Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Ma Quốc Hương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Ma Quốc Hương Mục lục Bảng kí hiệu 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 21 2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 25 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . 28 2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 1 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng int(P ) Phần trong của P  p Quan hệ thứ tự theo nón P  Kết thúc chứng minh 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học được nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng, vật lý, tin học và các ngành khoa học khác. Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà Toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan,. . . Những Định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX trong đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922): Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm bất động duy nhất. Sau đó rất nhiều nhà Toán học đã mở rộng kết quả này sang các lớp không gian khác. Năm 2007, các nhà toán học Trung Quốc: Huang Long - Guang và Zhang Xian đã mở rộng kết quả này sang lớp không gian metric nón được đăng trong bài báo: “Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings” (xem [6]). Năm 2008 các nhà toán học Venezuela: José R. Morales and Edixón Rojas đã giới thiệu một kết quả mới về điểm bất động của ánh xạ T- Co trong không gian metric nón. Đây là một lĩnh vực còn khá mới, đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Do đó trong các năm gần đây đều có các bài báo công bố kết quả về điểm bất động trong lớp 3 không gian này [5], [9], [4]. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón”. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về “Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón”. 5. Phương pháp nghiên cứu • Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu. • Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 4 6. Dự kiến đóng góp Đây là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. Giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. Luận văn được trình bày gồm hai chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach. Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metric nón, và sự hội tụ trong không gian metric nón. Phần cuối là kết quả về điểm bất động của ánh xạ co cho lớp không gian này. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach và cuối cùng là nguyên lý ánh xạ co Banach. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d gọi là metric trên X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Không gian metric được kí hiệu là (X, d). 6 Ví dụ 1.1.1. Cho C [a,b] là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt d(x, y) = max atb |x(t) − y(t)| với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C [a,b] . Khi đó (C [a,b] , d) là một không gian metric. Chứng minh. Vì ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] nên x(t) − y(t) là hàm liên tục ∀t ∈ [a, b], do đó tồn tại max atb |x(t) − y(t)| hay d(x, y) xác định trên C [a,b] . Ta kiểm tra các điều kiện về metric. 1. Với ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ta có |x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b]. Ta suy ra max atb |x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b]. Vậy d(x, y)  0, ∀x, y ∈ C [a,b] . Hiển nhiên d(x, y) = 0 hay max atb |x(t) − y(t)| = 0. Ta có |x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b]. Vậy x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y. 2. Với ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] : d(x, y) = max atb |x(t) − y(t)| = max atb |y(t) − x(t)| 7 = d(y, x). Vậy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C [a,b] . 3. Với ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ∀z = z(t) ∈ C [a,b] , ta có: d(x, y) = max atb |x(t) − y(t)| = max atb |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|  max atb |x(t) − z(t)| + max atb |z(t) − y(t)| = d(x, z) + d(z, y). Vậy d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C [a,b] . Vậy (C [a,b] , d) là một không gian metric.  Định nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {x n } ⊂ X, điểm x 0 ∈ X. Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến điểm x 0 khi n → ∞ nếu với ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ , với ∀n  n 0 thì d(x n , x 0 ) < ε. Hay lim n→∞ d(x n , x 0 ) = 0. Ký hiệu lim n→∞ x n = x 0 hay x n → x 0 , n → ∞. Điểm x 0 được gọi là giới hạn của dãy {x n } trong X. Định nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy, nếu với ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀n, m  n 0 thì d(x n , x m ) < ε hay lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0. [...]... 1), suy ra T là ánh xạ co Hơn nữa R là không gian metric đầy đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 25 Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực... không gian Banach 1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.4.1 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) kd(x, y), ∀x, y ∈ X Định lý 1.4.1 [1] Nguyên lý ánh xạ co Banach Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất Chứng minh Giả sử T : X → X là ánh xạ co, ta lấy điểm x0 bất kỳ,... Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 [6] Cho E là không gian Banach thực, tập con P của E được gọi là nón khi và chỉ khi 1 P không rỗng, P đóng và P = {0}; 2 a, b ∈ R, a, b 0... không gian metric nón Sau đây chúng ta trình bày về sự hội tụ của dãy trong không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [6] Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X và x thuộc X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi c thuộc E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(xn, x) p c, với mọi n > N Khi đó x được gọi là giới hạn của. .. là một dãy Cauchy trong (C[0,1] , d) 1.2 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.2.1 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X Ví dụ 1.2.1 Không gian C[a,b] các hàm số liên tục trên [a, b] với metric d(x, y) = max |x(t) − y(t)| là không gian metric đầy đủ a t b Chứng minh Giả sử {xn (t)} là dãy Cauchy tùy ý trong không gian C[a,b] Theo định... động của ánh xạ T Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên X Giả sử tồn tại điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Thế thì d(x∗, y ∗) = d(T x∗, T y ∗) kd(x∗, y ∗) Suy ra d(x∗, y ∗) − kd(x∗, y ∗) 0 Hay (1 − k)d(x∗, y ∗) 0 Do k < 1 nên ta có d(x∗, y ∗) = 0 Suy ra x∗ = y ∗ Vì vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Định lý được chứng minh Ví dụ 1.4.1 Chứng... } là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ (X, d) Do đó {xn } hội tụ tới x∗ ∈ X Ta chứng minh x∗ là điểm bất động của ánh xạ T trong X Ta có: d(T x∗, x∗) d(T x∗, xn) + d(xn, x∗) = d(T x∗, T xn−1) + d(xn, x∗) 23 kd(x∗, xn−1) + d(xn, x∗), ∀n = 1, 2, Do lim d(xn, x∗) = lim d(xn−1, x∗) = 0, n→∞ n→∞ nên ta suy ra d(T x∗, x∗) = 0 hay T x∗ = x∗, nghĩa là x∗ là điểm bất động của ánh xạ T Bây giờ ta... dãy Cauchy trong không gian (X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ 1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức) Một ánh xạ chuẩn nếu 1 x 0, ∀x ∈ X · : X → R được gọi là một 13 x = 0 ⇔ x = θ 2 λx = |λ| · x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K 3 x + y x + y , ∀x, y ∈ X Số x được gọi là chuẩn của vectơ x... X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức) Không gian X cùng với chuẩn · xác định trên X được gọi là không gian định chuẩn Kí hiệu: Không gian định chuẩn (X, · ) Ví dụ 1.3.1 Cho không gian tuyến tính phức En = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ C} và ánh xạ · n k=1 xác định bởi: x = : En → R, xk 2 Khi đó (En , · ) là một không gian định chuẩn Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của Định... hạn của xn (t) trong C L 1 0, [ 2] Ta cũng có x(t) và 0 cùng là giới hạn của xn (t) trong C L1 ,1 [2 ] 21 Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra:  1  nếu 0 x(t) =  0 Vậy x(t) không liên tục tại t = nếu t 1 . tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. Giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. Luận văn. công bố kết quả về điểm bất động trong lớp 3 không gian này [5], [9], [4]. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón, được sự giúp. về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach. Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metric nón, và sự hội tụ trong không gian