Một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự

MỞ ĐẦULí thuyết về các không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón và các phương trìnhtrong chúng được hình thành từ những năm 1940 và được tổng kết bước đầu trong bàibáo [35] của M.G.Krei

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

VÕ VIẾT TRÍ

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ

THỨ TỰ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

VÕ VIẾT TRÍ

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ

THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016

1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 10

1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn 11

1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach 13

1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương 18

1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn 18 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc 24

1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach 31

1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu 32

1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu 35

2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 44 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động 44

2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón 44

2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động 47

2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach 49

3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG

1

KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 53

3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc 54

3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị 54

3.1.2 Bậc tôpô tương đối 57

3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động 59

3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu 67

3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình 67

3.2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: 71

3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển 73

3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương 79

3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương 81

3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng 88

MỞ ĐẦU

Lí thuyết về các không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón và các phương trìnhtrong chúng được hình thành từ những năm 1940 và được tổng kết bước đầu trong bàibáo [35] của M.G.Krein và M.A.Rutman Nó được phát triển mạnh mẽ và đạt đượcnhững kết quả sâu sắc cả về mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng trong giai đoạn 1950–

1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò của ông [30, 31], củaE.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn, [1, 12, 13, 44] Lý thuyếtnày tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnhvực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuấtphát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưuhoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học, ) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50].Hướng nghiên cứu tiếp theo của Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tựcũng giống các lĩnh vực Toán học khác, có lẽ sẽ đi theo hai hướng Một mặt tiếp tụcphát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gian thứ tự, mặt khácứng dụng lí thuyết vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầu cóthể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự

Trong luận án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu của mình theo haihướng nêu trên, đó là nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quátchứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compactvới giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ

tự Dưới đây chúng tôi sẽ nêu các kết quả chính của luận án, mối liên quan của chúngvới các kết quả của các tác giả khác

I Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón đểnghiên cứu các phương trình

Quan hệ thứ tự được sử dụng một cách tự nhiên trong nghiên cứu phương trình viphân, tích phân (nhờ Nguyên lí Maximum, bổ đề Gronwal, ), trong Lí thuyết điểmbất động (sử dụng tính đơn điệu của ánh xạ để giảm nhẹ hoặc bỏ điều kiện liên tục,

compact hoặc xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm, ) Ngay cả trong các vấn

đề tưởng chừng không liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào một thứ tự thích hợp sẽlàm cho việc giải quyết bài toán đó được sáng rõ hơn, ngắn gọn hơn Ta có thể thấyđiều này qua chứng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff về tích các khônggian compact (sử dụng Bổ đề Zorn), định lý điểm bất động của Caristi, Nguyên lí biếnphân Ekeland (với việc xây dựng thứ tự thích hợp)

Không gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng còn gọi là không gian K-metric,không gian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩnthông thường khi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một không gian

có thứ tự Chúng được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trongGiải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động, trong các công trìnhcủa Kantorovich [32, 33, 34], Collatz [11], P.Zabreiko và các học trò với các kết quảđược tổng kết trong [55]

Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụsau Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường(X; q) và ta muốn tìm điểm bấtđộng của ánh xạ T : X ! X Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gianBanach (E;k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K E; ánh xạ tuyến tính dương liêntục Q : E ! E và chuẩn nón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và

p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y 2 X: (1)

Từ (1) ta có

kp (T (x) T (y))k N:kQk : kp (x y)k :Như vậy, 9k > 0 để

q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y 2 X (2)Nếu chỉ làm việc trong (X; q) với tính chất (2) thì ta có được ít thông tin hơn khilàm việc với (1) vì từ (1) ta có thể sử dụng các tính chất của ánh xạ tuyến tính dương

đã được tìm ra trong Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự

Gần đây, các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với nón metric sôi

động trở lại sau bài báo [20] (ta có thể tham khảo bài báo tổng quan [27] về các nghiêncứu gần đây với liệt kê hơn 100 bài báo, tuy chưa đầy đủ) Tuy nhiên, các tác giả củabài báo [20] và phần lớn của các bài tiếp theo đã không biết các nghiên cứu về đề tàinày trong giai đoạn trước; các kết quả của họ cũng không tổng quát hơn và cũng chỉmang tính lí thuyết Các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với metricnón ở giai đoạn trước và gần đây cũng chỉ tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach

và các mở rộng của nó Cho đến thời điểm chúng tôi gởi đăng bài báo [TG1] chúng tôichưa thấy kết quả nào về mở rộng định lý Krasnoslskii về điểm bất động của tổng ánh

xạ co và ánh xạ compact cho không gian với chuẩn nón

Trong chương 1 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả về định lý điểm bấtđộng kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S trong không gian với chuẩn nón cho haitrường hợp Trong trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach chúng tôiđặt điều kiện (1) lên ánh xạ T Trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian lồiđịa phươngE thì ánh xạ T thoả mãn điều kiện dạng

p (Tzn(x) Tzn(y)) Qnp (x y) , 8x; y; z 2 X; n 2 Nvới Qn : E ! E là dãy ánh xạ dương, liên tục và Tz(x) = T (x) + z

