Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2 mêtric

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian mêtric không gian 2-mêtric 1.1 Không gian mêtric ánh xạ co 1.2 Không gian 2-mêtric Định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian 2-mêtric 17 2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian 2-mêtric 17 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian 2-mêtric 20 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Không gian mêtric tồn định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ đối tượng nghiên cứu toán Giải tích Có nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric ứng dụng Các hướng nghiên cứu thu nhiều lớp không gian tổng quát không gian mêtric lớp không gian có cấu trúc tương tự Các định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian mêtric khác Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Giải tích, Phương trình vi tích phân Năm 1963, S G¨ahler (xem [4]) đưa lớp không gian tương tự không gian mêtric không gian 2-mêtric Sau đó, vấn đề hội tụ, liên tục ánh xạ, tồn điểm bất động cho ánh xạ co, lớp không gian nghiên cứu số nhà toán học khác (xem [5], [6], ) Nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống không gian 2mêtric tồn điểm bất động cho số lớp ánh xạ co suy rộng không gian này, chọn đề tài cho khoá luận là: Về định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian 2- mêtric Chúng trình bày khái niệm, tính chất không gian 2-mêtric đưa số dạng định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng cho không gian 2-mêtric Với nội dung trên, khoá luận viết thành chương: Chương Không gian mêtric không gian 2-mêtric Chương Định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian 2mêtric Các kết khoá luận trình bày từ báo [3] Khoá luận hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn chu đáo, tận tình Thầy giáo Th.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa Toán nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn sinh viên lớp 47AToán tất bạn bè động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô góp ý bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2010 Hoàng Thị Thuỷ CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC Chương trình bày số vấn đề không gian mêtric không gian 2-mêtric 1.1 Không gian mêtric ánh xạ co Trong mục này, trình bày lại số kết không gian mêtric định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) 0, với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ,với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X ký hiệu xn → x,(x gọi giới hạn dãy {xn }), lim d(xn , x) = n→∞ Trong không gian mêtric giới hạn dãy có 1.1.3 Định nghĩa Không gian mêtric X gọi compact dãy thuộc X có dãy hội tụ X 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X 1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → X 1) ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x f (xn ) → f (x) 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ Ta chứng minh ánh xạ liên tục liên tục Mệnh đề ngược lại không 1.1.6 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ [0, 1) cho: d f x, f y qd(x, y), ∀x, y ∈ X Dễ dàng kiểm tra ánh xạ co liên tục 1.1.7 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f a = a 1.1.8 Định lý (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Chứng minh Cố định x0 ∈ X xác định dãy {xn } quy nạp sau xn+1 = f xn , n = 0, 1, 2, Ta có d(x1 , x2 ) = d(f x0 , f x1 ) qd(x0 , x1 ) d(x2 , x3 ) = d(f x1 , f x2 ) qd(x1 , x2 ) q d(x0 , x1 ) Do quy nạp ta chứng minh q n d(x0 , x1 ), ∀n = 1, 2, d(xn , xn+1 ) Từ suy d(xn , xn + p) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+p−1 , xn+p ) (q n + q n+1 + · · · + q n+p−1 )d(x0 , x1 ) qn d(x0 , x1 ) 1−q với n, p ∈ N∗ Vì q < nên lim d(xn , xn+p ) = 0, tức {xn } n→∞ dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ X Đặt a = lim xn n→∞ Do tính liên tục ánh xạ f , ta có a = lim xn+1 = lim f xn = f ( lim xn ) = f a n→∞ n→∞ n→∞ Vậy a điểm bất động f Bây giờ, giả sử b điểm bất động f Từ bất đẳng thức d(a, b) = d(f a, f b) qd(a, b) q ∈ [0, 1) ta suy d(a, b) = hay a = b Vậy f có điểm bất động Ví dụ sau cho thấy nguyên lý ánh xạ co Banach thay điều kiện ánh xạ co điều kiện d(f x, f y) d(x, y), ∀x, y ∈ X kết luận không 1.1.9 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric  0 m = n d(m, n) = 1 + m = n m+n (1.1) Dễ dàng kiểm tra (N, d) không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ f : N → N cho f n = n + Rõ ràng f điểm bất động Tuy nhiên d(f m, f n) < d(m, n), ∀m = n Thật vậy, m = d(f m, f 0) = d(m + 1, 1) = + 1 : LấyD bất kỳ, D ∈ R2 , có khả sau xảy ra: KN1: D không nằm miền tam giác ABC (D nằm miền nằm cạnh, Hình 1) SABC = SABD + SACD + SBCD KN2: D nằm miền (1),(3),(5) Hình Không tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (1) Khi SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD KN3: D nằm miền (2),(4),(6) biên Hình Không tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (2) Khi SABC = SABD + SACD − SBCD < SABD + SACD + SBCD 23 không âm n, áp dụng (2.3) ta có ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = ρ T φ1 x2n , T φ2 x2n+1 , T x2n a1 ρ T x2n , T φ1 x2n , T x2n + a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n + a3 ρ T x2n , T φ2 x2n+1 , T x2n + a4 ρ T x2n+1 , T φ1 x2n , T x2n + a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T x2n = a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n Do đó: ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n = a2 ρ y2n , y2n+1 , y2n+2 Từ giả thiết a2 < < 1, ta suy i=1 ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = Chứng minh tương tự ta có ρ(y2n+1 , y2n+2 , y2n+3 ) = Mặt khác, T song ánh nên với a ∈ X, tồn b ∈ Xsao cho T b = a Vì vậy, với a thuộcX ta có ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) = ρ T x2n+1 , T x2n+2 , T b = ρ T Φ1 x2n , T Φ2 x2n+1 , T b a1 ρ T x2n , T Φ1 x2n , T b + a2 ρ T x2n+1 , T Φ2 x2n+1 , T b + a3 ρ T x2n , Φ2 x2n+1 , T b + a4 ρ T x2n+1 , T Φ1 x2n , T b + a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T b 24 = a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) + a3 ρ(y2n , y2n+2 , a) + a4 ρ(y2n+1 , y2n+1 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a) a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) + a3 ρ(y2n , y2n+1 , a) + ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 )+ ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a) Kết hợp với ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = 0, ta có (1 − a2 − a3 ).ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) (a1 + a3 + a5 ).ρ(y2n , y2n+1 , a) Từ suy ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) (a1 + a3 + a5 ) ρ(y2n , y2n+1 , a), (1 − a2 − a3 ) tức ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) αρ(y2n , y2n+1 , a) (2.4) Bằng tính toán tương tự sử dụng ρ(y2n+1 , y2n+2 , y2n+3 ) = ta có ρ(y2n+2 , y2n+3 , a) βρ(y2n+1 , y2n+2 , a) (2.5) Từ (2.4) (2.5) suy ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) (1 + α)(αβ)[ ρ(y2n+2 , y2n+3 , a) (1 + α)(αβ)[ 2n+1 ] ρ(y0 , y1 , a) 2n+2 ] ρ(y0 , y1 , a) Do ρ(ym , ym+1 , a) m (1 + α)(αβ)[ ] ρ(yo , y1 , a), (2.6) với m = 1, 2, Ta ρ(y0 , y1 , ym ) = 0, ∀m = 0, 1, (2.7) Thật vậy, m = 0, m = khẳng định hiển nhiên Giả sử công thức (2.7) với m k − 1, tức ta cần chứng minh ρ(yo , y1 , yk ) = 25 Ta có ρ(y0 , y1 , yk ) ρ(y0 , y1 , yk−1 ) + ρ(y0 , yk−1 , yk ) + ρ(yk−1 , yk , y1 ) (1 + α)(αβ)[ k−1 ] ρ(y0 , y1 , y0 ) + ρ(y0 , y1 , y1 ) = Từ suy ρ(y0 , y1 , yk ) = Như (2.7) chứng minh Bây giờ, từ m (1 + α)(αβ)[ ] ρ(y0 , y1 , yn ), ρ(ym , ym+1 , yn ) ta suy ρ(ym , ym+1 , yn ) = 0, ∀m, n = 1, (2.8) Từ suy ρ(ym , yn , a) ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym , ym+1 , yn ) + ρ(ym+1 , yn , a) = ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym+1 , yn , a), ∀a ∈ X, ∀m < n Từ(2.6), (2.8) điều kiện iii) mục 1.2.1, ta có ρ(ym , yn , a) ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym+1 , ym+2 , a) + · · · + ρ(yn−1 , yn , a) m m m (1 + α) (αβ)[ ] + (αβ)[ ] + · · · + (αβ)[ ] ρ(y0 , y1 , a) Vì αβ < nên vế phải bất đẳng thức hội tụ tới m, n → ∞ Từ suy {yn } dãy Cauchy Vì X không gian 2-mêtric đầy đủ nên yn hội tụ tới y ∈ X Tức lim yn = lim T xn = y Vì T ánh xạ dãy hội tụ nên xn hội tụ tới x ∈ X Từ T liên tục nên ta suy T x = y Tiếp theo ta chứng minh x điểm bất động chung 26 φ1 φ2 Thật vậy, ρ T x, T Φ1 x , T b ρ y2n+2 , T x, T Φ1 x + ρ yn+2 , T x, T b + ρ yn+2 , T Φ1 x , T b = ρ y2n+2 , T x, T Φ1 x + ρ y2n+2 , T x, T b + ρ T Φ1 x , T Φ2 x2n+1 , T b ρ y2n+2 , T x, T Φ1 x + ρ y2n+2 , T x, T b + a1 ρ T x, T Φ1 x , T b + a2 ρ T x2n+1 , T Φ2 x2n+1 , T b + a3 ρ T x, T Φ2 x2n+1 , T b + a4 ρ T x2n+1 , T Φ1 x , T b + a5 ρ T x, T x2n+1 , T b = ρ y2n+2 , y, T Φ1 x + ρ yn+2 , y, T b + a1 ρ T x, T Φ1 x , T b + a2 ρ y2n+1 , y2n+2 , T b + a3 ρ y, y2n+2 , T b + a4 ρ T x2n+1 ), T Φx , T b + a5 ρ y, y2n+1 , T b Lấy giới hạn n → ∞ bất đẳng thức trên, kết hợp với lim yn = n→∞ y ta ρ T x, T φ1 x , T b) (a1 + a4 )ρ T x, T φ1 x , T b Từ giả thiết < (a1 + a4 ) < < 1, i=1 suy ρ T x, T φ1 x , T b = 0, ∀b ∈ X Vì a = T b ∈ X nên ρ T x, T φ1 x , a = 0, ∀a ∈ X Từ suy T φ1 x = T x Vì giả thiết T song ánh nên ta kết luận φ1 (x) = x 27 Chứng minh tương tự ta có φ2 (x) = x Như vậy, x điểm bất động chung φ1 φ2 Ta chứng minh điểm bất động x Thật vậy, y điểm bất động φ2 φ2 (y) = y Khi đó, áp dụng (2.3) ta có ρ T φ1 x , T φ2 y , T b a1 ρ T x, T φ1 x , T b + a2 ρ T y, T φ2 y , T b + a3 ρ T x, T φ2 y , T b + a4 ρ T y, T φ1 x , T b + a5 ρ T x, T y, T b ⇒ ρ(T x, T y, T b) (a3 + a4 + a5 )ρ(T x, T y, T b) Từ giả thiết < (a3 + a4 + a5 ) < < 1, i=1 ta suy ρ(T x, T y, T b) = 0, ∀b ∈ X Do đó: T x = T y Điều chứng tỏ x điểm bất động chung Φ2 Chứng minh tương tự ta suy x điểm bất động chung Φ1 Như vậy, Φ1 Φ2 có điểm bất động chung Định lý chứng minh Trong định lý ta chọn T (x) = x ta nhận hệ sau thuộc Lai Signh 2.2.5 Hệ ([7]) Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Giả sử φ1 , φ2 : X → X ánh xạ thoả mãn với ∀x, y, a ∈ X, ρ(Φ1 x, Φ2 y, a) a1 ρ(x, Φ1 x, a) + a2 ρ(y, Φ2 y, a) + a3 ρ(x, Φ2 y, a) + a4 ρ(y, Φ1 x, a) + a5 ρ(x, y, a), (2.9) 28 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 số thực không âm thỏa mãn < (a1 − a2 )(a3 − a4 ) i=1 Khi đó, Φ1 Φ2 có điểm bất động chung Ta nhận hệ sau từ kết Lai Singh 2.2.6 Hệ ([5]) Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Φ1 , Φ2 : X → X ánh xạ thoả mãn ρ(Φ1 x, Φ2 y, a) Aρ(x, Φ1 x, a) + Bρ(y, Φ2 y, a) + C ρ(x, Φ2 y, a) + ρ(y, Φ1 x, a) (2.10) + Dρ(x, y, a), với x, y, a ∈ X, A, B, C, D số thực không âm thoả mãn A + B + 2C + D < Khi đó, Φ1 Φ2 có điểm bất động Ta dễ dàng nhận từ Định lý 2.2.4 hệ sau mở rộng Hệ 2.2.6 2.2.7 Hệ Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Cho T : X → X song ánh, liên tục dãy hội tụ Cho Φ1 , Φ2 : X → X hai ánh xạ thoả mãn ρ T Φ1 x , T Φ2 y , T a Aρ T x, T Φ1 x , T a + Bρ T y, T Φ2 y , T a + C ρ T x, T Φ2 y , T a + ρ T y, T Φ1 x , T a + Dρ T x, T y, T a , (2.11) với x, y, a ∈ X, A, B, C, D số thực không âm thoả mãn A + B + 2C + D < Khi đó, Φ1 Φ2 có điểm bất động 29 Chứng minh áp dụng Định lý 2.2.4, với a1 = A, a2 = B, a5 = D a3 = a4 = C, ta nhận kết 2.2.8 Chú ý Trong Định lý 2.2.4 ta thay điều kiện T song ánh điều kiện T đơn ánh thỏa mãn ρ x, y, T (z) , ∀z ∈ X x = y Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.4 mở rộng thực từ Hệ 2.2.5 Lai Singh 2.2.9 Ví dụ Cho (R2 , ρ) không gian 2-mêtric, ρ(x, y, z) diện tích tam giác có đỉnh x, y, z ∈ R2 tương ứng Xét tập X = X1 ∪ X2 ⊂ R2 , X1 = {(x, 16) : x 1} X2 = {(16, y) : y 1} Khi đó, X không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2 Xét hai ánh xạ Φ1 = Φ2 = Φ X xác định √ Φ(x, 16) = x, 16 , ∀(x, 16) ∈ X1 √ Φ(16, y) = 16, y ∀(16, y) ∈ X2 Dễ dàng kiểm tra (16, 16) điểm bất động Φ1 Φ2 Tuy nhiên, Φ1 , Φ2 không thoả mãn Hệ 2.2.5 Cụ thể điều kiện (2.9) Hệ không thoả mãn với a, b, c ∈ X Để làm rõ điều này, ta xét hai trường hợp sau a3 a4 Nếu a3 a4 xét với a = (1, 16) ∈ X1 , b = (4, 16) ∈ X1 30 c = (16, 1) ∈ X2 , ta có ρ(Φ1 a, Φ2 b, c) = ρ((4, 16), (8, 16), (16, 1)) = 30, 45 ρ( a, b, c) = ρ((1, 16), (4, 16), (16, 1)) = , 45 ρ(a, Φ1 a, c) = ρ((1, 16), (4, 16), (16, 1)) = , 105 , ρ(a, Φ2 b, c) = ρ((1, 16), (8, 16), (16, 1)) = ρ(b, Φ2 b, c) = ρ((4, 16), (8, 16), (16, 1)) = 30, ρ(b, Φ1 a, c) = ρ((4, 16), (4, 16), (16, 1)) = Từ suy ρ(Φ1 x, Φ2 y, a) a1 ρ(x, Φ1 x, a) + a2 ρ(y, Φ2 y, a) + a3 ρ(x, Φ2 y, a) + a4 ρ(y, Φ1 x, a) + a5 ρ(x, y, a) 3 = 15 a1 + 2a2 + a3 + a5 2 (2.12) = 15 (a1 + a3 + a5 ) + 2(a2 + a3 ) 15 (a1 + a3 + a5 ) + 2(a2 + a4 ) < 30(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) < 30 = ρ(Φ1 a, Φ2 b, c), với a, b, c ∈ X Điều chứng tỏ điều kiện (2.9) không thỏa mãn Nếu a4 < a3 ta cố định a = (4, 16) ∈ X1 , b = (1, 16) ∈ X1 c = (16, 1) ∈ X2 Bằng cách tính toán tương tự ta thấy điều kiện (2.9) không thỏa mãn Do ta áp dụng Hệ 2.2.5 cho Φ1 Φ2 Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạ Φ1 , Φ2 thoả mãn Định lý 2.2.4 với a1 = a2 = a3 = a4 = 0, a5 = ánh xạ T : X → X xác định sau: T (x, 16) = ln(ex), 16 , ∀(x, 16) ∈ X1 31 T (16, y) = 16, ln(ey) , ∀(16, y) ∈ X2 Dễ dàng kiểm tra T song ánh, liên tục dãy hội tụ Với a, b, c ∈ X, điều kiện (2.3) có hai điểm a, b, c trùng Vì vậy, ta cần kiểm tra điều kiện (2.3) ba điểm đôi khác Để ý rằng, a, b, c ∈ X1 a, b, c ∈ X2 ρ T Φ1 a , T Φ2 b , T c = Ta suy điều kiện (2.3) Vì ta quy xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a = (x, 16) ∈ X1 , b = (y, 16) ∈ X2 c = (16, z) thì: √ √ ρ T (Φ1 a), T Φ2 b , T c = | ln(e4 x) − ln(e4 y)|| ln(ez) − 16| = | ln(ex) − ln(ey)|| ln(ez) − 16|, ρ(T a, T b, T c) = | ln(ex) − ln(ey)|| ln(ez) − 16| Từ suy ρ T Φ a , T Φ2 b , T c ρ(T a, T b, T c) Trường hợp 2: Nếu a = (16, x) ∈ X2 , b = (16, y) ∈ X2 c = (z, 16) ∈ X1 ta thu điều kiện (2.3) với tính toán tương tự Vì vậy, ta áp dụng Định lý 2.2.4 Φ1 Φ2 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.4 T không song ánh f điểm bất động có nhiều điểm bất động 2.2.10 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X → R sau ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, 32 ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6, ρ(x, y, z) = x, y, z có phần tử Khi đó, dễ thấy (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Xét ánh xạ sau:  a    b f1 (x) = d    c  a    b T1 (x) = a    b nếu nếu x x x x = = = = a b c d nếu nếu x x x x = = = = a b c d Ta kiểm tra d T1 f1 (x) , T1 f1 (y) , T1 (z) = 0, ∀x, y, z ∈ X Do đó, điều kiện 2.3 định lý 2.2.4 thỏa mãn Tuy nhiên, T1 song ánh f1 có tới điểm bất động Bây giờ, ta xét ánh xạ  b    c f2 (x) = d    a nếu nếu x x x x = = = = a b c d  a    b T2 (x) = a    b nếu nếu x x x x = = = = a b c d Ta kiểm tra d T2 f2 (x) , T2 f2 (y) , T2 (z) = 0, ∀x, y, z ∈ X Do đó, điều kiện 2.3 định lý 2.2.4 thỏa mãn Tuy nhiên, T2 song ánh f2 điểm bất động Hệ sau dạng tổng quát Định lý 2.1.2 33 2.2.11 Hệ Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ ánh xạ T : X → X song ánh, liên tục dãy hội tụ Cho Φ1 , Φ2 : X → X ánh xạ thoả mãn ρ T Φ x , T Φ2 y , T a qρ T x, T y, T a , ∀x, y, a ∈ X, (2.13) tron q ∈ [0, 1) Khi Φ1 Φ2 có điểm bất động 2.2.12 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X × X × X → R sau ρ(a, b, c) = 0, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 0, ρ(a, b, d) = 3, ρ(x, y, z) = x, y, z có phần tử Khi đó, dễ thấy (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Xét ánh xạ φ : X → X xác định φ(x) = b x = a d x = a Rõ ràng φ1 , φ2 : X → X thoả mãn φ = φ1 = φ2 φ1 φ2 có điểm bất động chung Mặt khác, ta có ρ(φ1 a, φ2 c, a) = ρ(d, b, a) = ρ(a, c, a) = Điều kéo theo φ1 φ2 không thoả mãn Định lý 2.1.2 Do đó, ta áp dụng định lý cho φ1 φ2 Bây ta xét ánh xạ T : X → X  b    c T (x) = d    a xác định bởi: nếu nếu x x x x = = = = d b a c Dễ dàng chứng minh T song ánh, liên tục dãy hội tụ Ta có: T φ(x) = c x = a b x = a 34 Điều kéo theo ρ T Φx , T Φy , T z = 0, ∀x, y, z ∈ X Do đó, điều kiện (2.13) thoả mãn Theo Hệ 2.2.11 ta suy Φ1 Φ2 có điểm bất động Ví dụ sau chứng tỏ ta thay điều kiện T song ánh điều kiện T đơn ánh ta bỏ điều kiện T dãy hội tụ 2.2.13 Ví dụ Lấy Y = Y1 ∪ Y2 ⊂ R2 xác định Y1 = {(x, 0) : x 0}; Y2 = {(0, y) : y 0} Khi đó, Y không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2 Ta xác định ánh xạ T : Y → Y sau T (x, 0) = (e−x , 0), ∀(x, 0) ∈ Y1 , T (0, y) = (0, e−y ), ∀(0, y) ∈ Y2 Khi đó, T liên tục, dãy hội tụ T đơn ánh không song ánh Xét ánh xạ f : Y → Y xác định f (x, 0) = (2x + 1, 0), ∀(x, 0) ∈ Y1 , f (0, y) = (0, 2y + 1), ∀(0, y) ∈ Y2 Rõ ràng f điểm bất động Tính toán tương tự Ví dụ 2.2.9 ta thấy f thỏa mãn điều kiện (2.3) Định lý 2.2.4 với a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 2e Tuy nhiên, ta không áp dụng Định lý 2.2.4 cho Φ1 = Φ2 = f , T dãy hội tụ 2.2.14 Nhận xét Cho (X, ρ) không 2-mêtric ánh xạ f : X → X ánh xạ co Khi đó, a ∈ X điểm bất động f a điểm bất động f n , với n ∈ N Từ nhận xét ta dễ dàng nhận hệ Định lý 2.2.4 sau 35 2.2.15 Hệ Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ T : X → X song ánh, liên tục dãy hội tụ Giả sử Φ1 , Φ2 : X → X ánh xạ cho với x, y, a ∈ X : ρ T Φp1 x , T Φq2 y , T a a1 ρ T x, T Φp1 x , T a + a2 ρ T y, T Φq2 y , T a + a3 ρ T x, T Φq2 y , T a + a4 ρ T y, T Φp1 x , T a + a5 ρ T x, T y, T a , p, q ∈ N; a1 , a2 , a3 , a4 a5 số thực không âm thoả mãn < (a1 − a2 )(a3 − a4 ) i=1 điểm bất động Khi đó, Φ1 Φ2 có 36 kết luận Khoá luận thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm, ví dụ tính chất không gian 2-mêtric 2) Trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co không gian 2-mêtric đầy đủ 3) Đưa số định lý điểm bất động ánh xạ co dạng suy rộng không gian 2-mêtric đầy đủ (Định lý 2.2.4) 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục, tập [2] A Beiranvand, S Moradi, M Omid and H Pazandeh (2009), Two Fixed-Point Theorems for Special Mappings, arXiv:0903.1504, [3] Kieu Phuong Chi and Hoang Thi Thuy (2010), A fixed point theorem in 2-metric spaces for a class of maps that satisfy a contractive condition dependent on an another function, to be published in Lobachevskii J Math 31 (4) [4] S G¨ahler (1963), 2-metrische R¨ aume und ihre topologische Struktur, Math Nachr.,26, 115-148 [5] K Iséki, P L Sharma and B K Sharma (1976),Contraction type mapping on 2-metric space, Math Japon., 21(1), 67-70 [6] M S Khan (1980),On fixed point theorems in 2-metric space, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.), 27(41), 107-113 [7] S N Lai and A K Singh (1978), An analogue of Banach’s contraction principle for 2-metric spaces, Bull Austral Math Soc., 18(1), 137-143 [8] A K Sharama (1980), A note fixed point in 2-metric spaces, Indian J pure appl Math., 11(12), 1580-1583 [...]... TRONG KHÔNG GIAN 2- MÊTRIC Chương này trình bày một số kết quả về định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trong không gian 2- mêtric 2. 1 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian 2- mêtric Mục này trình bày các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- mêtric Đây là sự tương tự của các nguyên lý ánh xạ co đối với không gian mêtric 2. 1.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian. .. sự mâu thuẫn Định lý được chứng minh 20 2. 2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian 2- mêtric Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh xạ khác trong không gian 2- mêtric đầy đủ 2. 2.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric 1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {yn } sao cho dãy {T yn... φ1 x2n , T x2n + a2 ρ T x2n+1 , T 2 x2n+1 , T x2n + a3 ρ T x2n , T 2 x2n+1 , T x2n + a4 ρ T x2n+1 , T φ1 x2n , T x2n + a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T x2n = a2 ρ T x2n+1 , T 2 x2n+1 , T x2n Do đó: ρ(y2n , y2n+1 , y2n +2 ) a2 ρ T x2n+1 , T 2 x2n+1 , T x2n = a2 ρ y2n , y2n+1 , y2n +2 5 Từ giả thiết 0 a2 < ai < 1, ta suy ra i=1 ρ(y2n , y2n+1 , y2n +2 ) = 0 Chứng minh tương tự ta có ρ(y2n+1 , y2n +2 , y2n+3... y2n +2 , a) + a4 ρ(y2n+1 , y2n+1 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a) a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) + a3 ρ(y2n , y2n+1 , a) + ρ(y2n , y2n+1 , y2n +2 )+ ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a) Kết hợp với ρ(y2n , y2n+1 , y2n +2 ) = 0, ta có (1 − a2 − a3 ).ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) (a1 + a3 + a5 ).ρ(y2n , y2n+1 , a) Từ đó suy ra ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) (a1 + a3 + a5 ) ρ(y2n , y2n+1 , a), (1 − a2 −... được các kết quả sau: 1) Trình bày có hệ thống các khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản về không gian 2- mêtric 2) Trình bày một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian 2- mêtric đầy đủ 3) Đưa ra một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co dạng suy rộng trong không gian 2- mêtric đầy đủ (Định lý 2. 2.4) ... không gian 2- mêtric ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho ρ(f x, f y, a) qρ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X (2. 1) Định lý sau là một tương tự của nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric 2. 1 .2 Định lý Nếu (X, ρ) là không gian 2- mêtric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động Chứng minh Lấy x0 ∈ X và lập dãy x1 = f x 0 x2 = f x 1 ,... ánh nên với mỗi a ∈ X, tồn tại duy nhất b ∈ Xsao cho T b = a Vì vậy, với mỗi a bất kỳ thuộcX ta có ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) = ρ T x2n+1 , T x2n +2 , T b = ρ T Φ1 x2n , T 2 x2n+1 , T b a1 ρ T x2n , T Φ1 x2n , T b + a2 ρ T x2n+1 , T 2 x2n+1 , T b + a3 ρ T x2n , 2 x2n+1 , T b + a4 ρ T x2n+1 , T Φ1 x2n , T b + a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T b 24 = a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) + a3 ρ(y2n , y2n +2. .. tức là ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) αρ(y2n , y2n+1 , a) (2. 4) Bằng tính toán tương tự và sử dụng ρ(y2n+1 , y2n +2 , y2n+3 ) = 0 ta có ρ(y2n +2 , y2n+3 , a) βρ(y2n+1 , y2n +2 , a) (2. 5) Từ (2. 4) và (2. 5) suy ra ρ(y2n+1 , y2n +2 , a) (1 + α)(αβ)[ ρ(y2n +2 , y2n+3 , a) (1 + α)(αβ)[ 2n+1 ] 2 ρ(y0 , y1 , a) và 2n +2 ] 2 ρ(y0 , y1 , a) Do đó ρ(ym , ym+1 , a) m (1 + α)(αβ)[ 2 ] ρ(yo , y1 , a), (2. 6) với mọi m = 1, 2, Ta... không song ánh Xét ánh xạ f : Y → Y xác định bởi f (x, 0) = (2x + 1, 0), ∀(x, 0) ∈ Y1 , f (0, y) = (0, 2y + 1), ∀(0, y) ∈ Y2 Rõ ràng f không có điểm bất động Tính toán tương tự như Ví dụ 2. 2.9 ta thấy f thỏa mãn điều kiện (2. 3) của Định lý 2. 2.4 với a1 = a2 = a3 = a4 = 0 và a5 = 2e Tuy nhiên, ta không áp dụng được Định lý 2. 2.4 cho Φ1 = 2 = f , bởi vì T không phải là dãy hội tụ 2. 2.14 Nhận xét Cho. .. là một dạng tổng quát của Định lý 2. 1 .2 33 2. 2.11 Hệ quả Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric đầy đủ và ánh xạ T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ Cho Φ1 , 2 : X → X là các ánh xạ thoả mãn ρ T Φ 1 x , T 2 y , T a qρ T x, T y, T a , ∀x, y, a ∈ X, (2. 13) tron q ∈ [0, 1) Khi đó Φ1 và 2 có duy nhất một điểm bất động 2. 2. 12 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X × X × X → R như ... CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN 2- MÊTRIC Chương trình bày số kết định lý điểm bất động ánh xạ co không gian 2- mêtric 2. 1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian. .. gian 2- mêtric Mục trình bày định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian 2- mêtric Đây tương tự nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric 2. 1.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) không gian 2- mêtric ánh xạ f... Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian 2- mêtric Trong mục này, đưa số định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng dựa ánh xạ khác không gian 2- mêtric đầy đủ 2. 2.1 Định nghĩa Cho