2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
2.1.1 đo phi compact nhận giá trị trong nón
Định nghĩa 2.1([6])
Cho không gian Banach X và tập sắp thứ tự bộ phận (Q; ) và họ M 2X có tính chất: nếu 2Mthì co( ) 2M:Ánh xạ ' :M !Q được gọi là mộtđộ đo phi compact trên M nếu '(co ) ='( ) cho tất cả các tập 2M:
Đặc biệt, với(E; K;k:k) là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K, ta gọi B
là một họ các tập con bị chặn của X:Một độ đo phi compact ' :B !K sẽ gọi là 1) chính quy nếu với 2B; '( ) = 0E khi và chỉ khi là compact tương đối, 2) nửa thuần nhất nếu '(t ) = jtj'( ) cho 2B vàt 2R thoảt 2B,
3) nửa cộng tính '( 1+ 2) '( 1) +'( 2) với 1, 2 2B thoả 1+ 2 2B, 4) bất biến qua tịnh tiến nếu '(x+ ) ='( ) với , x+ 2B,
5) liên tục đối với metric Hausdorff nếu như
8" >0;8 2B 9 >0 :8 0 2B; ( 0; )< ) k'( 0) '( )k< ";ở đây
( 1; 2) = inff" >0 : 1+"B 2, 2+"B 1gvàB =fx2X :kxkX <1g:
Ví dụ 1. ([13], Definition 7.1)
Cho (X;k:k) là không gian Banach thực và tập hợp S X. Ta định nghĩa đường kính củaS là diam(S) = supfkx yk:x; y 2Sgvới quy ước diam(?) = 0:Ta ký hiệu
B là họ tất cả các tập con bị chặn của X: Ta định nghĩa các ánh xạ ; : B !R+ được xác định với mỗi tập 2B bởi:
( ) = inf d >0 : được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính d ;
( ) = inf r >0 : được phủ bởi hữu hạn quả cầu có bán kínhr :
Ta thấy các ánh xạ ; là các độ đo phi compact xác định trên họ các tập bị chặn củaX và nhận giá trị trong nón các số thực không âm. Các độ đo này có các tính chất chính quy, nửa thuần nhất, nửa cộng tính, tịnh tiến bất biến và liên tục đối với mêtric Haudorff (xem [13], Proposition 7.2).
Ví dụ 2. ([6])
Xét không gian Banach (Y;j:jY):Cho Mlà họ tất cả các tập con bị chặn củaY và một độ đo phi compact với giá trị thực' :M !R+ . Trong không gian các hàm liên tục X =C([a; b] ;Y) chúng ta xét chuẩn xác định bởi kxk= supfjx(t)jY :t 2[a; b]g. Với mỗi tập bị chặn X và t 2 [a; b] ta ký hiệu (t) = fx(t) :x2 g và định
nghĩa hàm 'c( ) : [a; b] !Rđịnh bởi
'c( ) (t) ='[ (t)]: (2.1) Mệnh đề 2.1
Nếu ' là liên tục và tập bị chặn là đồng liên tục thì hàm 'c( ) là liên tục.
Chứng minh.
Xétt0 2[a; b]và số dương"cho trước. Do độ đo'là liên tục nên với tập (t0)2M
tồn tại số dương 1 để cho
8A2M; ( (t0); A)< 1 ) j'(A) '( (t0))j< ": (2.2)
Do là tập đồng liên tục tại t0 nên với số dương "= = 1
2 tồn tại số dương để cho
jt t0j< ) jx(t) x(t0)jY < "= (8x2 ): (2.3) Do đó ta có (t) (t0) +"=B1( ) và (t0) (t) +"=B1( ): Dẫn đến ( (t0); (t)) "= < 1: Áp dụng (2.2) với tập A := (t) thì ta có j'( (t)) '( (t0))j < " hay j'c( ) (t) 'c( ) (t0)j < ": Nghĩa là 'c( ) là hàm liên tục. Với kết quả Mệnh đề 2.1 ta xác định ánh xạ 'c từ họ B gồm tất cả các tập đồng liên tục và bị chặn củaX vào nón các hàm không âm trongC([a; b] ;R)và 'c( ) xác định bởi công thức (2.1).
Mệnh đề 2.2
Ánh xạ 'c là một độ đo phi compact theo Định nghĩa 2.1 và nếu ' có một tính chất nào đó (1-4) được nêu trong Định nghĩa 2.1 thì 'c sẽ có tính chất như thế.
Chứng minh.
1.'c(co ) ='c( ):
Với t2[a; b]ta có 'c(co ) (t) = '(co (t)) ='( (t)) = 'c( ) (t):
2. Tính chính quy:
,( (t)là tập compact tương đối cho mỗi t 2[a; b]).
Do là tập đồng liên tục nên theo Định lý Ascoli thì điều này tương đương với là tập compact tương đối.
3. Tính nửa thuần nhất: 8 2 R; 2 B và t 2 [a; b] ta có 'c( ) (t) = '( (t)) = j j'( (t)) = j j'c( ) (t) 4. Tính nửa cộng tính: 8 1; 2 2B và với t2[a; b]ta có 'c( 1 + 2) (t) = '( 1(t) + 2(t)) '( 1(t)) +'( 2(t)) = 'c( 1) (t) +'c( 2) (t):
5. Tính bất biến qua tịnh tiến:
Với x2X; 2B và t 2[a; b] ta có 'c(x+ ) (t) ='(x(t) + (t)) ='( (t)) =
'c( ) (t):