Điểm bất động của toán tử (K,Uo)_Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư-Tiến sĩ- Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin châ n thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt đẹp chương trình Cao học và luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin tr ân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin và các đồng nghiệp của trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện Biên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 201 2 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của P GS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy 3 Mục lục Mở đầu 2 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với mộ t nón . . . 10 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . . . 10 1.2.2 Quan hệ thứ tự tr ong không gian E . . . . . . . . . 11 1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 17 1.3 Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Một số không gian Banach t hực nửa sắ p thứ tự . . . . . . 22 1.4.1 Không gian C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Không gian l 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Không gian c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 TOÁN TỬ (K, u 0 ) − LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANA 2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy 44 2.3 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa 2.3.1 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian C 48 2.3.2 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian l 2 52 4 3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u 0 ) − LÕM CHÍNH 3.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính 3.2 Ví dụ áp dụng định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Điểm bất động trong không gian C . . . . . . . . . 64 3.2.2 Điểm bất động trong l 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét bài toán: Tìm điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. Nên bài toán này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxk i đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm ( 1956). Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) − lõm (1984 ). Các lớp toán t ử trên có chung tính chất u 0− đo được khiến cho việc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn. Hơn nữa, các toán tử trên được xét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón. Nhà toá n học M. A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với các lớp toán tử tr ên tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó một nó n là con của nón còn lại. Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với lớ p toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón: Toán tử lõm chí nh quy, trong đó không yêu cầu có tính chất u 0− đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy t ôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: 6 “Điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón”. 2. Mục đích n ghiên cứu Luận văn “Điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong kh ô ng gian Banach t hực với hai nón ” nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó hai nón cố định khác nhau và giao nhau khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất u 0− đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ ng hiên cứu của luận văn là: + Tìm hiểu về khô ng gian Banach thực nửa sắ p thứ tự. + Tìm hiểu về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy. + Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach t hực với hai nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng ng hiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. +) Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 7 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết quả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể. - Tổng hợp, phân tí ch, hệ thống các khái ni ệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu “Điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực vớ i hai nón ” sẽ cho ta hiểu biết sâu sắc hơn về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho mộ t số l ớp toán tử khác. Luận văn này có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học liên quan. 8 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không g i an đ ị nh chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là m ột ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu . ( đọc là chuẩ n), thỏa mãn các điều k iện sau: i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không trong không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α|x; iii,∀x , y ∈ E, x + y ≤ x+ y (bất đẳng thức tam giác). Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, .) hay E. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy {x n } ∞ n=1 ⊂ E gọi là hội t ụ đến x ∈ E nếu lim n→∞ x n − x = 0, hay ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ n 0 , x n − x < ε. Dựa vào các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau: Định lí 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy đi ể m {x n } ∞ n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {x n } hội tụ tới x, nói khác đi x là m ộ t hàm liên tục của biến x. 9 Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có: x = x −y + y ≤ x − y + y, ∀x, y ∈ E, hay x − y ≤ x −y. Đổi vai t rò của x, y ta lại có: y −x ≤ x −y. Do đó ta có |x −y| ≤ x −y, ∀x, y ∈ E. Suy ra |x n  −x| ≤ x n − x (n = 1, 2, . . .) Vì vậy, nếu {x n } hội tụ tới x thì lim n→∞ x n − x = 0, dẫn đến |x n  −x| → 0 khi n → ∞ hay x n  → x khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Định lí 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {x n } ∞ n=1 hội tụ thì dãy chuẩn {x n } bị chặn. Chứng minh. Giả sử x n → x, n → ∞ trong không gian E, theo định lí 1.1.1 ta có x n  → x khi n → ∞ , do đó tồn tại n 0 sao cho ∀n ≥ n 0 , x n  ≤ x + 1 Đặt K là số lớn nhất trong các số x 1 , x 2 , , x n , x + 1. Khi đó ∀n, x n  ≤ K hay {x n } bị chặn. Định lí 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {x n } ∞ n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {y n } ∞ n=1 hội tụ tới y và trong R d ãy số {α n } hội tụ tới α t hì: x n + y n → x + y, n → ∞, α n .x n → αx, n → ∞. Nói khác đi hai phép toá n x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R). 