2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
2.3 Trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel
2.3.1 Định nghĩa: Tập S khác rỗng với một luật hợp thành trong hai ngôi ∗ :
(a, b) → a∗b ∈ S (a, b) ∈ S2
gọi là một nửa nhóm abel ( hay nửa nhóm giao hoán) nếu : i) (a∗b)∗c = a∗(b∗c) (∀a, b, c ∈ S)
ii) a∗b = b∗a (∀a, b ∈ S)
Ví dụ: Tập các số nguyên không âm N với luật cộng , tập số thực không âm R+ với luật cộng là các ví dụ về các nửa nhóm abel.
2.3.2 Định nghĩa: Đặt :
`∞(S) ={f : S →R : kfk= sup{|f(s)| : s∈ S} < +∞}
Khi đó `∞(S) là một không gian Banach thực. Một phần tử f ∈ `∞(S)
gọi là dương nếu f(s) ≥ 0 (∀s ∈ S) , ký hiệu f ≥ 0. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : `∞(S) → R gọi là dương nếu Λf ≥ 0 với mọi phần tử dương f của `∞(S).
Ta quy ước ký hiệu các hàm hằng trên S dạng f(s) = α = const∈ R
đơn giản là α. Với mọi f ∈ `∞(S), ta ký hiệu |f| là hàm ∈ `∞(S) cho bởi s 7→ |f(s)| (s ∈ S). Rõ ràng |f| là hàm dương và kfk = k|f|k. Với hai phần tử f, g ∈ `∞(S) ta ký hiệu f ≤ g nếu f(s) ≤ g(s) (∀s ∈ S). Nếu phiếm hàm tuyến tính Λ dương thì từ f ≤ g suy ra Λ(f) ≤ Λ(g).
2.3.3 Mệnh đề:
i) Mọi phiếm hàm tuyến tính dương trên `∞(S) đều liên tục.
ii) Nếu phiếm hàm tuyến tính liên tục Λ thỏa mãn kΛk = Λ(1) = 1
thì Λ dương.
Chứng minh.i) Giả sử trái lại rằng Λlà phiếm hàm tuyến tính dương nhưng không liên tục. Khi đó tìm được một dãy {fn}∞1 các hàm bị chặn trên S sao cho kfnk ≤ 1 nhưng Λ(fn) ≥ 2n với mọi số nguyên dương n. Vì chuẩn trong `∞(S) là chuẩn supremum nên ta suy ra fn ≤ |fn| ≤ 1
với mọi n nguyên dương. Nhưng Λ là phiếm hàm tuyến tính dương nên ta có 2n = Λ(fn) ≤ Λ(|fn|) ≤Λ(1) với mọi n nguyên dương. Mâu thuẫn. Vậy Λ là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
ii) Giả sử trái lại Λ thỏa mãn kΛk = Λ(1) = 1 nhưng không phải là phiếm hàm tuyến tính dương. Khi đó tồn tại f ∈ `∞(S), f ≥ 0 sao cho
Λf = β < 0. Do f ≥0 nên với ε > 0 đủ bé ta có :
Do đó:
1 < 1−εβ = |1−εβ| = |Λ(1−εf)| ≤ k1−εfk ≤ 1
Mâu thuẫn. Vậy Λ là phiếm hàm tuyến tính dương.
2.3.4 Định nghĩa: Cho S là một nửa nhóm abel với luật hợp thành trong ∗, t ∈ S. Toán tử t-dịch chuyển trên `∞(S) là ánh xạ Lt : `∞(S) →
`∞(S) cho bởi công thức:
(Ltf)(s) =f(t∗s) (∀s ∈ S,∀f ∈ `∞(S))
Một trung bình bất biến trên S là một phiếm hàm tuyến tính dương Λ
trên `∞(S) thỏa mãn các điều kiện sau: (a) Λ(1) = 1
(b) Λ(Ltf) = Λ(f) (∀t∈ S,∀f ∈ `∞(S))
Nếu một phiếm hàm tuyến tính như vậy tồn tại, ta nói rằng nửa nhóm
abel S là uốn được.
Ví dụ ( Banach) : Lấy S = N, khi đó `∞(S) = `∞. Một trung bình bất biến trên`∞ gọi là một giới hạn Banach suy rộng. Nguyên do của tên gọi này như sau: nếu x = {xn}∞n=0 ∈ `∞ và lim
n→∞xn = α ∈ R thì Λx = α. Thực vậy, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên n0 sao choα−ε ≤ xn ≤ α+ε
với mọi n ≥ n0. Do đó nếu ta định nghĩa dãy y = {yn} bởi yn = xn+n0
thì Ln0(x) =y, bởi vậy Λ(x) = Λ(y) và
α−ε= Λ(α−ε) ≤Λ(y) ≤ Λ(α+ε) = α+ε → α−ε ≤ Λ(x) ≤ α+ε
Do ε > 0 tùy ý nên từ các bất đẳng thức trên suy ra Λ(x) = α. Như vậy mọi trung bình bất biến Λ trên `∞ đặt tương ứng dãy x = {xn}∞n=0
hội tụ về α với giới hạn α của nó. Điều này giải thích tên gọi giới hạn Banach suy rộng của các trung bình bất biến trên `∞. Sự tồn tại giới hạn Banach suy rộng trên `∞ suy ra từ định lý tổng quát sau đây.
Chứng minh. Ký hiệu `∞(S)∗ là không gian liên hợp của `∞(S) và đặt :
K = {Λ∈ `∞(S)∗ : kΛk = Λ(1) = 1}
Theo mệnh đề 2.3.3 mọi phần tử thuộc K đều là các phiếm hàm tuyến tính dương trên `∞(S). Dễ thấy K là tập lồi và theo định lý Banach- Alaoglu (xem [F.Wilde]) K là tập compact trong tô pô yếu ∗ của `∞(S)∗
. Ta định nghĩa một họ các toán tử tuyến tính
Ts : `∞(S)∗ →`∞(S)∗, s ∈ S
bởi công thức (TsΛ)(f) = Λ(Lsf) (∀f ∈ `∞(S)). Ta sẽ chứng minh rằng
Ts liên tục trong tô pô yếu ∗ với mọi s ∈ S. Tất nhiên, chỉ cần chứng minh tính liên tục tại không. Giả sử V là một lân cận thuộc cơ sở lân cận của không trong tô pô yếu ∗:
V = {Λ∈ `∞(S)∗ : |Λ(fj)| < εj, j = 1, .., n}
với các số dương nào đó ε1, .., εn và f1, .., fn ∈ `∞(S). Khi đó
Ts−1(V) ={Λ∈ `∞(S)∗ : |(TsΛ) (fj)| < εj, j = 1, .., n}
= {Λ ∈ `∞(S)∗ : |Λ (Lsfj)| < εj, j = 1, .., n}
cũng là một lân cận mở của không. Do đó Ts liên tục trong tô pô yếu ∗ tại không với mọi s ∈ S.
Tiếp theo ta chứng minh rằng Ts(K) ⊂ K với mọi s ∈ S. Thực vậy, với mọi s ∈ S ta có:
(TsΛ)(1) = Λ(Ls1) = Λ(1) = 1 (2.2) Mặt khác, do kLsfk ≤ kfk (∀f ∈ `∞(S)) nên ta có:
kTsΛk= sup{|(TsΛ)(f)| : kfk ≤ 1} = sup{|Λ(Lsf)| : kfk ≤ 1}
≤ sup{|Λ(f)| :kfk ≤ 1} = kΛk = 1 (2.3)
Từ (2.2) và (2.3) ta suy ra kTsΛk = 1, và lại dùng (2.2) ta suy ra:
Vậy Ts(K) ⊂K với mọi s ∈ S. Cuối cùng, do S là nửa nhóm abel ta có:
(Ts◦Tt)Λ = Ts(TtΛ) = Ts(Λ◦Lt) = Λ◦Lt◦Ls = Λ◦Ls∗t = Λ◦Lt∗s = (Tt◦Ts)Λ
với mọi s, t ∈ S, mọi Λ ∈ K, nghĩa là họ các toán tử tuyến tính {Ts}
giao hoán . Theo định lý 1.4.1 ( Markov – Kakutani), tồn tại Λ0 ∈ K
sao cho TsΛ0 = Λ0 (∀s ∈ S), điều này tương đương với Λ0(Lsf) = Λ0f
(∀f ∈ `∞(S),∀s ∈ S). Vậy Λ0 là một trung bình bất biến trên S và S
uốn được.