Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ HỒNG NHUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ h - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu. Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy, cô giáo dạy chuyên ngành toán giải tích tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình người thân ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho em học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội,tháng - 2014 Học viên Vũ Thị Hồng Nhung Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động toán tử h - cực trị tác dụng không gian Banach thực với hai nón” hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác. Hà Nội,tháng - 2014 Học viên Vũ Thị Hồng Nhung Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 Không gian Banach thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự . . . . . . . . . 12 1.2.1 Định nghĩa nón tính chất . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach thực 18 1.2.3 Phần tử u0 - đo không gian Eu0 . . . . . 19 1.2.4 Phần tử thông ước tập Ku0 . . . . . . . . . . . 26 Không gian Lp (p > 1) nửa thứ tự . . . . . . . . . . . 28 1.3.1 Không gian tuyến tính thực Lp . . . . . . . . . . 28 1.3.2 Không gian Banach Lp . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.3 Quan hệ thứ tự không gian Lp . . . . . . . 34 1.3.4 Phần tử u0 - đo không gian Eu0 1.3 không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 36 Phần tử thông ước tập K(u0 ) không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán tử h - cực trị không gian Banach thực nửa 37 thứ tự với hai nón 2.1 2.2 38 Toán tử (K, u0 ) - Lõm qui . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Định nghĩa tính chất đơn giản . . . . . . . . . 38 2.1.2 Toán tử (K, u0 ) - Lõm qui không gian Lp với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Toán tử h - cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.1 Định nghĩa tính chất đơn giản . . . . . . . . . 46 2.2.2 Toán tử h cực trị không gian Lp (p > 1) với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Sự tồn điểm bất động toán tử h cực trị không gian Banach thực với hai nón 52 3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động phần quan trọng môn giải tích hàm phi tuyến, từ đầu kỷ 20 nhà toán học giới quan tâm phát triển sâu rộng trở thành công cụ để giải nhiều toán thực tế đặt ra. Năm 1956 nhà toán học Nga tiếng M.A.Kraxnoxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định. Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón [9]. Sau GS-TSKH I.A.Bkhatin mở rộng kết công trình [9] cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng [10]. Các lớp toán tử nhà bác học Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cứu có tính chất u0 - đo được. Năm 1987 năm 2012, 2013 PSG-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo toán tử tác dụng không gian Banach thực nửa thứ tự với nón cố định [1,2,5,6]. Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Điểm bất động toán tử h - cực trị tác dụng không gian Banach thực với hai nón", toán tử xét vừa có tính chất (K, u0 ) - lõm qui vừa có tính chất h - cực trị, [7] toán tử xét có tính chất lõm qui h - cực trị tác dụng không gian với nón cố định. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày điểm bất động toán tử h - cực trị tác dụng không gian Banach với hai nón cố định, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian Banach nửa thứ tự. - Tìm hiểu toán tử h - cực trị không gian Banach nửa thứ tự với hai nón. - Tìm hiểu tồn điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach nửa thứ tự với hai nón. 4. Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử h - cực trị, điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach với hai nón. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach thực với hai nón. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo liên quan đến điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach thực với hai nón. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp đề tài Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, số tính chất điểm bất động tồn điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón, kết thu mở rộng số lớp toán tử khác. Áp dụng kết đạt không gian Banach thực tổng quát vào không gian Banach thực Lp (p > 1). Luận văn sử dụng làm tài liệu cho vấn đề toán học tương tự khác. Chương Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 Không gian Banach thực Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn E ánh xạ từ E vào tập hợp số thực R, kí hiệu . (đọc chuẩn), thỏa mãn tiên đề sau: C1 : ∀x ∈ E, x ≥ 0, x =0⇔x=θ (θ kí hiệu phần tử không không gian E); C2 : ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, C3 : ∀x, y ∈ E, αx = |α|. x+y ≤ x + x ; y . Không gian tuyến tính thực E với chuẩn gọi không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, (nếu chuẩn rõ). Số x . ) hay đơn giản E gọi chuẩn phần tử x ∈ E. Ví dụ 1.1.1 Xét không gian tuyến tính thực Rn = {x = (x1 , x2 , ., xn ) : xi ∈ R, i = 1, ., n}, n ∈ N∗ . Với x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn ta đặt n x2i . x = (1.1) i=1 Ta công thức (1.1) cho chuẩn Rn . Thật vậy: +) ∀x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn ta có: n x2i ≥ 0, x = i=1 n n x2i = x2i = ⇔ ⇔ x =0 i=1 i=1 ⇔ xi = ∀i = 1, ., n ⇔ x = θ; +) ∀x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , ∀α ∈ R ta có: n n n α2 x2i αx = x2i α2 = i=1 x2i = |α|. = |α| x ; i=1 i=1 +) ∀x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , ∀y = (y1 , y2 , ., yn ) ∈ Rn ta có: n x+y n = i=1 n = i=1 x + y yi2 + i=1 yi2 + n yi2 i=1 n x2i i=1 n i=1 yi2 xi y i + x2i . +2 n i=1 n x2i ≤ ≤ +2 i=1 n x+y x2i (xi + yi ) = i=1 ⇒ n =( x + y )2 . i=1 ∀x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , ∀y = (y1 , y2 , ., yn ) ∈ Rn . Vậy, công thức (1.1) chuẩn X. Chuẩn (1.1) gọi chuẩn Eukleides, nên không gian tuyến tính • ∀x ∈ H\{θ}, ∀s ∈ (0; 1) ta có x(t) ≤ h.k.n [a; c), x(t) ≥ h.k.n [c; b], ∃ tập F ⊂ [a.b] cho tập F có độ đo Lebesgue dương x(t) = ∀t ∈ F , Trên [a; c) Asx(t) = h.k.n, sAx(t) = h.k.n, Trên [c; b] Asx(t) = sx(t) + > s x(t) + s = sAx(t), nghĩa Asx > sAx, ∀x ∈ H\{θ}, ∀s ∈ (0; 1). • ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀s ∈ (0; 1) cho x − sy > θ ta có: Tồn số dương α1 , β1 , α2 , β2 cho α1 u0 ≤ x ≤ β1 u0 , α2 u0 ≤ y ≤ β2 u0 Trên [c; b] Ax(t) − sAy(t) = ≥ ≥ x(t) + − s[ y(t) + 1] sy(t) + − s y(t) − s √ √ (1 − s) + ( s − s) α2 h.k.n √ √ Đặt δ = (1 − s) + ( s − s) α2 > ta nhận bất đẳng thức Ax(t) − sAy(t) ≥ δu0 (t) h.k.n [c; b]. Trên [a; c) Ax(t) = sAy(t) = h.k.n, u0 (t) = h.k.n, nên Ax − sAy = δu0 (t) h.k.n [a; c). Do Ax − sAy ≥ δu0 . Vậy A toán tử (K, u0 ) - Lõm qui. 2.2 2.2.1 Toán tử h - cực trị Định nghĩa tính chất đơn giản Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, H = K H ∩ K\{θ} = ∅.u0 ∈ 46 H\{θ}, θ phần tử không không gian E. Định nghĩa 2.2.1 Toán tử A gọi h - cực trị, nếu, c1 : Toán tử A dương đơn điệu nón H. c2 : Đối với dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H : x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ u. dãy (yn )∞ n=1 ⊂ H : y1 ≥ y2 ≥ . ≥ yn ≥ . ≥ v, u, v phần tử cố định thuộc H, có sup(Axn ) ∈ H, inf(Ayn ) ∈ H Định lý 2.2.1 (A toán tử h - cực trị) ⇒ ((∀α ∈ R∗+ )(∀n ∈ N∗ ))αA An toán tử h - cực trị Chứng minh 1) Trước hết, ta chứng minh αA toán tử h - cực trị. • (∀x ∈ H), Ax ∈ H ⇒ (αA)x ∈ H ⇒ (αA)(H) ⊂ H, (∀x, y ∈ H, y − x ∈ K)Ax ≤ Ay ⇒ (αA)x = αAx ≤ αAy = (αA)y. Vậy αA toán tử dương đơn điệu nón H. • ∀(xm )∞ m=1 ⊂ H : x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xm ≤ . ≤ u. ta có ∃ sup(Axm ) = x∗ ∈ H. m Từ suy Axm ≤ x∗ (∀m ∈ N ∗ ) ⇒ (∀m ∈ N∗ )(αA)xm = αAxm ≤ αx∗ αx∗ ∈ H. Giả sử (∃z ∈ H) (αA)xm ≤ z ⇒ (∀m ∈ N∗ )αAxm = (αA)xm ≤ z. ⇒ Axm ≤ 1 z(∀m ∈ N∗ ) ⇒ x∗ ≤ z ⇒ αx∗ ≤ z. α α Theo định nghĩa cận đúng, ∃ sup((αA)xm ) = αx∗ ∈ H. m 47 Mặt khác, ∀(ym )∞ m=1 ⊂ H : y1 ≥ y2 ≥ . ≥ ym ≥ v. Ta có ∃ inf(Aym ) = y ∗ ∈ H. Từ suy Aym ≥ y ∗ (∀m ∈ N∗ ) ⇒ (∀m ∈ N∗ ) (αA)ym = αAym ≥ αy ∗ αy ∗ ∈ H. Giả sử ∃w ∈ H (∀m ∈ E), (αA)ym ≥ w ⇒ (∀m ∈ N∗ )αAym = (αA)ym ≥ w. 1 w (∀m ∈ N∗ ) ⇒ y ∗ ≥ w ⇒ αy ∗ ≥ z. α α ⇒ Aym ≥ Theo định nghĩa cận đúng, ∃ inf((αA)ym ) = αy ∗ ∈ H. Vậy αA toán tử h - cực trị. 2) An toán tử h - cực trị Với n = 1, theo giả thiết A toán tử h - cực trị. Giả sử với n = k ≥ 1, Ak toán tử h - cực trị. Với n = k + 1, chứng minh Ak+1 toán tử h - cực trị sau: ∞ Lấy dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H, (yn )n=1 ⊂ H cho x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ u, (2.5) y1 ≥ y2 ≥ . ≥ yn ≥ . ≥ v, (2.6) u, v ∈ H. Ak toán tử h - cực trị, nên: Ak H ⊂ H, Ak x1 ≤ Ak x2 ≤ . ≤ Ak xn ≤ . ≤ Ak u, Ak y1 ≥ Ak y2 ≥ . ≥ Ak yn ≥ . ≥ Ak v, 48 Vì A toán tử h - cực trị, nên dãy (2.5) (2.6). ∃ sup A(Ak xn ) = x∗∗ ∈ H, ∃ inf A(Ak yn ) = y ∗∗ ∈ H hay sup(Ak+1 xn ) = x∗∗ ∈ H, inf(Ak+1 yn ) = y ∗∗ ∈ H Suy ra, Ak+1 toán tử h - cực trị. Vậy, theo giả thiết quy nạp, toán tử An h - cực trị, ∀n ∈ N ∗ . Định lý 2.2.2 (A : E → E, B : E → E toán tử h - cực trị) ⇒ (A + B) toán tử h - cực trị. Chứng minh Giả sử (xm ) ⊂ H : x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xm ≤ . ≤ u, (ym ) ⊂ H : y1 ≥ y2 ≥ . ≥ ym ≥ . ≥ v, u, v phần tử cố định thuộc H. ∃ sup(Axm ) = x∗1 ∈ H, ∃ inf (Aym ) = y1∗ ∈ H, m m ∃ sup(Bxm ) = x∗2 ∈ H, ∃ inf (Bym ) = y2∗ ∈ H, m m Ta có x∗1 + x∗2 ∈ H, (A + B)xm = Axm + Bxm ≤ x∗1 + x∗2 (∀m ∈ N∗ ) Giả sử (z ∈ E)(A + B)xm ≤ z. Khi đó, Axm + Bxm ≤ z (∀m ∈ N∗ ) ⇒ với m tùy ý với k cố định tùy ý k ≤ m, Axm + Bxk ≤ Axm + Bxm ≤ z 49 ⇒ Axm ≤ z − Bxk (∀m ∈ N∗ , k ≤ m) ⇒ x∗1 ≤ z − Bxk (∀k ∈ N∗ ) ⇒ Bxk ≤ z − x∗1 (∀k ∈ N∗ ) ⇒ x∗2 ≤ z − x∗1 ⇒ x∗1 + x∗2 ≤ z. Do đó, x∗1 + x∗2 = sup[(A + B)xn ]. n Chứng minh ∃ inf[(A + B)xn ] = y1∗ + y2∗ ∈ H. Thật ta có: y1∗ + y2∗ ∈ H, (A + B)ym = Aym + Bym ≥ y1∗ + y2∗ (∀m ∈ N∗ ). Giả sử (∃w ∈ H) (A + B)ym ≥ w Khi Aym + Bym ≥ w ∀m ∈ N∗ ⇒ Với m tùy ý với k cố định tùy ý k ≤ m, Aym + Byk ≥ Aym + Bym ≥ w ⇒ Aym ≥ w − Byk (∀n ∈ N∗ , k ≤ m) ⇒ y1∗ ≥ w − Byk (∀k ∈ N∗ ) ⇒ Byk ≥ w − y1∗ (∀k ∈ N∗ ) ⇒ y2∗ ≥ w − y1∗ ⇒ y1∗ + y2∗ ≥ w. Do y1∗ + y2∗ = inf [(A + B)yn ] ∈ H n Vậy, A + B toán tử h - cực trị. 2.2.2 Toán tử h cực trị không gian Lp (p > 1) với hai nón Toán tử A (xét mục 2.1.3.3) h - cực trị. Thật vậy, ta chứng minh A toán tử dương đơn điệu nón H. ∞ Để tiếp tục ta lấy dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H, (yn )n=1 ⊂ H cho x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ u, y1 ≥ y2 ≥ . ≥ yn ≥ . ≥ v, 50 u, v ∈ H. Ta có: ∞ (Axn )∞ n=1 ⊂ H, (Ayn )n=1 ⊂ H, Au ∈ H, Av ∈ H, Ax1 ≤ Ax2 ≤ . ≤ Axn ≤ . ≤ Au, Ay1 ≤ Ay2 ≤ . ≤ Ayn ≤ . ≤ Av h.k.n [a; b], [a; c) Axn (t) = 0, Ayn (t) = 0, Au(t) = 0, Av(t) = h.k.n. [c; b] Axn (t) = Au(t) = 5 xn (t) + 1, Ayn (t) = u(t) + 1, Av(t) = yn (t) + 1, v(t) + h.k.n. Suy ra, sup(Axn (t)) = 0, inf (Ayn (t)) = h.k.n [a; c) n n x1 (t) + ≤ sup(Axn (t)) = x(t) ≤ u(t) + h.k.n [c; b], n y1 (t) + ≥ inf (Ayn (t)) = y(t) ≥ n v(t) + h.k.n [c; b], Đặt x∗ (t) = y ∗ (t) = t ∈ [a; c), x(t) t ∈ [c; b], t ∈ [a; c), y(t) t ∈ [c; b]. x∗ ∈ Lp , y ∗ ∈ Lp , x∗ ∈ H, y ∗ ∈ H, sup(Axn ) = x∗ ∈ H, inf (Ayn (t)) = y ∗ ∈ H. n n Vậy, A toán tử h - cực trị. 51 Chương Sự tồn điểm bất động toán tử h cực trị không gian Banach thực với hai nón 3.1 Định lý Giả sử E không gian Banach thực K H hai nón không gian E, cho H = K, H ∩ K\{θ} = ∅, không gian E nửa thứ tự theo nón K, u0 ∈ H ∩ K\{θ}, A : E → E, toán tử (K, u0 ) - lõm qui h - cực trị nón H Định nghĩa 3.1.1 Phần tử x∗ ∈ E gọi điểm bất động toán tử A, Ax∗ = x∗ . Định lý 3.1.1 Nếu ∃x0 , y0 ∈ H(u0 ) cho x0 ≤ Ax0 , Ay0 ≤ y0 , x0 ≤ y0 Chứng minh Giả sử kết luận không xảy ra, nghĩa x0 y0 . Vì x0 , y0 ∈ H(u0 ), nên tồn số dương a, b, c, d cho b b cu0 ≤ x0 ≤ au0 , bu0 ≤ y0 ≤ du0 ⇒ y0 − x0 ≥ θ, > 0. a a 52 (3.1) Xét ánh xạ f :R→ t→ E f (t) = y0 − tx0 Nhờ tính liên tục phép toán đại số tính đóng nón K không gian E, ánh xạ f liên tục f −1 (K) tập đóng không gian R. Nên tồn max f −1 (K) = t0 ≥ b > 0, t0 < 1, a t0 ≥ y0 ≥ t0 x0 ≥ x0 mâu thuẫn với (3.1). Khi y0 − t0 x0 ≥ Ay0 − t0 Ax0 > Ay0 − At0 x0 ≥ θ ⇒ y0 − t0 x0 > θ Do đó, (∃δ > 0), y0 − t0 x0 ≥ Ay0 − t0 Ax0 ≥ δu0 δ δ δ ⇒ y0 ≥ t0 x0 + au0 ≥ t0 x0 + x0 ⇒ y0 − (t0 + )x0 ≥ θ, a a a ε mâu thuẫn với tính chất cực đại t0 , t0 < t0 + . a Vậy, x0 ≤ y0 . Định lý 3.1.2 Toán tử A có không điểm bất động H(u0 ) Chứng minh Giả sử ∃x, y ∈ H(u0 ) cho Ax = x, Ay = y, x = y. Theo định lý 3.1.1, x ≤ y. Tồn số dương α, β cho αu0 ≤ x ≤ y ≤ βu0 (3.2) ⇒x−y ∈ /K (3.3) Khi đó, x≥ α α α α βu0 ≥ y ⇒ x − y ≥ θ, ∈ (0, 1). β β β β 53 Ta chứng minh, x ≥ sy, s < 1. Do (3.3), nên s = 1. α − αβ ta có λ ∈ (0; 1) (1 − α) + λs = Giả sử s > 1. Với s − αβ β Từ x−y = (1 − λ + λ)x − [(1 − λ) = (1 − λ)(x − α + λs]y β α y) + λ(x − sy) ∈ K, β mâu thuẫn với (3.3). Suy ra, x − sy ≥ θ s < α Theo chứng minh định lý 3.1.1 tồn số lớn s0 ∈ ( , 1) cho β x − s0 y ≥ θ. Nếu x − s0 y = θ, x = s0 y = s0 Ay < As0 y = Ax. α mâu thuẫn với tính chất x. Do x − s0 y > θ s0 ∈ ( , 1), β Nhờ tính chất toán tử A, ∃γ > cho x − s0 y = Ax − s0 Ay ≥ γu0 ≥ γ γ y ⇒ x − (s0 + )y ≥ θ, β β γ mâu thuẫn với tính chất cực đại số s0 , s0 < s0 + . β Nên x = y. Vậy, toán tử A có không điểm bất động H(u0 ). Định lý 3.1.3 Toán tử A có điểm bất động khác không nón H (∃x0 , y0 ∈ H(u0 ))x0 ≤ Ax0 , Ay0 ≤ y0 . Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Điều kiện đủ 54 Giả sử (∃x0 , y0 ∈ H(u0 )) x0 ≤ Ax0 , Ay0 ≤ y0 . Theo định lý 3.1.1, x0 ≤ y0 . Tồn số dương a, b cho au0 ≤ x0 ≤ y0 ≤ bu0 (3.4) (∀n ∈ N ∗ ) ta có: x0 ≤ Ax0 ≤ A2 x0 ≤ . ≤ An x0 ≤ An y0 ≤ . ≤ A2 y0 ≤ Ay0 ≤ y0 . Đặt xn = An x0 , yn = An y0 kết hợp với (3.4) ta nhận hệ thức au0 ≤ x0 ≤ An x0 = xn ≤ yn = An y0 ≤ y0 ≤ bu0 . (3.5) Dãy xn = Axn−1 (n = 1, 2, .) không giảm bị chặn y0 ∈ H(u0 ) ⊂ H, dãy yn = Ayn−1 (n = 1, 2, .) không tăng bị chặn x0 ∈ H(u0 ) ⊂ H. Do A toán tử h - cực trị nón H, nên tồn x∗ = sup xn , y ∗ = inf yn au0 ≤ xn ≤ x∗ ≤ y ∗ ≤ yn ≤ bu0 (n = 0, 1, 2, .). Đối với dãy (xn )∞ n=1 ta có: xn ≤ x∗ ≤ y0 (n = 1, 2, .) (3.6) xn ≤ xn+1 = Axn ≤ Ax∗ ≤ Ay ∗ ≤ yn ≤ y0 (n = 1, 2, .) nên x∗ , Ax∗ ∈ H(u0 ) x∗ ≤ Ax∗ (3.7) Lập luận tương tự chứng minh định lý 3.1.1, tồn số lớn tn ∈ (0; 1) cho xn − tn x∗ ∈ K. Đồng thời xn+1 ≥ xn ≥ tn x∗ ⇒ tn+1 ≥ tn (n = 1, 2, .). Dãy (tn )∞ n=1 dãy số không giảm bị chặn 1, nên tồn lim tn = t ∈ (0; 1]. 55 Nếu t < Atx∗ > tAx∗ ≥ tx∗ ⇒ ∃δ > để A2 tx∗ − tAx∗ ≥ δu0 δ δ ≥ tAx∗ + δu0 ≥ tx∗ + x∗ = t(1 + )x∗ b bt δ = t(1 + η)x∗ , η = > bt ⇒ A2 tx∗ Do đó, tn tn ≥ A2 tn x∗ = A2 ( tx∗ ) ≥ A2 tx∗ t t ∗ ≥ tn (1 + η)x xn+2 = A2 xn ⇒ tn+2 ≥ (1 + η)tn (n = 1, 2, .). Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + η)t2k−1 ≥ . ≥ (1 + η)k t1 > (k = 1, 2, .) ⇒ t = lim tn = lim t2k+1 = +∞, n→∞ k→∞ mâu thuẫn với điều giả sử t < 1. Nên t = 1. Mặt khác, tn Ax∗ ≤ Atn x∗ ≤ Axn = xn+1 ≤ x∗ (n = 1, 2, .) Cho n → ∞ ta Ax∗ ≤ x∗ Từ (3.7) (3.8) ta có Ax∗ = x∗ Chú ý Ta xét dãy (yn )∞ n=1 không tăng, bị chặn x0 ∈ H(u0 ), (yn )∞ n=1 ⊂ H(u0 ). Bằng cách tương tự, ta chứng minh Ay ∗ = y ∗ Nhờ định lý 3.1.2, y ∗ = x∗ 56 (3.8) 3.2 Ví dụ áp dụng Trong mục 2.1.3.3 2.2.2 ta chứng minh toán tử A Ax(t) = t ∈ [a; c), x(t) + t ∈ [c; b]. toán tử (K, u0 ) - lõm qui h - cực trị nón H. Ta toán tử A có điểm bất động khác không nón H, Ta kiểm tra thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.3 toán tử A. Thật vậy, x0 (t) = t ∈ [a; c), t ∈ [c; b]. y0 (t) = t ∈ [a; c), t ∈ [c; b]. Khi x0 , y0 thuộc H(u0 ) Ax0 (t) = t ∈ [a; c), √ + t ∈ [c; b]. Ay0 (t) = t ∈ [a; c), √ + t ∈ [c; b]. Nhận thấy • x0 (t) = Ax0 (t) = với t ∈ [a; c), ≤ √ + với t ∈ [c; b] ⇒ x0 (t) ≤ Ax0 (t) • y0 (t) = Ay0 (t) = với t ∈ [a; c), ≥ ⇒ y0 (t) ≥ Ay0 (t) 57 √ + với t ∈ [c; b] Các điều kiện định lý 3.1.3 thỏa mãn, nên toán tử A có điểm bất động x∗ ∈ H\{θ}; Dễ dàng thấy x∗ thỏa mãn hệ thức sau: Trên [a; c) Trên [c; b] x∗ (t) = h.k.n (3.9) x∗ (t) + = x∗ (t) hay (x∗ (t) − 1)5 = x∗ 58 (3.10) Kết luận Sau thời gian nghiên cứu, tính toán hoàn thành luận văn với tất mục tiêu nghiên cứu đặt ra. Một số kết thu tóm tắt sau: • Trình bày cách hệ thống kiến thức không gian Banach thực nửa thứ tự, số tính chất tồn điểm bất động toán tử h - cực trị không gian Banach thực với hai nón. Áp dụng kết đạt không gian Banach thực tổng quát không gian Banach thực Lp (p ≥ 1). • Trình bày số định nghĩa tính chất toán tử h - cực trị không gian Lp , xây dựng định nghĩa tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm qui không gian Lp . • Trình bày chứng minh tồn điểm bất động toán tử h cực trị không gian Banach thực với hai nón. Kính mong quý thầy cô bạn học góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 59 Tài liệu tham khảo [1] Bakhtin Y.A(1984), Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm, Voronegiơ [2] Bakhtin Y.A(1959). Về phương trình tuyến tính với toán tử lõm lõm đều, DAN Liên Xô (cũ).T126, số 1, trang 9-12. [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [4] Kraxnoxelxki M.A (1962). Các nghiệm dương phương trình toán tử, NXB Toán - Lý, Matxcova. [5] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các điểm bất động toán tử lõm quy" Tạp chí toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, tập 15, số 1, trang 27-32. [6] Nguyễn Phụ Hy (1987), " Các vecto riêng toán tử lõm quy " Tạp chí toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, tập 15, số 1, trang 17-23. [7] Nguyễn Phụ Hy (2006), "Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội. [8] Nguyễn Phụ Hy (2012), " Các điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy" Tạp chí toán học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012, trang 157-167. 60 [9] Nguyễn Phụ Hy (2013), "Các vecto riêng dương toán tử (K, u0 ) - lõm quy". Tạp chí toán học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24/2013, trang 118-127. [10] Vũ Như Học (2007), Điểm bất động lớp toán tử phi tuyến h - cực trị. Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường ĐHSP Hà Nội 2. 61 [...]... tính chất bắc cầu Do đó, quan h "≤" là một quan h sắp thứ tự trong không gian E với nón K Định nghĩa 1.2.4 Không gian Banach thực E cùng với quan h "≤" gọi là một không gian nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K 1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 Định nghĩa 1.2.5 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, u0 là phần tử khác không cố định thuộc nón K Phần... số thực cơ bản, nên tồn tại giới h n (m) lim xi m→∞ = xi (i = 1, , n) Đặt x = (x1 , , xn ) thì dãy (x(m) ) ⊂ Rn đã h i tụ theo tọa độ tới x, nghĩa là dãy cơ bản đã cho h i tụ tới x trong không gian Rn Vậy không gian Rn là không gian Banach 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con khác rỗng của không. .. δ i ≥ i=1 i=1 Vậy nón K là một nón chuẩn tắc 1.2.2 Quan h sắp thứ tự trong không gian Banach thực Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y, nếu y − x ∈ K Định lý 1.2.4 Quan h "≤" là một quan h sắp thứ tự trong không gian E Chứng minh +) ∀x ∈ E Ta chỉ ra x ≤ x Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x ⇒ quan h "≤" có tính chất phản xạ +) ∀x, y ∈... đủ theo u0 - chuẩn 1.2.4 Phần tử thông ước và tập Ku0 Định nghĩa 1.2.8 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y, nếu ∃α = α(x) > 0, 26 ∃β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy Nhận xét +) Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì phần tử y thông ước với phần tử x Thật vậy, giả sử x, y ∈ E Do x thông ước với y nên ∃α, β > 0 sao cho αy... thì Vậy K là một nón chuẩn Định lý 1.2.9 Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K Nón K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn tắc, ta sẽ chỉ ra chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu Theo định lý 1.2.5 ta có: M > 0, ∀x, y ∈ K, y = θ, x ≤ y thì −y ≤ x ≤ y ⇒ x ⇒ x E ≤M x y y E y ≤1 ≤M y E Nhưng bất đẳng thức... 0 hay (∀ε > 0), (∃n0 ∈ N ∗ ) sao cho (∀n, m ≥ n0 ) ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong E đều h i tụ Ví dụ 1.1.2 Không gian Eukleides Rn , n ≥ 2 là không gian Banach (đối với chuẩn n |xi |2 x = i=1 +) Trước h t, ta sẽ chứng minh sự h i tụ của một dãy điểm trong không gian R tương đương với sự h i tụ theo tọa độ (m) (m) (m) Thật.. .thực Rn cùng với chuẩn (1.1) thường được gọi là không gian Eukleides thực Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn }∞ ⊂ E gọi là h i n=1 tụ tới x ∈ E, nếu lim n→∞ xn − x = 0 hay (∀ε > 0), (∀n0 ∈ N∗ ) sao cho (∀n ≥ n0 ) ta có xn − x < ε, kí hiệu lim xn = x n→∞ hay xn → x (n → ∞) Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn }∞ ⊂ E gọi là dãy n=1 cơ bản trong không gian. .. lồi 1.3 1.3.1 Không gian Lp(p > 1) nửa sắp thứ tự Không gian tuyến tính thực Lp b | x(t) |p dt < +∞}, Lp = {x : [a, b] → R p>1 a cùng với hai phép toán thông thường (cộng hai h m số, nhân một số thực với một h m số) là không gian tuyến tính thực Phép toán: + : Lp × Lp −→ −→ (x, y) Lp x+y với (x + y)(t) = x(t) + y(t) h. k t ∈ [a; b] : R × Lp −→ Lp (α, y) −→ αx 28 với (αx)(t) = αx(t), h. k t ∈ [a; b]... nón • Khi đó có một quan h sắp thứ tự trong không gian Lp , cụ thể x, y ∈ Lp ta nói x ≤ y nếu y − x ∈ K và quan h "≤" là một quan h sắp thứ tự trong không gian Lp (theo định lý 1.2.4) • Với x, y ∈ Lp : x ≤ y ⇔ y − x ∈ K ⇔ y(t) − x(t) ≥ 0 h. k.n trên [a; b] ⇒ y(t) ≥ x(t) h. k.n trên [a; b] • Quan h "≤" là một quan h sắp thứ tự bộ phận trong không gian Lp Thật vậy, Hai phần tử bất kỳ của Lp có thể... được từ tính bị chặn của F Bất đẳng thức thứ nhất sẽ chứng minh như sau Nếu inf z∈F z = 0, thì tồn tại một dãy {zn }∞ ⊂ F, lim n=1 n→∞ zn = 0 hay lim zn = θ trong E n→∞ Khi đó ta có θ ∈ F ( do F đóng), trái với giả thiết F không chứa phần tử không Vậy z ≥ inf z = m > 0, ∀z ∈ F và ta có bất đẳng thức thứ nhất trong (1.6) Chứng minh K(F ) là một nón ta thực hiện các bước: Ta chứng minh K(F ) là một tập . tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định. Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của. đến điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực với hai nón. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán tử h - cực trị. TẠO TRƯỜNG ĐẠI H C SƯ PHẠM H NỘI 2 VŨ THỊ H NG NHUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ h - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người h ớng