Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình Parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VŨ THỊ KHÁNH LY MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VŨ THỊ KHÁNH LY MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp chỉnh hóa 1.2 Nửa nhóm giải tích 11 Chương Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach 20 2.1 Giới thiệu toán 20 2.2 Phương pháp chỉnh hóa 22 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI NÓI ĐẦU Trong thập kỷ qua, lĩnh vực toán ngược toán đặt không chỉnh lĩnh vực phát triển mạnh mẽ toán học ứng dụng Nó mô hình nhiều toán thực tế khoa học, công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó toán kiện trình vật lý không đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận văn này, muốn đề cập tới phương trình parabolic ngược thơi gian Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, ta cần xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ đo đạc thời điểm Bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm toán tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Cho tới có nhiều báo viết phương trình parabolic ngược thời gian Tuy nhiên, hầu hết báo dành cho phương trình không gian Hilbert Rất báo dành cho phương trình không gian Banach Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach, lựa chọn đề tài cho luận văn : "Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach" Mục đích luận văn sở tham khảo kỹ thuật sử dụng báo [7], đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach X ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε (1) với f ∈ X ε > Cụ thể, chỉnh hóa toán (1) toán đặt chỉnh vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f (2) với a > 1, α > đưa đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp Chú ý trường hợp a = giải báo [7] Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa số ví dụ minh họa Sau trình bày nửa nhóm sinh toán tử, đặc biệt nửa nhóm giải tích ví dụ minh họa để làm sở cho việc trình bày chương Chương 2: Trong chương này, giới thiệu toán cần chỉnh hóa Sau đề xuất phương pháp chỉnh hóa đưa đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa SP Toán học cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, khoa SP Toán học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành đề cương, luận văn Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng 10 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1] [16] 1.1 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp chỉnh hóa 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi d gọi metric X không gian (X, d) lập thành không gian metric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài toán tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi toán đặt chỉnh cặp không gian metric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X ; ii) nghiệm x nhất; iii) Bài toán ổn định cặp không gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện không thỏa mãn toán tìm nghiệm gọi toán đặt không chỉnh Đôi người ta gọi toán đặt không quy toán thiết lập không đắn 1.1.5 Ví dụ 1) Xét chuỗi Fourier ∞ f1 (t) = an cos(nt) n=0 Với hệ số (a0 , a1 , , an , ) ∈ l2 cho xấp xỉ cn = an + nε , n ≥ c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f2 (t) = cn cos(nt), n=0 có hệ số (c0 , c1 , , cn , ) ∈ l2 Và khoảng cách chúng ∞ (cn − an )2 ε1 = n=0 ∞ =ε n=1 n2 =ε π2 Do khoảng cách hai hệ số làm nhỏ ε lấy nhỏ tùy ý Trong đó, ∞ f2 (t) − f1 (t) = ε n=1 cos(nt) n làm cho lớn Ví dụ t = chuỗi phân kỳ Điều nói lên khoảng cách hai hàm f1 f2 xét không gian hàm với độ đo toán tính tổng chuỗi Fourier không ổn định hệ số chuỗi có thay đổi nhỏ Tuy nhiên xét không gian L2 [0, π],  π 1  π  2  = | [f2 (t) − f1 (t)]2 dt    0 ∞ = n=0 = ε1 ∞ n=0 1 2 (cn − an ) cos(nt)|2 dt  π (cn − an )2 2 π Như vậy,bài toán lại ổn định, tức liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn với sai số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không nhiều L2 [0, π] 2) Xét toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y u(x, 0) = f (x), ∂u ∂y = ϕ(x), −∞ < x < ∞, y=0 f (x) ϕ(x) hàm cho trước Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ ϕ(x) = ϕ1 (x) = a sin(ax), nghiệm toán u1 (x, y) = sin(ax)sh(ay), a2 a>0 Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, nghiệm toán u2 (x, y) ≡ Với khoảng cách hàm cho trước nghiệm xét độ đo ta có dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = x dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = a x Với a lớn khoảng cách hai hàm ϕ1 ϕ2 lại nhỏ Trong đó, khoảng cách nghiệm dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup | x,y x,y 1 sin(ax)sh(ay)| = sh(ay), a2 a2 Với y > cố định lại lớn Chính vậy, toán không ổn định 1.1.6 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y , f0 ∈ Y Gọi x0 nghiệm phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X gọi toán tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0 , i) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : dY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 : ∀f ∈ Y, dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 , dX (xα , x0 ) ≤ ε, xα ∈ R(f, α(f, δ)) Trong định nghĩa trên, α chọn không phụ thuộc f ta gọi cách chọn tiên nghiệm Nếu α chọn phụ thuộc f δ ta gọi cách chọn hậu nghiệm 1.1.7 Nhận xét Trong định nghĩa không đòi hỏi tính đơn trị toán tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) gọi nghiệm chỉnh hóa phương trình A(x) = f0 , α = α(fδ , δ) = α(δ) gọi 18 p < ∞, sử dụng công thức tích phân phần ta n Ap u, u∗ = − Ω k,l=1 ∂ ∂xk n ak,l = Ω k,l=1 ak,l u¯|u|p−2 dx ∂u ∂ u¯|u|p−2 dx ∂xl ∂xk n ak,l |u|p−2 = ∂u ∂xl Ω k,l=1 ∂u ∂|u|p−2 ∂u ∂u + u¯ ∂xl ∂xk ∂xl ∂xk dx Mặt khác, ta có ∂ ∂u ∂ u¯ |u|p−2 = (p − 2)|u|p−4 u¯ +u ∂xk ∂xk ∂xk (1.9) Ký hiệu |u|(p−4)/2 u¯(∂u/∂xk ) = αk + iβk , ta có n ∗ Ap u, u ak,l ((p − 1)αk αl + βk βl + i(p − 2)αk βl )dx (1.10) = Ω k,l=1 Giả sử |ak,l (x)| ¯ M với x ∈ Ω k, l n n Ta đặt n |α|2 = k=1 Ω αk2 dx, |β|2 = k=1 Ω βk2 dx Khi đó, từ (1.8) (1.10) ta có Ap u, u∗ C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 ) (1.11) | | u, u∗ Ap | ∗ Ap u, u | ρ |α| + |β|2 2ρ C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 ) |p − 2|M (1.12) với ρ > ( , ký hiệu phần thực phần ảo số √ phức) Chọn ρ = p − thay vào (1.12) ta | | Ap u, u∗ | Ap u, u∗ | M |p − 2| √ 2C0 p − (1.13) 19 Từ (1.11) suy với λ > u ∈ D(Ap ) ta có λ u 0,p (λI + Ap )u 0,p (1.14) Do λI + Ap đơn ánh có ảnh đóng với λ > Vì (1.14) với p < ∞ nên λI + Ap , λ > toàn ánh Thật vậy, v ∈ Lq (Ω) thỏa mãn (λI + Ap )u, v = với u ∈ D(Ap ) theo Bổ đề 1.2.17 ta có v ∈ D(Aq ), q = p/(p − 1) u, (λI + Aq )v = với u ∈ D(Ap ) Vì D(Ap ) trù mật Lp (Ω) nên ta suy (λI + Aq )v = Sử dụng (1.14) với p thay q ta suy v = Điều chứng tỏ λI + Ap toàn ánh Do λI + Ap song ánh Vì vậy, từ (1.14) ta có (λI + Ap )−1 với λ > λ 0,p (1.15) Định lý Hille-Yosida 1.2.10 khẳng định −Ap toán tử sinh nửa nhóm co Lp (Ω) với p < ∞ Cuối cùng, để chứng minh nửa nhóm sinh −Ap giải tích để ý từ (1.11) (1.13), ảnh số S(−Ap ) −Ap chứa tập Sv1 = {λ : |argλ| > π−v1 } √ π π v1 = arctan(M |p − 2|/2C0 p − 1), < v1 < Chọn v1 < v < 2 kí hiệu Sv = {λ : |argλ| < π − v} (1.16) Khi đó, tồn số Cv > cho d(λ : S(−Ap )) Cv |λ| với λ ∈ Sv Vì λ > nằm tập giá trị qui ρ(−Ap ) −Ap nên từ Định lý 1.2.11 suy ρ(−Ap ) ⊃ Sv (λI + Ap )−1 0,p với λ ∈ Sv Cv |λ| Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định −Ap toán tử sinh nửa nhóm giải tích Lp (Ω) với p thỏa mãn Trường hợp < p < lập luận tương tự p < ∞ 20 1.2.19 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A toán tử sinh nửa nhóm giải tích T (t), t Khi đó, ta có etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t CHƯƠNG MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho lớp phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach đưa đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp 2.1 Giới thiệu toán Cho X không gian Banach A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính từ D(A) ⊂ X vào X Giả sử tồn số C thực dương < ψ 1, q số π/2 cho (xem [14]): (i) A sinh nửa nhóm e−τ A liên tục mạnh τ = thỏa mãn tính chất nửa nhóm không cho số thực τ mà cho số phức τ = t + is bao đóng tập Γψ = {τ = : arg τ < ψ}, (ii) e−τ A giải tích với biến τ Γψ , (iii) e−τ A Ceqt Γψ Xét toán ut + Au = 0, u(T ) − f < t < T, (2.1) với f ∈ X > Bài toán toán đặt không chỉnh Do đó, để giải toán, ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa 21 22 Mặc dù có nhiều báo dành cho phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert, theo chúng tôi, có báo dành cho toán không gian Banach Kết Krein, Prozorovskaja [12], Agmon Nirenberg [2] Sau đó, phương pháp làm nhuyễn nghiên cứu ứng dụng cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Lp (R), < p ≤ ∞, [5, 6] kéo theo đánh giá sai số kiểu H¨older Các tác giả Ames Hughes [3], Hetrick Hughes [8], Huang Zheng [9, 10, 11], Marban Palengia [13], Piskarev [15] xem xét toán (2.1) từ nhiều khía cạnh khác Khi −A sinh nửa nhóm giải tích không gian Banach, tác giả [10] khẳng định tồn họ toán tử chỉnh hóa cho toán (2.1) Tuy nhiên, họ không đạt đánh giá sai số đưa phương pháp xấp xỉ cụ thể cho toán Để thành lập đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa, Huang [9] phải giả thiết −A toán tử sinh nửa nhóm giải tích bị chặn Trong báo [7], Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức chỉnh hóa toán (2.1) phương pháp Tikhonov phương pháp toán giá trị biên không địa phương vαt + Avα = 0, < t < T, αvα (0) + vα (T ) = f (2.2) Họ đề xuất luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương pháp kể đưa đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa Trong chương này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa Cụ thể chỉnh hóa toán (2.1) toán đặt chỉnh vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f (2.3) với a > α > đưa đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa 23 2.2 Phương pháp chỉnh hóa Ta biết u(t) nghiệm toán (2.1) vα (t) nghiệm toán (2.3) u(t) = e−tA u(0) vα (t) = e−tA αI + e−aT A −1 f 2.2.1 Bổ đề Giả sử S(T ) := −e−aT A sinh nửa nhóm {T (t)}t Khi tồn số dương M cho T (t) M, ∀t (2.4) Chứng minh Từ −e−aT A : X → X toán tử tuyến tính bị chặn, ta kết luận {T (t)}t nửa nhóm liên tục Do ta có etσS(T ) = σ(T (t)), ∀t ≥ Mặt khác, ta thấy λ ≥ với λ ∈ σ(S(T )) = σ −e−aT A e−atA nửa nhóm giải tích Do r(T (t)) ≤ với t ≥ 0, r(T (t)) bán kính phổ T (t) Ta biết r(T (t)) = eωt ∀t ≥ 0, ω = inf{ω ∈ R : T (t) ≤ Mω eωt , ∀t ≥ 0} Do {T (t)}t nửa nhóm bị chặn, nghĩa tồn số dương M cho đánh giá (2.4) 2.2.2 Bổ đề Với M số dương Bổ đề 2.2.1 Ta có đánh giá sau (αI + e−aT A )−1 M , α > α 24 Chứng minh Với α > x ∈ X , đặt ∞ R(α)x = e−αt T (t)xdt (2.5) Vì ánh xạ t → T (t)x liên tục bị chặn nên tích phân vế phải (2.5) tồn Hơn R(α) thỏa mãn ∞ R(α)x M x α e−αt T (t)x dt (2.6) M Mặt khác với h > ta có α Điều kéo theo R(α) T (h) − I ∞ −αt R(α)x = e (T (t + h)x − T (t)x)dt h α eαh − ∞ −αt e T (t)xdt = h eαh − h h e−αt T (t)xdt (2.7) Cho h ↓ 0, vế phải (2.7) hội tụ tới αR(α)x − x Điều kéo theo −e−aT A R(α)x = αR(α)x − x, ∀x ∈ X hay (αI + e−aT A )R(α)x = x, ∀x ∈ X Do (αI + e−aT A )R(α) = I (2.8) Với x ∈ X ta có −R(α)e −aT A ∞ x=− =− ∞ e−αt T (t)e−aT A xdt e−αt e−aT A T (t)xdt ∞ −aT A = −e e−αt T (t)xdt = −e−aT A R(α)x (2.9) Từ (2.8) (2.9) ta có −R(α)(αI + e−aT A )x = x, ∀x ∈ X (2.10) 25 Vậy R(α) nghịch đảo αI + e−aT A (αI + e−aT A )−1 = R(α) Với < ψ M , α ∀α > π , đặt S1 = {τ = t + is : |argτ | ψ} S2 = {τ = t + is : |arg(τ − aT )| ψ, t aT } Ta có S2 ⊂ S1 Ký hiệu S = S1 \ S2 = S1 − S2 ΛL , ΛR biên trái biên phải S Ký hiệu w1 (τ ) hàm điều hòa S , liên tục bị chặn S , ΛL ΛR 2.2.3 Bổ đề Bất đẳng thức sau e−tA (αI + e−aT A )−1 f (M + 1)CekT αw1 (t)−1 f , ∀t ∈ [0, aT ] Chứng minh Đặt X ∗ không gian Banach đối ngẫu X l ∈ X ∗ với |l| = 1, | · | chuẩn X ∗ Đặt h(τ ) = l e−τ A (αI + e−aT A )−1 f (2.11) Với τ = t + is ∈ S1 , ta có |h(τ )| = l e−τ A (αI + e−aT A )−1 f |l| e−τ A (αI + e−aT A )−1 f = e−τ A (αI + e−aT A )−1 f e−τ A (αI + e−aT A )−1 f Cekt (αI + e−aT A )−1 f Bởi Bổ đề 2.2.2, ta kết luận |h(τ )| M Cekt α−1 f , ∀τ ∈ S1 (2.12) 26 Với τ = t + is ∈ S2 , ta có |l| e−τ A (αI + e−aT A )−1 f |h(τ )| = e−(τ −aT )A e−aT A (αI + e−aT A )−1 f e−(τ −aT )A e−aT A (αI + e−aT A )−1 f Cek(t−aT ) e−aT A (αI + e−aT A )−1 f (2.13) Mặt khác e−aT A (αI + e−aT A )−1 = (α + e−aT A )(αI + e−aT A )−1 − α(αI + e−aT A )−1 = I − α(αI + e−aT A )−1 I + α(αI + e−aT A )−1 M 1+α = M + α (2.14) Từ (2.13) (2.14) ta có (M + 1)Cek(t−aT ) f , ∀τ ∈ S2 |h(τ )| (2.15) Từ (2.12) (2.15), ta đạt |h(τ )| M CekT α−1 f , ΛL (2.16) |h(τ )| (M + 1)CekT f , ΛR (2.17) Đặt g(τ ) = ln |h(τ )| − w1 (τ ) ln (M + 1)CekT f − (1 − w1 (τ )) ln M CekT α−1 f , τ ∈ S Vì g(τ ) liên tục S điều hòa S Hơn nữa, g(τ ) ΛR Do g(τ ) ln |h(τ )| (2.18) ΛL 0, ∀τ ∈ S Điều kéo theo w1 (τ ) ln (M + 1)CekT f + (1 − w1 (τ )) ln M CekT α−1 f 27 hay |h(τ )| (M + 1)CekT αw1 (τ )−1 f Mặt khác e−τ A (αI + e−aT A )−1 = sup |h(τ )| l∈X ∗ ,|l|=1 Do đó, ta có e−τ A (αI + e−aT A )−1 f (M + 1)CekT αw1 (τ )−1 f Chọn τ = t, ta đạt e−tA (αI + e−aT A )−1 f (M + 1)CekT αw1 (t)−1 f , ∀t ∈ [0, aT ] Bổ đề chứng minh 2.2.4 Định lý Nếu u(t) nghiệm toán (2.1) vα (t) nghiệm toán (2.3) Nếu u(0) ≤ E u(t) − vα ((a − 1)T + t) (M + 1)CekT αw1 ((a−1)T +t)−1 ε + αw1 (t) E ε , ta đạt đánh giá sau với t ∈ [0, T ] E u(t)−vα ((a − 1)T + t) Bằng cách chọn α = (M + 1)CekT εw1 ((a−1)T +t) E 1−w1 ((a−1)T +t) + εw1 (t) E 1−w1 (t) Chứng minh Ta có u(t) = e−tA u(0) vα ((a − 1)T + t) = e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 f Do u(t)−vα ((a − 1)T + t) = e−tA u(0) − e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 f e−tA u(0) − e−((a−1)T +t)A (αI + e−(aT A )−1 u(T ) + e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 (u(T ) − f ) (2.19) 28 Sử dụng Bổ đề 2.2.3, ta có e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 (u(T ) − f ) (M + 1)CekT αw1 ((a−1)T +t)−1 u(T ) − f (M + 1)CekT αw1 (pT +t)−1 ε (2.20) Mặt khác e−tA u(0) − e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 u(T ) = e−tA u(0) − e−((a−1)T +t)A (αI + e−aT A )−1 e−T A u(0) = e−tA − e−(aT +t)A (αI + e−aT A )−1 u(0) = e−tA I − e−aT A (αI + e−aT A )−1 u(0) = α e−tA (αI + e−aT A )−1 )u(0) α(M + 1)CekT αw1 (t)−1 u(0) = (M + 1)CekT αw1 (t) E (2.21) Từ (2.19)–(2.21) ta có u(t) − vα ((a − 1)T + t) (M + 1)CekT αw1 ((a−1)T +t)−1 ε + αw1 (t) E ε , ta đạt E u(t)−vα ((a − 1)T + t) Bằng cách chọn α = (M + 1)CekT εw1 ((a−1)T +t) E 1−w1 ((a−1)T +t) + εw1 (t) E 1−w1 (t) Định lí chứng minh Trong trường hợp X không gian Hilbert A toán tử tự liên hợp, xác định dương, không bị chặn ta chọn C = w1 (t) = t aT , ta có hệ sau 2.2.5 Hệ Nếu u(t) nghiệm toán (2.1) với buộc u(0) E vα (t) nghiệm toán vα t + Avα = 0, < t < T αvα (0) + vα (aT ) = f (2.22) 29 với ∀t ∈ [0, T ], ta có u(t) − vα ((a − 1)T + t) Bằng cách chọn α = t−T t (M + 1)ekT α aT ε + α aT E ε , ta đạt đánh giá sau với t ∈ [0, T ] E u(t)−vα ((a − 1)T + t) (M + 1)ekT ε (a−1)T +t aT E T −t aT t t + ε aT E 1− aT 30 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa Trình bày nửa nhóm sinh toán tử, nửa nhóm giải tích, ví dụ minh họa tính chất chúng Giới thiệu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach Đề xuất chứng minh Bổ đề 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 Đề xuất chứng minh Định lý 2.2.4 Đưa Hệ 2.2.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] S Agmon and L Nirenberg (1963), Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces, Comm Pure Appl Math 16, 121–239 [3] K A Ames and R J Hughes (2005), Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces, Semigroup Forum 70, 127–145 [4] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [5] D.N Hào (1994), A mollification method for ill-posed problems, Numer Math 68, 469–506 [6] D.N Hào and N.V Duc (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl 353, 627–641 [7] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2012), "Regularization of backward parabolic equations in Banach spaces", J Inverse and Ill-Posed Problems 20, 745–763 [8] B M C Hetrick and R J Hughes (2007), Continuous dependence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space, J Math Anal Appl 331, 342–357 [9] Y Huang (2008), Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces, J Math Anal Appl., 340,757–769 31 32 [10] Y Huang and Q Zheng (2004), Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups, J Diff Equations 203, 38–54 [11] Y Huang and Q Zheng (2005), Regularization for a class of ill-posed Cauchy problem, Proc Amer Math Soc 133, 3005–3012 [12] S.G Krein and O.I Prozorovskaja (1960), Analytic semi-groups and incorrect problems for evolutionary equations (in Russian), Dokl Akad Nauk SSSR 133(1960), 277–280; translated as Soviet Math Dokl 1, 841Ọ-844 [13] J M Marban and C Palengia (2002), A new numerrical method for backward parabolic problems in the maximum-norm setting, SIAM J Numer Anal 40, 1405–1420 [14] K Miller (1975), Logarithmic convexity results for ill holomorphic semigroups, Pacific J Math., 58, 549–551 [15] S I Piskarev (1998), Estimates of the rate of convergence in solving ill-posed problems for evolution equations, Math USSR Izvestiya, 30, 639–651 [16] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag [...]... đề xuất một phương pháp chỉnh hóa mới cho một lớp phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp này 2.1 Giới thiệu bài toán Cho X là không gian Banach và A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính từ D(A) ⊂ X vào X Giả sử rằng tồn tại các hằng số C thực dương và 0 < ψ 1, q là số π/2 sao cho (xem... sinh của một nửa nhóm giải tích trên Lp (Ω) với mọi p thỏa mãn 2 Trường hợp 1 < p < 2 lập luận tương tự p < ∞ 20 1.2.19 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích T (t), t 0 Khi đó, ta có etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t 0 CHƯƠNG 2 MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương... phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert, theo chúng tôi, chỉ có ít bài báo dành cho bài toán này trong không gian Banach Kết quả đầu tiên là của Krein, Prozorovskaja [12], Agmon và Nirenberg [2] Sau đó, phương pháp làm nhuyễn đã được nghiên cứu và ứng dụng cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian trong không gian Lp (R), 1 < p ≤ ∞, [5, 6] kéo theo các đánh giá sai số kiểu... −A sinh ra một nửa nhóm giải tích trên không gian Banach, các tác giả trong [10] đã khẳng định rằng tồn tại một họ các toán tử chỉnh hóa cho bài toán (2.1) Tuy nhiên, họ đã không đạt được các đánh giá sai số cũng như đưa ra các phương pháp xấp xỉ cụ thể cho bài toán Để thành lập các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa, Huang [9] đã phải giả thiết rằng −A là toán tử sinh của một nửa nhóm... đều Trong bài báo [7], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã chỉnh hóa bài toán (2.1) bằng phương pháp Tikhonov và phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương vαt + Avα = 0, 0 < t < T, αvα (0) + vα (T ) = f (2.2) Họ đề xuất các luật chọn tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm cho các phương pháp kể trên và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa Trong chương này, chúng tôi đề xuất một. .. trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach 4 Đề xuất và chứng minh các Bổ đề 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 5 Đề xuất và chứng minh Định lý 2.2.4 6 Đưa ra Hệ quả 2.2.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] S Agmon and L Nirenberg (1963), Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces, Comm... số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước i) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α); ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần tử fδ và sai số δ ⇒ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương. .. nhóm không chỉ cho các số thực τ mà còn cho cả số phức τ = t + is trong bao đóng của tập Γψ = {τ = 0 : arg τ < ψ}, (ii) e−τ A là giải tích với biến τ trong Γψ , (iii) e−τ A Ceqt trên Γψ Xét bài toán ut + Au = 0, u(T ) − f 0 < t < T, (2.1) với f ∈ X và > 0 Bài toán này là bài toán đặt không chỉnh Do đó, để giải bài toán, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa 21 22 Mặc dù có nhiều bài báo dành cho phương. .. H¨older cho nghiệm chỉnh hóa Trong chương này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa mới Cụ thể chúng tôi chỉnh hóa bài toán (2.1) bằng bài toán đặt chỉnh vαt + Avα = 0, 0 < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f (2.3) với a > 1 và α > 0 và cũng đưa ra được các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa 23 2.2 Phương pháp chỉnh hóa Ta biết rằng nếu u(t) là nghiệm của bài toán (2.1) và vα (t) là... sau với mọi t ∈ [0, T ] E u(t)−vα ((a − 1)T + t) (M + 1)ekT ε (a−1)T +t aT E T −t aT t t + ε aT E 1− aT 30 KẾT LUẬN Kết quả đạt được trong Luận văn này là 1 Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa và các ví dụ minh họa 2 Trình bày về nửa nhóm sinh bởi các toán tử, nửa nhóm giải tích, ví dụ minh họa và các tính chất cơ bản của chúng 3 Giới thiệu về phương trình parabolic ngược ... CHƯƠNG MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho lớp phương. .. VŨ THỊ KHÁNH LY MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02... "Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Banach" Mục đích luận văn sở tham khảo kỹ thuật sử dụng báo [7], đề xuất phương