Các kết quả trừu tượng được chúng tôi áp dụng vào khảo sát bài toán Cauchy

x0(t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] (3)

trong thang các không gian Banach(Fs;k:ks), s2 (0; 1]:

Sự tồn tại nghiệm của (3) (cũng còn gọi là định lý Cauchy-Kovalevkaya trừu tượng)với f thoả điều kiện Lipschitz dạng Ovcjannikov: kf (t; u) f (t; v)ks

Cku vk r (r s) , 0 <

s < r 1 và g (t; u) = 0, đã được nghiên cứu bởi F.Treves, L.Ovcjannikov, L.Nirenber,T.Nishida, [38, 39, 40, 45], còn trong trường hợpg là ánh xạ compact, bài toán đượcH.Begehr [7], M.Ghisi [16], nghiên cứu Các tác giả đã xây dựng dãy lặp và chứngminh sự tồn tại nghiệm địa phương M.Safonov [45] chỉ ra rằng khi g = 0 sự tồn tạinghiệm có thể chứng minh bằng định lý ánh xạ co với việc xây dựng chuẩn thích hợp,P.Zabreiko [55] cho thấy, nó còn có thể được nghiên cứu nhờ định lý ánh xạ co trong

không gian với chuẩn nón.

Trong trường hợpg = 0 chúng tôi xây dựng không gian (E;k:k) mà trong đó chuẩnnón nhận giá trị, có chuẩn k:k được định nghĩa tương tự chuẩn được sử dụng bởiSafonov và thay đổi cách định nghĩa của Zabreiko về ánh xạ Q trong điều kiện (1)

Từ đó chúng tôi cũng nhận lại được định lý Nishida theo phương pháp sử dụng khônggian với chuẩn nón Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh được tính liên tục của ánh xạ(I T ) 1; trong đó T là ánh xạ tích phân tương ứng của phương trình Trong trườnghợp ánh xạ g là compact và f thoả điều kiện ngặt hơn điều kiện Ovcjannikov và códạng kf (t; u) f (t; v)ks ksku vks; chúng tôi sử dụng định lý kiểu Krasnoselskiicho không gian với chuẩn nón nhận giá trị trong không gian lồi địa phương để chứngminh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trên[0;1) Chúng tôi chưa biết kết quảnào về tồn tại nghiệm trên [0;1) của bài toán Cauchy trên thang các không gianBanach

Độ đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chất tương

tự như độ đo phi compact với giá trị trong R [6] Độ đo này còn ít được sử dụng trongchứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình Trong [6] đã giới thiệu một ứngdụng của độ đo phi compact với giá trị trong nón để chứng minh sự tồn tại nghiệmcủa bài toán Cauchy có chậm

x0(t) = f [t; x (h (t))] với 0 h (t) t1=p: (4)

Trong chương 2 của luận án chúng tôi chứng minh một định lý về điều kiện để cómột ánh xạf tác động trong không gian Banach X là cô đặc đối với độ đo phi compact' với giá trị trong nón dương K của không gian thứ tự E Điều kiện của chúng tôi là'[f (Y )] A [' (Y )], Y X trong đó A : K ! K là một ánh xạ tăng Khi đó nếutập Y X thoả mãn điều kiện ' [f (Y )] ' (Y ) thì ta có ' (Y ) A [' (Y )] Như vậyphần tử ' (Y ) 2 K là một nghiệm dưới của phương trình u = A (u) và ta có thể sửdụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = 0 Líluận trên cho ta thấy lợi ích của việc sử dụng độ đo phi compact với giá trị trong nón

Kết quả trừu tượng trên được chúng tôi sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm chomột mở rộng của (4) dạng

x0(t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] :

II Phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự

Nghiên cứu về phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng

x = A ( ; x) (5)

trong không gian có thứ tự đã thu được các kết quả sâu sắc, bắt đầu từ định lý Rutman về giá trị riêng và vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương mạnh, tiếptheo là các nghiên cứu về cấu trúc toàn cục tập nghiệm của phương trình trong cácbài báo của Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann, [1, 12, 13, 21,

Dạng đa trị của (5) là x 2 A ( ; x) và ta cũng muốn thiết lập các kết quả về cấutrúc tập nghiệm của bao hàm thức này Bậc tôpô cho ánh xạ đa trị dương, compact đãđược xây dựng trong các bài báo của W.Petryshyn và M.Fitzpatrick [15] và đã được

sử dụng để mở rộng sang trường hợp đa trị các định lý Krasnoselskii về điểm bất độngcủa ánh xạ nén-giãn nón và định lý Leggett-Williams (Xem [26, 41, 42] và các tài liệutham khảo trong đó) Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi thì cho đến nay chưa có

mở rộng của định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm sang trường hợp đatrị Khó khăn gặp phải có lẽ liên quan đến việc chọn định nghĩa khái niệm ánh xạ đatrị tăng thích hợp.

Trong phần đầu chương 3 của luận án chúng tôi trình bày các mở rộng sang trườnghợp đa trị cho định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm và định lý Kras-noselskii về khoảng giá trị của tham số để cho phương trình có nghiệm Các kết quảnày được chúng tôi áp dụng để nghiên cứu bài toán biên với hàm điều khiển dạng

x00(t) + (t) f (x (t)) = 0; x (0) = x (1) = 0;

(t)2 F (t; x (t)) : (6)Bài toán (6) được đưa về bài toán dạng

trong đó x2 { [0; 1], A là toán tử tích phân đa trị Để nghiên cứu bài toán (7) chúngtôi xét bài toán chứa tham số x2 A (x) Với một số giả thiết đặt lên các hàm f, Fchúng tôi chứng minh được tính liên tục của tập nghiệm của bài toán chứa tham số vàchỉ ra khoảng cụ thể các giá trị tham số để bài toán có nghiệm Các cận của khoảngnày được tính qua dữ kiện về hàm f , F Đặt điều kiện để khoảng này chứa 1 ta thuđược sự tồn tại nghiệm của (7), (6) Phương pháp nghiên cứu bài toán (6) của chúngtôi khác với các nghiên cứu về các phương trình tương tự của [26, 41, 42], ở đó sử dụngcác định lý Krasnoselskii về nén-giãn nón hoặc định lý Leggett-William cho ánh xạ đatrị

Tiếp theo chúng tôi áp dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệm của phươngtrình có chặn dưới đơn điệu vào bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị tăng, thuầnnhất dương bậc 1 Trong bài báo [35], Krein và Rutman đã chứng minh kết quả quantrọng sau

Định lý Krein-Rutman

Cho E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K và T : E ! E là một toán

tử tuyến tính dương và compact với bán kính phổ r (T ) > 0 Khi đó r (T ) là một giátrị riêng của T ứng với vectơ riêng dương x0: Giả sử thêm intK 6= ? va T là dương

mạnh, khi đó

1 x0 2 intK:

2 r(T ) là bội đơn

3 Nếu 6= r (T ) là một giá trị riêng của T thì j j < r (T ) :

Kết quả trên đã được mở rộng cho một số lớp ánh xạ không dương mạnh như ánh

xạ u0-dương, ánh xạ không phân tích được, trong các công trình của Krasnoselskii

và các học trò [30, 31] Gần đây, trong các bài báo của Nussbaum [47], K.Chang [8],Mahadevan [37], định lý Krein đã được mở rộng một phần cho lớp ánh xạ tăng, thuầnnhất dương bậc 1 bằng cách sử dụng định lý Rabinowitz về phân nhánh toàn cục Theohiểu biết của chúng tôi, các kết quả về sự tồn tại và tính chất của giá trị riêng, vectơriêng dương cho các ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự còn hạn chế, chúng tôi chỉtham khảo được các kết quả trong [2, 3] cho trường hợp hữu hạn chiều và trong [34, 46]cho ánh xạ liên hợp của các quá trình lồi Phương pháp chứng minh là sử dụng định

lý tách các tập lồi hoặc định lý về điểm cân bằng Việc mở rộng định lý Rabinowitz

về phân nhánh toàn cục sang trường hợp đa trị rồi áp dụng vào bài toán giá trị riêng

là khó Phương pháp của chúng tôi là sử dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệmcủa phương trình có chặn dưới đơn điệu

Trong phần cuối của luận án chúng tôi trình bày các mở rộng các tính chất Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng sang trường hợp đa trị Với việc mở rộng cho ánh

Krein-xạ đa trị các khái niệm u0-dương, u0-đơn điệu, nửa dương mạnh và một số đại lượngthay thế cho bán kính phổ, chúng tôi đã chứng minh được một phần các tính chấtKrein-Rutman cho các ánh xạ tăng, thuần nhất dương

Một phần kết quả của luận án đã được công bố hoặc gởi đăng trong các bài báo[TG1-TG4] và được báo cáo tại đại hội Toán học Việt nam lần thứ 8, tháng 8/2013 tạiNha trang và tại hội nghị khoa học khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Tp HCM

PHƯƠNG TRÌNH TRONG

KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN

Trong phần đầu của chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về khônggian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn, các tôpô được sử dụng và kháiniệm đầy đủ trên không gian này Kết quả chính của chúng tôi trong chương này làchứng minh các định lý về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ compact trênkhông gian với K-chuẩn Chúng tôi xét trong hai trường hợp: trường hợp K-chuẩn nhậngiá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trongkhông gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn (Định lý 1.3) hoặc xác định bởi

cơ sở lân cận của gốc (Định lý 1.5)

Tiếp theo, chúng tôi trình bày ứng dụng kết quả trên để chứng minh sự tồn tạinghiệm cho hai lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach: bài toánkhông nhiễu (Định lý 1.6) và bài toán nhiễu (Định lý 1.7)

Kết quả ở mục 1.2 đã được công bố trong [TG1], mục 1.3 là sự mở rộng các kếtquả đã công bố trong [TG2]

10

1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian

Trong trường hợp (E;k:k) là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ta gọi bộ

ba(E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự

Định nghĩa 1.2

Cho (E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự Nón K được gọi là nón chuẩn nếunhư tồn tại số N > 0 sao cho

u v thì kuk Nkvk : (1.1)Các tính chất sau của thứ tự đã nêu thường xuyên được sử dụng

Mệnh đề 1.1

Cho (E; K; ) là không gian thứ tự, khi đó:

1) Với x; y 2 E và x y thì

(i) x + z y + z (8z 2 E);

Cho (E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự và K là nón chuẩn Khi đó:

1) Với các dãy fxng ; fyng ; fzng trong E thoả xn yn zn (8n 2 N) và lim xn=lim zn = x thì lim yn = x:

3) Nếu dãy đơn điệu fxng trong E có chứa dãy con hội tụ về x thì lim xn= x:Định nghĩa 1.3

Cho(E; K; ) là không gian thứ tự, M E: Một ánh xạ A : M ! E gọi là dươngnếu

A (x) với mọi x2 M mà x ;được gọi là tăng nếu

x; y 2 M và x y thì A (x) A (y) :

Rõ ràng rằng, nếuA : E ! E là ánh xạ tuyến tính và dương thì nó là tăng

Với (E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự, ký hiệu E là không gian liên hợp.Tập hợp

K =ff 2 E : f (x) 0 cho mọi x 2 Kgđược gọi là nón liên hợp củaK Các tính chất được nhắc lại dưới đây của nón liên hợpđược sử dụng mà không chứng minh

Mệnh đề sau cho phép chúng ta chọn N = 1 trong (1.1).

không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach.

Trong mục này, cho (E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gianK-chuẩn Chúng ta sẽ sử dụng hai tôpô được định nghĩa dưới đây

1 = G X : XnG đóng :

2) Ta gọi 2 là tôpô trên X được xác định bởi họ các nửa chuẩn ff p : f 2 K g.Khi đó (X; 2) là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương và họ các tập

x2 X : max1 i nfi p (x) < " ; fi 2 K ; n 2 N ; " > 0lập thành một cơ sở lân cận của gốc và một lưới fx g X hội tụ đến x theo 2 nếu

p (xn+1 xn) hội tụ trong E thì dãy fxng hội tụ trong (X; p; )

2) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu một dãy bất kỳ fxng thoả

p (xk xl) an với mọi k; l n, fang K, lim

n!1an= E (1.2)thì fxng hội tụ trong (X; p; ) Chú ý rằng dãy fang trong (1.2) phụ thuộc vào fxng :Hai bổ đề dưới đây sẽ cho thấy mối quan hệ giữa các khái niệm đầy đủ vừa nêu

Bổ đề 1.1

Cho không gian Banach (E; K;k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K với N = 1trong (1.1) và (X; p) là một không gian K-chuẩn Khi đó ánh xạ q : X ! R,

q (x) =kp (x)k là một chuẩn trên X, và ta có:

1) Tôpô 1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X; q)

2) Nếu (X; p; 1) là đầy đủ theo Weierstrass thì (X; q) là đầy đủ

Chứng minh

Rõ ràng rằng, q là một chuẩn trên X và lim

n!1xn= x trong (X; p; 1) khi và chỉ khilim

n!1xn = x trong (X; q) Do đó, tập A X là đóng trong (X; p; 1) nếu và chỉ nếu A

là đóng trong (X; q) và khẳng định thứ nhất được chứng minh Để thấy tính đầy đủcủa(X; q) chúng ta xét dãy fxng X thoả P1

n=1

q (xn) < 1 và ta phải chứng minh rằng

Chứng minh.

1 Giả sử fxng X và chuỗi P1

n=1

p (xn+1 xn) hội tụ trong E: Ta gọi s, sn lần lượt là

tổng và tổng riêng thứ n của chuỗi này Với mỗi số l, số k thoả l > k n chúng ta có

p (xl xk) sk 1 sl 1 s sn với lim

n!1(s sn) = trong E Vì vậy, fxng hội tụnhờ tính đầy đủ theo Kantorovich của(X; p; ) Vậy (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass

2 Xét dãy fxng thoả (1.2) Do K là nón chuẩn ta có kp (xl xk)k Nkank, vì thế

fxng là dãy Cauchy trong (X; q) và do đó nó hội tụ trong (X; q) và trong (X; p; 1)theo Bổ đề 1.1

Định lý 1.1

Cho (E; K;k:k) là không gian Banach thứ tự, (X; p; ) là không gian K-chuẩn đầy

đủ theo Weierstrass với = 1 hoặc = 2 Giả sử rằng C là một tập lồi, đóng trong(X; p; ) và S,T : C ! X là các toán tử thoả mãn các điều kiện sau

(i) T (x) + S (y)2 C 8x; y 2 C;

(ii) S là liên tục và S (C) là tập compact đối với tôpô ;

(iii) tồn tại toán tử tuyến tính dương, liên tục Q : E ! E với bán kính phổ

r (Q) < 1 sao cho:

p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] với mọi x; y2 C:

Khi đó toán tử T + S có điểm bất động trong các trường hợp sau:

(C1) = 1, K là nón chuẩn

(C2) = 2

Chứng minh

Trước hết, từ giả thiết (i) và tính chất đóng của C thì T (x) + y 2 C 8x 2 C; 8y 2

S (C) Cố định y 2 S (C), ta định nghĩa toán tử Ty : C ! C xác định bởi Ty(x) =

T (x) + y

Bây giờ, bắt đầu từ một phần tử bất kỳ x0 2 C; chúng ta xây dựng dãy xn =

Ty(xn 1), với n = 1; 2; ::: Đặt u = p (x1 x0) thì bằng cách quy nạp theo n ta có

p (xn+1 xn) Qn(u) cho mọi n2 N:

thì p (a x ) = p [Ty(a) Ty(x )] Q [p (a x )] Suy ra (I Q) p (a x )

Từ (I Q) 1 là tuyến tính, dương nên chúng ta có p (a x ) = E và do đó a = x Như vậy, với mỗi y 2 S (C) thì tồn tại duy nhất x 2 C để cho T (x) + y = x Nóikhác đi là tồn tại toán tử (I T ) 1 : S (C) ! C Chúng ta sẽ chứng tỏ toán tử nàyliên tục Thật vậy, giả sử lưới fy g S (C) là hội tụ đến y 2 S (C) đối với tôpô Đặt x = (I T ) 1(y ), x = (I T ) 1(y) ; khi đó ta có Ty (x ) = x và Ty(x) = x

tụ đến x theo tôpô 1 Đối với trường hợp (C2), chúng ta dùng (1.6) và chú ý rằng

f (I Q) 1 2 K thì lưới fx g hội tụ đến x theo tôpô 2 Vậy (I T ) 1 liên tục.Toán tử (I T ) 1 S : C ! C là liên tục, tập (I T ) 1 S (C) là compact vìchứa trong tập compact(I T ) 1 S (C) : Theo Định lý Tychonoff thì tồn tại x2 Cthoả x = (I T ) 1 S (x) hay x = T (x) + S (x) :

1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong

không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương.

1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ

Giả sử ta có lướifx g 2 X, x ! x Ta sẽ chứng tỏ g (x ) ! g (x), hay cần chứngminh

p (g (x ) g (x))! E: (1.9)Giả sử W là lân cận của E dạng

'i p (g (x ) g (x)) < " 8i 2 f1; 2; :::; ng ; 8 0:Điều này đưa đến

đủ theo dãy và (X; p; ) là không gian với p là K-chuẩn và tôpô được xác địnhtương ứng Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C là tập đóng trong X và ánh xạ

T : C ! X thoả mãn các điều kiện sau

Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của ánh xạ (I T ) 1:

Cố địnhz 2 C Với x0 2 C bất kỳ, ta đặt xn = Tz(xn 1) ; n = 1; 2; :::; : Quy nạp theo

p (x a) = p (Tzn(x ) Tzn(a)) Qnp (x a) :

Do chuỗi P1

n=0

Qnp (x a) hội tụ trong E nên Qnp (x a)! E và do đó cóp (x a) =

E: Suy ra x = a Vậy điểm bất động của Tz là duy nhất Nghĩa là, tồn tại ánh xạ

z 7 ! (z), với (z) là điểm bất động của Tz Dễ thấy (I T ) 1 = , hơn nữa,(z) = limn!1Tzn(x) với x2 C bất kỳ

Bước 2: Chứng minh = (I T ) 1 liên tục

Cố địnhy2 C, đặt x = (y) : Với ' 2 và" > 0; ta chứng minh tồn tại số dương

để cho với y0 2 C ; x0 = (y0) thì

' (p (y y0)) < ) ' (p (x x0)) < " (1.13)Thật vậy, sử dụng giả thiết (2b) với " = 13" ; tồn tại số 2 (0; ") và số r 2 N để cho

8a; b 2 C, 'p (a b) < + " dẫn đến ' [Qrp (a b)] < " : (1.14)Đặt 0 = ; 00 = 1

2 0 Với cặp (';

0

0) ; do tính liên tục đều của T nên ta tìm được

số 1 2 (0; 00) để cho với a; b2 C thì khẳng định sau đúng

' [p (a b)] < 1 ) 'p [T (a) T (b)] < 00:Đặt 01 = 1

j < 0j 1 và 0j+ 0j j 8 j = 1; 2; :::; r 1

và đồng thời với mọi a; b2 C thì mệnh đề sau đúng

'p (a b) < j ) 'p [T (a) T (b)] < 0j 1 8j = 1; 2; :::; r 1: (1.15)Bây giờ đặt = r 1 Với y0 2 C thoả ' (p (y y0)) < thì ta có các khẳng địnhdưới đây:

(i) ' p Tr

y 0(z) < 8z 2 C;

(ii) ' p Trn

y 0 (z) < + " 8z 2 C; 8n 2 N :Chứng minh (i)

Bằng quy nạp theo j = 1; 2; 3; :::; r ta sẽ chứng minh

' p Tyj(z) Tyj0(z) < r j cho mọi j = 1; 2; 3; ::; r: (1.16)

Ta có Ty(z) Ty0(z) = y y0 nên ' [p (Ty(z) Ty0(z))] = 'p (y y0) < r 1: Điềunày cho ta (1.16) là đúng với j = 1: Giả sử (1.16) đúng với j 2 f1; 2; :::; kg (ở đây

Kết thúc quá trình quy nạp Cuối cùng, ta chứng minh (1.13) TừTynr(x0) ! x (khi

n! 1) nên tồn tại nx 0 2 N để cho

' p Tnx0 r

y (x0) x < " (1.20)

và với chú ý x0 = Ty0(x0) = Tnx0 r

y 0 (x0) ta có'p (x0 x) 'p Tnx0 r

xạ T; S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau

(1) T liên tục đều, S liên tục, T (C) + C C, S (C) C và S (C) là compacttương đối

(2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N thoả các tính chất(2a), (2b), (2c) của Định lý 1.2

Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C:

Chứng minh

Theo kết quả Định lý 1.2 thì ánh xạ (I T ) 1 : C ! C là xác định và liêntục Áp dụng Định lý Tychonoff cho ánh xạ (I T ) 1 S : C ! C với chú ý tập(I T ) 1 S (C) chứa trong tập compact (I T ) 1h

S (C)i

thì ánh xạ (I T ) 1 S

có điểm bất động Đó là điểm bất động của ánh xạ T + S

1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ

2) Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự(E; K; ) có tính chất chuẩn tắc nếu

nó có cơ sở lân cận của gốc là họ gồm các tập lồi, cân đối, chuẩn tắc và nếu V , Wthuộc thì V \ K + W \ K cũng là tập chuẩn tắc

Ta sẽ chứng minhV \ K + W \ K là tập chuẩn tắc Giả sử

x y + z; y 2 V \ K; z 2 W \ K; x = x(i) ; y = y(i) ; z = z(i) :

Do 0 x(i) y(i)+ z(i) nên tồn tại t(i)

2 [0; 1] sao cho x(i) = t(i) y(i)+ z(i)

8i 2 N Đặtv = t(i)y(i)

i=1;2;::,w = t(i)z(i)

vậy x2 V \ K + W \ K

Ta phát biểu lại khái niệm dãy Cauchy và khái niệm đầy đủ trên không gian lồi địaphương(E; K; ) Dãy fxng E gọi là dãy Cauchy nếu với bất kỳ lân cận W của gốc

1 Đầu tiên ta xét trường hợp a = 8 Khi đó x = Với bất kỳ W 2 , vì

c ! x = nên tồn tại 0 để c 2 W với mọi 0: Do W là chuẩn tắc nên ta

có b 2 W với mọi 0 Vậy b ! x = Bây giờ, xét lưới fa g mà a ! x Do

b a c a ! nên sử dụng trường hợp vừa chứng minh ta có b a ! :Chú ý rằng,a ! x ta suy ra b x ! :

2 Đặtun= a1+ a2+ ::: + an; vn= b1+ b2+ ::: + bn,n2 N Ta có fvngn là dãy Cauchynên với mỗi W 2 ta có vn+k vn 2 W 8n n0: Do un+k un vn+k vn vàtính chuẩn tắc của tậpW ta suy ra un+k un2 W 8n n0 Vậy fungn là dãy Cauchynên hội tụ hay chuỗi

x = V X :9W 2 và x + p 1(W ) V :

Ta ký hiệu là tôpô (duy nhất) trên X nhận họ x làm hệ lân cận tại x và do đónhận họ x là một cơ sở lân cận tại x2 X Không gian X xét với tôpô sẽ ký hiệu là(X; p; ) :

Ta kiểm tra là tôpô trênX Theo một kết quả của không gian tôpô, ta sẽ chứng

tỏ họ x thoả các tính chất dưới đây:

(i) x2 V với mọi V 2 x

(ii) V1; V2 2 x thì V1\ V2 2 x

(iii) V1 2 x và V2 V1 thì V2 2 x

(iv) Với mỗi V 2 x; tồn tại W 2 x sao cho V 2 y với mọi y2 W:

Thật vậy, tính chất (i), (ii), (iii) dễ dàng kiểm tra, ta kiểm tra tính chất (iv).VớiV 2 x ta chọn đượcG2 đểx + p 1(G) V Do tính chất của cơ sở lân cậncủa họ ta chọn đượcG0 2 để cho G0+ G0 G Ta có p 1(G0) + p 1(G0) p 1(G)(vì với t1; t2 2 p 1(G0) thì p (t1+ t2) p (t1) + p (t2) 2 G0+ G0 G, nhờ tính chuẩntắc củaG ta có p (t1+ t2)2 G hay t1+ t2 2 p 1(G)) Chọn W = x + p 1(G0)2 x thìvới mọi y2 W ta có y + p 1(G0) x + p 1(G0) + p 1(G0) V Vậy V 2 Vy:

và chúfx + p 1(W ) : W 2 g là cơ sở lân cận của x Tính liên tục của phép toán cộng

và phép nhân được suy từ 1), Bổ đề 1.5 và các bất đẳng thức

p (x + y x y) p (x x) + p (y y) ;

p ( x x) j j p (x x) +j j p (x) :

Ta chứng minh mỗi tập V = p 1(W ), W 2 là lồi Vớia; b2 V , 2 [0; 1] và chú

Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của ánh xạ (I T ) 1:

Cố định z 2 C và lấy x0 2 C tuỳ ý, ta xây dựng dãy lặp xn= Tn

Suy ra x là điểm bất động của Tz: Giả sử cũng có a2 C, Tz(a) = a, thì

p (x a) = p (Tzn(x ) Tzn(a)) Qn p (x a) ! E (khi n! 1)

nên a = x : Vậy Tz có điểm bất động duy nhất

Như vậy, 8z 2 C thì phương trình (I T ) (x) = z có nghiệm duy nhất trong C: Do

đó = (I T ) 1 là xác định: Hơn nữa, theo trong chứng minh trên thì Tzn(x0) !(z), với bất kỳ x0 2 C

Bước 2: Chứng minh = (I T ) 1 là liên tục

Cố định y 2 C, đặt x = (y) : Khi đó x là điểm bất động của Ty nên x = Tn

y (x)với mọi n 2 N: Giả sử V0 2 ; ta sẽ chứng tỏ tồn tại tập V0 2 để nếu y0 2 C thoả

Tiếp tục quá trình trên ta tìm được các dãy lân cận của gốcfWigi=0;1;:::;r 1 và

fWi0gi=0;1;:::;r 1 có các tính chất

Wj Wj 10 ; và Wj0 + Wj0 Wj

và mệnh đề sau đúng

8a; b 2 C; p (a b)2 Wj ) p (T (a) T (b))2 Wj 10 (1.23)với mọi j = 1; 2; :::; r 1

Đặt V0 = Wr 1; ta sẽ chứng minh các kết quả sau:

(i) Vớiy0 2 C thoả p (y y0)2 V0 thì

p (a b) = p (y y0)2 Wr 1 Wr 20thì ta có

p (T (a) T (b)) + p (y y0)2 Wr 20 + Wr 20 Wr 2:

Từ (1.26) và tính chuẩn tắc của tập Wr 2 ta suy ra

p Ty2(z) Ty20(z) 2 Wr 2 với mọi z 2 C: (1.27)Lập luận tương tự có

p Ty3(z) Ty30(z) 2 Wr 3; ::::;

p Tyr(z) Tyr0(z) 2 W0 với mọi z2 C:

Chứng minh (ii) Ta sẽ quy nạp theo n Hiển nhiên theo kết quả (i) với chú ý W0 Wthì mệnh đề (1.25) đúng cho n = 1: Giả sử mệnh đề (1.25) đúng cho n = k Ta có

Định lý 1.5

Giả sử (E; K; ) là không gian lồi địa phương có thứ tự, đầy đủ theo dãy, có tínhchất chuẩn tắc và không gian (X; p; ) được xây dựng ở Định nghĩa 1.9 là đầy đủtheo Weierstrass (hoặc Kantorovich), C là tập lồi, đóng trong X và các ánh xạ T ,

S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau đây

(1) Tz(x) = T (x) + z 2 C cho mọi x; z 2 C;

(2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn: E ! Egn2N có các tính chất(2a), (2b) và (2c) nêu trong Định lý 1.4 và

(3) S liên tục, S (C) C và S (C) là compact tương đối

Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C:

Chứng minh

Theo kết quả Định lý 1.4 thì ánh xạ (I T ) 1 : C ! C là xác định và liên tục.Tập (I T ) 1 S (C) chứa trong tập compact (I T ) 1 S (C) nên là tập compact

Áp dụng Định lý Tychonoff thì ánh xạ(I T ) 1 S có điểm bất động, và nó cũng làđiểm bất động của ánh xạ T + S

không gian Banach.

Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng các định lý trừu tượng nhận được trong các mục1.2, 1.3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong thang các khônggian Banach

Cho họ các không gian Banach f(Fs;k:ks) : s2 (0; 1]g có tính chất

Bài toán (1.29) tương đương với phương trình tích phân sau

x (t) = x0 +

Z t 0

f (v; x (v)) dv +

Z t 0

Trong trường hợp g (t; x) 6= ; = [0;1) nhưng f tác động từ Fs vào Fs vàthoả điều kiện Lipschitz thông thường, chúng tôi xây dựng không gian với K-chuẩnnhận giá trị trong một không gian lồi địa phương và chứng minh bài toán có nghiệmtrên [0;1)

1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu.