10 Chứng minh. Do x n → x, n → ∞; y n → y, n → ∞ trong không gian E, nên ta có x n − x → 0, n → ∞ và y n − y → 0, n → ∞. Ta lại có (x n + y n ) −(x + y) ≤ x n − x+ y n − y do đó (x n + y n ) −(x + y) → 0, n → ∞ hay x n + y n → x + y, n → ∞ trong không gian E, đồng thời: α n .x n − α.x = α n x n − α n x + α n x −αx ≤ α n (x n − x)+(α n − α) x ≤ |α n |. x n − x+ |α n − α|. x. Vì α n → α, n → ∞ nên |α n − α| → 0, n → ∞ và dãy {|α n |} bị chặn, còn x n → x, n → ∞ trong không gian E nên x n − x → 0, n → ∞. Do đó |α n |. x n − x+ |α n − α|. x → 0 khi n → ∞ hay α n .x n − α.x → 0, n → ∞ hay α n x n → αx, n → ∞ trong không gian E. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x n } ∞ n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim n,m→∞ x n − x m  = 0 hay ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ sao cho ∀n, m ≥ n 0 ta có x n − x m  < ε. Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ. 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự vớ i một nón 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian đị nh chuẩn t hực E, tập K ⊂ E, K khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điều kiện sau: [...]... θ và K là một nón nên −x ∈ K Do đó −x ∈ K (u0) / / Vậy K (u0 ) là một nón trong không gian E 1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ thứ tự theo nón K trong E gọi là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự Một không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự đồng thời là không gian Banach thì được gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ... theo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Khi đó Eu0 là không gian định chuẩn thực với chuẩn xác định bởi: x u0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0 } (1.5) Chứng minh Dễ thấy θ ∈ Eu0 và nó đóng kín đối với phép cộng hai phần tử của Eu0 và phép nhân một số thực với một phần tử của Eu0 như trong E, nên Eu0 là một không gian tuyến tính thực Ta chứng minh công thức (1.5) thỏa mãn các điều kiện của chuẩn: +) Hiển nhiên với mọi... 1.4.2 Không gian l2 1.4.2.1 Không gian tuyến tính thực l2 Kí hiệu, l2 = {x = (x1, x2, , xn, ) : xi ∈ C , i = 1, ∞, l2 cùng với hai phép toán: ∞ i=1 |xi|2 < +∞} x + y = (x1 + y1 , x2 + y2, , xn + yn , ), 28 αx = (αx1 , αx2, , αxn, ) trong đó α ∈ R , x = (x1, x2, , xn, ) ∈ l2, y = (y1 , y2, , yn, ) ∈ l2 là không gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, , 0, ) 1.4.2.2 Không gian định chuẩn thực. .. y Như vậy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên Eu0 và Eu0 trở thành không gian định chuẩn với chuẩn (1.5) Chuẩn (1.5) thường được gọi là u0 - chuẩn 21 Định lí 1.3.3 Nếu K là nón chuẩn trong không gian Banach E thì không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn Chứng minh Giả sử {xn } là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu0 theo u0 - chuẩn, nghĩa là: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀m, n ≥ n0... A Điều này trái với t1 + t2 t1 + t2 giả thiết θ không thuộc A Vì t1 > 0 và t2 > 0 nên Vậy K (A) thỏa mãn các điều kiện về nón nên, K (A) là một nón trong không gian E Định lí 1.2.6 Nếu K là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn thực E, u0 ∈ K ∗ thì Ku0 = K (u0 ) ∪ {θ} là một nón trong không gian E Chứng minh Ta có Ku0 = ∅ vì θ ∈ Ku0 Ta sẽ chứng minh Ku0 thỏa mãn bốn điều kiện về nón +) Ku0 là tập... {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0 } nên xn − x ∀n ≥ n0 hay {xn} hội tụ đến x trong Eu0 theo u0 - chuẩn Vậy Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn u0 ≤ ε, 22 1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.4.1 Không gian C 1.4.1.1 Không gian tuyến tính thực C Kí hiệu C = {z = (x + iy) : x, y ∈ R, i là đơn vi ảo } Ta đưa vào C với hai phép toán: ∀z1 = x1 + iy1 ∈ C, ∀z2 = x2 + iy2 ∈ C, ∀α ∈ R ta đặt z1 + z2... u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 Định lí 1.3.1 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Khi đó Eu0 là một không gian tuyến tính Chứng minh Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu0 ⊂ E, do vậy để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh Eu0 là không gian con của E +) Ta thấy, θ ∈ Eu0 vì với mọi t > 0 ta có −tu0 < θ < tu0 Suy ra Eu0 khác rỗng +) Với mọi x, y... bộ phận trong l2 Thật vậy, với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc l2 có thể không có quan hệ thứ tự ′′ ≤′′ Ví dụ với x = (1, 0, , 0 , ), y = (0, i, 0, , 0) ∈ l2 Ta có: y − x = (−1, i, 0, , 0) ∈ K, nên không có quan hệ x ≤ y, / x − y = (1, −i, 0, , 0) ∈ K, nên không có quan hệ y ≤ x / Do đó l2 là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K +) K là nón chuẩn trong l2... thực cơ bản nên tồn tại giới hạn lim xm = x, lim ym = y m→∞ m→∞ Đặt z = x + iy, theo định lí 1.4.1, dãy {zm } hội tụ tới z khi m → ∞ trong C Vậy C là không gian Banach * Nón trong không gian Banach thực C Xét K = {z = x + iy ∈ C : x ≥ 0, y ≥ 0} Ta có tập K là một nón trong C Thật vậy, tập K thỏa mãn các điều kiện về nón: +) K = ∅ vì θ = 0 + i0 ∈ K +) Giả sử {zn }∞ ⊂ K, zn = xn + iyn và lim zn = z trong. .. nếu x − y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện d) của định nghĩa 1.2.1 Do đó x − y = θ ⇔ x = y +) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự ′′ ≤′′ gọi là không gian nửa sắp thứ tự theo nón K 12 Định nghĩa 1.2.2 Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một . 44 2.3 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa 2.3.1 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian C 48 2.3.2 Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian. bày về điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó hai nón cố định khác nhau và giao nhau khác rỗng, không yêu cầu toán tử có. quả về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. +) Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong