nửa trực tiếp 19 N Q Khi theo định lý (chương 2), N nhóm chuẩn tắc G, N  Q  1G  NQ  G Do G  N  ' Q với  '(q)(n)  qnq 1, q Q, n  N Tuy nhiên  ,  ' Thật vậy, ta có:  '(q)(n)  (1N , q).(n, 1Q ).(1N , q 1 )  (1N  (q)(n), q)(1N , q 1 )  ( (q)(n). (q)(1N ), qq 1 )  ( (q)(n). (q)(1N ), qq 1 )  ( (q)(n), 1Q )   (q)n, n  N , q  Q Do    ' Định lý Cho G nhóm có hai nhóm chuẩn tắc N Q cho N  Q  1G  , NQ  G Khi đồng cấu  : Q  Aut (N ) cho bởi:  (q)(n)  qnq 1 , q  Q, n  N đồng cầu tầm thường Định lý Nếu   ' liên hợp, nghĩa tồn   Aut ( N ) cho  '(q)    (q)  1 , với q  Q , N  Q  N  ' Q Định lý Nếu tồn   Aut ( N ) cho  '    N  Q  N  ' Q Định lý Nếu Q nhóm cyclic nhóm  (Q) Aut ( N ) liên hợp  '(Q) N  Q  N  ' Q 2.2 ỨNG DỤNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP ĐỂ XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP NHÓM 2.2.1 Xây dựng phân loại nhóm khơng giao hốn cấp 12 20 Bổ đề Mọi nhóm có cấp 12 có nhóm chuẩn tắc cấp nhóm chuẩn tắc cấp Mệnh đề Mọi nhóm khơng giao hốn cấp 12 có nhóm chuẩn tắc cấp đẳng cấu với nhóm thay phiên A4 Mệnh đề Mọi nhóm khơng giao hốn có cấp 12 chứa nhóm chuẩn tắc cấp đẳng cấu với nhóm dihedral D6 nhóm C3  C4 Từ Mệnh đề Mệnh đề cho ta định lý sau: Định lý Có nhóm khơng giao hốn cấp 12 không đẳng cấu là: A4 , D6 C3  C4 , với  : C4  Aut  C3  đồng cấu không tầm thường 2.2.2 Xây dựng phân loại nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Trước hết ta xét trường hợp riêng, phân loại đẳng cấu nhóm cấp (6 = 3) Mệnh đề Có hai nhóm cấp (khơng đẳng cấu nhau) C6 D3 Tổng quát mệnh đề trên, ta có Định lý Cho p số nguyên tố lẻ Khi nhóm có cấp 2p đẳng cấu 21 với nhóm cyclic cấp 2p đẳng cấu với nhóm dehidral Dp 2.2.3 Xây dựng phân loại nhóm khơng giao hốn cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Bổ đề Giả sử G nhóm khơng aben cấp p3 Khi G , G   Z G   C p Mệnh đề Giả sử G nhóm cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Khi i) Ánh xạ  : G  G , với   g   g p , g  G , đồng cấu,  G   Z G  ii) Hoặc Ker  có cấp p3, Ker  có cấp p2 G chứa phần tử cấp p2 Mệnh đề Cho G nhóm khơng aben cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Khi G chứa nhóm chuẩn tắc H cấp p2 nhóm K cấp p cho H  K  1  Hệ Nếu G nhóm khơng aben cấp p3, với p số nguyên tố lẻ, G tích nửa trực tiếp nhóm chuẩn tắc H cấp p2 với nhóm K cấp p Định lý 10 Nếu p số ngun tố lẻ, có hai nhóm khơng aben cấp p3 (sai 22 khác đẳng cấu) Minh họa nhóm E p M p [13] 3   pm b   / m, b  Z p2   1   i) Ký hiệu E p   1  p   1 , y     1  1 Đặt x     1+pm b  Khi  = yb xm ,  1   x, y   x p , x p = y p = Suy E p nhóm khơng giao hốn có cấp p3 biểu diễn E p3 =  x, y / x p = 1, y p = 1, yxy 1 = x p1  ii) Ký hiệu M p   =    1 a b  c  / a, b, c  Z  p   0 1     Dễ dàng kiểm tra tập M p với phép nhân hai ma trận nhóm 1 0 Đặt x    0 1   1 0 y   1  0 1   1 a b b Khi  c   y c x a  x, y  , 0 0    p p p x = y = z = ,  1  x, y  = z =   0 1    x, z  =  y, z  = Suy M p3 nhóm khơng giao hốn, cấp p3 biểu diễn M p = < x, y, z / x p = y p = z p = 1, xz = zx, yz = zy, y -1 xy = xz > Nhận xét 23 Với H nhóm cấp nhóm quarternion Q8 Do Q8 có phần tử cấp 2, phần tử thuộc H, nên khơng tồn nhóm K cấp Q8 mà H  K =  Do p = 2, Mệnh đề khơng đúng, nghĩa nhóm Q8 khơng phải tích nửa trực tiếp hai nhóm thực 24 KẾT LUẬN Luận văn “Tích nửa trực tiếp ứng dụng” thực mục đích đề ra, cụ thể vấn đề sau: 1) Tìm hiểu trình bày lại tích nửa trực tiếp hai nhóm ví dụ minh họa 2) Xây dựng phân loại đẳng cấu số lớp nhóm như: - Các nhóm khơng giao hốn cấp 12 - Các nhóm có cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ - Các nhóm khơng giao hốn có cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Hy vọng thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện hơn, nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu tích nửa trực tiếp tốn xác định phân loại nhóm hữu hạn ... ord   16 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng số lớp nhóm 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP Bổ đề Cho N Q hai... khơng phải tích nửa trực tiếp hai nhóm thực 24 KẾT LUẬN Luận văn “Tích nửa trực tiếp ứng dụng thực mục đích đề ra, cụ thể vấn đề sau: 1) Tìm hiểu trình bày lại tích nửa trực tiếp hai nhóm ví... ) đồng cấu nhóm Nhóm N  Q gọi tích nửa trực tiếp ngồi hai nhóm N Q đồng cấu  Nhận xét i) Nếu  đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp N  Q tích trực tiếp N  Q ii) Nếu N Q nhóm giao hốn