lý thuyết về phương trình trong không gian bannach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quang Vũ Chuyên ngành Mã số : Tốn giải tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học chun ngành Giải tích khóa 17- trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.Thầy Cô mang đến cho em kiến thức Toán học sâu rộng, bổ ích thú vị Em xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy.Thầy người khơi nguồn ý tưởng ,tạo em ý thức ham học hỏi lòng say mê nghiên cứu khoa học.Thầy hết lòng tận tâm hướng dẫn, giúp em tích lũy nhiều học kinh nghiệm bổ ích để em thực Luận văn Luận văn hẳn cịn có thiếu sót Kính mong nhận góp ý q Thầy Cơ MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian Banach có thứ tự năm 1940 phát triển ngày Lý thuyết tìm ứng dụng có giá trị nhiều lĩnh vực Vật lý, Sinh học, Hoá học, Kinh tế … Trong lý thuyết nhiều lớp phương trình nghiên cứu phương pháp khác nhà toán học từ nhiều trường phái Việc tập hợp kết số lớp phuơng trình trình bày chúng cách có hệ thống việc làm cần thiết Mục tiêu luận văn trình bày số kết tồn nghiệm dương lớp phương trình khơng gian có thứ tự phương trình khơng gian Banach có thứ tự đề chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình vi phân tích phân Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày khái niệm mặt nón dạng nón khơng gian Banach có thứ tự,lý thuyết bậc topo mặt nón,các kết điểm bất động dương ánh xạ compac điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: Trình bày tồn nghiệm dương lớp phương trình vi phân,tích phân.Trong đó,chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm dương tuần hồn phương trình tích phân,nghiệm dương tốn biên 3_điểm nghiệm phương trình vi phân hàm Chương 3: Trình bày phương trình vi phân chứa tham số, ứng dụng định lý phân nhánh tồn cục vào mơ hình lị phản ứng hạt nhân hệ phản ứng khuếch tán Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ 1.1.Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1.Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa: 1) Tập K khơng gian Banach thực X gọi nón i) K tập đóng ii) K  K  K ,  K  K ,   iii) K  ( K )  { } 2) Nếu K nón thứ tự X sinh K định : x  y  y  xK Mỗi x  K \ { } gọi dương Mệnh đề 1: Giả sử “  ” thứ tự sinh nón, 1) x  y  x  z  y  z, x  y, z  X ,   2) xn  y n (n  N * ), lim xn  x, lim y n  y   x  y 3) Nếu {xn} dãy tăng, hội tụ x x n  x, n  N * Chứng minh 1) Ta có (y+z)-(x+z)=y-x  K  y  x   ( y  x )  K 2) Suy từ tính chất đóng K 3) Cho m   bất đẳng thức x n  x n  m 1.1.2.Nón chuẩn Định nghĩa : Nón K gọi nón chuẩn nếu: N  :   x  y  x  N y Mệnh đề : Giả sử “  ” thứ tự sinh nón chuẩn, 1) Nếu u  v đoạn  u, v : {x  X : u  x  v} bị chặn theo chuẩn 2) Nếu x n  y n  z n (n  N * ) lim x n  a, lim z n  a lim y n  a 3) Nếu {xn} đơn điệu, có dãy hội tụ a lim x n  a Chứng minh 1) x  u, v    x  u  v  u  x  u  N v  u  x  u  N u  v 2)   y n  x n  z n  x n  y n  x n  N z n  x n 3) Coi {xn} tăng lim xnk  a k  Vì xn  xnk ( n cố định, k đủ lớn) nên xn  an  N * Cho   , chọn k0 để x nk0  a   / N ta có n  nk0  a  x n  a  x nko a  xn  N a  xnk   1.1.3.Nón quy: Định nghĩa : Nón K gọi nón quy dãy tăng, bị chặn hội tụ Mệnh đề 3: Nón quy nón chuẩn Chứng minh Giả sử K nón quy khơng nón chuẩn, đó: n  N *xn , y n :   xn  y n , xn  n y n Đặt u n  xn / xn ,  y n / xn  u n  , u n  1, 0 cho  no , G mở : noC  G (do định lý Baire) 2 Vì C lồi, đối xứng nên : C  C  C  C  II) Ta chứng minh : 1 G G (mở, chứa  ) 2no 2no r B  C ( B:= B (0,1)) r Lấy a  B  Ta xây dựng dãy {xn} thoả : xn  1n C , Thật vậy, Ta có : a  a  x1  n a   xk < k 1 r r B  n C nên y  n B,   0, x  n C n 2 2 r 2n 1 yx  r r B  x1  C : a  x1  2 2 r r B  x2  C : a  x1  x2  , 2 2  Vì xn  1 C nên un ,  K : xn  un  , un ,  n n 2   1 Đặt u   un , v   , ta có a  u  v , u , v  a  C r III) x   , ta có x  u ' v ' với u ', v '  K , u ' , v '  x  x  u  v, u, v  K , u , v  M x ( M : ) r 1.2 Điểm bất động dương ánh xạ compắc 1.2.1 Bậc topo toán tử dương Bổ đề : Cho khơng gian Banach X, tập đóng M  X ánh xạ compắc A : M  X Khi tồn ánh xạ compắc A : X  X Sao cho : A( x)  A( x) x  M , A( x)  co( A( M )) Định nghĩa: Cho X không gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn, A : K  G  K ánh xạ compắc cho Ax  x x  K  G Gọi A : X  X ánh xạ compắc cho :  A( x)  A( x), x  K  G (*)   A( X )  K Khi x  A( x)   x  G nên bậc topo deg ( A, G, ) xác định Ta định nghĩa ik ( A, G )  deg ( A, G, ) Và gọi ik ( A, G ) bậc topo theo nón K ánh xạ A tập mở G  Kiểm tra định nghĩa có lý : Giả sử Â mở rộng khác A thoả (*) Xét ánh xạ F ( x, t )  t A( x)  (1  t ) A( x) ta có: F ( x, t )  x, ( x, t )  G  [0,1]   deg( A, G,  )  deg( A, G,  ) F ( x, 0)  A( x), F ( x,1)  A ( x)  Tính chất: 1) Giả sử Ao, A1 compắc đồng luân dương K  G theo nghĩa : tồn ánh xạ compắc F : ( K  G )  [0,1]  K cho F ( x, t )  x, F ( x, o)  A0 ( x), F ( x,1)  A1 ( x) Thế thì: ik ( A0 , G )  ik ( A1 , G ) 2) Giả sử G, G1, G2 tập mở bị chặn, G1  G2   , Gi  G , (i  1, 2) A : K  G  K compắc thoả mãn: A( x)  x , x  K  (G \ (G1  G2 )) Khi ik ( A, G )  ik ( A, G1 )  ik ( A, G2 ) 3) Nếu A : K  G  K compắc ik ( A, G )  A có điểm bất động K  G 1.2.2 Tính bậc: Giả sử G tập mở, bị chặn, chứa  Bổ đề: Giả sử A( x)  x0  K Khi 1, neu x0   ik ( A, G )   0, neu x0  G Chứng minh x0    ik (0, G )  deg( , G, )  x0  G (A khơng có điểm bất động G)  ik ( A, G )  Định lí 1: Cho A: K  G  K ánh xạ compắc 1) Nếu Ax   x , x  K  G ,   ik ( A, G )  2) Nếu tồn phần tử x0  K \{0} cho x  Ax   x0 , x  K  G ,   ik ( A, G )  Chứng minh 1) A đồng dương với A0 ( x)   (xét F(x,t)=t A(x)) 2) Ta chứng minh A đồng luân dương với A0 ( x)   x0  đủ lớn Chỉ cần chứng minh 0 cho x  (1  t ) A( x)  t  x0 , x  K  G ,   0 , t  [0,1] Giả sử trái lại xn  K  G, tn  [0,1], n   , cho: xn  (1  tn ) Axn  tn n x0 (1) Có thể coi ( khơng ta xét dãy con) lim tn n    (do { tn n } bị chặn), lim tn =0 ( lim n   ) Do A compắc nên { A( xn ) } hội tụ { xn } hội tụ x  K  G Khi qua giới hạn (1) Ta có: x  Ax   x0 (vơ lý) Hệ quả: Giả sử B: X  X ánh xạ tuyến tính compắc, dương khơng có vectơ riêng K với giá trị riêng 1.Khi đó: 1) ik ( B, G )  nêú B khơng có vectơ riêng K với giá trị riêng   2) ik ( B, G )  B có vectơ riêng K với giá trị riêng   Chứng minh 1) Được suy từ 1) định lý 2) Giả sử Bx0   x0 , x0  K \{ } ,   Ta có: x  Bx  tx0 , x  K  G  Bv  v với v  x  t x  1  v  K  t