Một số định lý điểm bất động trong đại số BANNACH

1 MỤC LỤC Mở đầu Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đại số Banach 1.1 Một số khái niệm, kết .4 1.2 Một số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đại số Banach 12 Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach 22 2.1 Một số khái niệm tính chất 22 2.2 Một số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach 24 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Giải tích hàm nói chung lý thuyết điểm bất động nói riêng đóng vai trò quan trọng giải tích nhiều lĩnh vực khác toán học Nguyên lý tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach kết kinh điển lĩnh vực Người ta mở rộng kết theo nhiều hướng khác nhau, cách xét tồn điểm bất động cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian Bên cạnh việc nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị người ta nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị Ngoài việc nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric người ta nghiên cứu không gian Banach đại số Banach Những người đạt nhiều kết hướng nghiên cứu B.C.Dhage, S.Djebali, K.Hammache, Mục đích dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu tìm hiểu tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đa trị đại số Banach Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đại số Banach Chương trình bày khái niệm kết không gian Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co, cần dùng luận văn Sau trình bày định lý tồn điểm bất động ánh xạ α- tụ, α- Lipschitz thỏa mãn điều kiện Furi-Pera Cuối trình bày số hệ định lý trình bày trước Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach Chương trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ đa trị như: tính compact, tính liên tục, tính bị chặn, tính hoàn toàn bị chặn, Sau đó, trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach tương tự ánh xạ đơn trị trình bày chương 1, chúng thể Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.12 Các kết trình bày luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo, hệ thống trình bày theo mục đích Ngoài việc chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chúng chứng minh vắn tắt không chứng minh Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4, đưa chứng minh số kết Nhận xét 2.1.4, Nhận xét 2.2.9 Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt khóa học vừa qua Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới lãnh đạo trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh, lãnh đạo khoa Khoa học Cơ Bản tổ Toán trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh giúp đỡ tác giả thời gian học thời gian hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để từ bổ sung, sửa chữa hoàn thành luận văn tốt Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hương CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ TRONG ĐẠI SỐ BANACH Chương trình bày số Định lý tồn điểm bất động số ánh xạ đơn trị đại số Banach 1.1 Một số khái niệm, kết Mục trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co, mà chúng cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa i) Cho X tập Một mêtric X hàm d:X×X→R thoả mãn tính chất 1) d(x, y) với x, y∈X ; d(x, y)= x = y , 2) d(x, y)=d(y, x) với x, y ∈ X , 3) d(x, z) d(x, y)+d (y, z),với x, y, z ∈ X ii) Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) 1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi khả mêtric tôpô xác định mêtric X 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) Dãy {xn }⊂X gọi dãy Cauchy , với ε > 0, tồn n0 ∈N ∗ cho d(xn , xm )< , với m, n n0 1.1.4 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ, với dãy Cauchy X hội tụ điểm thuộc X 1.1.5 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính thực phức Một chuẩn X hàm x → x từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau: (a) x ; x = ⇔ x = 0, với x ∈ X , (b) λx = |λ| x , với x ∈ X , λ ∈ K với (K = C, R), (c) x + y x + y , với x, y ∈ X x gọi chuẩn phần tử x 1.1.6 Định nghĩa i) Cặp (X, · ), X không gian tuyến tính · chuẩn X, gọi không gian tuyến tính định chuẩn ii) Nếu (X, · ) không gian định chuẩn công thức d (x, y) = x − y với x, y∈X xác định mêtric X gọi mêtric sinh chuẩn 1.1.7 Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn (X, · ) đầy đủ mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.8 Định nghĩa Giả sử (X, ρX ), (Y, ρY ) hai không gian mêtric, ánh xạ f : X → Y gọi liên tục x0 với số dương ε, tồn σ > cho với x ∈ X ρX (x, x0 ) < σ ρY (f (x), f (x0 )) < ε Ánh xạ f gọi liên tục liên tục điểm x ∈ X 1.1.9 Mệnh đề Ánh xạ f : X → Y liên tục x ∈ X với dãy {xn }n ⊂ X lim xn = x ∈ X n→∞ lim f (xn ) = f (x) ∈ Y n→∞ 1.1.10 Định nghĩa Song ánh f : X → Y từ không gian mêtric X lên không gian mêtric Y gọi phép đồng phôi f f −1 ánh xạ liên tục với f −1 : Y → X 1.1.11 Định nghĩa Hai không gian mêtric X Y gọi đồng phôi với tồn phép đồng phôi f : X → Y 1.1.12 Định nghĩa Tập M không gian mêtric X gọi bị chặn tập hình cầu đó, nghĩa có điểm a ∈ X số C > cho ρ(x, a) C , với x ∈ M 1.1.13 Định nghĩa Tập M không gian mêtric X gọi hoàn toàn bị chặn với ε > cho trước, tập M phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε, nghĩa tồn số hữu hạn hình cầu B(x1 , ε),· · · ,B(xn , ε) cho n M ⊂ B(xi , ε) i=1 1.1.14 Định nghĩa Tập M không gian mêtric X gọi compact dãy {xn }n ⊂ M chứa dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc M 1.1.15 Định lý (Hausdorff ) Một tập compact đóng hoàn toàn bị chặn Ngược lại, tập đóng hoàn toàn bị chặn không gian mêtric đủ compact 1.1.16 Định nghĩa Tập A không gian véctơ X gọi lồi với x, y ∈ A λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) x ∈ A 1.1.17 Định nghĩa Cho X không gian mêtric.Ánh xạ T : X → X gọi Lipschitz tồn số α > cho Tx − Ty ≤ α x − y với x, y ∈ X Nếu α < 1, T gọi ánh xạ co X với số co α, α = 1, T gọi ánh xạ không giãn X 1.1.18 Định nghĩa Cho X không gian Banach ánh xạ f : X → X Khi đó, ánh xạ f gọi (a) compact f (X) tập compact, (b) hoàn toàn bị chặn f (A) tập compact tương A tập bị chặn củaX, (c) liên tục đầy đủ liên tục hoàn toàn bị chặn 1.1.19 Định nghĩa Một không gian vectơ X trường số C trang bị thêm phép nhân thỏa mãn điều kiện (1) x (yz) = (xy) z với x, y ∈ X , (2) (x + y) z = xz + yz, x (y + z) = xy + xz với x, y, z ∈ X , (3) α (xy) = (αx) y = x (αy) với x, y ∈ X α ∈ C gọi đại số phức, hay ngắn gọn đại số - Một đại số X thỏa mãn thêm điều kiện (4) X không gian Banach với chuẩn · đó, (5) xy ≤ x y với x, y ∈ X , gọi đại số Banach - Nếu tồn phần tử e ∈ X cho e = 1và ex = xe = x với x ∈ X X gọi đại số có đơn vị e gọi phần tử đơn vị X 1.1.20 Nhận xét i) Phần tử đơn vị đại số Banach ii) Phép nhân ( ) liên tục,liên tục trái, liên tục phải 1.1.21 Định nghĩa Giả sử X không gian mêtric f ánh xạ từ X vào Một điểm x ∈ X gọi điểm bất động f x=f (x) 1.1.22 Định lý (Schauder) Một ánh xạ liên tục f : S → S từ tập lồi, compact S không gian định chuẩn X vào có điểm bất động x = f (x) với x ∈ S 1.1.23 Định nghĩa Tập X0 không gian X gọi co rút X tồn ánh xạ liên tục r : X → X0 cho r(x) = x, với x ∈ X0 ; ánh xạ r gọi phép co rút từ X lên X0 1.1.24 Định lý ([12]) Cho M tập khác rỗng, lồi, đóng không gian Banach X A, B : M → X hai ánh xạ thỏa mãn (a) A ánh xạ compact liên tục, (b) B ánh xạ co, (c) Ax + By ∈ M với x, y ∈ M Khi A + B có điểm bất động M 1.1.25 Định lý ([2]) Cho S tập đóng, lồi bị chặn đại số Banach X A, B : X→X hai ánh xạ thỏa mãn (a) A ánh xạ Lipschitz với số Lipschitz α, (b) I −1 A tồn B(S), dó I ánh xạ đồng xác định I A (x) = x Ax , (c) B ánh xạ liên tục đầy đủ, (d) AxBy ∈ S với x, y ∈ S I A :X→X Khi đó, phương trình x=AxBx có nghiệm αM 0, ánh xạ f gọi co phi tuyến, (c) Nếu φf (r) = kr với < k 0, M := B(S) 1.1.29 Định lý ([4]) Cho E không gian Banach f : E → E ánh xạ co phi tuyến Khi đó, ánh xạ f có điểm bất động E 1.1.30 Định nghĩa Cho X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Khi X gọi không gian Fréchet X khả mêtric đầy đủ 1.1.31 Định lý ([7]) Cho E không gian Fréchet, Q tập đóng, lồi E, ∈ Q T : Q → E ánh xạ liên tục, compact Giả sử thêm (FP) Nếu {xj , λj }j≥1 dãy ∂Q × [0, 1] hội tụ tới (x, λ) với x = λT (x) ≤ λ < λj T (xj ) ∈ Q với j đủ lớn Khi đó, T có điểm bất động Q Điều kiện (FP) gọi điều kiện Furi-Pera 1.1.32 Định nghĩa Cho E không gian Banach B ⊂ P(E) họ tập bị chặn E Với tập A ∈ B, xác định α(A) = infD đó, n D= ε>0:A⊂ Ai , diam Ai ≤ ε, ∀i = 1, , n i=1 Khi α gọi độ đo Kuratowski tập không compact 1.1.33 Mệnh đề ([12]) Với A, B ∈ B, ta có (a) α(A) diam(A), 24 T (S) tập compact nên T (S) T (S) tập hoàn toàn bị chặn Thật vậy, với x ∈ T (S) với ε > ta có {B (x, ε)}x∈T (S) phủ mở T (S) Vì y ∈T (S) B(y, ε) ∩ T (S) = ∅ Do tồn x, ∈ B(y, ε) ∩ T (S) Do x, ∈ B(y, ε) nên y ∈ B(x, , ε) Từ đó, ta có y∈ B(x, ε) Vậy {B(x, ε)}x∈T (S) phủ mở T (S) Mặt khác, x∈T (S) T (S) tập compact nên tồn x1 , x2 , · · ·, xn ∈ T (S) cho n B (xi , ε) T (S) ⊂ T (S) = i=1 Do đó, T (S) T (S) tập hoàn toàn bị chặn Vậy T ánh xạ đa trị hoàn toàn bị chặn 2.1.5 Định nghĩa Cho T : X → Pcl (X) toán tử đa trị Khi T gọi Lipschitz tồn số k > cho với x, y ∈ X ta có H (T x, T y) ≤ k x − y Hằng số k gọi số Lipschitz T Nếu k < 1, T gọi ánh xạ đa trị co X 2.1.6 Định lý ([8]) Giả sử (X ,d) không gian mêtrric đầy đủ T : X → Pcl (X) ánh xạ đa trị co Khi T có điểm bất động 2.2 Một số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach Trong mục trình bày số định lý tồn điểm bất động số ánh xạ đa trị mà chúng tương tự ánh xạ đơn trị đại số Banach xét chương Trước đẫn đến kết điểm bất động, trình bày số bổ đề mà chúng dùng sau 25 2.2.1 Bổ đề ([13]) Giả sử (X ,d) không gian mêtrric đầy đủ T1 , T2 : X → Pcl,bd (X) hai ánh xạ đa trị co với số co k Khi ρ (Fix (T1 ) , Fix (T2 )) ≤ sup ρ (T1 (x) , T2 (x)) − k x∈X 2.2.2 Bổ đề ([5]) Nếu A , B ∈ Pbd,cl (X), H (AC ,BC ) H (0,C)H (A,B) Chứng minh Giả sử x ∈ AC y ∈ BC Khi tồn a ∈ A, b ∈ B c1 , c2 ∈ C cho x=ac1 , y=bc2 Do ta có D (x, BC) = inf { x − y |y ∈ BC } = inf { x − b c2 |b ∈ B, c2 ∈ C } = inf { a c1 −b c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C } inf { a c1 −b c1 + b c1 −b c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C } inf { a − b = inf { a − b c1 − c2 |a ∈ A, b ∈ B; c1 , c2 ∈ C } c1 + b c1 |b ∈ B, c1 ∈ C } = D (a, B) c1 Mặt khác, ta có ρ (AC, BC) = sup {D (x, BC) | x ∈ AC} = sup {D (a, B) c1 | a ∈ A, c1 ∈ C} sup {D (a, B) C | a ∈ A} = ρ (A, B) C = ρ (A, B) H (0, C) Tương tự ta có ρ (BC, AC) = ρ (B, A) H (0, C) Vậy H (AC, BC) = max {ρ (AC, BC) , ρ (BC, AC)} max {ρ (A, B) H (0, C) , ρ (B, A) H (0, C)} = H (0, C) max {ρ (A, B) , ρ (B, A)} = H (0, C) H (A, B) 26 2.2.3 Bổ đề ([5]) Giả sử A : X →Pbd (X) toán tử đa trị Lipschitz Khi đó, với S tập bị chặn X ta có A(S) tập chặn Chứng minh Giả sử S tập bị chặn không gian Banach X Khi đó, tồn số r > cho x < r , với x ∈ S Vì A ánh xạ Lipschitz, nên ta có Ax H (Ax, 0) H (Ax, A0) + H (A0, 0) k x + A0 kr + A0 với x ∈ S Vậy A(S) bị chặn 2.2.4 Định lý ([10]) Cho S tập đóng khác rỗng không gian Banach X Y không gian mêtric Giả sử toán tử đa trị F : S × Y → Pcl,cv (S) thỏa mãn a) H (F (x1 , y ), F (x2 , y )) k x1 -x2 , với (x1 , y ), (x2 , y ) ∈ S × Y , b) Với x ∈ S , F (x,.) nửa liên tục dưới( viết gọn l.s.c) Y Khi đó, tồn hàm liên tục f : S×Y → S cho f (x, y) ∈ F (f (x, y) , y) với (x, y) ∈ S×Y 2.2.5 Định lý ([5]) Giả sử S tập đóng, bị chặn không gian Banach X A : S → Pcl,cv,bd (X), B : S → Pcp,cv X hai toán tử đa trị cho a) A toán tử Lipschitz với số Lipschitz k, b) B l.s.c compact, c) AxBy tập lồi S với x,y ∈ S, 27 d) Mk < 1, M = B(S) = sup{ B(x) | x ∈ S} Khi đó, bao hàm thức toán tử x ∈ AxBx có nghiệm S , nghĩa tồn x ∈ S cho x ∈ AxBx Chứng minh Ta xác định toán tử đa trị T : S×S → Pcl,cv (S) T (x, y) = AxBy với x, y ∈ S (2.1) Khi đó, với y ∈ X cố định, T (x,y) ánh xạ đa trị co theo biến x Thật vậy, giả sử x1 , x2 ∈ S tùy ý Khi đó, từ Bổ đề 2.2.2 ta có H (T (x1 , y), T (x2 , y)) = H (Ax1 By, Ax2 By) H (Ax1 , Ax2 ) H (0, By) k x1 − x2 B(y) Vì By tập compact nên bị chặn, tức tồn số M cho B (y) ≤ M Do H (T (x1 , y) , T (x2 , y)) ≤ kM x1 − x2 , với x1 , x2 ∈ S Như Ty (.) = T (., y) ánh xạ co S với số co kM Vì theo Định lý 2.1.6 tập điểm bất động Ty FTy = {x ∈ S |x ∈ AxBy } tập đóng, khác rỗng S với y ∈ S Mặt khác, ta thấy toán tử T (x,y) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.4 nên tồn ánh xạ liên tục f : S×S → S cho với (x,y) ∈ S×S ta có f (x, y) ∈ T (f (x, y) , y) = A (f (x, y)) B (y) Ta xác định ánh xạ C : S → Pcl (S) C (y) = FTy , với y ∈ S Xét toán tử đơn trị c : S → S xác định c(x) =f (x, x), x∈S 28 Khi đó, c ánh xạ liên tục có tính chất c (x) = f (x, x) ∈ A (f (x, x)) B (x) = A (c (x)) B (x) với x ∈ S Hơn c ánh xạ compact S Thật vậy, A toán tử Lipschitz σ , với x ∈ S Vì B nên theo Bổ đề 2.2.3, tồn σ > cho Ax ánh xạ compact S nên B(S) tập compact Do đó, với ε > tồn Y = {y1 , y2 , · · ·, yn } ⊂X cho B (S) ⊂ {w1 , w2 , · · · , wn } + B 0, n B (yi ) + B 0, ⊂ i=1 − Mk ε σ − Mk ε σ wi ∈ B (yi ), i=1, 2, · · ·, n B (a, r) = {x ∈ S | x − a < r} Do đó, với y ∈ S , ta có n B (yi ) + B 0, B (y) ⊂ i=1 − Mk ε δ từ tồn yk ∈ Y cho ρ (B (y) , B (yk )) < − Mk ε δ Khi ρ (C (y) , C (yk )) = ρ (Fix (Ty ) , Fix (Tyk )) sup ρ (Ty (x) , Tyk (x)) − M k x∈S = sup ρ (AxBy, AxByk ) − M k x∈S sup ρ (0, Ax) ρ (By, Byk ) − M k x∈S σ − Mk < · ε = ε − Mk σ Như thế, với u ∈ C(y), tồn vk ∈ C(yk ) cho u − vk cho Ax x ∈ S Cho σ , với > Vì B ánh xạ compact nên B(S) tập compact Do tồn Y = {y1 , y2 , · · ·, yn } ⊂ X B (S) ⊂ {w1 , w2 , · · ·, wn } + B 0, n ⊂ B(yi ) + B 0, i=1 − Mk σε , − Mk ε , σ wi ∈ B(yi ), i = 1, 2, · · ·, n B(a, r) ={x∈S | x − a < r} Từ đó, với y ∈ S ta có n B (yi ) + B 0, B (y) ⊂ i=1 − Mk ε δ tồn yk ∈ Y cho ρ(B (y) , B(yk )) < 1−M k σ ε Vì ta có ρ (C(y), C(yk )) = ρ (Fix (Ty ), Fix (Tyk )) sup ρ (Ty (x) , Tyk (x)) − M k x∈S = sup ρ (A (x) B(y), A(x)B(yk )) − M k x∈S sup Sρ (0, Axρ (B(y)) , B(yk )) − M k x∈ σ (1 − M k) < · ε = ε (1 − M k) σ 31 Như vậy, với u ∈ C(y) tồn vk ∈ C(yk ) cho u − vk < ε Do đó, n với y ∈ Y ta có C (y) ⊂ B(vi , ), vi ∈ C(yi ), i = 1, 2, · · ·, n i=1 Từ đó, ta có n c (S) ⊂ C (S) ⊂ B (vi , ε) i=1 c toán tử compact S Mặt khác, c : S → S thỏa mãn giả thiết Định lý 1.1.25 nên c có điểm bất động, nghĩa tồn u ∈ S cho u = c(u) Từ đó, suy u = c (u) = f (u, u) ∈ A (f (u, u)) B (u) = A (u) Bu 2.2.7 Định nghĩa Độ đo Hausdoff χ tập bị chặn S X số thực không âm χ(S) xác định n χ (S) = inf B (xi , r) , xi ∈ S r>0:S= (2.2) i=1 Hàm χ có tính chất sau 1) χ(S) = S tập hoàn toàn bị chặn 2) χ(S) = χ(S) = χ(coS), S coS tương ứng bao đóng bao đóng lồi S 3) Nếu S1 ⊂ S2 χ(S1 ) χ(S2 ) 4) χ(S1 ∪S2 ) = max{χ(S1 ), χ(S2 )} 5) χ(λS) =|λ|χ(S), với λ ∈ R 6) χ(S1 + S2 ) χ(S1 ) + χ(S2 ) 2.2.8 Định nghĩa Ánh xạ T : X → X gọi χ - tụ với tập bị chặn S X T(S) tập bị chặn χ (T (S)) < χ (S) , χ (S) > 32 2.2.9 Nhận xét Các ánh xạ co ánh xạ hoàn toàn bị chặn ánh xạ tụ Do ánh xạ hoàn toàn compact, compact liên tục đầy đủ ánh xạ χ-tụ Chứng minh Giả sử T : X → X ánh xạ hoàn toàn bị chặn Khi đó, S tập bị chặn X cho χ(S) > T(S) tập hoàn toàn bị chặn Do đó, ta có χ (T (S)) = < χ (S) Như T ánh xạ χ- tụ Giả sử T : X → X ánh xạ co Khi đó, tồn α ∈ (0, 1) cho với x, y ∈ X ta có T x − T y < α x − y n B(xi , r), xi ∈ S Do đó, S tập bị chặn X S ⊂ i=1 n T (S) ⊂ B (T xi , αr), T xi ∈ T S i=1 Từ suy χ (T (S)) ≤ αχ (S) < χ (S) Vậy T ánh xạ χ- tụ 2.2.10 Định lý ([5]) Giả sử S tập đóng, lồi bị chặn đại số Banach X T : S → Pcl, cv (S) nửa liên tục χ- tụ Khi T có điểm bất động 2.2.11 Bổ đề ([9]) Nếu S1 ,S2 ∈ Pbd (X), χ (S1 · S2 ) ≤ χ (S1 ) S2 + χ (S2 ) S1 2.2.12 Định lý ([5]) Giả sử X đại số Banach, S tập đóng, lồi bị chặn đại số Banach X, A : S → Pcl,cv,bd (X) B : S → Pcp,cv (X) hai toán tử thỏa mãn 33 a) A ánh xạ Lipschitz với số Lipschitz k, b) B ánh xạ compact nửa liên tục trên, c) AxBx tập lồi S với x ∈ S , d) M k < 1, M = B (S) = sup{ B(x) |x∈S} Khi đó, bao hàm thức toán tử x ∈ AxBx có nghiệm Chứng minh Xác định ánh xạ T :S → Pcl,cv.bd (S) T x = AxBx với x ∈ S (2.3) Chúng ta chứng minh T thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.6 S Thật vậy, a) Theo cách xác định ánh xạ T T ánh xạ đa trị Hiển nhiên, T x tập lồi S với x ∈ S Từ Bổ đề 2.2.11 ta có χ (T x) = χ (AxBx) ≤ χ (Ax) Bx + χ (Bx) Ax = với x ∈ S b) T ánh xạ nửa liên tục trên S Thật vậy, S tập bị chặn X A toán tử Lipschitz nên tồn σ , với x ∈ S σ > cho Ax Giả sử {xn } dãy S cho xn hội tụ tới x∗ ∈ S {yn } dãy xác định yn ∈ T xn , yn hội tụ tới y ∗ Khi đó, y ∗ ∈ T x∗ Thật vậy, với x , y ∈ S , ta có H (T x, T y) = H (AxBx, AyBy) H (AxBx, AyBx) + H (AyBx, AyBy) H (Ax, Ay) H (0, Bx) + H (0, Ay) H (Bx, By) k Mk x−y x−y B(S) +σH (Bx, By) +σH (Bx, By) (2.4) Do B nửa liên tục nên H- nửa liên tục ta có H (B xn , B x∗ ) → xn → x∗ 34 Do D (y ∗ , T x∗ ) lim D (yn , T x∗ ) x→∞ H (T xn , T x∗ ) Mk xn − x∗ +σH (Bxn , Bx∗ ) → n → ∞ Vậy T toán tử đa trị nửa liên tục trên S c) T χ- tụ S Thật vậy, B ánh xạ compact nên B(S) tập compact X Cho > 0, tồn Z = {x1 , x2 , · · ·, xn } ⊂ X cho n B(S) ⊂ B yi , i=1 ε σ ⊂ {y1 , y2 , · · ·, yn } + B 0, n ⊂ B Bxi , i=1 ε σ ε σ với yi ∈ Bxi ,i = 1, 2, · · ·, n Do với x ∈ S , tồn xi ∈ Z cho ρ (Bx, B xi ) < δε Giả sử m χ(S) = r Khi đó, ta có S ⊂ B (xi , r + ε) Từ với x ∈ S ta có i=1 ρ (T x, T xi ) H (T x, T xi ) Mk x − xi +σH (Bx, Bxi ) ε < M k x − xi + ε M k (r, +, ε) + Mặt khác, T xi tập compact với i = 1, 2, · · ·, n, nên i tồn y1i ,y2i ,· · · ,yn(i) ∈ T xi cho n(i) B yji , T xi ⊂ j=1 ε (2.5) 35 Từ (2.4) ta có n T (S) ⊂ i=1  n(i) B yji , M k (r + ε) + ε  j=1    Do χ(T (S)) < M k(r + ε)+ε Vì ε tùy ý nên ta có χ (T (S)) ≤ M kr = M kχ (S) < χ (S) , χ (S) > Vậy T χ- tụ S Khi áp dụng Định lý 2.2.10 ta thấy ánh xạ T có điểm bất động, điều chứng tỏ bao hàm thức toán tử x ∈ AxBx có nghiệm 36 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau 1) Hệ thống trình bày cách chi tiết khái niệm kết không gian Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co, ánh xạ D-Lipschitz, ánh xạ đa trị compact, hoàn toàn compact, hoàn toàn bị chặn, liên tục đầy đủ, điều kiện Furi- Pera 2) Trình bày bốn định lý tồn điểm bất động ánh xạ dạng F = AB+C thoả mãn điều kiện Furi-Pera đại số Banach, B ánh xạ liên tục đầy đủ, A C ánh xạ D-Lipschitz hệ 3) Trình bày bốn định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị tương tự với ánh xạ đơn trị trình bày Chương đại số Banach bổ đề có liên quan 4) Chứng minh chi tiết kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt không chứng minh Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4 nhận xét Nhận xét 2.1.4, Nhận xét 2.2.9 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B.C.Dhage(1988), On some variants of Schauder’s fixed point principle and applications to nonlinear integral equations, J Math Phy Sci., 603-611 [2] B.C.Dhage(2005) On a fixed point theorem in Banach algebras with applications, Appl.Math.Lett.18,273-280 [3] B.C.Dhage(2005) Some nonlinear alternatves in Banach algebras with applications I, Nonlinear Studies 12, 3, 271-281 [4] B.C.Dhage(2006), Multi-Valued Operators and Fixed Point Theorems In Banach Algebras I, Taiwanese Journal of Mathemmatics, Vol 10, No 4, pp 1025-1045 [5] Boyd,D.W.,Wong,J.S.W(1969), On nonlinear contraction, Proc Amer Math Soc 20,458-464 [6] Furi, M., Pera, P.(1987) A continuation method on locally convex spaces and applications to ODE on noncompact intervals, Annales Polonici Mathematici 47,331-346 [7] H Covitz, S B Nadler jr.,(1970) , Multivalued contraction mappings in generalized metric spaces, Israel J Math.,5-11 [8] J Banas and M Lecho(2002), Fixed points of the product of operators in Banach algebras, PanAmerican Math.J., 101-109 [9] L Rybinski(1990), An application of the continuous selection theorem to the study of the fixxed points of multivalued mappings, J Math Anal Appl.,391-396 38 [10] O’Regan, D.(1996) Fixed- point theory for the sum of two operators, Appl Math Lett 9, 1- [11] Smail Djeball-Karima Hammache(2008), Furi- Pera Fixed Point Theorems in Banach Algebras with Applications, Acta Univ Palacki Olomuc., Fac rer nat.,Mathematica 47, 55-75 [12] T.C.Lim(1985), On fixed points stability for set-valued contraction mappings with applications to generalized differential equations, J Math Anal Appl., 436-441 [...]... Khi đó T có điểm bất động 2.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị trong đại số Banach Trong mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của một số ánh xạ đa trị mà chúng tương tự như đối với ánh xạ đơn trị trong đại số Banach đã xét ở chương 1 Trước khi đẫn đến các kết quả chính về điểm bất động, chúng ta trình bày một số bổ đề mà chúng được dùng về sau 25... có điểm bất động x ∈ Q 1.1.37 Định lý ([12]) Cho E là không gian Banach, Q là tập con đóng, lồi và bị chặn của E, 0 ∈ Q Giả sử (I − F )(S) là tập đóng trong đó 12 F : Q → E là α- Lipschitz với k= 1 và thỏa mãn điều kiện Furi- Pera Khi đó, F có diểm bất động x ∈ Q 1.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị trong đại số Banach Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất. .. kiện Furi- Pera 2) Trình bày bốn định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng F = AB+C thoả mãn điều kiện Furi-Pera trong đại số Banach, trong đó B là ánh xạ liên tục đầy đủ, A và C là các ánh xạ D-Lipschitz và các hệ quả của nó 3) Trình bày bốn định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị tương tự với ánh xạ đơn trị đã trình bày ở Chương 1 trong đại số Banach và các bổ đề có liên quan... χ (S) Vậy T là ánh xạ χ- tụ 2.2.10 Định lý ([5]) Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X và T : S → Pcl, cv (S) là nửa liên tục trên và χ- tụ Khi đó T có điểm bất động 2.2.11 Bổ đề ([9]) Nếu S1 ,S2 ∈ Pbd (X), thì χ (S1 · S2 ) ≤ χ (S1 ) S2 + χ (S2 ) S1 2.2.12 Định lý ([5]) Giả sử X là đại số Banach, S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X, A : S → Pcl,cv,bd (X) và... từ Định lý 1.2.1 1.2.10 Hệ quả ([11]) Cho S là tập con đóng , lồi và bị chặn của đại số Banach X, 0∈S và F1 : X→X ,F2 : S→X là các toán tử sao cho (a) F1 co phi tuyến (b) F2 là toán tử liên tục đầy đủ (c) F = F1 + F2 : S→X thỏa mãn điều kiện Furi- Pera (FP) Khi đó, F có điểm bất động x ∈ S Chứng minh Từ Định lý 1.2.1 ta chọn A ≡ 1, B ≡ F2 , C ≡ F1 và khi đó φA ≡ 0 Nên theo Định lý 1.2.1, F có điểm bất. .. với mọi y ∈ S , d) M k < 1, trong đó M = B (S) = sup{ B (x) |x∈S} Khi đó, bao hàm thức x ∈AxBy có nghiệm trong S Chứng minh Giả sử y ∈ S là điểm cố định Ta xác định toán tử đa trị Ty : X × S → X bởi Ty (x) = AxBy với x ∈ X Khi đó, tương tự như trong chứng minh định lý 2.2.5 ta có Ty là ánh xạ co đa trị trên X Do đó, áp dụng Định lý 2.1.6, với mỗi y ∈ S ta có tập điểm cố định của Ty là FTy = {u ∈ X... 2.1.5 Định nghĩa Cho T : X → Pcl (X) là toán tử đa trị Khi đó T được gọi là Lipschitz nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho với mỗi x, y ∈ X ta có H (T x, T y) ≤ k x − y Hằng số k được gọi là hằng số Lipschitz của T Nếu k < 1, thì T được gọi là ánh xạ đa trị co trên X 2.1.6 Định lý ([8]) Giả sử (X ,d) là không gian mêtrric đầy đủ và T : X → Pcl (X) là ánh xạ đa trị co Khi đó T có điểm bất động 2.2 Một số. .. luận của định lý này vẫn còn đúng với điều kiện (H) được thỏa mãn Chứng minh Trường hợp 1 NếuS = BM (0) thì chúng ta kiểm tra rằng điều kiện (c) trong Định lý 1.1.28 có kéo theo điều kiện (c) trong Định lý 1.2.4 không Giả sử (xj , λj )j≥1 là một dãy trong ∂S×[0, 1] hội tụ tới (x, λ) với x = λN x và 0 ≤ λ < 1 Khi đó λj N (xj ) ∈ S với j đủ lớn Thật vậy, với j∈N ∗ , ta có λj N (xj ) ≤ N (xj ) = yj trong. .. compact Chứng minh Định lý 1.2.4 Theo Bổ đề 1.2.5, toán tử N bị chặn nên nó cũng là toán tử co Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2.7 thì toán tử N hoàn toàn liên tục Do đó, toán tử N là α- tụ 18 Mặt khác, N thỏa mãn điều kiệ Furi- Pera Do vậy, theo Định lý 1.1.36, N có điểm bất động x ∈ S nghĩa là x = AxBx 1.2.8 Hệ quả ([12]) Giả sử các giả thiết (a)-(c) trong Định lý 1.1.28 được thỏa mãn, 0 ∈ S , trong đó S hoặc... nếu x ∈ /S Khi đó N r : X → X có điểm bất động Thật vậy, theo Bổ đề 1.2.7, N là toán tử liên tục đầy đủ và r liên tục nên ánh xạ hợp rN : S → S là ánh xạ liên tục đầy đủ Do đó, theo Định lý 1.1.22 thì toán tử rN có điểm bất động, nghĩa là tồn tại x0 ∈S sao cho rN x0 = x0 Giả sử y0 = N x0 Khi đó, ta có r y0 = rN x0 = x0 suy ra N r y0 = N x0 = y0 Do đó Nr có điểm bất động Từ đó ta có y0 = A y0 Br y0 ... diểm bất động x ∈ Q 1.2 Một số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đại số Banach Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ dạng F = AB + C thỏa mãn điều kiện Furi- Pera đại số Banach,... TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ TRONG ĐẠI SỐ BANACH Chương trình bày số Định lý tồn điểm bất động số ánh xạ đơn trị đại số Banach 1.1 Một số khái niệm, kết Mục trình bày số khái... X 2.1.6 Định lý ([8]) Giả sử (X ,d) không gian mêtrric đầy đủ T : X → Pcl (X) ánh xạ đa trị co Khi T có điểm bất động 2.2 Một số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị đại số Banach Trong mục