Một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 Mục lục PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 1.1 Không gian với thứ tự sinh nón, không gian với K-chuẩn 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn 10 11 nhận giá trị không gian Banach 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii không gian với K-chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương 1.4 13 18 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn 18 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định sở lân cận gốc 24 Ứng dụng vào toán Cauchy thang không gian Banach 31 1.4.1 Trường hợp toán không nhiễu 32 1.4.2 Trường hợp toán có nhiễu 35 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 44 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc định lý điểm bất động 44 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị nón 44 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo độ đo định lý điểm bất động 47 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm không gian Banach 49 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 53 3.1 Bậc tôpô tương đối lớp ánh xạ đa trị cô đặc 54 3.1.1 Tính nửa liên tục compact ánh xạ đa trị 54 3.1.2 Bậc tôpô tương đối 57 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho số lớp ánh xạ ứng dụng vào 3.2 3.3 toán điểm bất động 59 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn đơn điệu 67 3.2.1 Tính liên tục tập nghiệm dương phương trình 67 3.2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: 71 3.2.3 Ứng dụng vào dạng toán điều khiển 73 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương 79 3.3.1 Sự tồn véctơ riêng giá trị riêng dương 81 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman giá trị riêng dương, véc tơ riêng 88 MỞ ĐẦU Lí thuyết không gian Banach với thứ tự sinh nón phương trình chúng hình thành từ năm 1940 tổng kết bước đầu báo [35] M.G.Krein M.A.Rutman Nó phát triển mạnh mẽ đạt kết sâu sắc mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng giai đoạn 1950– 1980 công trình M.A.Krasnoselskii học trò ông [30, 31], E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn, [1, 12, 13, 44] Lý thuyết tiếp tục hoàn thiện tận hôm với ứng dụng rộng rãi lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; phương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) lĩnh vực (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học, ) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50] Hướng nghiên cứu Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự giống lĩnh vực Toán học khác, có lẽ theo hai hướng Một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho lớp phương trình không gian thứ tự, mặt khác ứng dụng lí thuyết vào giải toán lĩnh vực khác mà ban đầu không liên quan đến phương trình không gian thứ tự Trong luận án này, trình bày kết nghiên cứu theo hai hướng nêu trên, nghiên cứu số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số không gian có thứ tự sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình không gian thứ tự Dưới nêu kết luận án, mối liên quan chúng với kết tác giả khác I Sử dụng chuẩn nón độ đo phi compact với giá trị nón để nghiên cứu phương trình Quan hệ thứ tự sử dụng cách tự nhiên nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân (nhờ Nguyên lí Maximum, bổ đề Gronwal, ), Lí thuyết điểm bất động (sử dụng tính đơn điệu ánh xạ để giảm nhẹ bỏ điều kiện liên tục, compact xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ nghiệm, ) Ngay vấn đề tưởng chừng không liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho việc giải toán sáng rõ hơn, ngắn gọn Ta thấy điều qua chứng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff tích không gian compact (sử dụng Bổ đề Zorn), định lý điểm bất động Caristi, Nguyên lí biến phân Ekeland (với việc xây dựng thứ tự thích hợp) Không gian với metric nón chuẩn nón (cũng gọi không gian K-metric, không gian K-chuẩn) mở rộng tự nhiên không gian metric, định chuẩn thông thường metric chuẩn nhận giá trị nón dương không gian có thứ tự Chúng đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 ứng dụng Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động, công trình Kantorovich [32, 33, 34], Collatz [11], P.Zabreiko học trò với kết tổng kết [55] Ta thấy hữu ích việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụ sau Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) ta muốn tìm điểm bất động ánh xạ T : X ! X Trong số trường hợp ta tìm không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh nón chuẩn K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E chuẩn nón p : X ! K cho q (x) = kp (x)k p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y X: (1) Từ (1) ta có kp (T (x) T (y))k N: kQk : kp (x y)k : Như vậy, 9k > để q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y X (2) Nếu làm việc (X; q) với tính chất (2) ta có thông tin làm việc với (1) từ (1) ta sử dụng tính chất ánh xạ tuyến tính dương tìm Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự Gần đây, nghiên cứu điểm bất động không gian với nón metric sôi động trở lại sau báo [20] (ta tham khảo báo tổng quan [27] nghiên cứu gần với liệt kê 100 báo, chưa đầy đủ) Tuy nhiên, tác giả báo [20] phần lớn nghiên cứu đề tài giai đoạn trước; kết họ không tổng quát mang tính lí thuyết Các nghiên cứu điểm bất động không gian với metric nón giai đoạn trước gần tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach mở rộng Cho đến thời điểm gởi đăng báo [TG1] chưa thấy kết mở rộng định lý Krasnoslskii điểm bất động tổng ánh xạ co ánh xạ compact cho không gian với chuẩn nón Trong chương luận án, trình bày kết định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S không gian với chuẩn nón cho hai trường hợp Trong trường hợp chuẩn nhận giá trị không gian Banach đặt điều kiện (1) lên ánh xạ T Trường hợp chuẩn nhận giá trị không gian lồi địa phương E ánh xạ T thoả mãn điều kiện dạng p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn p (x y) , 8x; y; z X; n N với Qn : E ! E dãy ánh xạ dương, liên tục Tz (x) = T (x) + z Các kết trừu tượng áp dụng vào khảo sát toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] (3) thang không gian Banach (Fs ; k:ks ), s (0; 1]: Sự tồn nghiệm (3) (cũng gọi định lý Cauchy-Kovalevkaya trừu tượng) với f thoả điều kiện Lipschitz dạng Ovcjannikov: kf (t; u) s[...]... 0 (iii) K \ ( K) = f g Trong E với nón K ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau: x y ,y x 2 K: Khi đó ta gọi bộ ba (E; K; ) là không gian có thứ tự sinh bởi nón K (gọn hơn là không gian có thứ tự ) Trong trường hợp (E; k:k) là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ta gọi bộ ba (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự Định nghĩa 1.2 Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự Nón K được gọi là nón... tử không của E và X, (ii) p ( x) = j j p (x) 8 2 R, 8x 2 X, (iii) p (x + y) p (x) + p (y) 8x; y 2 X Nếu p là K-chuẩn trên X thì cặp (X; p) sẽ gọi là không gian K-chuẩn Không gian này nếu được xét với tôpô 1.2 thì được ký hiệu bởi (X; p; ) Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach Trong mục này, cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự. .. chứa trong tập compact (I ! C là xác định và liên có điểm bất động Đó là điểm bất động của ánh xạ T + S 24 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc Định nghĩa 1.8 Cho (E; K; ) là không gian tuyến tính tôpô với tôpô và thứ tự sinh bởi nón K: 1) Một tập con M của E gọi là chuẩn tắc nếu như 2 K; 2 M thoả thì 2 M: 2) Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E; K; ) có. .. chọn N = 1 trong (1.1) Mệnh đề 1.4 ([30]) Cho không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K và k:k là phiếm hàm Minkowskii của tập hợp [B ( ; 1) K] \ [B ( ; 1) + K] : Khi đó 1) k:k là một chuẩn trong E thoả kuk u kuk 8u 2 E và kuk kvk nếu như v, 2) k:k k:k nếu như K là nón chuẩn Định nghĩa 1.4 ([55]) Cho (E; K; ) là không gian với thứ tự sinh bởi nón K và X là không gian tuyến tính thực Một ánh... là sự mở rộng các kết quả đã công bố trong [TG2] 10 11 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn Dưới đây, chúng tôi luôn xét hình nón có các tính chất nêu trong định nghĩa sau đây Định nghĩa 1.1 Cho (E; ) là không gian tôpô tuyến tính thực, như vậy E là không gian tuyến tính trên trường số thực và Tập K là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên E E gọi là nón trên E nếu: (i)... chuẩn ff 2) p : f 2 K g là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương và họ các tập x 2 X : max fi p (x) < " ; fi 2 K ; n 2 N ; " > 0 1 i n lập thành một cơ sở lân cận của gốc và một lưới fx g X hội tụ đến x theo và chỉ nếu lim f (p (x x)) = 0 với mọi f 2 K : 2 nếu Định nghĩa 1.6 ([55]) Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn Giả sử là một tôpô trên X 1) Ta nói... nón, không gian với K-chuẩn, các tôpô được sử dụng và khái niệm đầy đủ trên không gian này Kết quả chính của chúng tôi trong chương này là chứng minh các định lý về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ compact trên không gian với K-chuẩn Chúng tôi xét trong hai trường hợp: trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi... này dẫn đến chuỗi kp (sn p (sn n=1 sn 1 )k = 1 X n=1 q (xn ) < 1; sn 1 ) hội tụ trong (E; k:k) Từ giả thiết (X; p; đầy đủ theo Weierstrass, chúng ta có được dãy fsn g hội tụ trong (X; p; 1) 1) và do đó cũng hội tụ trong (X; q) Bổ đề 1.2 Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là một không gian K-chuẩn, là một tôpô trên X 1) Nếu (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich thì nó là đầy đủ theo... nhất dương Một phần kết quả của luận án đã được công bố hoặc gởi đăng trong các bài báo [TG1-TG4] và được báo cáo tại đại hội Toán học Việt nam lần thứ 8, tháng 8/2013 tại Nha trang và tại hội nghị khoa học khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Tp HCM Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN Trong phần đầu của chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian với thứ tự sinh... cũng là điểm bất động của ánh xạ T + S 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng các định lý trừu tượng nhận được trong các mục 1.2, 1.3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach Cho họ các không gian Banach f(Fs ; k:ks ) : s 2 (0; 1]g có tính chất Fr Fs ; kxks Đặt F = \s2(0;1) Fs Giả sử kxkr 8x 2 Fr nếu ... ba (E; K; ) không gian có thứ tự sinh nón K (gọn không gian có thứ tự ) Trong trường hợp (E; k:k) không gian Banach với thứ tự sinh nón K ta gọi ba (E; K; k:k) không gian Banach thứ tự Định nghĩa... nghiên cứu Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự giống lĩnh vực Toán học khác, có lẽ theo hai hướng Một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho lớp phương trình không gian thứ tự, mặt khác ứng... (t) ; x (h (t))] : II Phương trình đa trị chứa tham số không gian có thứ tự Nghiên cứu phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A ( ; x) (5) không gian có thứ tự thu kết sâu sắc, định