2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian
2.2Sự hội tụ trong không gian metric nón
Định nghĩa 2.2.1. [6]. Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X và x thuộc X. Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi c thuộc E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên
N sao cho
d(xn, x) p c, với mọi n > N.
Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy{xn}và ta ký hiệu lim
n→∞xn = x
Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn dãy trong không gian metric nón.
Định lý 2.2.1. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón. Nếu
dãy {xn} trong X hội tụ đến x và y thì x = y.
Chứng minh.
Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: nếu q thuộc P và q p ε
với mọi ε thì q = 0. Thật vậy, cố định c thuộc P với 0 p c. Khi đó, từ giả thiết suy ra q p c
m với mọi số nguyên dương m. Do đó c
m − q ∈ P với mọi m. Vì c
m − q hội tụ tới −q trong E và P là đóng nên −q ∈ P. Suy ra q = 0. Khẳng định được chứng minh.
Với mọi c ∈ E, 0 p c và lim
n→∞xn = x; lim
n→∞yn = y ta suy ra tồn tại số tự nhiên N1, N2 sao cho
d(xn, x) p c 2, ∀n > N1, và d(xn, y) p c 2, ∀n > N2. Suy ra c 2 − d(xn, x) ∈ int(P) và c
2 − d(xn, y) ∈ int(P), với mọi
n > N = max{N1, N2}.
Từ int(P) + int(P) ⊂ int(P) với mọi nón P, suy ra
c 2−d(xn, x) + c 2−d(xn, y) = c− d(xn, x) +d(xn, y) ∈ int(P), với mọi n > N. Ta nhận được d(x, y) 6 d(xn, x) + d(xn, y) p c, với mọi n > N. Ta suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.
Ta đã biết đối với không gian metric (X, ρ) thì dãy {xn} trong
X hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ khi ρ(xn, x) → 0. Định lý sau đây trình bày một tính chất tương tự cho không gian metric nón. Định lý 2.2.2. [6]. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P
là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một
dãy trong X. Khi đó, {xn} hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ khi
lim
n→∞d(xn, x) = 0 trong E.
Chứng minh.
Giả sử {xn} là một dãy trong X và xn → x ∈ X. Với mọi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0 p c và Kkck < ε. Khi đó, từ xn → x ∈ X
suy ra tồn tại số tự nhiên N sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
d(xn, x) p c, ∀n > N.
Vì nón P là nón chuẩn tắc với hệ số chuẩn tắc K nên ta có kd(xn, x)k 6 Kkck < ε, ∀n > N.
Vậy ta có lim
n→∞d(xn, x) = 0 trong E.
Ngược lại, giả sử trongE ta có lim
n→∞d(xn, x) = 0.Khi đó ∀c ∈ E
mà 0 p c đều tồn tại δ > 0 sao cho kxk <p δ thì c− x ∈ int(P) (do int(P) là một tập mở). Với δ > 0 xác định như trên, tồn tại số tự nhiên N sao cho
kd(xn, x)k <p δ, ∀n > N.
Suy ra c−d(xn, x) ∈ int(P). Ta nhận được d(xn, x) p c với mọi
n > N, tức là lim
n→∞xn = x.
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và dãy con của nó.
Định lý 2.2.3. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón và {xn}
là một dãy trong X. Nếu {xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của
nó cũng hội tụ tới x.
Chứng minh.
Với mỗi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi n > N,
d(xn, x) p c. Với mọi k > N thì nk > k > N, nên
d(xnk, x) p c. Hay lim k→∞xnk = x. Do đó {xnk} hội tụ tới x.
Định lý 2.2.4. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là
nón chuẩn tắc và {xn}, {yn} là các dãy trong X. Nếu lim
n→∞xn = x, lim n→∞yn = y thì lim n→∞d(xn, yn) = d(x, y). Chứng minh.
Với mỗi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0 p c và kck < ε
4K + 2. Từ lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, x) p c và d(yn, y) p c, với mọi n > N.
Chúng ta có
6p d(x, y) + 2c, với mọi n > N, và d(x, y) 6p d(xn, x) + d(xn, yn) + d(yn, y) 6p d(xn, yn) + 2c. Suy ra 0 6p d(x, y) + 2c −d(xn, yn) 6p 4c. Hay 06p −(d(xn, yn) − 2c− d(x, y))6p4c.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k−(d(xn, yn) −2c − d(x, y))k = k(d(xn, yn)− 2c − d(x, y))k 6 K k4ck. Vậy kd(xn, yn) −d(x, y)k = kd(xn, yn) − 2c− d(x, y) + 2ck 6 kd(xn, yn) − 2c− d(x, y)k +k2ck. Do đó kd(xn, yn) − d(x, y)k 6 K k4ck+ k2ck = (4K + 2)kck. Mà kck < ε 4K + 2 suy ra kd(xn, yn) −d(x, y)k < ε. Vậy lim n→∞d(xn, yn) = d(x, y). Bây giờ ta trình bày khái niệm dãy Cauchy trong không gian metric nón.
Định nghĩa 2.2.2. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón. Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0 p c thuộc E, tồn tại số tự nhiên N sao cho
Định lý 2.2.5. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là
nón chuẩn tắc và {xn} là một dãy trong X. Khi đó {xn} là dãy
Cauchy khi và chỉ khi lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Chứng minh.
Giả sử {xn} là dãy Cauchy trongX. Gọi K là hằng số chuẩn tắc của
P. Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0 p c và Kkck < ε.
Khi đó, từ {xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, xm) p c với mọi n, m > N.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên kd(xn, xm)k 6 Kkck, với mọi m, n > N. Hay kd(xn, xm)k < ε, với mọi m, n > N. Vậy lim n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Ngược lại ta có, với mọi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại δ > 0 sao cho kxk <p δ thì c − x ∈ int(P) (do int(P) là tập mở). Với δ > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho
kd(xn, xm)k <p δ, với mọi n, m > N.
Suy ra, c− d(xn, xm) ∈ int(P). Ta nhận được d(xn, xm) p c với mọi n, m > N, tức là lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Vậy {xn} là dãy Cauchy trong X.
Định lý 2.2.6. [6]. Nếu {xn} là dãy hội tụ trong không gian
Chứng minh.
Giả sử lim
n→∞xn = x, x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ E, 0 p c thì tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, x) p c
2, với mọi n > N. Vì vậy, với mọi m, n > N, ta có
d(xm, xn) 6p d(xn, x) + d(xm, x) p c 2 + c 2 = c. Vậy lim n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Ta có dãy {xn} là dãy Cauchy.
Định nghĩa 2.2.3. [6]. Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.
Định nghĩa 2.2.4. [6]. Cho (X, d) là một không gian metric nón. {xn} là dãy bất kỳ trong X có dãy con {xni} là hội tụ trong X. Thì X được gọi là không gian metric nón compact dãy.
Định nghĩa 2.2.5. [6]. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và T : X → X thì
1. T là liên tục nếu lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n→∞xn = x ta có lim
n→∞T xn = T x
với mỗi dãy {xn} trong X.
2. T là hội tụ dãy với mỗi dãy {yn} hội tụ thì dãy {T{yn}} hội tụ.
3. T là hội tụ dãy con với mỗi dãy {yn}, nếu {T{yn}} là hội tụ, thì {yn} có dãy con {ynk} hội tụ.