2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véctơ
véc tơ riêng.
Trong mục này chúng tôi chứng minh một số tính chất đặc biệt của cặp riêng dương của ánh xạ đa trị như tính bội đơn, tính duy nhất, tương tự các tính chất của cặp riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương đã được Krein, Rutman chứng minh [35].
Trước tiên chúng tôi mở rộng các khái niệm u0 dương, u0 dương mạnh, dương mạnh, nửa dương mạnh và một số đại lượng liên quan đến bán kính phổ của cho ánh xạ tuyến tính ([8, 30]).
Định nghĩa 3.9
Cho K là nón trong không gian Banach X và ánh xạ đa trị A : K !2Kn f?g,
u0 2K:
1) A được gọi làu0 dương nếu 8x2K thì hu0i+
(2)
A(x)
(1) hu0i+ hay nói tương đương
8x2K;8y2A(x)9 ; >0 : u0 y u0:
2)A được gọi là u0 dương mạnh nếu 8x2K thì 9 ; >0 để cho u0
(2) A(x) (1) u0: Định nghĩa 3.10 F :X ! 2X
n f?g gọi là dương mạnh nếu F K int(K) và gọi là nửa dương
mạnh nếu tồn tại g 2K để cho: hg; F (x)i(2)>0 = hg; xi với mọix2Knint(K):
Định nghĩa 3.11
Cho (X; K;k:k) là không gian Banach thứ tự và ánh xạ đa trịA:K !2Kn f?g:
1) Với x2K, ta định nghĩa các tập con của K
và các số (x) = inffhf; zi: (f; z)2S (x) A(x)g; (x) = supfhf; zi: (f; z)2S (x) A(x)g; 2) Ta định nghĩa các số r (A) = sup x2Knf g (x); r (A) = inf x2Knf g (x) . Nếu intK 6=? ta định nghĩa các số
or (A) = sup x2intK (x); or (A) = inf x2intK (x): Bổ đề 3.6 1) (x)x (2) A(x) 8x2K: 2) Nếu (x)<1 thì A(x) (1) (x)x: 3) (x)<1nếu và chỉ nếu 9 >0 :A(x) (1)
x:Nếu x2intK và A(x)compact thì (x)<1:
Chứng minh.
1. Từ định nghĩa của (x)chúng ta có (x) hp; zi cho tất cảz 2A(x); p2S (x):
Với chú ý hp; xi= 1 thì (x)hp; xi hp; zi 8z 2A(x);8 p2S (x): (3.67) Vớif 2K ; nếu hf; xi>0thì chọn p= 1 hf; xif ta cóp2S (x)và theo (3.67) ta suy ra (x)hf; xi hf; zi 8z 2A(x): (3.68) Hiển nhiên (3.68) cũng đúng khi hf; xi = 0: Vì thế (x)x z cho mọi z 2 A(x)
theo Mệnh đề 1.3: 2. Giả sử (x)<1: Từ định nghĩa số (x)ta có hp; zi (x)hp; xi 8z 2A(x); 8p2S (x): (3.69) Với mọi f 2K (x); đặt p= 1 hf; xif trong (3.69) ta nhận được hf; zi (x)hf; xi 8z 2A(x);8f 2K (x): (3.70)
Tập hợp K (x) là trù mật trong K [13]: Vì vậy (3.70) cũng đúng cho mọi f 2 K :
Suy ra z (x)x với mọi z 2A(x)hay tương đương A(x)
(1)
(x)x:
3. Trước hết, giả sử 9 > 0 : A(x)
(1)
x: Khi đó hf; zi hf; xi = với mọi
(f; z) 2 S (x) A(x) nên suy ra (x) <1: Khẳng định ngược lại có được từ tính chất 2. Bây giờ giả sử x 2intK. Ta tìm được r > 0 để cho Br(x) K: Với mỗi
y2X; kyk= 1 ta cóx ry. Vì vậy, vớif 2S (x)chúng ta có 1 rjf(y)j:Do đó kfk 1r:Tập hợpS (x)là bị chặn và đóng đối với tôpô yếu (ký hiệu là ) và vì thế nó là compact yếu . Tập hợpS (x) A(x)là compact trong(X ; ) (X;k:k)và ánh xạ ' : (X ; ) (X;k:k) ! R;định bởi '(f; z) =hf; zi là liên tục nên (x) <1:
Bổ đề 3.7. Cho A :K !2K n f?glà (k) tăng và tA(x) (k) A(tx)cho mọi(t; x)2R+n f0g K. Giả sử x; y 2 Kn f g và các số ; > 0 thoả A(x) (k) x và y (k) A(y): Hơn
nữa, một trong các điều kiện sau được thoả (i) A là ánh xạ u0 dương,
(ii) x2intK:
Khi đó :
Chứng minh.
Đặt t = x(y) ta có x ty. Chúng ta sẽ chứng tỏt > 0: Theo Bổ đề 3.1 thìt > 0
nếu như x 2intK: Theo định nghĩa quan hệ " (k)
" ta tìm được u 2 A(x); v 2 A(y)
thoả u x và y v: Từ tính u0 dương của A ta tìm được các số dương ; thoả
u0 u và v u0:Vì thế ta có x u0 v y. Từ tính cực đại của sốt ta
cót ; và t >0: Tính đơn điệu của A đưa đến
t y (k) tA(y) (k) A(ty) (k) A(x) (k) x:
Điều này cùng với tính cực đại của số t cho ta . Định lý 3.14
Giả sử ánh xạ đa trị A:K !2K
tục trên, có giá trị lồi đóng và A là (2) tăng với số r (A) > 0: Khi đó A có cặp riêng dương ( 0; x0) với 0 r (A): Hơn nữa,
1) nếu thêm A là (1) tăng thì
a) r (A) 0 r (A) nếu A là u0 dương mạnh.
b) x0 2intK và r (A) 0 or (A) nếu A là nửa dương mạnh:
2) Nếu thêm Alà nửa liên tục dưới, nửa dương mạnh và Alà (3) tăng thì r (A) =
0 =r (A).
Chứng minh.
Từ giả thiếtr (A)>0ta tìm được dãyfxng Kthoảkxnk= 1và0< r (A) 1
n
(xn): Sử dụng Bổ đề 3.6 thì ta có r (A) 1
n xn
(2)
A(xn). Bằng cách áp dụng Định lý 3.10 ta tìm được các dãy fyng K; f ng [0;1) thoả n r (A) 1
n;
kynk= 1và nyn2A(yn). Chọn dãy fzng thoả nyn =zn2A(yn). Từ tính compact củaAta có thể giả sử dãyfznghội tụ và do đó tồn tạilimn!1yn =x0 vàlimn!1 n=
0: Sử dụng tính nửa liên tục trên của A và áp dụng Mệnh đề 3.3 ta có được ( 0; x0)
là cặp riêng dương củaA với 0 r (A):
1a. TừAlàu0 dương mạnh thì tồn tại >0thoảA(u0)
(1)
u0và theo Bổ đề 3.6 thì có
(u0)<1. Vì thếr (A)<1:Theo định nghĩa sốr (A)ta tìm được dãy fyng K
thoả kynk = 1; (yn)!r (A): Chúng ta có 0x0
(1)
A(x0) và A(yn)
(1)
(yn)yn;
nên theo Bổ đề 3.7 thì ta có 0 (yn). Vì vậy 0 r (A):
1b. Trước tiên ta chứng minh x0 2intK. Thậy vậy, nếu như x0 2 KnintK thì theo định nghĩa ánh xạ đa trị nửa dương mạnh ta tìm được g 2K để cho
hg; x0i= 0, hg; zi>08z 2A(x0)
điều này vô lý khi chọn z = 0x0 2A(x0):
Từ kết quả x0 2intK và Bổ đề 3.6 ta có (x0) <1 và do đó or (A)< 1: Bây giờ giả sử dãy fyng intK thoả kynk = 1; limn!1 (yn) = or (A): Khi đó từ các quan hệ
0x0
(1)
A(x0); A(yn)
(1)
(yn)yn
và theo kết quả của Bổ đề 3.7 chúng ta nhận được 0 (yn)và có được 0 or (A):
2. Cố định phần tử u2Kn f g: Với mỗi số" >0 đủ nhỏ để x0 "u2intK và ta đặt
x"=x0+"u; y" =x0 "u; (x") = inffhf; zi:f 2S (x0); z2A(x")g; (y") = supfhf; zi:f 2S (x0); z 2A(y")g: Chúng ta sẽ chứng minh rằng (x")! (x0); (y")! (x0)khi "!0: Từ S (x0) A(x") vàS (x0) A(y")là compact trong(X ; ) (X;k:k), ta tìm được (f"; a")2S (x0) A(x") và(g"; b")2S (x0) A(y")để cho (x") =hf"; a"i và (y") =hg"; b"i:Ta có thể giả sửf"!f0 2S (x0),a"!a0 2A(x0)vàg"!g0 2S (x0), b"!b0 2A(x0):Ở đây, để có a0; b0 2A(x0)ta đã sử dụngx" !x0; y"!x0;tính nửa liên tục trên củaA và Bổ đề 3.6 Vì vậy
(x")! hf0; a0i (x0) và (y")! hg0; b0i (x0): (3.71) Mặt khác, vìA là nửa liên tục dưới vàx" !x0; y"!x0, nên áp dụng Mệnh đề 3.4 thì với mỗiv; w2A(x0)tồn tại v"0 2A(x"0)và w"00 2A(y"00) (ở đây fx"0g vàfy"00gtương ứng là các dãy con của fx"g và fy"g) thoả v"0!v và w"00!w: Với bất kỳ f 2 S (x0)
ta có (x"0) hf; v"0i=hf; vi+hf; v"0 vi; (3.72) (y"00) hf; w"00i=hf; wi+hf; w"00 wi: (3.73) Cho "0; "00 ! 0 trong (3.72) và (3.73) và chú ý (3.71) ta có hf0; a0i hf; vi 8u; v 2 A(x0)8f 2S (x0):Do đóhf0; a0i (x0)vàhg0; b0i (x0):Vậy (x")! (x0) và (y")! (x0): Cuối cùng, từ A(x") (3) A(x0) (3) A(y") chúng ta có8v 2A(y"); 8w2A(x")thì v 0x0 wvà hf; vi 0 hf; wi 8f 2S (x0)
Vì vậy, (y") 0 (x"); điều này dẫn đến (x0) 0 (x0) và ta có
(x0) = 0 = (x0):
Định nghĩa 3.12
Cho ánh xạ đa trị A:K !2K
n f?g; và u0 2K:
1) A được gọi làu0 tăng nếu như x y dẫn đến hu0i+ (2)
[A(y) A(x)]\K hay nói tương đương: 8v 2A(y); 8u2A(x)nếu v u2K thì 9 >0thoả v u u0:
2) Ta nóiAlànửa tăng mạnh nếu như tồn tại g 2K sao cho nếu x y 2KnintK
thì ta có
hg; x yi= 0 và hg; ui>0 cho mọi u2A(x) A(y) (3.74) Định nghĩa 3.13
1) Giả sử ( 0; x0) là cặp riêng dương của A. Ta nói 0 có bội đơn nếu như từ 0x2A(x) vớix2K dẫn đến x2 hx0i+.
2) Ta nói rằng cặp riêng dương ( 0; x0) của A là duy nhất nếu như với bất kỳ cặp riêng dương( ; x) của A thì = 0 vàx2 hx0i+:
Định lý 3.15
Giả sử ánh xạ đa trị A:K !2K
n f?glà 1-thuần nhất dương,u0 dương,u0 tăng
và ( 0; x0) là một cặp riêng dương của A: Khi đó 1) 0 có bội đơn.
2) Nếu A là (3) tăng thì ( 0; x0) là duy nhất.
Chứng minh.
1. Giả sử 0x 2 A(x) với x 2 K ta sẽ chứng minh x 2 hx0i+. Đặt t = x0(x) ta có
x0 tx:Từ giả thiết Alàu0 dương ta tìm được các số dương ; để cho u0 0x0
và 0x u0. Điều này cho ta 0x0 0 1x hay x0 1x: Theo tính cực đại của sốtthì t 1 >0:Chúng ta sẽ chứng tỏx0 =tx:Thật vậy, nếu trái lạix0 6=tx
thì ta có
Từ điều này và với giả thiếtu0 tăng củaAta tìm được số 0 >0để cho 0(x0 tx)
0u0 0x với 0 >0 nào đó:Do đó ta cóx0 t+ 0
0 xvà ta nhận được mâu thuẫn với tính cực đại của số t:
2. Giả sử 1x1 2 A(x1) với x1 2 K; 1 >0: Chúng ta cần chứng minh 1 = 0: Giả sử trái lại rằng 0 > 1: Đặt t = x1(x0) ta có x1 tx0; lập luận như trên ta cũng có
t >0:Ta sẽ chứng minh x1 =tx0: Thật vậy, nếux1 6=tx0 ta có
0tx0 2A(tx0); 1x1 2A(x1); tx0 < x1:
Điều này, theo giả thiết A là (3) tăng đưa đến 1x1 0tx0: Do tính chất cực đại của số t thì ta có 1 0, mâu thuẫn với giả thiết 0 > 1: Vì vậy có x1 =tx0: Đặt
0 =a2 1 với a >1;chúng ta nhận được a2 1x0 2A(x0) và 1tx0 2A(tx0):Do đó ax0 2A x0 a 1 ; x0 2A x0 1 : Mặt khác, từ x0 a 1 < x0 1
và tính (3) tăng của A ta suy ra ax0 x0; điều này mâu thuẫn với a >1. Vậy 0 = 1 và do đó theo kết quả 1) thì x1 2 hx0i+:
Định lý 3.16
Cho intK 6= ? và A : K ! 2Kn f?g là ánh xạ đa trị nửa tăng mạnh, 1-thuần
nhất dương. Giảsử ( 0; x0) là cặp riêng dương của A. Khi đó
1) 0 có bội đơn và nếu ( 1; x1) là một cặp riêng dương thì hoặc 1 = 0 hoặc
x1 2 hx0i+ .
2) Nếu A là (3) tăng thì ( 0; x0) là duy nhất.
Chứng minh.
1. Trước hết ta chứng minh rằngx0 2intK: Thật vậy, giả sử trái lại thì x0 2KnintK. Đặt y:= ; u= 0x0 và chú ý A( ) =f gtrong (3.74), ta nhận được
hg; x0i= 0 và hg; 0x0i>0:
là điều vô lí.
Giả sử 0x1 2A(x1), x1 2K:Đặt t= x0(x1); từx0 2intK thì t >0 và x0 tx1:
Theo (3.74) ta có g(x0 tx1) = 0 và g( 0x0 0tx1) > 0; ta gặp mâu thuẫn. Vậy
x0 =tx1 và 0 có bội đơn.
Bây giờ ta giả sử ( 1; x1) là cặp riêng dương của A với 0 > 1 ta sẽ chứng minh
x1 2 hx0i+:Dox1 2intKnênt= x1(x0)>0vàx1 tx0:Nếu nhưx1 tx0 2KnintK
thì doAlà nửa tăng mạnh vàu= 1x1 t 0x0 2A(x1) A(tx0)ta cóhg; x1 tx0i= 0
và hg; 1x1 t 0x0i>0: Do đó ta có g(x1) = tg(x0)và
0 < g( 1x1 t 0x0) = 1g(x1) t 0g(x0)
= ( 1 0)tg(x0) 0: (3.75) Ta gặp mâu thuẫn. Vậy phải cóx1 =tx0 hay x1 2 hx0i+:
2. Giả sử( 1; x1)là cặp riêng dương củaAvới 0 > 1:TừAlà nửa tăng mạnh và theo trong như chứng 1) thì x0 2intK và x1 2intK: Đặt t = x1(x0) >0; ta có x1 tx0:
Nếu x1 > tx0 thì x1 tx0 2 @Kn f g theo Bổ đề 3.1. Lập luận tương tự trong chứng
minh 1) ta tìm được mâu thuẫn trong (3.75). Vậyx1 =tx0.
Bây giờ, vì x1 =tx0 và lập luận tương tự phần cuối trong chứng minh Định lý 3.15 ta có điều vô lí. Vậy giả thiết 0 > 1 là sai. Do vai trò của 0; 1 như nhau nên ta suy ra 0 = 1: Áp dụng 1) ta suy ra x1 2 hx0i+:
KẾT LUẬN
Luận án chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu theo hai hướng chính. Trong hướng thứ nhất, chúng tôi sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động và áp dụng các kết quả trừu tượng nhận được vào một số lớp phương trình vi phân. Ở hướng thứ hai, chúng tôi dùng bậc tôpô kết hợp với kĩ thuật sử dụng thứ tự để chứng minh một số kết quả có tính toàn cục về tập nghiệm của bài toán giá trị riêng cho ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số, trong không gian có thứ tự. Kết quả chính của luận án bao gồm:
1. Chứng minh các định lý điểm bất động của tổng hai ánh xạ trên không gian với chuẩn nón trong các trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach hoặc trong không gian lồi địa phương.
Ứng dụng các kết quả nhận được để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên [0;1)cho một bài toán Cauchy với kì dị yếu trên thang các không gian Banach.
2. Áp dụng một kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một lớp ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón.
Sử dụng kết quả này và một độ đo phi compact với giá trị trong nón thích hợp để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán Cauchy có chậm.
3. Chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu và chứng minh tồn tại khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm.
Áp dụng các kết quả trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biên với hàm điều khiển đa trị.
4. Tính bậc tôpô tương đối của một lớp ánh xạ đa trị thông qua ánh xạ tuyến tính, ánh xạ đa trị lồi hay ánh xạ là xấp xỉ của nó tại ;tại1và áp dụng vào bài toán điểm bất động.
với đánh giá cận dưới cho giá trị riêng dương tương ứng.
6. Mở rộng khái niệmu0-dương,u0-tăng, dương mạnh cho các ánh xạ đa trị; chứng minh một số tính chất Krein-Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng dương của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự.
Các hướng nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi là:
1. Tìm một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với chuẩn nón, đủ mạnh để có thể áp dụng vào bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach với kì dị kiểu Ovcjannikov.
2. Tìm cách ứng dụng đạo hàm của ánh xạ đa trị để mở rộng định lý Rabinowitz- Dancer về phân nhánh toàn cục nghiệm dương sang trường hợp đa trị.
3. Tìm các điều kiện không quá ngặt lên ánh xạ để có sự duy nhất của cặp riêng dương và tính cực đại của giá trị riêng dương tương ứng.
CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[TG1] Fixed point theorems via cone-norms and cone-valued measures of noncom- pactness, Fixed Point Theory, No 2 (2016) (Đã nhận đăng).
[TG2] (2014), Một dạng định lí điểm bất động Krasnoselskii trong không gian K-định chuẩn, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TPHCM, 64(98), 5-17.
[TG3] The monotone minorant method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones. (Gửi đăng)
[TG4] Global continua of solutions and eigenvalue interval for multivalued operators in cone with an application (Gửi đăng).
[1] H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered spaces, SIAM Rev. 18(1976), 620-709.
[2] J. B. Aubin, I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, Springer, 1984.
[3] J. P. Aubin and H. Frankowska, Set-valued Analysis, Birkhauser, Berlin, 1990.
[4] R. P. Agarwal, M. A. Khamsi, Existence of Caristi’s fixed point theorem to vecto valued metric spaces, Nonlinear Analysis 74(2011) 141-145.
[5] R. P. Agarwal and D. O’Regan, A note on the existence of multiple fixed points for multivalued maps with applications, J. Differ. Eq, 160 (2000), 389–403.
[6] R. R. Akhmerov, M. I. Kamenskii, A. S. Potapov, A. E. Rotkina, B. N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhauser, 1992.
[7] H. Begehr, Eine Bemerkung Zum nichtlinearen Klassischen Sat von Cauchy- Kowalenski, Math. Nachr. 131(1987), 175-181.
[8] K. C. Chang, A nonlinear Krein-Rutman theorem, Jrl Syst.Sci & Complexity 22 (2009), 542-554.
[9] S. Carl, S. Heikkila, Fixed point theorems for multivalued operators and applica- tion to discontinuous quasilinear BVP’s, Aplicable Analysis, 82(2003), 1017-1028.
[10] S. Carl, S. Heikkila, Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications, Springer, Berlin, 2011.
[11] L. Collatz, Functional Analysis and Numerical Mathematics, Academic Rpess, New York, 1966.
[12] E. N. Dancer, Global solution branches for positive mapping, Arch. Rat. Mech. Anal. 52(1973), 181-192.
[13] K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, Berlin, 1985.
[14] K. Deimling, Multivalue Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin 1992.
[15] P. M. Fitzpatrick and W. V. Petryshyn, Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones, J. London Math. Soc. (1975) s2-12 (1), 75-85.
[16] M. Ghisi, The Cauchy-Kovalevsky theorem and noncompactness measures, J.Math.Sci. Uni. Tokyo, 4(1997), 627-647.
[17] L. Gorniewicz, Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, Springer, 2006.
[18] S. Heikkila, V. Lakshmikantham, Monotone Iterative Techniques for Discontinuous Nonlinear Differentical Equations, Marcel Dekker, New York, 1994.