Cho thang các không gian Banach f(Fs;k:ks) : s2 (0; 1]g ; = [0; M ] và ánh xạ f :

F ! F thoả mãn điều kiện sau

(A1) Với 0 < s < r 1 thì f là liên tục từ (F;k:kr) vào Fs và

Xét bài toán Cauchy

f [ ; x ( )] d := T x (t) :

Ta ký hiệu 4 = f(t; s) : 0 < s < 1; 0 < t < a (1 s)g trong đó a > 0 là số mà ta sẽchọn sau vàE là không gian các hàm u (t; s) thoả mãn

hàm t7! u (t; s) liên tục trên [0; a (1 s)) 8s 2 (0; 1) và

Định lý 1.6

Giả sử ánh xạ f thoả mãn điều kiện (A1) Khi đó với a đủ nhỏ thì Bài toán (1.30)

có duy nhất nghiệm x2 {([0; a(1 s)); Fs) 8s 2 (0; 1) Hơn nữa, ánh xạ (I T ) 1 làliên tục trên (X; q)

Chứng minh

Trước tiên ta kiểm tra nếu x 2 X thì T (x) 2 X Cố định s 2 (0; 1) và t0 2(0; a (1 s)) : Ta chọn số r 2 (0; 1) sao cho s < r và t0 2 (0; a (1 r)) Hàm x :[0; a (1 r)) ! Fr liên tục, hàm f : Fr ! Fs liên tục nên hàm f [t; x (t)] :[0; a (1 r))! Fs liên tục Suy ra hàmt 7!Rt

0 f [ ; x ( )] d liên tục trên [0; a(1 r)),nói riêng, tại t0: Vậy hàm T x (t) liên tục từ [0; a(1 s)) vào Fs: Từ điều kiện (A1) tacó

ta(1 s) t

2aB: ta(1 s) t:

1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu.

Xét bài toán Cauchy

x0(t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] ; t2 [0; 1)

x (0) = x0 2 F1:Trong đóf; g : [0;1) F ! F Bài toán trên đưa về bài toán tìm ánh xạ x : [0; 1) !(F;k:ks) liên tục đối với mọi s2 (0; 1) ; thoả mãn phương trình tích phân sau

x (t) = x0+

Z t 0

f (v; x (v)) dv +

Z t 0

g (v; x (v)) dv: (1.34)

x2 E : x = x(i) i=1;:::; x(i) 0 8i 2 N o

và tôpô lồi địa phương tách xác định bởi họ các nửa chuẩn = f'n : n2 Ng với'n : E ! R;

'n(x) = x(n) : (1.35)

Ta có thể kiểm tra được họ có tính chất (1.7) và(E; K; ) là đầy đủ theo dãy Gọi X

là tập tất cả các ánh xạ x từ [0;1) vào F sao cho với mỗi s 2 (0; 1) thì x : [0; 1) !(Fs;k:ks) là liên tục Giả sử fsngn=1;2;::: (0; 1) là dãy số thoả s1 < s2 < ::: < sn< :::

và limn!1sn = 1 Ta trang bị trên X một K chuẩn p : X ! K được định nghĩa bởi:

1 Giả sử x : [0;1) ! F: Khi đó nếu xj n 2 Xn với mọi n2 N thì x 2 X

2 (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass

Chọn 2 (0; min f 1; n t0g) : Nếu t 2 thoả jt t0j < thì t 2 n và

q a

! ya Giả sửa; a0 2 N , a0 > a; xnj a

f (v; x (v)) dv; (1.36)

S (x) (t) =

Z t 0

g (v; x (v)) dv, t2 [0; 1) (1.37)Cho = [0;1) và ánh xạ h : F ! F , với cặp số r; s thoả 0 < s r < 1; ta nóirằngh là (r s)-liên tục (tương ứng liên tục đều) nếu như h : (F;k:kr)! (Fs;k:ks)

là liên tục (tương ứng liên tục đều)

Ký hiệu4 = f(r; s) 2 (0; 1) (0; 1) : r > sg Giả sử ta có ánh xạ f; g : F ! Fthoả mãn các điều kiện sau

(A1): Với mỗi s 2 (0; 1); f là (s s)-liên tục và tồn tại số ks > 0 để với x; y 2 F

ta có

kf (t; x) f (t; y)ks kskx yks , (1.38)(A2): Với mỗi (r; s) 2 4 thì g là (r s)-compact theo nghĩa: g là (r s)-liên tục

và tập g (I F ) là compact tương đối trong (Fs;k:ks) với mỗi đoạn I :

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây

k(Tzn(x) Tzn(y)) (t)ks a

(kat)nn! qa(x y) ;8x; y; z 2 X và t 2 (1.40)bằng phương pháp quy nạp theon = 1; 2; ::: Thật vậy, ta có

(Tz(x) Tz(y)) (t) = (T (x) T (y)) (t)

=

Z t 0

[f (v; x (v)) f (v; y (v))] dv: