các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRẦN DUY THÀNH CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Nă

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN DUY THÀNH

CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC

KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.HOÀNG VĂN HÙNG

Thái Nguyên - Năm 2014

Mục lục

1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 5 1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 5

1.2 Định lý điểm bất động Brouwer 12

1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff 13

1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani 19

1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan 21

2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 27 2.1 Điểm bất động của các ánh xạ compact 27

2.2 Vấn đề không gian con bất biến 34

2.3 Trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel 37

2.4 Lý thuyết trò chơi và điểm cân bằng Nash 41

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều vấn đề của toán học trong các lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lýthuyết trò chơi, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, cần sử dụng các định lý về điếm bất động trong các không gian véc tơ

tô pô lồi địa phương như định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff,Markov – Kakutani, Kakutani – Ky Fan Điều này cho thấy khi nghiêncứu các vấn đề của toán học nói chung và toán học ứng dụng nói riêngkhông thể bỏ qua các định lý điểm bất động trong lớp không gian quantrọng này Đây là cơ sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho bản luậnvăn “Các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tô

pô lồi địa phương và ứng dụng”

Dưới tiêu đề trên tác giả đã trình bày lại những kết quả cơ bản của lýthuyết các điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương

và một số áp dụng của lý thuyết này vào các phần khác nhau của toánhọc Bản luận văn gồm Lời nói đầu, hai chương, Kết luận và danh mụctài liệu tham khảo

CHƯƠNG I MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONGKHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quanđến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứngminh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồiđịa phương : định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani,định lý Kakutani – Ky Fan Định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan

được chứng minh bởi Kakutani cho trường hợp hữu hạn chiều ( 1941) vàđược chứng minh bởi Ky Fan cho trường hợp vô hạn chiều (1952) dựatrên một bất đẳng thức được chứng minh bởi chính Ky Fan liên quanđến các song hàm nửa liên tục dưới theo một biến, nửa liên tục trên vàlõm theo một biến khác Những định lý này là cơ sở cho các áp dụngcủa lý thuyết điểm bất động ở chương II.

CHƯƠNG II MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔLỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chương này xét các áp dụng của các định lý điểm bất động ở chương

I Định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff được áp dụng để chứngminh định lý Schaefer về sự tồn tại điểm bất động của một lớp các toán

tử compact, định lý điểm bất động Krasnoselskii, một số hệ quả của cácđịnh lý này và định lý Lomonosov về sự tồn tại các không gian con bấtbiến không tầm thường của một lớp các toán tử tuyến tính trên khônggian Banach X Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng trong lý thuyếtphương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn

có nêu một cải tiến của định lý Krasnoselskii, được chứng minh bởiT.A Burton vào năm 1998, kèm theo một ví dụ áp dụng vào lý thuyếtphương trình tích phân Định lý Markov – Kakutani được áp dụng đểchứng minh sự tồn tại các trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel.Cuối cùng, bất đẳng thức Ky Fan ( định lý 1.5.4 ) được áp dụng đểchứng minh sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong các trò chơi bất hợptác của lý thuyết trò chơi

Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn là các ký hiệu thông dụngtrong các tài liệu toán học hiện đại Tuy nhiên, ở một vài chỗ tác giảvẫn giới thiệu các ký hiệu để tránh hiểu nhầm

Tài liệu tham khảo gồm 06 danh mục, trong đó tài liệu [V.Pata] là tài

liệu tham khảo chính.

Tác giả đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thày hướng dẫn, T.SHoàng Văn Hùng – Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng Hải Việt Nam,trong việc tìm hiểu các vấn đề của bản luận văn và trình bày lại theomột trình tự logic Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tậpthể các thày, cô của Khoa Toán- Tin, Đại học Khoa học-Đại học TháiNguyên; các thày, cô của Viện Toán học- Viện Khoa học Việt Nam vàthày hướng dẫn; những người đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giảtrong suốt khóa học cao học tại Đại học Thái Nguyên và hoàn thànhbản luận văn này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Người viếtTrần Duy Thành

Chương 1

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT

ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN

VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA

PHƯƠNG

Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quanđến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứngminh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồiđịa phương Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng của lý thuyếtđiểm bất động ở chương sau

1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương

1.1.1 Không gian tô pô

* Cho X là một tập khác rỗng Một tô pô trên X là một lớp τ các tậpcon của X có các tính chất sau:

1) X thuộc τ và ∅ (tập rỗng) thuộc τ

2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một

họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ

Một tập X cùng với một tô pô τ trên X ( tức là một cặp (X, τ )) gọi

là một không gian tô pô Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở ( khi cầnchính xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở)

Nếu (X, τ ) là một không gian tô pô và Y là một tập con của X thì

họ τY gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một tập mở tuỳ ýthuộc họ τ , là một tô pô trên Y Không gian tô pô (Y, τY) gọi là khônggian con của không gian tô pô (X, τ )

Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói

τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ

Ta sẽ chỉ xét các không gian tô pô tách, tức là các không gian thỏamãn tiên đề Hausdorff dưới đây:

* Với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận Ux

của x và một lân cận Uy của y sao cho Ux∩ Uy = ∅

1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là một không gian tô pô và F là mộttập con của X Tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở Vậy tậpđóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở

là một điểm dính của tập con A ⊂ X nếu mọi lân cận của z chứa ít nhấtmột điểm của A Điểm y của X gọi là một điểm giới hạn của A nếutrong mọi lân cận của y tìm được ít nhất một điểm x của A sao cho xkhác y Tập tất cả các điểm dính của tập con A của X gọi là bao đóngcủa A, ký hiệu A

Ta có :

i) A đóng ⇔ A = A

ii) A là tập đóng bé nhất của X chứa A

iii) B mở ↔ B là lân cận của mọi x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở Vx ⊂ Bsao cho x ∈ Vx

1.1.4 Định nghĩa Cho (X, τ ) là một không gian tô pô Tập con B

của τ được gọi là một cơ sở của tô pô τ nếu mọi tập mở trong tô pô τbiểu diễn được dưới dạng hợp ( hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập thuộc

tô pô sinh bởi B Nếu A là họ các tập con của X có tính chất “hợp củacác tập thuộc A bằng X” ( nói cách khác : A là một phủ của X ) thìtập B các tập con của X nhận được từ các tập của A bởi một số hữuhạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2) Do đó A được gọi

là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B

1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tô pô Ánh xạ f củakhông gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm

x0 nếu với mọi lân cận Uy0 của điểm y0 = f (x0) tìm được lân cận Vx0của điểm x0 sao cho f (Vx0) ⊂ Uy0

Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X1.1.6 Mệnh đềi) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô

pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở trong Y

là một tập mở trong X.

ii) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tụckhi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là một tậpđóng trong X

iii) Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X → Y, ϕ : Y → Z

là các ánh xạ liên tục Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦ f từ X vào Z cũng liêntục

1.1.7 Định nghĩa Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô Xlên không gian tô pô Y Nếu các ánh xạ f và f−1 đều liên tục thì f đượcgọi là một phép đồng phôi từ X lên Y

Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phépđồng phôi từ X lên Y

1.1.8 Định nghĩa Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từmọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn

Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem nhưkhông gian con của không gian tô pô X là một không gian compact.1.1.9 Định nghĩa Họ (Ai) các tập con của một tập T gọi là có tínhtương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (Ai)

là khác rỗng

1.1.10 Định lý i) Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact

là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều

có giao khác rỗng

ii) Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô compact làcompact

iii) Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô Hausdorff X thì

Y đóng trong X Với mọi x /∈ Y tồn tại một tập mở U chứa x, một tập

mở V chứa Y sao cho U ∩ V = ∅

iv) Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song ánh liên tục

từ X lên không gian tô pô Hausdorff Y thì f là một phép đồng phôi.1.1.11 Định nghĩa Cho E là một không gian véc tơ thực Ta nói tô

pô τ trên E phù hợp với cấu trúc tuyến tính trên E nếu các ánh xạ:

(x, y) 7→ x + y (x, y ∈ E)(α, x) 7→ αx (x ∈ E, α ∈R)

là các ánh xạ liên tục Nói cách khác, các điều kiện sau được thực hiện:i) Với mọi lân cận Vx+y của điểm x + y tìm được các lân cận Ux của

x và Uy của y sao cho Ux+ Uy ⊂ Vx+y

ii) Với mọi lân cận Vαx của điểm αx tìm được số ε > 0 và lân cận Uxcủa x sao cho (α − ε, α + ε).Ux ⊂ Vαx

Không gian véc tơ E cùng với một tô pô τ trên E phù hợp với cấutrúc tuyến tính của E gọi là một không gian véc tơ tô pô Bản luận vănnày sẽ chỉ xét các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, tức là cáckhông gian véc tơ tô pô mà tô pô trên nó được sinh bởi một họ các nửachuẩn thỏa mãn điều kiện tách

1.1.12 Định nghĩa Một nửa chuẩn trên một không gian véc tơ E làmột hàm thực p(x) xác định trên E và có các tính chất sau:

i) Với mọi x, y thuộc E có bất đẳng thức: p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (tínhchất dưới cộng tính)

ii) Với mọi số thực α và mọi x thuộc E, có đẳng thức: p(αx) = |α| p(x).Nếu trên E nửa chuẩn p(x) có tính chất p(x) = 0 ↔ x = θ thì p(x)gọi là một chuẩn trên E

Một nửa chuẩn p(x) trên E có tính chất sau:

i) p(θ) = 0

ii) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) (∀x, y ∈ E)

1.1.13 Định nghĩa Tập con M của không gian véc tơ thực E gọi lài) lồi, nếu : λx + (1 − λ)y ∈ M (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1])

ii) đối xứng, nếu : −M = M

iii) cân, nếu : λx ∈ M (∀x ∈ M, ∀λ ∈ [ − 1; 1]).

iv) nuốt, nếu: ∀x ∈ E, ∃α = α(x) > 0 : x ∈ λM khi |λ| ≥ α

Tập lồi bé nhất trong các tập lồi chứa một tập con A của E gọi là baolồi của A, ký hiệu bới conv(A)

Ta coi tập rỗng là lồi, đối xứng và cân Khi đó ta có:

1.1.14 Mệnh đề i) Mọi tập cân khác rỗng trong không gian véctơ Eđều đối xứng và chứa véc tơ không của E Nếu W là một tập cân trong

E thì với hai số thực α, β tùy ý ta có:

αW + βW = (|α| + |β|)WNói riêng W + W = 2W

ii) Giao của một họ tùy ý các tập thuộc vào một trong các lớp i), ii),iii) của định nghĩa 1.1.13 là một tập thuộc vào cùng lớp đó.Giao củamột họ hữu hạn các tập nuốt là một tập nuốt Bao lồi của một tập Atrong không gian véc tơ E là giao của họ tất cả các tập lồi của E chứaA

iii) Với mọi nửa chuẩn p(x) trên không gian véc tơ E và mọi số dương

c các tập:

M = {x ∈ E : p(x) ≤ c} , N = {x ∈ E : p(x) < c}

là các tập lồi, cân và nuốt

1.1.15 Định nghĩa Cho họ (pγ(x))γ∈Γ ( Γ là tập các chỉ số) cácnửa chuẩn trên E Họ (pγ(x))γ∈Γ được gọi là tách nếu với x tùy ý thuộcE\ {θ} tồn tại ít nhất một γ ∈ Γ sao cho pγ(x) 6= 0

1.1.16 Định nghĩa Cho họ (pγ(x))γ∈Γ các nửa chuẩn tách trên E

Ta gọi cơ sở của lân cận của gốc sinh bởi họ các nửa chuẩn (pγ(x))γ∈Γ

là họ U gồm tất cả các tập U dạng:

U = {x ∈ E : pγi(x) < εi, i = 1, , n}

trong đó n là số nguyên dương tùy ý, γi ∈ Γ (i = 1, , n) là n chỉ số tùy

ý thuộc Γ và εi > 0, (i = 1, , n) là họ n số dương tùy ý Ký hiệu B làtập tất cả các tập con V của E có dạng :

V = x + U, x ∈ E, U ∈ U

Tập B có hai tính chất của cơ sở tô pô nêu trong 1.1.4, tô pô trên Esinh bởi cơ sở B gọi là tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn (pγ(x))γ∈Γ.1.1.17 Định nghĩa Không gian véc tơ tô pô E gọi là lồi địa phươngnếu mọi lân cận V của không chứa một lân cận lồi U của không

1.1.18 Mệnh đề i) Không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi một

họ (pγ(x))γ∈Γ các nửa chuẩn tách trên E là không gian lồi địa phươngHausdorff Với tô pô sinh bởi họ (pγ(x))γ∈Γ tất cả các nửa chuẩn thuộc

họ này đều liên tục

ii) Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian véc tơ tô pô E với tô pôsinh bởi họ các nửa chuẩn tách (pγ(x))γ∈Γ liên tục khi và chỉ khi tồn tạimột số M > 0 và một bộ hữu hạn các nửa chuẩn (pγi(x))ni=1 thuộc họ(pγ(x))γ∈Γ sao cho

|f (x)| ≤ M pγi(x) (∀x ∈ E, ∀i ∈ {1, , n})

iii) Phần tử u của không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi họ cácnửa chuẩn tách (pγ(x))γ∈Γ là phần tử không khi và chỉ khi pγ(u) = 0 vớimọi γ ∈ Γ

iv) Cho không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩntách (pγ(x))γ∈Γ Khi đó:

- Bao lồi của một tập hữu hạn trong E là compact Bao đóng của baolồi của một tập compact trong E là compact

- Mọi tập compact K là bị chặn, nghĩa là với mọi nửa chuẩn p thuộc

họ (pγ(x))γ∈Γ tập p(K) là tập số thực bị chặn

v) Nếu A, B, K là các tập compact trong không gian véc tơ tô pô E

với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (pγ(x))γ∈Γ thì A + B, αK làcác tập compact với mọi số thực α Nói riêng K − K, K + K là các tậpcompact.

1.2 Định lý điểm bất động Brouwer

Trong đoạn này ta ký hiệu hình cầu đóng tâm x, bán kính r và hìnhcầu đơn vị đóng trong không gian Euclid Rn tương ứng là B(x; r) và B,mặt cầu đơn vị trong không gian Rn là S:

f : X → Y là một ánh xạ Điểm x∗ ∈ X gọi là một điểm bất động của

f nếu f (x∗) = x∗

Tập các điểm bất động của ánh xạ f ký hiệu là Fix(f )

Tập con A của một không gian tô pô (X, τ ) gọi là có tính chất điểmbất động đối với một lớp các ánh xạ Λ nào đó từ A vào X nếu với mọiánh xạ f thuộc Λ tập Fix(f ) khác rỗng

1.2.2 Định lý ( L.E.J Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục f từhình cầu đơn vị B của Rn vào chính nó đều có ít nhất một điểm bấtđộng

( Phát biểu tương đương: hình cầu đơn vị B của Rn có tính chất điểmbất động đối với lớp các ánh xạ liên tục từ B vào chính nó )

Có nhiều cách chứng minh định lý Brouwer dựa trên các cách tiếp cậnkhác nhau: chứng minh dựa trên lý thuyết bậc ánh xạ, chứng minh dựatrên bổ đề Sperner, chứng minh nhờ các công cụ của tô pô đại số Bạnđọc quan tâm đến chứng minh của định lý Brouwer có thể xem trongcác tài liệu [Goebel – Kirk], [Hochstadt]

1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff

1.3.1 Định nghĩa Tập con khác rỗng P của không gian tô pô (X, τ )gọi là một rút của X nếu tồn tại ánh xạ liên tục r : X → P sao chor(x) = x với mọi x ∈ P Ánh xạ liên tục r khi đó gọi là một phép co rútbiến X thành P

1.3.2 Mệnh đề Mọi tập con lồi, đóng và khác rỗng C của Rn là mộtrút của Rn ( ta xem Rn như không gian tô pô với tô pô cảm sinh bởichuẩn Euclid)

Chứng minh: Với mỗi x ∈ Rn đặt:

d(x, C) = inf {kx − yk : y ∈ C}

Do C khác rỗng nên d(x, C) = d < +∞ với mọi x ∈ Rn Với mỗi sốnguyên dương m, tìm được phần tử ym ∈ C sao cho kx − ymk < d + m1

Rõ ràng dãy {ym} ⊂ hình cầu đóng B(x; d0) ( với d0 = d + 1) trong Rn

Vì B(x; d0) là compact nên tồn tại một dãy con {ymk} của dãy {ym} hội

tụ tới một điểm y∗ của B(x; d0) Vì C là tập đóng nên y∗ ∈ C Rõ ràng

ta có :

kx − y∗k = lim

k→∞kx − ymkk = d (1.1)

Ta khẳng định rằng y∗ là điểm duy nhất thuộc C thỏa mãn (1.1) Nếu

y∗∗ là một điểm khác của C cũng thỏa mãn (1.1) thì với mọi

Do chuẩn Euclid là hàm lồi chặt trên Rn nên với 0 < α < 1 , bất đẳngthức (1.2) đúng khi và chỉ khi x − y∗ = x − y∗∗ ↔ y∗ = y∗∗ Mâu thuẫn.Vậy y∗ là điểm duy nhất của C thỏa mãn (1.1) Đặt y∗ = r(x) ta có mộtánh xạ từ Rn lên C cho bởi công thức:

ra ϕ0(0) ≥ 0 Nhưng :

ϕ0(0) = 2 < x − r(x), r(x) − r(x0) >

Vậy ta có:

< x − r(x), r(x) − r(x0) > ≥ 0 (∀x, x0 ∈ Rn) (1.3)Thay đổi vai trò của x và x’ trong (1.3) ta được :

là một phép co rút biến Rn thành C Mệnh đề được chứng minh.

1.3.3 Mệnh đề Nếu không gian tô pô (X, τ ) có tính chất điểm bấtđộng đối với các ánh xạ liên tục từ X vào chính nó và P là một rút của

X thì P cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ

do đó r(x∗) = x∗ và từ (+) suy ra f (x∗) = x∗ Vậy x∗ là điểm bất độngcủa f Mệnh đề được chứng minh

1.3.4 Mệnh đề Nếu các không gian tô pô (X, τ ) và (X0, τ0) đồng phôi

và X có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ X vàochính nó thì X0 cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liêntục từ X0 vào chính nó

Chứng minh Giả sử f là một ánh xạ liên tục tuỳ ý từ (X0, τ0) vàochính nó Gọi β là song ánh liên tục hai chiều từ X lên X0 Khi đó ánh

xạ β−1 ◦ f ◦ β là một ánh xạ liên tục từ (X, τ ) vào chính nó và do đó

nó có điểm bất động z ∈ X : z = (β−1◦ f ◦ β)(z) Nhưng khi đó β(z) làđiểm bất động của f Vậy (X0, τ0) cũng có tính chất điểm bất động đốivới các ánh xạ liên tục từ (X0, τ0) vào chính nó

1.3.5 Mệnh đề Hình cầu đóng tuỳ ý trong Rn có tính chất điểm bấtđộng đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó

Chứng minh Nếu bán kính của hình cầu đóng được xét bằng 0 thìkết luận là hiển nhiên Nếu hình cầu đóng B(x; r) có bán kính r > 0 thì

nó đồng phôi với hình cầu đơn vị đóng Song ánh liên tục hai chiều từ

B(x; r) lên hình cầu đơn vị đóng B cho bởi :

β(y) = y − x

r (∀y ∈ B(x; r))

Vì hình cầu đơn vị đóng B có tính chất điểm bất động đối với cácánh xạ liên tục từ nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.4 hình cầu B(x; r)cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vàochính nó

1.3.6 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn C trong khônggian Rn có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vàochính nó

Chứng minh Bởi vì C bị chặn thì tồn tại hình cầu đóng B(z; a)(tâm z, bán kính a > 0) trong Rn sao cho C ⊂ B(z; a) Gọi r là phép corút biến Rn thành C được định nghĩa trong chứng minh mệnh đề 1.3.2 :

Tiếp theo ta cần một số mệnh đề và định nghĩa bổ trợ:

1.3.7 Mệnh đề Mọi không gian véctơ tô pô lồi địa phương Hausdorff

H có số chiều hữu hạn n đều đẳng cấu với không gian Euclid Rn ( nghĩa

là tồn tại một song ánh tuyến tính liên tục hai chiều β từ H lên Rn ).Nói riêng, mọi không gian véc tơ con có số chiều hữu hạn n của mộtkhông gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff E với tô pô cảm sinhbởi tô pô của E đẳng cấu với không gian Euclid Rn

1.3.8 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn K trong khônggian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff H hữu hạn chiều có tính chấtđiểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ K vào chính nó

Chứng minh Giả sử không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff

H có số chiều hữu hạn n và K là tập lồi đóng, khác rỗng , bị chặn trong

H, β là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều từ H lên Rn Khi đó β(K)

là tập lồi đóng, bị chặn, khác rỗng trong Rn và β(K) đồng phôi với K.Theo mệnh đề 1.3.6 β(K) có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạliên tục từ nó vào chính nó Do đó K cũng có tính chất điểm bất độngđối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó theo mệnh đề 1.3.4.1.3.9 Định nghĩa Cho X là một không gian tô pô và (Vj)mj=1 là mộtphủ mở hữu hạn của X Họ (φj)mj=1 các hàm thực liên tục trên X gọi

là một phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (Vj)mj=1 nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

i) Giá ( support) của φj nằm trong Vj với mọi j ∈ {1, , m} ( Giácủa một hàm số liên tục f trên một không gian tô pô X là bao đóng củatập các x thuộc X sao cho f (x) 6= 0)

1.3.10 Mệnh đề Giả sử K là một tập con compact trong không gian

tô pô Hausdorff X và (Vj)mj=1 là một họ các tập mở trong X phủ K Đặt

Uj = K ∩Vj (j = 1, , m) Khi đó họ (Uj)mj=1 là một phủ mở ( trong tô pôcảm sinh bởi X lên K) của K và tồn tại một phân hoạch đơn vị (φj)mj=1của K phù hợp với phủ mở (Uj)mj=1 (xem [J.Kelley] và [V.Pata])

* Dưới đây ta sẽ gọi phân hoạch đơn vị (φj)mj=1 thỏa mãn mệnh đề1.3.10 là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (Vj)mj=1 với giá nằm trongK

1.3.11 Định lý (Schauder-Tychonoff) Cho E là không gian véc tơ

tô pô lồi địa phương Hausdorff với tô pô sinh bởi họ (pγ(x))γ∈Γ các nửachuẩn tách trên E, K ⊂ E là một tập lồi khác rỗng và K0 ⊂ K, K0compact Khi đó mọi ánh xạ liên tục f : K → K0 có điểm bất động (Nói

cách khác, tồn tại x∗ ∈ K0 sao cho f (x∗) = x∗).

Chứng minh Ký hiệu U là cơ sở các lân cận của không sinh bởi họ(pγ(x))γ∈Γ Với mọi lân cận U ∈ U, do tính compact củaK0 tồn tại cácphần tử x1, , xn ∈ K0 sao cho:

Họ các tập (1.7) có tính tương giao hữu hạn Thật vậy, giả sử

W1, W2, , Wk là k lân cận tùy ý thuộc U Khi đó W =

k

T

j=1

Wj ∈ U , dođó:

k

\

j=1

{f (xU) : U ∈ U, U ⊂ Wj} ⊃ {f (xU) : U ∈ U, U ⊂ W} 6= ∅

Bởi vì K0 là tập compact nên ta suy ra tồn tại phần tử

xU − x∗ = xU − f (xU) + f (xU) − x∗ ∈ U + W ⊂ W + W = 2W (1.10)

Từ (1.10) và cách chọn W ta suy ra:

f (xU) − f (x∗) ∈ V (1.11)Kết hợp (1.9) và (1.11) ta nhận được:

p(x∗− f (x∗)) ≤ p(x∗− f (xU)) + p(f (xU) − f (x∗)) < ε + ε = 2ε (1.12)

Do tính tùy ý của ε và nửa chuẩn p từ (1.12) ta suy ra p(x∗−f (x∗)) = 0với mọi nửa chuẩn p thuộc họ (pγ(x))γ∈Γ Vậy f (x∗) = x∗

1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani

Định lý dưới đây được chứng minh bởi Markov – Kakutani liên quantới các điểm bất động chung của một họ các ánh xạ tuyến tính (xem[V.Pata] )

1.4.1 Định lý ( Markov – Kakutani): Cho E là không gian véc tơ

tô pô lồi địa phương Hausdorff với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách

(pγ(x))γ∈Γ, K là một tập con lồi, compact và khác rỗng của E Giả sử

G là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E thỏa mãn:

a) T S = ST với mọi cặp toán tử T, S thuộc G ;

b) T (K) ⊂ K với mọi T thuộc G

Khi đó tồn tại x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗ với mọi T thuộc G

Chứng minh Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trên E, Tn là hợp lặpcủa T với chính nó n lần Với mọi T thuộc G và số nguyên không âm nđặt:

SnTm = TmSn với mọi số nguyên không âm m, n Do đó họ các tập concủa K là (Tn(K))∞n=0,T ∈G có tính tương giao hữu hạn Thật vậy, nếu

n1, , nk là k số nguyên không âm phân biệt và T(1), , T(k) là k toán

tử thuộc G, thì do tính giao hoán (đối với phép hợp) của các ánh xạ

Tn(j)j với nhau ta suy ra mỗi tập trong họ Tn(j)j (K)

k j=1 đều chứa tập

Tn(1)1 Tn(2)2 Tn(k)k (K) 6= ∅ Bởi vì K là tập compact nên từ tính tương giaohữu hạn của họ (Tn(K))∞n=0,T ∈G suy ra:

F = \

T ∈ G,n∈N

Tn(K) 6= ∅ (1.13)

Ta khẳng định rằng mỗi x ∈ F là một điểm bất động đối với mọi toán

tử T ∈ G Thật vậy, giả sử x∗ ∈ F và toán tử T ∈ G được chọn tùy ý.Với mọi số nguyên không âm n, do (1.13) tồn tại phần tử y = y(n) ∈ Ksao cho x∗ = Tn(y) Do đó:

n + 1(K − K) ⊂ {x ∈ E : p(x) < ε} (1.15)

Từ (1.14) và (1.15) suy ra với mọi ε > 0 ta có p(T x∗ − x∗) < ε Dotính tùy ý của ε suy ra T x∗ − x∗ = θ hay T x∗ = x∗

1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan

Trong đoạn này E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phươngHausdorff

1.5.1 Định nghĩa: Cho C là một tập con lồi khác rỗng của E Hàm

f : C → (−∞; +∞] gọi là lồi nếu:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0; 1] Hàm g : C → [ − ∞; +∞) gọi là lõmnếu −g là lồi ( nếu quy ước −(+∞) = −∞ )

1.5.2 Định nghĩa Giả sử Y là một không gian tô pô Hàm f : Y →(−∞; +∞] gọi là nửa liên tục dưới nếu f−1(α; +∞] là tập mở với mọi

số thực α Tương tự, hàm g : Y → [ − ∞; +∞) gọi là nửa liên tục trênnếu −g là nửa liên tục dưới hay cụ thể hơn g−1[ − ∞; β) là tập mở vớimọi số thực β

1.5.3 Mệnh đề i) Supremum của một họ tùy ý các hàm nửa liên tụcdưới là nửa liên tục dưới Infimum của một họ tùy ý các hàm nửa liêntục trên là nửa liên tục trên

ii) Nếu f là một hàm nửa liên tục dưới trên không gian tô pô compact

Y thì f có giá trị bé nhất hữu hạn trên Y , tức là tồn tại y0 ∈ Y sao cho

f (y0) = min {f (y) : y ∈ Y } Nếu f là hàm nửa liên tục trên trên khônggian tô pô compact Y thì f có giá trị lớn nhất hữu hạn trên Y , tức làtồn tại y0 ∈ Y sao cho f (y0) = max {f (y) : y ∈ Y }

1.5.4 Định lý (Ky Fan): Cho K ⊂ E là tập lồi, compact và khácrỗng Giả sử Φ : K × K → R là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện:

a) Với mọi y ∈ K hàm Φ(., y) là hàm nửa liên tục dưới

b) Với mọi x ∈ K hàm Φ(x, ) nửa liên tục trên và là hàm lõm trênK

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho:

sup {Φ(x0, y) : y ∈ K} ≤ sup {Φ(y, y) : y ∈ K} (1.16)Chứng minh Với mỗi x ∈ K hàm Φ(x, ) là hàm nửa liên tục trêntrên tập compact K nên theo mệnh đề 1.5.3 sup {Φ(x, y) : y ∈ K} < +∞với mỗi x ∈ K Cố định số ε > 0 Với mỗi x ∈ K, tìm được yx ∈ K saocho: