2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị
Dưới đây chúng tôi nhắc lại các khái niệm liên tục, khái niệm compact của ánh xạ đa trị được sử dụng trong chương này.
Định nghĩa 3.1 ([13], [15])
Cho (X; 1), (Y; 2) là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : E X !
2Y
n f?g:
1) F gọi là nửa liên tục trên trong E nếu fx2E :F (x) Vg 2 ( 1)E với mọi
V 2 2;trong đó ( 1)E là thu hẹp của 1 trên E:
2) F gọi là nửa liên tục dưới trong E nếu fx2E :F(x)\V 6=?g 2 ( 1)E cho mọi V 2 2:
Như vậy, khiF (x)là tập một phần tử (F là ánh xạ đơn trị) thì khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới trùng với khái niệm liên tục thông thường đối với ánh xạ đơn trị.
Khi X; Y là các không gian Banach, ký hiệu B (x0) là quả cầu mở tâm x0 bán kính ;thì các khái niệm nửa liên tục được phát biểu lại bằng mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1 ([13])
Cho X; Y là các không gian Banach và ánh xạ đa trị F :E X !2Y
n f?g
1) F là nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mỗi x0 2 E và mỗi tập mở V chứa
2) F là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mỗi x0 2E, mỗi y 2F (x0)và mỗi lân cận mở V của y thì tồn tại số >0 để cho F(x)\V 6=? với mọi x2B (x0)\E:
Cho (Y;k:k)là không gian Banach, với A; B 22Yn f?g ta định nghĩa khoảng cách HausdorffdH (có thể là 1) trên 2Y n f?g định bởi dH(A; B) := max sup x2A (x; B);sup x2B (x; A) (3.1) với (x; A) = inffkx yk:y2Ag: Định nghĩa 3.2 ([13])
Cho (X;k:k1);(Y;k:k2) là các không gian Banach và ánh xạ đa trịF :D X !
2Yn f?g.
1) Ta nóiF là compact nếu nhưF (S) = [x2SF(x)là tập compact tương đối trong
Y; vớiS là tập bị chặn bất kỳ trong D.
2) Ta nói F là liên tục nếu(8x0 2D;(xn) D; xn k:k1
!x)dH(F xn; F x0) !0):
Các mối quan hệ giữa các khái niệm liên tục, khái niệm compact, các tiêu chuẩn nhận biết chúng được thể hiện bởi mệnh đề dưới đây mà không chứng minh.
Mệnh đề 3.2 ([13] Proposition 24.1)
Cho (X;k:k1);(Y;k:k2) là các không gian Banach và ánh xạ đa trị F :D X !
2Yn f?g có tính chất F (x) là tập đóng với mọi x2D: Khi đó
(i) Nếu
8x0 2D;(xn) D; xn k:k1
!x0 )supf (y; F xn) :y2F x0g !0
thì F là nửa liên tục dưới trong D:
(ii) Nếu F là nửa liên tục trên trong D thì
8x0 2D;(xn) D; xn k:k1
!x0 )supf (y; F x0) :y2F xng !0
(iii) F là liên tục thì F là nửa liên tục dưới.
(iv) Nếu F (x) là tập compact với mọi x2D thì ta có F liên tục khi và chỉ khi F
là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên trong D:
(v) Nếu D compact, F là nửa liên lục trên và F(x) là compact cho mọi x2D thì
Nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính trong chương này, từ các kết quả đã nêu chúng tôi phát biểu và chứng minh các khẳng định dưới đây.
Mệnh đề 3.3
Cho (X;k:k1), (Y;k:k2) là các không gian Banach, D X, F : D !2Y
n f?g là
ánh xạ đa trị.
1) Nếu F là nửa liên tục trên, dãy fxng trong D hội tụ về x0, dãy fyng thoả
yn 2F (xn), yn !y0 và F(x0) là tập đóng thì y0 2F (x0):
2) Nếu F là compact và có đồ thị f(x; y)2X Y :x2D; y 2F (x)glà tập đóng trong X Y thì khi đó F là nửa liên tục trên:
Chứng minh:
1. 8k2N , từ tính chất nửa liên tục trên ta tìm được nk2N để cho
F (xnk) F (x0) +B1
k (0):
Do ynk 2F (x0) +B1
k (0) nên ta tìm được dãy fzkg F(x0) để cho kynk zkk2 < 1
k:
Từ giả thiếtyn !y0 ta suy razk!y0 và do F (x0)đóng nên y0 2F (x0):
2. Giả sử x0 2X và V là tập mở chứa F(x0); áp dụng Mệnh đề 3.1, ta sẽ chứng tỏ rằng
9 >0 đểF (B (x0)\D) V . (3.2) Giả sử khẳng định (3.2) không đúng, ta tìm được dãy fxng D; với fxng hội tụ về
x0 và dãy fyng; yn2F (xn)nV: Từ tính compact củaF và tính bị chặn của dãy fxng ta có thể giả sửyn!y0:Từ tính chất F có đồ thị đóng ta suy ra y0 2F(x0) V: Do
V mở nênyn2V với n đủ lớn, ta gặp mâu thuẫn. Mệnh đề 3.4
Cho X, Y là các không gian Banach và ánh xạ đa trị F :D X !2Y
n f?g là
nửa liên tục dưới. Giả sử dãy fxng D hội tụ về x0 2D. Khi đó với mỗi y2F (x0)
ta tìm được dãy fykgk=1;2;::: Y hội tụ về y và thoả yk 2 F (xnk); với fxnkg là dãy con nào đó của fxng:
Dãy fykg được xây dựng bằng quy nạp như sau. Với k = 1; áp dụng Mệnh đề 3.1 cho lân cận mở V1 = B1(y) của y ta tìm được số 1 > 0 và xn1 2 B 1(x0)
để cho F (xn1) \ V1 6= ?: Chọn y1 2 F (xn1) \V1 6= ?: Giả sử đã chọn được yk
và xnk , Vk = Bk 1(y) thoả yk 2 F (xnk)\ Vk. Áp dụng Mệnh đề 3.1 cho lân cận
Vk+1 =B(k+1) 1(y)củayvới chú ýxn!x0 thì ta tìm được số dương k+1;vànk+1 > nk
để xnk+1 2 B k+1(x0) đồng thời F xnk+1 \Vk+1 6=?: Chọn yk+1 2 F xnk+1 \Vk+1:
Vậy ta tìm được dãy fykgk như yêu cầu.
Từ một ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, có giá trị lồi đóng thì ta có thể chọn được hàm đơn trị liên tục, kết quả này phát biểu bởi:
Mệnh đề 3.5 ([13] Theorem 24.1)
Cho X; Y là các không gian Banach và F :D X ! 2Y
n f?g là ánh xạ đa trị
nửa liên tục dưới và F (x) là tập lồi, đóng cho mọi x 2 D. Khi đó tồn tại hàm đơn trị, liên tục f :D !Y với f(x)2F (x) với mọi x2D.