2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
3.1.2 Bậc tôpô tương đối
Khái niệm bậc tôpô tương đối của toán tử đa trị cô đặc theo một độ đo phi compact đã được trình bày trong [15]. Ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm này cho trường hợp riêng của ánh xạ cô đặc là ánh xạ compact và liệt kê một số tính chất hữu ích của nó mà không trình bày chứng minh.
Cho D là tập mở, bị chặn của không gian Banach X với thứ tự sinh bởi nónK và giả sử F :K\D !2Kn f?g là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có giá trị lồi đóng. Nếux =2F (x)với mọi x2K\@D thì bậc tôpô tương đối củaF trên Dđối với K được xác định, là một số nguyên và được ký hiệu bởi iK(F; D): Bậc tôpô này có tất cả các tính chất hữu ích như bậc tôpô của ánh xạ đơn trị compact.
Mệnh đề 3.6 ([15], Theorem 2.1)
Cho D là tập mở, bị chặn của X; F :K\D !2K
n f?g là ánh xạ đa trị nửa liên
Khi đó:
1) Nếu iK(F; D)6= 0 thì F có điểm bất động.
2) Nếu x0 2D\K thì iK(xb0; D) = 1, với xb0 là ánh xạ hằng nhận giá trị là x0:
3) Nếu U1; U2 chứ trong U là hai tập mở rời nhau và nếu x =2F (x) với mọi x 2
K\ Un(U1[U2) thì ta có
iK(F; U1) +iK(F; U2) =iK(F; U):
4) Nếu H : [0;1] K\D !2K
n f g nửa liên liên tục trên, compact với giá trị
lồi đóng và nếu x =2H(t; x) cho mọi (t; x)2[0;1] (K\@D) thì
iK(H(1; :); D) =iK(H(0; :); D)
(gọi là tính chất bất biến qua đồng luân).
Dựa theo chứng minh Định lý 3.2 trong [15], chúng tôi chứng minh một kết quả phục vụ cho việc tính bậc tôpô của ánh xạ compact dương được phát biểu bởi mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 3.7
Cho (X; K;k:k) là không gian Banach thứ tự, là tập mở, bị chặn, chứa điểm gốc
và ánh xạ đa trị dương T :K\ !2K
n f?g là ánh xạ nửa liên tục trên, compact,
nhận giá trị lồi, đóng. Khi đó:
1) iK(T; ) = 0nếu tồn tại u2Kn f gđể cho x =2T(x) +kuvới mọi x2K\@
và mọi k 0:
2) iK(T; ) = 1 nếu kx =2T (x) cho mọi x2K\@ và mọi k 1:
Chứng minh.
1. Với ánh xạ compact H(t; x) = (1 t)T(x) +tku;ta chứng minh mệnh đề 9k0 >0 :8k k0;8t2[0;1] thì (x2K \@ )x =2H(t; x)): (3.3) là đúng. Thật vậy, giả sử trái lại mệnh đề (3.3) không đúng. Khi đó ta tìm được các dãy fxng K\@ , ftng [0;1]; fkng R và fyng thoả yn 2T (xn); kn ! 1và
Từ tính compact củaT và đẳng thức (3.4) ta suy ra dãyftnknglà bị chặn và ta có thể chọn dãy con của nó hội tụ, ta có thể giả sử tnkn ! k 0, và từ giả thiết kn ! 1 thì ta có tn !0: Từ (3.4) và tập T (K\@ ) là compact tương đối nên ta có thể giả sử thêmyn!y0 và do đóxn !x0 2K \@ . Theo Mệnh đề 3.3 thì y0 2T(x0). Cho
n ! 1 trong (3.4) thì ta có x0 = y0 +ku. Mâu thuẫn với giả thiết của khẳng định 1). Vậy khẳng định (3.3) được chứng minh. Theo tính chất bất biến qua đồng luân áp dụng choH(t; x); thì iK(T; ) =iK(u;b )với ublà ánh xạ hằngx7! fkug: Khi k đủ lớn thì ku =2K \ nên ánh xạ bu không có điểm bất động và do đó theo Mệnh đề 3.6 ta nhận được iK(u;b ) = 0:
2. Ta sẽ sử dụng tính bất biến qua đồng luân cho ánh xạ compact H(t; x) = (1 t)A0(x) +tT(x) với A0 là ánh xạ hằng x 7! f g. Với giả thiết của khẳng định (2) thì x =2 H(t; x) cho mọi (t; x) 2 [0;1] (K\@ ) và do đó theo Mệnh để 3.6 thì
iK(T; ) = iK(A0; ) = 1: