các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN DUY THÀNH CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN DUY THÀNH CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu 2 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 5 1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 5 1.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff . . . . . . . 13 1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani . . . . . . . . 19 1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan . . . . . . . . . 21 2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 27 2.1 Điểm bất động của các ánh xạ compact . . . . . . . . . . 27 2.2 Vấn đề không gian con bất biến . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel . . . . . . 37 2.4 Lý thuyết trò chơi và điểm cân bằng Nash . . . . . . . . 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 1 LỜI NÓI ĐẦU Nhiều vấn đề của toán học trong các lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, cần sử dụng các định lý về điếm bất động trong các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương như định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff, Markov – Kakutani, Kakutani – Ky Fan Điều này cho thấy khi nghiên cứu các vấn đề của toán học nói chung và toán học ứng dụng nói riêng không thể bỏ qua các định lý điểm bất động trong lớp không gian quan trọng này. Đây là cơ sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho bản luận văn “Các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương và ứng dụng”. Dưới tiêu đề trên tác giả đã trình bày lại những kết quả cơ bản của lý thuyết các điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương và một số áp dụng của lý thuyết này vào các phần khác nhau của toán học. Bản luận văn gồm Lời nói đầu, hai chương, Kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. CHƯƠNG I. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG. Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quan đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng minh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương : định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani, định lý Kakutani – Ky Fan. Định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan 2 được chứng minh bởi Kakutani cho trường hợp hữu hạn chiều ( 1941) và được chứng minh bởi Ky Fan cho trường hợp vô hạn chiều (1952) dựa trên một bất đẳng thức được chứng minh bởi chính Ky Fan liên quan đến các song hàm nửa liên tục dưới theo một biến, nửa liên tục trên và lõm theo một biến khác. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng của lý thuyết điểm bất động ở chương II. CHƯƠNG II. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG. Chương này xét các áp dụng của các định lý điểm bất động ở chương I. Định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff được áp dụng để chứng minh định lý Schaefer về sự tồn tại điểm bất động của một lớp các toán tử compact, định lý điểm bất động Krasnoselskii, một số hệ quả của các định lý này và định lý Lomonosov về sự tồn tại các không gian con bất biến không tầm thường của một lớp các toán tử tuyến tính trên không gian Banach X. Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong luận văn có nêu một cải tiến của định lý Krasnoselskii, được chứng minh bởi T.A. Burton vào năm 1998, kèm theo một ví dụ áp dụng vào lý thuyết phương trình tích phân. Định lý Markov – Kakutani được áp dụng để chứng minh sự tồn tại các trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel. Cuối cùng, bất đẳng thức Ky Fan ( định lý 1.5.4 ) được áp dụng để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong các trò chơi bất hợp tác của lý thuyết trò chơi. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn là các ký hiệu thông dụng trong các tài liệu toán học hiện đại. Tuy nhiên, ở một vài chỗ tác giả vẫn giới thiệu các ký hiệu để tránh hiểu nhầm. Tài liệu tham khảo gồm 06 danh mục, trong đó tài liệu [V.Pata] là tài 3 liệu tham khảo chính. Tác giả đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thày hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng – Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng Hải Việt Nam, trong việc tìm hiểu các vấn đề của bản luận văn và trình bày lại theo một trình tự logic. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể các thày, cô của Khoa Toán- Tin, Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên; các thày, cô của Viện Toán học- Viện Khoa học Việt Nam và thày hướng dẫn; những người đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt khóa học cao học tại Đại học Thái Nguyên và hoàn thành bản luận văn này. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2014 Người viết Trần Duy Thành 4 Chương 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quan đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng minh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng của lý thuyết điểm bất động ở chương sau. 1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 1.1.1 Không gian tô pô * Cho X là một tập khác rỗng. Một tô pô trên X là một lớp τ các tập con của X có các tính chất sau: 1) X thuộc τ và ∅ (tập rỗng) thuộc τ . 2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Một tập X cùng với một tô pô τ trên X ( tức là một cặp (X, τ)) gọi là một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở ( khi cần chính xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở). 5 Nếu (X, τ) là một không gian tô pô và Y là một tập con của X thì họ τ Y gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một tập mở tuỳ ý thuộc họ τ, là một tô pô trên Y . Không gian tô pô (Y, τ Y ) gọi là không gian con của không gian tô pô (X, τ). Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ . Ta sẽ chỉ xét các không gian tô pô tách, tức là các không gian thỏa mãn tiên đề Hausdorff dưới đây: * Với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận U x của x và một lân cận U y của y sao cho U x ∩ U y = ∅. 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và F là một tập con của X. Tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở. Vậy tập đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở. Các tập đóng có tính chất : 1’) X và ∅ là đóng. 2’) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Hợp hữu hạn của các tập đóng là đóng. 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và x là một phần tử của X ( ta sẽ gọi các phần tử của X là các điểm của nó). Một tập mở của X chứa x gọi là một lân cận của x . Một điểm z của X gọi là một điểm dính của tập con A ⊂ X nếu mọi lân cận của z chứa ít nhất một điểm của A. Điểm y của X gọi là một điểm giới hạn của A nếu trong mọi lân cận của y tìm được ít nhất một điểm x của A sao cho x khác y. Tập tất cả các điểm dính của tập con A của X gọi là bao đóng của A, ký hiệu A . Ta có : i) A đóng ⇔ A = A . ii) A là tập đóng bé nhất của X chứa A. 6 iii) B mở ↔ B là lân cận của mọi x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở V x ⊂ B sao cho x ∈ V x . 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, τ) là một không gian tô pô. Tập con B của τ được gọi là một cơ sở của tô pô τ nếu mọi tập mở trong tô pô τ biểu diễn được dưới dạng hợp ( hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập thuộc B. Ví dụ : Tập các hình cầu mở ( với tâm tại một điểm tuỳ ý và bán kính tuỳ ý) trong một không gian metric X là một cơ sở của tô pô gồm tất cả các tập mở trong X. Một cơ sở B của tô pô τ trên tập X có các tính chất sau 1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G 2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G 1 , G 2 thuộc B thì tồn tại tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G 1 ∩ G 2 . Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu diễn được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là tô pô sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất “hợp của các tập thuộc A bằng X” ( nói cách khác : A là một phủ của X ) thì tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A bởi một số hữu hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2) . Do đó A được gọi là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B. 1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu với mọi lân cận U y 0 của điểm y 0 = f(x 0 ) tìm được lân cận V x 0 của điểm x 0 sao cho f(V x 0 ) ⊂ U y 0 . Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X 1.1.6 Mệnh đềi) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở trong Y 7 là một tập mở trong X. ii) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là một tập đóng trong X. iii) Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X → Y, ϕ : Y → Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦ f từ X vào Z cũng liên tục. 1.1.7 Định nghĩa Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô X lên không gian tô pô Y . Nếu các ánh xạ f và f −1 đều liên tục thì f được gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y . Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y . 1.1.8 Định nghĩa Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact. 1.1.9 Định nghĩa Họ (A i ) các tập con của một tập T gọi là có tính tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (A i ) là khác rỗng. 1.1.10 Định lý i) Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều có giao khác rỗng. ii) Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô compact là compact. iii) Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô Hausdorff X thì Y đóng trong X. Với mọi x /∈ Y tồn tại một tập mở U chứa x, một tập mở V chứa Y sao cho U ∩ V = ∅. iv) Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song ánh liên tục 8 [...]... (x0 )λxj (z) < j=1 φj (x0 )αxj j=1 (1.21) (Chú ý rằng trong các tổng ở (1.21) φj (x0 ) = 0 chỉ với các j mà x0 ∈ Wxj ) Mâu thuẫn Vậy f phải có điểm bất động 26 Chương 2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Điểm bất động của các ánh xạ compact 2.1.1 Định nghĩaCho X, Y là các không gian Banach và C ⊂ X Ánh xạ f : C → Y gọi là ánh xạ compact nếu f... tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn K trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff H hữu hạn chiều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ K vào chính nó 16 Chứng minh Giả sử không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff H có số chiều hữu hạn n và K là tập lồi đóng, khác rỗng , bị chặn trong H, β là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều từ H lên Rn Khi đó β(K) là tập lồi. .. Vαx của điểm αx tìm được số ε > 0 và lân cận Ux của x sao cho (α − ε, α + ε).Ux ⊂ Vαx Không gian véc tơ E cùng với một tô pô τ trên E phù hợp với cấu trúc tuyến tính của E gọi là một không gian véc tơ tô pô Bản luận văn này sẽ chỉ xét các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, tức là các không gian véc tơ tô pô mà tô pô trên nó được sinh bởi một họ các nửa chuẩn thỏa mãn điều kiện tách 1.1.12 Định nghĩa... (x0 ) = y0 2.2 Vấn đề không gian con bất biến Bài toán không gian con bất biến là bài toán của lý thuyết các toán tử tuyến tính trong phạm trù các không gian Banach Cho không gian Banach X và một toán tử tuyến tính liên tục T từ X vào chính nó Một không gian con đóng M của X gọi là một không gian con bất biến của T nếu T (M ) ⊂ M Một không gian con bất biến M của T gọi là không tầm thường nếu X =... và định nghĩa bổ trợ: 1.3.7 Mệnh đề Mọi không gian véctơ tô pô lồi địa phương Hausdorff H có số chiều hữu hạn n đều đẳng cấu với không gian Euclid Rn ( nghĩa là tồn tại một song ánh tuyến tính liên tục hai chiều β từ H lên Rn ) Nói riêng, mọi không gian véc tơ con có số chiều hữu hạn n của một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff E với tô pô cảm sinh bởi tô pô của E đẳng cấu với không gian. .. B gọi là tích của các tô pô τ và σ Không gian tô pô (X × Y, π) gọi là tích của các không gian tô pô (X, τ ) và (Y, σ) * Có thể chứng minh được rằng nếu (X, τ ) và (Y, σ) là các không gian tô pô compact thì không gian tô pô (X ×Y, π) cũng compact Nếu (X, τ ) và (Y, σ) là các không gian tô pô Hausdorff thì (X × Y, π) cũng là không gian tô pô Hausdorff 1.5.6 Định nghĩa i) Cho X, Y là các tập khác rỗng,... rỗng trong không gian véctơ E đều đối xứng và chứa véc tơ không của E Nếu W là một tập cân trong E thì với hai số thực α, β tùy ý ta có: αW + βW = (|α| + |β|)W Nói riêng W + W = 2W ii) Giao của một họ tùy ý các tập thuộc vào một trong các lớp i), ii), iii) của định nghĩa 1.1.13 là một tập thuộc vào cùng lớp đó.Giao của một họ hữu hạn các tập nuốt là một tập nuốt Bao lồi của một tập A trong không gian véc. .. chất của cơ sở tô pô nêu trong 1.1.4, tô pô trên E sinh bởi cơ sở B gọi là tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn (pγ (x))γ∈Γ 1.1.17 Định nghĩa Không gian véc tơ tô pô E gọi là lồi địa phương nếu mọi lân cận V của không chứa một lân cận lồi U của không 1.1.18 Mệnh đề i) Không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi một họ (pγ (x))γ∈Γ các nửa chuẩn tách trên E là không gian lồi địa phương Hausdorff Với tô pô... compact trong không gian véc tơ tô pô E 11 với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (pγ (x))γ∈Γ thì A + B, αK là các tập compact với mọi số thực α Nói riêng K − K, K + K là các tập compact 1.2 Định lý điểm bất động Brouwer Trong đoạn này ta ký hiệu hình cầu đóng tâm x, bán kính r và hình cầu đơn vị đóng trong không gian Euclid Rn tương ứng là B(x; r) và B, mặt cầu đơn vị trong không gian Rn là S:... hình cầu đơn vị đóng B có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.4 hình cầu B(x; r) cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó 1.3.6 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn C trong không gian Rn có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó Chứng minh Bởi vì C bị chặn thì tồn tại . nói đầu 2 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 5 1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 5 1.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quan đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, . chứng minh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng của lý thuyết điểm bất động ở chương sau. 1.1 Không gian tô pô và