2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào
dụng vào bài toán điểm bất động.
Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả tính bậc tôpô tương đối của ánh xạ đa trị thông qua ánh xạ tuyến tính làm chặn dưới hoặc chặn trên của nó hoặc qua các ánh xạ là xấp xỉ của nó tại và tại 1.
Ta xây dựng quan hệ " (k)
" (k = 1;2;3) giữa hai tập hợp trong không gian Banach thứ tự(X; K;k:k) và khái niệm ánh xạ đa trị (k)-tăng như sau:
Định nghĩa 3.3
a. Cho A và B là các tập con khác rỗng của X:Ta định nghĩa 1) A
(1)
B , (8x2A;9y2B sao cho x y) (nghĩa là A B K). 2) A
(2)
B ,(8y2B;9x2A sao cho x y) (nghĩa là B A+K). 3) A
(3)
B , 8x2A;8y2B thì x y (nghĩa là B x+K; 8x2A). b. Một ánh xạ F :E X !2X
x y dẫn đến F (x)
(k)
F (y); và F gọi là (3) tăng nếu x, y 2 E và x < y dẫn đến
F (x)
(3)
F (y).
Các quan hệ giữa hai tập hợp vừa nêu đã được nhiều nhà toán học giới thiệu và sử dụng (xem [28] và các tài liệu tham khảo trong đó). Các quan hệ này sẽ trùng khớp với quan hệ thứ tự sinh bởi nónK nếu như các tập hợp A và B là các tập chỉ có một phần tử. Ánh xạ đơn trị tăng là một ánh xạ (3) tăng.
Quan hệ " (k)
" vừa nêu có tính chất bắc cầu, các ký hiệu (k)
, (<;k) (>k) được sử dụng một cách tự nhiên. Tập một phần tửfagcũng được đồng nhất với cách viết một phần tửa.
Cho (X; K;k:k) là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón K: Đặt K :=
Kn f gvà với mỗi x2K ta ký hiệu hxi+ =f x: >0g:
Mệnh đề 3.8 (Keener-Travis [52])
Cho K là nón trong không gian Banach X. Giả sử L1 và L2 là các ánh xạ (đơn trị) tuyến tính liên tục và một trong chúng là u0 dương trên K. Nếu L1u L2u cho mọi u 2 K và tồn tại các cặp ( ; x) 2 R+n f0g K; ( ; y) 2 R+n f0g K để cho
x L1x và L2y y thì ta có 1) ;
2) Nếu = thì dẫn đến hxi+ =hyi+.
Định lý 3.1
Cho là tập mở, bị chặn và chứa gốc của không gian Banach thứ tự (X; K;k:k),
A : K \ ! 2K
n f?g là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có giá trị lồi
đóng.
1) Nếu tồn tại ánh xạ L (đơn trị) tuyến tính dương, liên tục có bán kính phổ
r(L) 1 và thoả
A(u)
(1)
Lu và u =2A(u) 8u2K \@ (3.5)
thì iK(A; ) = 1:
u0 dương trên K; có bán kính phổ r(L) 1 và thoả Lu (2) A(u) và u =2A(u) 8u2K \@ : (3.6) Khi đó iK(A; ) = 0. Chứng minh. 1. Để áp dụng Mệnh đề 3.7, ta sẽ chứng tỏ rằng u =2A(u) 8u2K\@ và 8 >1: (3.7) Thật vậy, nếu trái lại (3.7) không đúng, ta tìm được u 2 K \@ và > 1 để cho
u 2 A(u). Theo (3.5) thì u Lu, dẫn đến I 1L u . Do r 1L =
1r(L) < r(L) 1 nên tồn tại I 1L 1 là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục.
Điều này cho thấy rằng u ; do đó u= ; ta có mâu thuẫn. 2. Giả sử x0 2K, ta chứng tỏ rằng
u =2A(u) + x0 8u2K\@ và 8 >0: (3.8) Giả sử trái lại, ta tìm được u 2K \@ và > 0 để cho u2 A(u) + x0. Khi đó, từ (3.6) ta suy ra u Lu. Theo Định lý Krein-Rutman thì r(L) là một giá trị riêng của
L. Tức là tồn tạiy2K để choLy =r(L)yvà do đó theo Mệnh đề 3.8 (Keener-Travis) ta có r(L) = 1 và u2 hyi+. Đặtu= y ( >0) thì ta cóLu=u: Điều này dẫn đến
u Lu+ x0 =u+ x0;
mâu thuẫn. Áp dụng Mệnh đề 3.7 ta suy raiK(A; K) = 0. Định nghĩa 3.4
Cho X; Y là các không gian tuyến tính tôpô, ánh xạ đa trịF :X !2Y gọi làánh xạ lồi nếu tập graph(F) = f(x; y)2X Y :y2F (x)g là tập lồi trong không gian tíchX Y:
Một điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị là lồi được phát biểu bởi nhận xét bên dưới mà việc chứng minh không khó khăn.
Ánh xạ đa trị F :X !2Y là lồi khi và chỉ khi
(1 t)F (x) +tF(y) F ((1 t)x+ty) 8x; y 2X;8t2(0;1) (3.9) Định lý 3.2
Cho là tập mở, bị chặn chứa điểm gốc ; ánh xạ đa trị T : K ! 2K
n f?g là
nửa liên tục trên, compact, lồi và nhận giá trị đóng, đồng thời không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó:
1) iK(T; ) = 0 nếu T có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn hơn 1; 2) iK(T; ) = 1 nếu T không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn hơn 1.
Chứng minh.
Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 3.7. Ta chứng minh khẳng định đầu. Thật vậy, giả sử ( 0; x0) là cặp riêng dương của T với 0 >1. Ta chứng tỏ giả thiết sau đây của Mệnh đề 3.7 được thoả
x =2T(x) + x0 8x2K\@ ,8 >0: (3.10) Giả sử trái lại rằng, tồn tại x 2 K \@ và 0 để cho x 2 T (x) + x0: Khi đó, 9y2T (x) để cho x=y+ x0: Với các số dương ; bất kỳ ta có
0x+ x0 = 0y+
0 + 0x0:
Do đó
0x+ x0 2 0T(x) +
0 + T (x0): (3.11) Bây giờ, ta cần tìm các số dương , để cho có các đẳng thức:
= 0 + và 0+ 0 + = 1: (3.12) Giải hệ (3.12) ta tìm được = 0+ 0 0 1 1 và = 0 0 1: (3.13)
Với và xác định như (3.13), đặt v = 0x+ x0 2 K. Với chú ý T là ánh xạ lồi ta có
0T (x) +
0 + T(x0) T 0x+
0 + x0
và điều này cùng với (3.11) dẫn đến v 2 T(v) là điều mâu thuẫn. Vậy khẳng định (3.10) là đúng. Áp dụng Mệnh đề 3.7 ta cóiK(T; ) = 0.
Định lý 3.3
Cho là tập mở, bị chặn chứa điểm gốc ; các ánh xạ đa trị F; ':K !2Kn f?g
là nửa liên tục trên, compact và nhận giá trị lồi đóng, đồng thời không có trong K\@
véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 và thoả F (x) '(x) với mọi x 2 K \@ . Khi đó iK(F; ) = iK('; ).
Chứng minh.
Với mỗi 2[0;1]và x2 K ta đặt H( ; x) = F (x) + (1 )'(x). Từ giả thiết
F (x) '(x) và ' có giá trị lồi ta có
x H( ; x) x '(x) 8x2K \@ :
Điều này cùng với giả thiết x =2 '(x) đưa đến x =2 H( ; x) 8x 2 K \@ : Theo tính chất bất biến qua đồng luân ta có iK(F; ) =iK('; ).
Định nghĩa 3.5
Cho các ánh xạ đa trị F; ': K !2K
n f?g. Với mỗi x2K ta ký hiệu
kF(x) '(x)k0 = supfky y0k:y 2F(x); y0 2'(x)g và nói rằng cặp ánh xạ(F; ')
1) thoả điều kiện (c0) nếu lim
x2K;kxk!0
kF(x) '(x)k0
kxk = 0;
2) thoả điều kiện (c1) nếu lim
x2K;kxk!1
kF(x) '(x)k0
kxk = 0:
Ví dụ
Xét X = (R;j:j),K =R+; B = [0;1]:
1. Cho các hàm đa trị F; ' : K ! 2K, xác định bởi F (x) = x+x2B, '(x) = x. Cặp (F; ') thoả điều kiện (c0)
2. Cho F; ':K !2K, định bởi F (x) = 8 > < > : f0g, x= 0 x+ 1xB, x2(0;1] và '(x) =x: Với x 6= 0 ta có sup y2F(x);y02'(x) ky y0k kxk = sup 2B jx+1x xj jxj = sup 2Bjxj2 ! 0 (khi x ! +1). Vậy (F; ') thoả (c1).
3. Nếu F :X !X là ánh xạ đơn trị thoả F( ) = và ' là đạo hàm Fréchet theo nón K của F tại (tương ứng tại 1) thì (F; ') thoả điều kiện (c0) (tương ứng thoả điều kiện (c1)).
Định lý 3.4
Cho (X; K;k:k)là không gian Banach thứ tự và F; ':K !2K
n f?g là các ánh xạ
đa trị compact, nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi đóng, 2F ( ), đồng thời ' không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 và ' là 1-thuần nhất dương (theo nghĩa '( x) = '(x);8 >0). Khi đó có đẳng thức
iK(F; Br( )) =iK('; Br( )) (3.14)
trong các trường hợp sau:
(i) (F; ') thoả (c0), số r đủ nhỏ, (ii) (F; ') thoả (c1), số r đủ lớn.
Chứng minh.
8x 2 K, và 2 [0;1], đặt H( ; x) = F (x) + (1 )'(x). Ta có H( ; :) là compact, nửa liên tục trên và có giá trị lồi đóng. Với mỗi x 2 K, y 2 F (x) và
y0 2'(x) ta có
kx y (1 )y0k = kx y0 (y y0)k kx y0k ky y0k
kx y0k ky y0k: (3.15) Trước hết, ta chứng tỏ tìm được số dương b để cho
infw2'(x)kx wk bkxk 8x2K: (3.16) Thật vậy, đặtb= inffkx yk:x2K;kxk= 1, y2'(x)g. Nếub = 0 thì ta tìm được
các dãyfxng,fyng trong K thoả
kxnk= 1; yn2'(xn) và kxn ynk !0.
Từ tính compact của'ta có thể giả sửlimyn =y0 2Kvà do đó tồn tạilimxn=y0 2K
vàky0k= 1:Từ tính nửa liên tục trên của' ta suy ray0 2'(y0);điều này mâu thuẫn, vậy ta cób >0. Bây giờ vớix2K, đặtx= x0;với =kxk;ta cóx0 2K vàkx0k= 1;
cùng với tính thuần nhất của ' ta có
infw2'(x)kx wk
kxk =
infw
2'(x0) x0 w
kx0k b:
Vậy khẳng định (3.16) được chứng minh. Từ (3.15) và (3.16) ta có
kx y (1 )y0k
kxk b
kF(x) '(x)k0
kxk : (3.17) Trường hợp (F; ') thoả (c0), ta tìm được số r > 0 đủ nhỏ để b kF(x) '(x)k0
kxk >0, 8x;kxk r. Do đó từ (3.17) ta có x =2 H( ; x) 8x 2K\@Br( ). Áp dụng tính chất bất biến đồng luân ta có iK(F; Br( )) = iK('; Br( )): Trường hợp (F; ') thoả (c1) ta lập luận tương tự.
Định lý 3.5
Cho (X; K;k:k) là không gian Banach thứ tự, X = K K và A : K ! 2Kn f?g
là ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng: Giả sử 1, 2 là các tập mở, bị chặn, 2 1
( 2 và thoả các điều kiện:
(i) Tồn tại các ánh xạ tuyến tính P, Q : K ! K hoàn toàn liên tục, lần lượt có bán kính phổ là r(P),r(Q); với P là u0 dương, và có một trong hai trường hợp sau:
P x (2) A(x) 8x2K\@ 1; A(x) (1) Qx 8x2K\@ 2 (3.18) hoặc P x (2) A(x) 8x2K\@ 2; A(x) (1) Qx 8x2K \@ 1; (3.19) (ii) 0< r(Q)< r(P):
Khi đó với 2(r(Q); r(P)) thì phương trình x2A(x) có nghiệm trong Kn f g.
Đặt := 1. Ta có thể giả sử A không có điểm bất động trên@ 1
[@ 2, vì nếu trái lại thì ta có ngay điều phải chứng minh. Nếu (3.18) được thoả, thì ta có
A(u)
(1)
Qu8u2K\@ 2:
Với r( Q) 1. Như vậy theo Định lý 3.1 thì iK( A; 2) = 1. Cũng do Định lý 3.1 cho chặn dưới tuyến tính P với r( P) 1 ta có iK( A; 1) = 0. Theo tính cộng tính của bậc tôpô tương đối cóiK A; 2
n 1 = 1. Do đó Acó điểm bất động trong 2
n 1. Chứng minh tương tự khi có giả thiết (3.19). Với mỗi ánh xạ đa trị ':K !2K
n f?g ta ký hiệu:
r (') = sup >0 :9x2Kđể x2'(x) ; quy ước sup?= 0;
r (') = inf >0 :9x2Kđể x2'(x) ; quy ước inf?=1:
Định lý 3.6
Cho (X; K;k:k) là không gian Banach thứ tự và A : K ! 2K
n f?g là ánh xạ đa
trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng. Giả sử tồn tại các ánh xạ đa trị lồi
P, Q :K !2K
n f?g compact, nửa liên tục trên, có giá trị đóng, 1-thuần nhất dương
và thoả mãn các điều kiện sau
(i) (A; P) thoả điều kiện (c0),(A; Q) thoả điều kiện (c1);
(ii) 0< r (P)< r (Q)<1 hoặc 0< r (Q)< r (P)<1:
Khi đó nếu 2 (r (P); r (Q)) hoặc 2(r (Q); r (P)) thì phương trình x2A(x)
có nghiệm trong Kn f g.
Chứng minh.
Đặt = 1, F = A, '1 = P,'2 = Q.
Trước tiên ta sẽ chứng tỏ tồn tại hai số dương r1 vàr2 (r1 < r2) để 1 =B( ; r1);
2 =B( ; r2) thoả mãn
iK F; 1 =iK '1; 1 và iK F; 2 =iK '2; 2 : (3.20) Thật vậy, áp dụng Định lý 3.4 cho cặp ánh xạ (F; '1), ta tìm được số r1 đủ nhỏ để iK(F; B( ; r1)) = iK('1; B( ; r1)). Tương tự tìm được số dương r2 đủ lớn để
iK(F; B( ; r2)\K) = iK('2; B( ; r2)\K). Vậy (3.20) được thoả.
Giả sửr (P)< < r (Q):Áp dụng Định lý 3.2 ta cóiK(F; 2) = 0vàiK(F; 1) = 1; điều này dẫn đến khẳng định cần chứng minh. Trường hợp giả thiết r (Q) < < r (P) được xét tương tự.