Ứng dụng lý thuyết phương trình trong không gian banach có thứ tự và một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  TRẦN ĐÌNH THANH Chuyên ngành: Mã số: TOÁN GIẢI TÍCH 1.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY PGS TS LÊ HOÀN HÓA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2004 LỜI CAM ĐOAN  Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, số liệu, kết luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án LỜI CÁM ƠN   Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY, tận tình hướng dẫn, động viên dìu dắt suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận án  Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy đồng hướng dẫn, PSG TS LÊ HOÀN HÓA tận tình giúp đỡ động viên suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận án  Tôi xin chân thành cám ơn thầy giới thiệu luận án, đọc cho ý kiến nhận xét sâu sắc  Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng Khoa Học Công nghệ Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận án Tác giả luận án MỞ ĐẦU Trong luận án áp dụng số kết lý thuyết phương trình toán tử không gian Banach có thứ tự, để nghiên cứu cấu trúc nghiệm số lớp phương trình bất phương trình vi phân Lý thuyết phương trình toán tử không gian Banach có thứ tự hình thành công trình mở đầu [22] M Krein A Rutman vào năm 1940 phát triển rực rỡ vào thời kỳ 1950-1980 công trình M A Krasnoselskii học trò oâng [19,20,21], cuûa H Schaffer, H Amann, N E Dancer, R Nussbaum, … (xem [3,11,33] tài liệu tham khảo đó) Các kết trừu tượng lý thuyết tìm ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu định tính định lượng nhiều lớp phương trình bất phương trình vi phân xuất phát từ học, vật lý, hóa học, y-sinh học, … ưu điểm sau: Chúng cho phép chứng minh tồn nghiệm với tính chất đặc biệt tính dương, tính lồi, … tính chất cần có nghiệm phương trình xuất phát từ mô hình thực tế Chúng cho phép chứng minh tồn nghiệm phương trình chứa hàm gián đoạn phương trình thường gặp thực tế Đến nay, việc xây dựng lý thuyết phương trình toán tử không gian Banach có thứ tự hoàn thành ý tập trung vào việc tìm ứng dụng lý thuyết vào lớp toán Chính từ việc nghiên cứu lớp phương trình mà gần nhận số kết trừu tượng [8,9,26,28] Luận án gồm phần mở đầu, kết luận hai chương Trong chương nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm số lớp phương trình vi phân thường chứa tham số Trong chương chứng minh tồn nghiệm cực trị (nghóa nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất) cho hai toán dạng biến phân Các toán khảo sát chương có dạng tổng quát sau: Cho X không gian Banach thực P  X nón, I  (0, ) I  0,  , F : I  P  P ánh xạ hoàn toàn liên tục Xét toán tìm cặp (, x)  I  P \  thỏa mãn phương trình: x  F(, x) (0.1) Thông thường, nghiệm (0.1) không tồn đơn lẻ, rời rạc ta quan tâm nhiều vấn đề, liệu tập nghiệm:   (, x)  I  P \ : x  F(, x) có chứa tập liên thông hay không tập giá trị  để (0.1) có nghiệm, có lấp đầy khoảng hay không Các tác giả H Amann, E N Dancer, R Nussbaum, Nguyễn Bích Huy, … nhận kết phân nhánh toàn cục tập nghiệm  phương trình (0.1) không gian có thứ tự, tương tự định lý Rabinowitz Tuy nhiên, việc nghiên cứu tập nghiệm  thuận lợi ánh xạ F khả vi Frechet   Trong luận án khảo sát phương trình với ánh xạ không khả vi   Do đó, để nghiên cứu cấu trúc nghiệm (0.1) áp dụng phương pháp Krasnoselskii khảo sát riêng rẽ cấu trúc tập: S  x  P \    I : (, x)   (tập hình chiếu   lên X ) sau tập giá trị   I để (0.1) có nghiệm Ta có định nghóa sau Krasnoselskii [20] Định nghóa Ta nói tập S nhánh liên tục, không bị chặn xuất phát từ  với tập mở, bị chặn G   S  G   Khi tập nghiệm S nhánh liên tục, không bị chặn, Krasnoselskii chứng minh định lý bảo đảm tập giá trị  để (0.1) có nghiệm, lấp đầy khoảng Tuy nhiên theo chúng tôi, giả thiết mà Krasnoselskii đưa chưa đủ chứng minh ông khoảng trống Trong §1 chương đưa chứng minh chỉnh lý kết Krasnoselskii (định lý 1.1.8) Cũng §1 chứng minh số kết hàm lõm nêu số kết có đánh giá bán kính phổ toán tử tuyến tính u0-bị chặn Các kết sử dụng nhiều lần mục sau Ở §2 chương nghiên cứu toán biên giá trị riêng sau: x //  a(t )f (x)  ,  t  1, (0.2) x(0)  x(1)  0, a : 0,1  |R+ , f: |R+  |R+ hàm liên tục, không đồng khoảng tồn giới hạn: f (x )  f0 , x0 x Lim f (x )  f x  x Lim Bài toán (0.2) xuất phát từ nhiều lónh vực khoa học tự nhiên (xem [17] tài liệu tham khảo đó) Nếu f0 , f số hữu hạn, khác toán tử tích phân tương ứng với toán biên (0.2) có đạo hàm   Trong luận án cho phép f0 , f  Khi nghiên cứu toán (0.2) [17], tác giả J Henderson H Wang không khảo sát cấu trúc tập nghiệm S  dùng định lý Krasnoselskii điểm bất động nón để chứng minh tồn khoảng giá trị  để toán (0.2) có nghiệm dương Chúng dùng phương pháp khác để nghiên cứu (0.2) Đầu tiên dùng lý thuyết bậc tôpô trường compắc với toán tử dương để chứng minh tập nghiêm S (0.2) tạo thành nhánh liên tục không bị chặn Dựa vào kết định lý 1.1.8, nhận khoảng cụ thể giá trị  để (0.2) có nghiệm dương, khoảng rộng khoảng nhận [17] Kết trình bày §2 chương công bố [ I ] Trong §3 chương khảo sát toán biên giá trị riêng: / (x )  f (t, x, x )  , / /  t 1 , (0.3) x(0)  x(1)  ,  /  (x )   x /  / p2 / x  gọi toán tử p-Laplace Bài toán dạng (0.3) mô tả  / nhiều tượng lónh vực khoa học tự nhiên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thời gian gần (xem [1,13,14,15] tài liệu tham khảo đó) Trong [1], tác giả R Agarwal, H Lü, D O’Regan nghiên cứu toán (0.3) với hàm f không phụ thuộc đạo hàm x/ chứng minh tồn khoảng giá trị  để toán có nghiệm dương nghiệm dương Chúng áp dụng phương pháp Krasnoselskii để nghiên cứu (0.3) nhận kết sau:  Tập nghiệm S (0.3) nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ   Tập giá trị  để (0.3) có nghiệm dương lấp đầy khoảng Khoảng rộng khoảng nhận [1 ] Hơn nữa, đầu mút khoảng luận án tính công thức gọn rõ ràng so với đầu mút khoảng tìm [1] Để nhận đïc kết tốt chứng minh số kết phụ có ý nghóa độc lập bất phương trình vi phân giá trị riêng toán tử p-Laplace Các kết nhận §3 chương công bố [V] Trong §4 chương nghiên cứu toán biên chứa tham số sau:   x //  2 f  x, x /   ,    x(0)  x(1)   t 1 , (0.4) Nhö [20], toán biên (0.4) xuất phát từ toán tìm nghiệm tuần hoàn (chu kỳ chưa biết) phương trình vi phân ôtônôm bậc sau thường gặp lónh vực học thiên theå y //  f (y, y / )  Tuy đặt từ lâu việc nghiên cứu (0.4) đạt kết tồn nhánh liên tục không bị chặn tập nghiệm Krasnoselskii chứng minh kết cho trường hợp f không phụ thuộc đạo hàm x/, Bakhtin Nguyễn Bích Huy [25] chứng minh cho trường hợp tổng quát Vấn đề tồn khoảng cụ thể giá trị  để (0.4) có nghiệm, chưa nghiên cứu thỏa đáng Trong luận án nhận kết sau toán (0.4)  Tập nghiệm S (0.4) nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  f thỏa điều kiện: g1 (x)  f (x, x / )  g (x)  c x / q (0.5) với c  , q  (0,1) vaø g1 , g : |R+ |R+ laø hàm liên tục, không khoảng Nếu so với giả thiết sau đặt [25]: r ax  b  f (x, x / )  c(x)1  x /  , r  (0,2)   giảm nhẹ điều kiện chặn làm chặt điều kiện chặn hàm f  Với giả thiết (0.5) giả thiết tồn giới hạn x  , x   hàm g1 (x) g (x) , nhận hai kết khoảng giá trị  để (0.4) x x có nghiệm Các kết §4 công bố [ IV ] Trong chương luận án sử dụng định lý điểm bất động ánh xạ tăng không gian có thứ tự để chứng minh tồn nghiệm cực trị cho hai toán dạng biến phân Việc áp dụng trực tiếp định lý điểm bất động vào toán biến phân thường gặp khó khăn Phương pháp sử dụng kết lý thuyết phương trình đạo hàm riêng để đưa toán biến phân toán tìm điểm bất động ánh xạ tăng Sau nhờ định lý tồn điểm bất động cực trị ánh xạ tăng mà chứng minh tồn nghiệm cực trị toán biến phân ban đầu Trong §2 chương nghiên cứu toán tìm nghiệm yếu cực trị cho phương trình logistic, trường hợp đặc biệt phương trình elliptic sau:  u  f (x, u)  , u   , (0.6) với  |RN miền mở, bị chặn với biên trơn, f :   |R|R hàm Caratheodory Khi f hàm khả vi, Amann Crandal [2] chứng minh tồn nghiệm cổ điển thuộc lớp    C    W02, p () lớn nhỏ (0.6) nghiệm nghiệm cho Sự tồn nghiệm yếu lớn nhất, nhỏ (0.6) nghiệm yếu nghiệm yếu chứng minh Dancer – Sweers [12] f liên tục Carl-Heikkila [10] f gián đoạn Gần tác giả Nguyễn Bích Huy [27] nghiên cứu tồn nghiệm yếu cực trị (0.6) theo hướng giả thiết tồn nghiệm yếu thay điều kiện tồn nghiệm yếu điều kiện bị chặn tập nghiệm yếu Trong luận án nghiên cứu theo hướng Xét phương trình logistic mô tả tăng trưởng thú môi trường tự nhiên:     v n  m(x)v  v q  , v  treân  , (0.7) n  |N, q>1 hàm trọng m(x) thuộc không gian hàm cụ thể Trường hợp n = (mô hình khuếch tán tuyến tính) m(x) bị chặn tồn nghiệm cổ điển nghiên cứu từ năm 1980 Trường hợp n  m(x)  Ls () với s   , tồn nghiệm yếu (0.7) nghiên cứu J Hernandez, Drabek [13,18] Nguyễn Bích Huy [27] Các nghiên cứu tính qui nghiệm yếu phụ thuộc vào độ lớn s:   s >N nghiệm yếu thuộc lớp C1  , s  Trường hợp n>1 s  Nq nghiệm yếu thuộc W01,2 ()  L () 2(q  1) N nghiên cứu [18] Trong luận án xét trường hợp n>1 cho phép s nhỏ N Bằng phép biến đổi u  v n toán biên (0.7) đưa dạng:  u  m(x)u r  u q  , u   , với (0.8) r